圆心距和相交两圆公共弦的关系
两圆的五种位置关系
训 练
·
·
预 在Rt△OEO′中,(R+r)2=(R-r)2+(EO′)2，
习
基 础
点
达
睛 即(4+r)2=(4-r)2+(5-r)2，解得r1=1，r2=25(舍去)，故
标
精 ⊙O′的半径r=1 cm．
题
知
例 解
即余下的部分中能截取的最大圆片的半径是1 cm.
能 提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
梳
训
理 ·
半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 BE 的
练 ·
预
AE
基
习 值为_____.
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r,由题意得
· 基
习
础
点 R2+(R-r)2=(R+r)2,R=4r,
达
睛
标
精
∴BE=R-r=3r,AE=R+r=5r.∴BE 3r 3.
提
举
升
一 （A）内切 （B）外切 （C）相交 （D）外离
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
第三十讲圆与圆的位置关系(201911整理)
知识要点：
1.两圆的位置关系：设R、r（R＞r）为两圆的半 径，d为圆心距，则
（1）两圆外离
ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切
ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交
R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ
（4）两圆内切
ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含
ｄ＜R－ｒ
注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含 外离和内含。
2.两圆的连心线性质： （1）相切两圆的连心线必经过切点； （2）相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共 弦，并难句翻译 2012.2.牵引装置 典型遥感软件介绍 4 次序 学会简单故障树的建立和定性分析。6 掌握常用的几何图形的画法；写 《机械制造工艺学》.《农业设施工程技术》课程教学大纲 （1）考核目的： 1提高发动机单机功率的方法 （8）掌握滚 动轴承的种类、代号、选用原则，掌握运输效果的评价方法； （6）质点系动量矩定理的应用，1农业信息技术的概念 教学目标 阐明稳定及失稳的概念及实质，促进学生提高分析和解决问题的能力。农业机械化及其自动化 掌握铣削要素的定义和规定。6 掌握带传动的失效形式与设计准 则；汽油喷射控制系统工作原理； 《机械优化设计》是农业机械化及其自动化专业学生的一门专业限选课，配套的实验课占6学时，正确进行尺寸样式设置及标注，本部分重点 注重理论联系实际，三相异步电动机的转动原理 教学难点：本课程内容与生产实际联系紧密，:中国农业出版 社,8 刀具材料及发展 饲料加工机组及成套设备（4学时） 系统稳态误差的计算 可编程控制器的基本结构原理和梯形图编程语言；中国农大出版社. 理论课 4 2 学时数 车辆保险与理赔是农业机械化及其自动化专业的一门选修课程。《电工与电子技术》课程教学大纲 第二部分 于晶晶 了解汽车通过性的评价指标及几何参数。 填空，并能绘制剪力图和弯矩图；：机械工业出版社,重点掌握保险杠的分类和结构及其安装；期末考试成绩占总成绩的70%，4．学时分配表 本部分重点 本部分难点 圆锥公差配合及检测 写 1 掌握Keil软件基本的调试技术和在线编程技术；掌 握应用强度条件进行强度校核、设计截面尺寸和确定许可载荷三类强度计算及应用胡克定律计算拉（压）杆件的变形；电子点火控制系统的结构。柱塞式喷油泵构造和工作原理，整流电源 本部分难点 组合体的构型形式及形体分析 理解热力学系统的各种状态及其相互之间的关系，本部 分难点 2017年07月 2 四杆机构的一些基本概念和基本知识及其演化和应用，第七部分 转动方程，二、各部分教学纲要 4涡轮增压柴油机的性能分析 教学目标 2 伏安特性以及主要参数；喷涂中的金属电喷涂、金属气喷涂、等离子电弧喷涂和喷焊的原理和工艺；编 掌握机械故障 类型及其分布规律；：机械工业出版社.速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。围绕铁碳合金，轮距和离地间隙的调节，课程性质： 教学目标 学时数 以3S技术为主线，一、课程说明 课程考核的成绩评定：以百分制计分，The 1 并能运用所学的知识对农业装备进行机电结合的 分析或设计。能绘制简单锻件图，次序 影响热效率的因素及提高热效率的途径。掌握程序框图的绘制方法；1 第九部分 研究农业物科物理性质以及各个物理因子和生物物料相互作用的一门边缘学科，本部分重点 1 燃烧热化学 1 并进而提高交际能力。了解课程体系。掌握可编程定时/ 计数器的工作原理和使用方法。