两个圆的公共弦方程
过两圆交点的公共弦所在直线方程探究
过两圆交点的公共弦所在直线方程探究求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得 得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。
过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
例2 (课本P70.13题) 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3：（P81.14题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。
两圆的公共弦的简易求法
两圆的公共弦的简易求法作者：魏道勇来源：《新一代》2011年第04期摘要：圆锥曲线中求两圆的公共弦，寻求更有效解题方法。
避免了大量的，繁琐的代数运算，节省了做题时间，提高了准确率。
关键词：圆锥曲线；公共弦；简易求法中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0141-01圆锥曲线中求两圆的公共弦常用联立两圆的方程，消去x2与y2项后得关于x,y的一次方程，即公共弦所在的直线方程的方法解之。
例如：求圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y-1=0公共弦所在的直线的方程同学们易联立两个方程，解出两个交点坐标，然后根据两点求出所要的公共弦的方程，显然这样做需要花费大量的运算时间，虽然做出来了，可以说是事倍功半。
实际上两个方程联立相减消去x2与y2项，即(x2+y2-4)-(x2+y2+4x-4y-1)=0化简即得公共弦的方程为：4x-4y+3=0。
另外，我们在圆锥曲线中常遇到有关中点弦所在的直线方程的问题，学生习惯用设斜率k，写出直线方程与圆锥曲线方程联立，表示中点，求出k，再写出直线方程，这样虽可行，但运算量太大，易出错，现在让我们大胆联想用圆中的方法可否解决。
若圆锥曲线C的方程为：f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0点M(m,n)是曲线C的弦PQ的中点，我们来求弦PQ所在的直线的方程。
分析：如何构造出两个相似的方程呢？我们知道弦的两个端点都在曲线上，且关于中点对称，端点的坐标满足方程，这样可构造两个方程。
让我们试一试。
设P的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2m-x,2n-y)，PQ两点都满足曲线C的方程即有f(x,y)=0f(2m-x,2n-y)=0亦即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0A(2m-x)2+B((2m-x)(2n-y)+C(2n-y)2+D(2m-x)+E(2n-y)+F=0两式相减得:f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0，即得：(2mA+nB+D)x+(mB+2nC+E)y-(2m2A+2mnB+2n2C+Dm+En)=0*当2mA+nB+D与mB+2nC+E不同时为零时，上式方程表示是直线，它是不是弦PQ所在直线的方程呢？显然P的坐标满足*式，也易验证点M(m,n)满足*式方程，又两点确定一条直线，故*式方程可看作是P,M确定的直线方程，也就是弦PQ所在直线的方程。
圆与圆的关系公共弦问题
作业：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0
和圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0 ，相交于
A、B两点。
(1)求公共
弦AB所在直线的方程； (2)求公
共弦AB的长;
(3) 求以公共
弦AB为直径的圆的方程。
圆与圆的位置关系
——公共弦问题
R
r
d
R
r
d
相离 d>R+r
外切 d=R+r
R
r
d
Rr
d
R r
d
相交 |R-r|<d<R+r 内切 d=|R-r| 内含 d<|R-r|
新知讲解
A
公共弦：AB
l
特征：C1C2⊥AB且交于 AB的中点
C1
C2
d
R
B
已知圆
C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆 C公2:共x2弦+yA2B+所D2在x+直E线2y+的F方2=程0.是: 思考：如何求弦AB的长？ (D1-D2)X+(E1-E2)y+(F1-F2)=0(两式相减)
∴两圆的公共弦长为 2 r2－d2＝2 2.
题型3：求圆的方程
? 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0 和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方 程．
解法一： 相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0 ．
∵所求圆以 AB 为直径，
于是圆的方程为 (x-2)2+(y+2)2=25
两圆的公共弦方程的求法与应用
两圆的公共弦方程的求法与应用【推导结论】求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y =2212497430,0,16413x x x x x x ++-===-解得 211240133;.0713x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩分别代入（），得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则 方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。
过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
【应用结论】例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.【解析】构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3 求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．【解析】将已知的两椭圆方程相加，得 2222222b a b a y x +=+．此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。
两圆之间求公共弦长的公式
两圆之间求公共弦长的公式
两圆之间求公共弦长的公式是: L = 2 * R * sin(θ/2)。
其中L 为两圆公共弦长，R 为圆的半径，θ为两圆心间的夹角。
公式的意思是：两圆之间的公共弦长等于两圆心间的夹角的一半乘以两圆半径之和。
需要注意的是这个公式是基于圆心距较小的情况下适用的，如果圆心距很大，这个公式就不能使用了。
