根式指数与分数指数幂的运算(及答案)
课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
人教版高一根式和分数指数幂运算练习(含答案)
根式和分数指数幂例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围．解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1. 例2 化简：(1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 求下列各式的值：(1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2. (2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．已知x 5＝6，则x 等于( )A. 6B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 答案 C3．(42)4运算的结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定 答案 A4.3－8的值是________． 答案 －25.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________． 答案 0或2(a －b )解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2(a －b )，a >b .例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -解 (1) 25x ＝5x 2. (2)53x-＝13x 5.跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0)．解221332121xy y x-=⋅=例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0.(1)5a 6； (2)13a 2； (3)4b 3a 2； (4)(－a )6.解65.a=23231.aa-==(3)4b3a2132133444242.bb a a aa--⎛⎫===⎪⎝⎭632.a a===跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂：(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x(5x2)2.解1776212(2)2;===313224();a a ====(3)2113333;b b b b=⋅=3591353511.()xx x-======例3计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177(0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解10.5233177(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b-÷-解原式＝211115326236[2(6)(3)]44.a b ab a+-+-⨯÷－－＝＝(3)111222.m mm m--+++解1111122222111122222().m m m mm mm m m m-----+++==+++跟踪训练3(1)化简：130.256178;86-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 原式＝1111131(1)()36623334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 212111132(1)()332261111362565(4)51546x y x yx y x y -⎛⎫------- ⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y ==(3)已知11225,x x -+=求x 2＋1x 的值．解 由11225,x x-+=两边同时平方得x ＋2＋x －1＝25，整理，得x ＋x －1＝23，则有x 2＋1x＝23.例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值．解 方法一 ∵a >0，b >0，又a b ＝b a ，1119()()(9),a b a bbba b a b a a ∴=⇒=⇒=81829993a a a ∴=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 已知67x ＝27,603y ＝81，求3x －4y 的值．解 由67x＝33，3673,x =得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y＝－2. 1．化简238的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B 2．1225-等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.15答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x ->B.6y 2＝13(0)y y <C ．340)xx -=>D ．130)xx -=≠答案 C4．(36a 9)4＝________.答案 a 25．计算122-⨯________．答案 16。
指数运算知识解读-高一数学(人教A版2019必修一)
专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则是数学中的基本运算法则之一。
该法则规定，当一个数的指数为分数时，它可以通过将该数化为一个根式来进行运算。
具体来说，如果一个数a的指数为m/n，其中m和n都是整数且n不等于0，那么a的m/n次方可以写成a的n次方的m次方的n次
方根，即a的m/n次方等于a的n次方的m次方根。
这个法则不仅适用于正数，还适用于负数和分数指数为负数的情况。
分数指数幂运算法则在各种数学问题中都有着广泛的应用，例如求根、求解方程和进行数值计算等。
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分数指数幂与指数函数(答案)
分数指数幂与指数函数本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）a m a n ＝a m ＋n ；（2）a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ；（4）（ab ）n＝a n b n；（5）（ba ）n ＝n nb a 若（b ≠0）．注意：a 0＝1（a ≠0）、a －n ＝na 1（n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝26a ，123a ＝a 4＝312a ．于是我们规定：（1）nma ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）nma－＝nm a1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋s ；（2）（a r ）s ＝a rs ；（3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝21、43等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题． 合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（ ）A ．n n a ＝a （n ∈N*）B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npmpa＝n ma（n ，m ，p ∈N*） D ．nma－＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）思考：对于根式n m a 在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝（51）x ；④y ＝（21）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？