掌握状态参数坐标图的应用，26 饲料粉碎机械的构造与调整 机械故障诊断与维修（第二版）.信号处理与分析基础。发动机动力性检测；作为本专业课程结构体系中的主要专业课，常用长度计量仪器 本部分重点 门电路和组合逻辑电路 教学目标 本部分 重点 串联超前校正、串联滞后校正、串联滞后—超前校正装置的设计方法。机械式变速器设计 圆锥公差的配合及检测（自学） 1 三 1 三相异步电动机的极数与转速 工程图 编 教学目标 本部分难点 能量转换规律及能量有效利用的基本理论，电感、电容元件串联的交流电路，12 3 汽 车技术状况的变化规律。基准特征参数设置 2．教学目标要求 1 保险费率的核定；教学内容 5 5使用塑料焊接焊炬修复车用塑料构件 教学内容 机构的串、并组合与创新设计 专业基础课程 计量、混合、压粒机械的调整及使用与维护。控制铸件质量的措施；掌握集成运放的概念，2 教学内容： 1 阿尔弗雷德. 了解谷物联合收获机的农业技术要求、掌握联合收割机的类型、特点和工作过程及主要工作装置部件、熟悉各部位组成及调节方法。本部分重点 主减速器和差速器设计。学时数 时域分析法（6学时） 第九部分 刨削工艺特点与应用，频率特性的几种图示方 法 2 熟悉发动机的选择；平面四杆机构的基本型式及其演化方法，熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，AL041521、AL041522 三、教材及教学资源 了解燃料性质。3 地区性差别 机械工程手册编辑委员会编，畜牧场工艺设计；在整个教学计划中，1 教学内容 前轮定位的 内容和作用，典型农药喷施机械的构造和工作原理，教学内容 中断与定时流水灯控制实验与仿真调试（2学时） 汽车市场营销调研及汽车市场需求预测。= 本部分重点 国内外自动化主要期刊介绍 第三部分 汽车燃料及合理使用 汽车市场营销调研与市场预测（2学时） 使用教材：董晓 英.教学内容： 内孔加工 成型车刀的截形设计 教学内容 教学内容 2.本部分难点 而且是科学实践研究，：高等教育出版社1994. :化学工业出版社,参考书： 饲料粉碎机的使用和调整。18 考试成绩（60%）。教学目标 本部分难点 第四部分 理解汽车对点火系统的要求， 32学时2学分 成绩构成按平时成绩、作业、期末成绩综合计分，2 一维优化方法（6学时， 教学内容 华自强.渐开线圆柱齿轮精度及检验（6学时） 汽车的驱动力-行驶阻力平衡图、动力特性图和功率平衡图。本部分难点 4.本部分重点 实验目的 二、各部分教学纲要 4 第八部分 2010.汽车装饰与 美容概述（4学时） 基准特征 了解电容滤波的性能；实验内容 5 = 专业限选课程 4汽油机与柴油机负荷特性曲线分析 理解等效变换的概念；Electrical 3．教学重点难点 3.成绩评定：课程总评=平时成绩（30分）+期末成绩（70分）。进一步理解热理想气体和理想气体混合物的热力 学能、焓、比热容和熵的意义，信号处理的过程， Brakes 形体修剪（倒圆、倒角、修剪、整体修剪、延伸）；掌握规模化养猪生工艺设计。1）掌握手工信息检索系统的类型、著录格式和常用的信息检索方法；唤醒学生发现问题、探索问题的兴趣。 本部分重点 教学内容： 学时数 剪 力图和弯矩图 掌握高速钢， 汽车工程专业英语.2 本部分重点 了解汽车排放公害的种类，掌握液压系统的组成、工作原理和四种工作状态的调节过程；了解通用车刀的类型和特点。实验课 单质量系统的振动 32学时2学分 5 3汽车市场营销的信息系统 1 中国专利文献的检索。本部分难 点 车床的组成及传动系统分析 机械结构运动副组装；2017年8月 2．教学目标要求 《汽车电器与电控》课程教学大纲 绪论 第七部分 农业废弃物处理工程工艺 农业机械化及其自动化专业 实验目的 教学内容 2 一、课程说明 三位换向阀的工作原理、结构和特点；10 计算机绘图—课 堂讲授 回复与再结晶。国产汽车拖拉机的型号的编制方法 第一部分 掌握安全带和安全气囊的选择和安装使用的方法。3 李国昉 3 2017. 理论课 编写时间： 掌握燃油蒸发排放控制系统的结构组成。6 2.2）掌握计算机信息检索系统的构成和类型；教学目标 3 进行巩固和提高对机电 一体化系统的机械结构、执行元件、控制部件等综合设计、理解与应用能力。郑立新，教学目标 让学生通过具体的上机操作进一步理解科技文献检索的理论，第一部分 AL040890 《文献检索》课程教学大纲 德国汽车公司及其车标 32 4 营业推广 三、教材及教学资源 设计中心及其功 能与使用 6 直喷式柴油机分区燃烧模型及有害排放物的生成 实验目的 2 实验课 发动机的工作循环，掌握这些几何性质的计算方法及应用平行移轴定理求组合图形的惯性矩。6．考核方式及标准 动能定理 零件表面形成方法 了解地理信息与地理信息系统的特征及分类、GIS的组成及 功能。Procedure 通过绪论部分的学习，2 发动机的工作循环和性能指标（6学时） 编写时间： 利用钣金工具对车身损坏部位进行修复，6. 机械创新设计的总目标是配合其他课程完成农业机械化及其自动化专业总体培养目标。设施生产工艺流程与工艺模式，三、教材及教学资源 掌 握发动机换气过程的评定和影响因素，实验内容 4 本部分重点 《互换性与技术测量》.5．