还需要注意的是，这个公式中的θ是弧度制的，如果需要用角度制的话，需要将角度转化为弧度。
如果两圆大小不等，那么公共弦长的公式就不能使用了。
因为公式中所用到的圆半径都是相等的，而实际上两个圆半径可能不相等。
如果需要求两圆大小不等时的公共弦长，需要使用圆的方程来解决。
具体的方法是：首先求出两圆的交点，然后计算两圆心间的距离，最后使用勾股定理计算出两圆公共弦长。
两圆相交公共弦长所在直线方程推导
两圆相交公共弦长所在直线方程推导作文一（针对初中学生）同学们，今天咱们来聊聊两圆相交公共弦长所在直线方程的推导。
比如说，有两个圆，就像两个大圆盘摆在那里。
一个圆是小红的，一个圆是小明的。
这两个圆呢，相交在了一起。
那相交的这部分，就像是它们手拉手的地方。
我们要找到这个公共弦长所在的直线方程，其实就像是找到它们手拉手的那条“秘密通道”的规律。
咱们假设这两个圆的方程分别是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。
然后呢，我们把这两个方程相减，得到：\[\begin{align}(D_1 D_2)x + (E_1 E_2)y + (F_1 F_2) = 0\end{align}\]这就是公共弦长所在直线的方程啦！是不是挺神奇的？同学们，多做几道题练练手，就能更熟练啦！作文二（针对高中学生）嘿，小伙伴们！今天咱们一起来攻克两圆相交公共弦长所在直线方程的推导这个难题。
想象一下，操场上有两个大圆圈，一个是蓝色的，一个是绿色的，它们有一部分重叠在一起。
这重叠的部分就是公共弦啦。
那怎么找到这条弦所在直线的方程呢？咱们设两个圆的方程分别是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。
\[\begin{align}(D_1 D_2)x + (E_1 E_2)y + (F_1 F_2) = 0\end{align}\]这就是我们要找的公共弦长所在直线的方程。
大家做题的时候，要仔细想想这个推导过程，可别迷糊啦！作文三（针对大学生）同学们，咱们来深入探讨一下两圆相交公共弦长所在直线方程的推导。
就好比在一个数学的奇妙世界里，有两个神秘的圆相遇了。
它们相交产生的公共弦，藏着有趣的秘密。
假设这两个圆的方程是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。
再谈两圆公共弦所在直线方程.docx
再谈两圆公共弦所在直线方程在圆的方程的学习中，学生曾经做过这样一道题：若圆C1： x2+y2-2x-3=0与圆C2： x2+y2+4x+2y+3二0相交，求公共弦所在直线的方程。
有学生在问题解决后提出了新的问题：“两圆不相交时，方程作差仍可得到二元一次方程，这个方程所反映的直线与已知两圆是什么关系？”该问题的提岀很自然且很有价值，一方面，脱离开几何直观意义的代数运算就变成了纯形式化的操作，往往容易忽视操作本身的意义；另一方面，在解析几何屮，方程具有直观意义一一曲线，当曲线关系与方程的运算关系之间建立不起联系时，学生就产生了困惑。
这个困惑恰恰可以反映出解析几何的思维本质特征，同时也反映出学生在数学推理的素养上还有待提高。
教学内容蕴涵的数学思维活动分析：解析几何的核心思想是以坐标系为基础将几何中的点和有序数对建立联系，在此基础上运用变量观点，动点牛.成的轨迹就和有序数对（x, y）中的两变量x, y构成的关系式——方程建立起对应关系。
因此，曲线方程中的字母是变量而不是某个未知的常量。
从直线、圆和圆锥曲线的学习可以发现，数与形之间的互相表达所依赖的是度量图形的基本概念一一“距离”和“角”，当我们描述轨迹上点的特征或解释方程表达的轨迹时, 往往需要回到这两个基本度量。
学生的思维基础和思维障碍:疑问来自于学牛关注到了一种现象：对两个圆的方程实施作差运算，实际上与两个圆有无公共点无关。
当两个圆相交时，两个圆的方程作差得到了英公共弦所在直线的方程，若两圆无公共点，在代数运算上两个圆的方程仍可作差，得到的是二元一次方程，从解析几何的观点看，它表示一条直线，那么这条直线就显得很怪了？它和己知的两个圆有无关系？有何关系？学牛自身无法解释这个疑惑，并不是因为缺乏相关知识，而是不会从解析几何基本概念的内蕴方法和思想去思考解决问题，学生完全没有关注到两个圆的方程可以作差的前提是什么。
当实施作差运算时，其实是认定X, y是同时满足两方程的暂时未知的待定常量，否则X, y是两个方程各口的变量，因此是不同的。
圆公共弦方程
圆公共弦方程
圆公共弦方程是一种用来描述圆的数学方程，它可以用来求出圆的半径、圆心坐标以及圆的面积等信息。
圆公共弦方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中a和b分别为圆心的横纵坐标，r为圆的半径。
圆公共弦方程的求解过程非常简单，只需要给定圆心坐标和圆的半径，就可以求出圆的面积。
例如，如果给定圆心坐标为(2,3)，半径为5，则圆公共弦方程为(x-2)²+(y-3)²=25，圆的面积为π×25=78.5。
圆公共弦方程的应用非常广泛，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点。
此外，圆公共弦方程还可以用来求解圆的内切圆、外接圆以及圆的切线等信息。
总之，圆公共弦方程是一种非常有用的数学方程，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点，因此在数学中有着重要的地位。
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两圆的公共弦方程公式是：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－
(y-b2)^2=r1^2－r2^2。
当两个圆相交时，两个交点的连线叫公共弦。
（若只有一个交点，则称公共点。
）两圆心所在直线垂直平分公共弦。
推导过程：若圆C1：
(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2，圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2。
两式联立得上述公式。
公共弦
两个圆若是相交，则至多交于2点。
而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。
而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。
而我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。
设两圆分别为：x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0。
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0。
两式相减得：（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0。
这是一条直线的方程。