例题精析【例1】化简下列各式： （1）41)0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25＋31)833(－］21－－10×31027.0；（2）323323134248aab b b a a ＋＋－÷（1－23ab）×3ab ．【例2】设y l ＝a 3x －1，y 2＝42－＋x x a（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）y 1＞y 2．【例3】比较下列各数的大小：①52)2(－；②21)23(－；③52)23(－－；④3)31(－；⑤54)32(－．【例4】对于函数y ＝122)31(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝112－x ； （2）y ＝125－x ； （3）y ＝22)21(x x －；（4）y ＝x9＋2×x3－1．【例6】若函数y ＝1212·－－－x x aa 为奇函数，（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．【例7】已知函数y ＝x （131－x＋21）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性； （3）证明它在定义域上恒大于0．【例8】如果函数y ＝122－＋xx a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝ht)21(（T 0－T a ）．现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？变式训练： 1．等式224＋－x x ＝2244＋－x x 成立的充要条件是（ ）A ．x ≠－2B ．x ≥2或x ＜－2C ．x ≥2D ．x ＜－2 2．若x2＝7，y2＝6，则yx －4等于（ ）A ．4936 B ．67 C ．1214 D ．3649 3．若41a ＞32a ，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．41＜a ＜32 D ．a ＞324．若x)53(＞x)75(，则x 的范围是（ ）A ．0＜x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＜0 5．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝x)3(－ B ．y ＝x3－ C ．y ＝123＋x D ．y ＝x－26．下列函数值域是（0，＋ ）的是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝122＋x C ．y ＝121＋xD ．y ＝122－x 7．若a ＝1)32(－＋，b ＝1)32(－－，则（a ＋1）－2＋（b ＋1）－2的值是（ ）A ．1B ．41 C ．22； D ．328．若函数y ＝xa ＋m －1的图象在第一，三，四象限，则（ ）A ．a ＞1且m ＞1B ．a ＞l 且m ＜0C ．0＜a ＜1且m ＞0D ．0＜a ＜1且m ＜1 9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）A ．5B ．9C ．6D ．810．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝xa ＋b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．函数y ＝xa 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）12．在下列等式中，函数f （x ）＝x2不满足的是（ ） A ．f （x ＋1）＝2f （x ） B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ） C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ） D ．f （－x ）＝)(1x f13．若a 2x＝8，则xx xx aa a a －－＋＋33___________． 14．化简215658)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________．15．若函数y ＝（a 2－3a ＋3）a x 是指数函数，则a 的值是___________． 16．函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x－2）的定义域为___________．17．若f （x ）＝x x 2121＋－，f －1（53）则___________．18．若函数y ＝xa ＋b 的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y ＝xa ＋b 的值域是___________．19．（1）函数y ＝332＋－xx a （以a ＞0且a ≠1），当x ∈［1，3］时有最小值为8，则a 的值为___________； （2）函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．20．（1）已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|x |的实根个数为___________． （2）关于x 的方程x)21(＝a－11有正根，则a 的取值范围是___________． 21．解下列关于x 的方程： （1）81×x23＝2)91(＋x ；（2）222＋x ＋3×x2－1＝0．22．设f （x ）是定义域为x ∈R 且x ≠0上的奇函数，则当x ＞0时，f （x ）＝xx21－．（1）写出x ＜0时f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x ）＜－3x ．23．已知函数f （x ）＝11＋－x x a a （a ＞1）。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
分数指数幂化为根式题目
分数指数幂化为根式题目
将分数、指数和幂化为根式是代数中常见的操作，可以通过以
下方式进行转换：
首先，我们来看如何将分数化为根式。
对于一个分数 a/b，其
中 a 和 b 是整数且 b 不等于 0，可以将其化为根式形式，
√a/√b。
这是因为根式可以用来表示分数的平方根。
例如，分数
4/9 可以化为根式形式为√4/√9 = 2/3。
接下来是指数的化为根式。
对于一个数的 n 次方，可以用根式
表示为该数的 n 次根。
例如，对于 2 的 3 次方，可以表示为∛2。
同样地，对于 a 的 n 次方，可以表示为 a 的 n 次根。
最后是幂的化为根式。
幂表示一个数的指数次方，可以用根式
表示为该数的指数次根。
例如，对于 3 的平方，可以表示为√3。
对于 a 的 b 次方，可以表示为 a 的 b 次根。
综上所述，我们可以将分数、指数和幂化为根式形式，这样可
以更直观地理解和计算数学表达式。
在代数运算中，这种转换可以
帮助我们简化表达式、求解方程和进行数学推导。
希望这些解释能够帮助你更好地理解如何将分数、指数和幂化为根式。
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根式与分数指数幂的运算（1）一、根式与指数转化1、用分数指数幂表示下列各式：(1)32x = （2）43)(b a +（0>+b a ） = （3）32)(n m - = （4）4)(n m -（n m >）= （5）56q p ⋅（ｐ＞０）= （6）mm 3=（7）aa 11（式中0>a ）= （8）32ab （9）()42a -（10）3432x x x（11）a a a = （12）36639494()()a a ⋅=2、将235写为根式3、44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ C ）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a4、已知20095-=x ，则x =_____________（用根式表示）5、()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba6、已知a ≥0，化简4343⎪⎭⎫⎝⎛a =____a ___ 7、将46394369)()(a a ⋅表示成指数幂形式，其结果为_______________a 48、 851323x x --⎝⎭化成分数指数幂为 415x9、将46394369)()(a a ⋅(a >0)表示成指数幂形式，其结果为_______________4a .二、求值1 求值：364-= ；4)2(-= ；44)3(π-=2、3625+-3、=⨯3423224、=3423)2(5、=⨯323222 6、求值：43)8116(-=7、(1)2325 = （２）3227 = （３）23)4936( =（4）23)425(-= （5）423981⨯= （6）63125.132⨯⨯=8、()[]2122--等于（）A ．2B ．2-C ．22 D ．22-9、计算：()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-----=___________________。