主要教法、学法 学时数 成型面加工 理论课 材料的结构与性能特点 1 点的合成运动的计算，农药喷施机械（4学时） 燃烧过程、燃烧室及其特点；用基点法、速度投影定理求平面图形上各点 的速度 本部分重点 内燃机内的气流运动及喷油规律。4 偏析。SolidWorks的主要功能，机油压力表 第三部分 专业英语短语、文章的翻译。 编 第六部分 5学分 32 我国农机的发展概况 2 保险责任与理赔 渐开线齿轮的基本参数及其啮合特性，本部分重点 6 切割速度、 正确表达点 的位置、线的方向、面的形状大小，保险金额、赔偿限额的概念；各种铸铁的生产方法。实验目的 汽车设计（第四版）.并能够运用投影性质和投影规律，1 正确判断实体装配简述；掌握最速下降法、牛顿型方法；能够掌握汽车拖拉机的基本构造和基本工作原理， 教学内容 定 汽车 与拖拉机、汽车电器与电控、金工实习等 掌握汽车的运输成本和降低运输成本的措施。第七部分 能求解运动方程式；1 饲料粉碎机类型、工作过程、主要工作部件的构造和工作原理。第十一部分 准静态过程， 使学生能够掌握汽车典型电气设备的结构和工作原理，[1] 汽油机机内净 化技术的种类及方法；第一部分 教学目标 32学时2学分 本部分难点 农业机器配套。掌握车辆的择优选配方法；本部分重点 燃油供给系的检测诊断 2 教学内容 起动机的工作特性；手工信息检索系统；液力转向加力装置的工作原理，服务与服务营销 3 0.饲草切碎机械（6学时） 所 需先修课： 了解原子吸收光谱分析和磨损律的计算方法，准确、快速的标注各种形式尺寸，并将优化的思想运用到实际的设计过程中,编码器
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学
4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。
弦长公式在相交两圆中的运用
弦长公式在相交两圆中的运用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆04026,010102222=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。
（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。
下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。
一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。
对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。
推导：对于圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ）和圆的标准方程：222)()(R b y a x =-+-。
这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。
如果两圆222)()(r b y a x =-+-和222)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。
在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。
（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法如图1：设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中有222222,AC O A C O OC AO AC -'='-=,又O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=图1化简得:AB=2AC=[][]d r R d d r R 2222)()(---+ )(r R ≥ ① (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=）,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中，同理得： [][]d r d R R r d AB 2222)()(---+= ② 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。
圆与圆的位置关系
3．M={(x，y)| x2+y2≤4 }，N={(x，y)| (x－ 1)2+(y－1)2=r2 (r>0)}，若M∩N=N，则r的
取值范围是（
（A）(0,
） C
（B） (0,1] （D） (0, 2 ]
2 1)
2]
（C） (0, 2
4．两圆x2+y2=r2与(x－3)2+(y+1)2=r2外切， 则r是（ （A） 10 ） B （B）
由|r1－r2|=2－ 2 ，r1+r2=2+ 2 ，
因为2－ 2 < 2 <2+
2，
所以这两个圆相交。
（2）x2+y2－2y=0和x2+y2－2 3 x－6=0. （2）两圆的方程分别变形为 x2+(y－1)2=12，(x－ 3 )2+y2=32.
所以两个圆心的坐标分别为(0，1)和 ( 3 ，0)，
两圆的圆心距d=|C1C2|=2， 由|r1－r2|=2， 所以两圆内切。
例2．已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆 C2：x2+y2+6x+2y－40=0 相交于A、B两 点，求公共弦AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项 得到一个二元一次方程，此方程即为公共 弦AB所在的直线方程，4x+3y=10. 由
m ( 12 5 , 2 5 ) (0, 2 )
练习题： 1．圆x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关 系是（ C ）
（A）相离 （B）外切
（C）相交 （D）内切
【高中数学必修二】4.2.2圆与圆的位置关系.
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O2r
内切
O1O2=R-r
R
O1 O2r
内含
0≤O1O2<R-r
R
O
1O
r
2
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=0
判断两圆位置关系 外离 d>R+r
Rr
O1
O2
外切 d=R+r 内切 d=R-r
外切
O1O2=R+r
R
O1 O2r
内含
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
从图形上看圆与圆的五种位置关系：
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
R
O1 O2r
内切
O1O2=R-r
R
O1 O2r
内含
0≤O1O2<R-r
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
从图形上看圆与圆的五种位置关系：
Rr
O1
O2
R
O1 O2r
内含 0≤d<R-r
R
O1 O2r
相交 R-r<d<R+r
Rr O1 O2
判断两圆位置关系 外离 d>R+r
几何方法
圆和直线的位置关系
两圆位置关系的判定方法圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？可试用以下三种方法：1、利用定义，即用两圆公共点（交点）的个数来判定两圆的位置关系．公共点的个数0 1 2两圆位置关系外离或内含外切或内切相交因为这个方法较易理解，所以不再举例．2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：两圆外切<=> d＝R+r；两圆外离<=>d＞R+r；两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r两圆内切 <=>d＝R－r（R＞r）举两个例子帮助同学们理解一下：例题1：设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、外切或内切3、根据公切线的条数来确定两圆的位置关系公切线条数 4 3 2 1 0两圆位置关系外离外切相交内切内含例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）A、相交B、外离C、内切D、外切一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）A、外离B、内含C、外切D、外离或内含6、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数为（）A、1条B、2条C、3条D、4条7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、相交垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
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圆心距和相交两圆公共弦的关系
当两个圆相交时，它们的圆心之间的距离被称为圆心距。
假设两个圆的圆心距为d，半径分别为r1和r2。
那么，它们的公共弦的长度可以通过勾股定理计算：
公共弦长度^2 = d^2 - (r1 - r2)^2
从这个公式可以看出，当两个圆的半径相等时，它们的公共弦长度最大。
这是因为在这种情况下，两个圆的公共弦是它们的直径，它们的圆心距也等于它们的半径之和。
另外，当公共弦长度最大时，它们的圆心距也最小。
这是因为公共弦长度的增加会导致圆心距的减小。
总之，我们可以得出这样的结论：当两个圆的公共弦长度最大时，它们的圆心距最小。
这个结论在解决一些几何问题时非常有用，在实际应用中也具有重要意义。
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