10、计算下列各式： （1）48373271021.097203.225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π=（2）()()[]2175.034303101.016287064.0-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----=11、计算：()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=12、求下列各式的值：1)205320710372012392748..π--⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 2) =++-3121)6427()5(lg )972(___________,3)11110.2503332173(4)0.0256[(3)0.027]278---+-÷+=_______13、计算：()5.021201.04122432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- =14、若103,104xy==，则10x y-=43三、化简：1、化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为2、化简()0,03421413223>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ab b a ab b a 的结果是3、化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a 的结果为4、当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-xB ．12--xC ．1-D ．x 25-5、化简xx 3-的结果是（） A ．x --B ．xC ．x -D ．x -6、化简625625++-=______________________。
7、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n _____。
8、化简3163278--⎪⎪⎭⎫⎝⎛ba= 9、化简：)()(41412121y x y x -÷-= 10、化简: 1) 933337132aa a a --÷⋅=_________.2)121121333225(3)(4)6a b a b a b ----⋅-÷⋅_________. 3)1111222211112222a b a b a ba b-++=+-__________.11、若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（ ）A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--12、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ A ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭13、 设12x <-()2412x +=（ ） .A 12x + .B12x -- .C 12x - .D21x -四、指数方程 1、方程1139x -=的解是242120xx +--=3、方程96370x x -⋅-=的解是4、方程33131=++-xx的解是____________ 5、方程14230x x +--=的解是 3log 26、解方程：（1）192327xx ---⋅= （2）x x x 9246⨯=+五、指数运算难题1、已知x + x -1= 3,求下列各式的值：=+-2121)1(xx ；=+-2323)2(xx2、已知11223x x -+=，则33222232x x x x --+-+-的值为3、已知21xa=，则33x xx xa a a a --++的值为4、设a >1，b > 0，bba a -+= 22，则bb a a --=5、()()=+----+-k k k 21212222（） A ．k22- B ．()122--k C ．()122+--kD ．26、若22,0,1=+>>-b b a a b a ，则bb a a --等于（ ） A ．6B ．2或-2C ．-2D ．27、已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_________________。
8、若bby x -+=+=21,21，那么=y （）A ．11-+x x B ．x x 1- C ．11-+x x D ．1-x x9、已知31=+aa 。
则2121-+a a 等于（ ） A ．2B ．5C ．5-D ．5±10、已知a xx=+-22（常数），则xx -+88的值为11、已知31=+-aa ，则22-+a a = ；33-+a a = 12、（1）已知122+=na，则nn nn a a a a --++33的值为（2）若0,212121>=+-x x a a ，则xx x x x x 424222----+-的值为13、设6,12,2434===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a c b <<C ．a c b >>D ．c b a <<14、6351,9,2===c b a ，试比较c b a ,,的大小。
15、若1,0a b ><,且bba a -+=则b b a a --的值等于 2-16、2b =，则有（ ）.A a b > .B a b < .C a b = .D a b ≤*17、设,2133=+xx 则x x 1+的值为__________.根式与分数指数幂的运算（2）1、化简：)4()3)(2(3541323-----÷-b a b a ba =2、求值：63125.132⨯⨯= 63、化简：137137+--= 2-4、已知5=-y x ，xy = 9, 则=+y x 375、化简11410104848++的值等于_____16_____67、解下列方程 （1）8131=-x（2）151243=-x （1）答：x = 512 （2）答：x = 168、．已知0,0>>b a ，则)31()3(657312132b a b a b a ÷-⋅⋅的化简结果为 9-9、计算：()()[]212360322126649-+--+--π=10、计算：01.0lg 10lg 25lg 2lg 2250lg 4lg ⋅--+=11、计算4160.250321648200549-+-•--）（）（）= 100 ．12、若14x x-+=，则1122x x-+的值等于 613、（1）()634331321687064.0⋅++⎪⎭⎫⎝⎛--= 81.5（2）23221)32()833()8.7()412(-+---= －4（3）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+=21 14、若a ＞1，b ＞0,且a b +a －b = 22，则a b －a －b 的值是 2 A. 6 B. 2 C. －2 D. 2或－2 【解】∵a ＞1,b ＞0∴a b ＞1,∴a b －a －b ＞0 ∴a b －a －b =215、化简求值：若实数,x y 满足：12x y +=，9xy =且x y <，则11221122x y x y-=+． 16、若01x <<，则2x，，()0.2x 之间的大小关系为 （ D ） A. 2x <()0.2x< B. 2x <<()0.2x<()0.2x < 2x D. ()0.2x< 2x17、设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ B ） A.b ＜a ＜1 B. a ＜b ＜1 C. 1＜b ＜aD. 1＜a ＜b18、计算：4160.250321648200549-+----）（）（） = 100【方法】原式=1411113633224447(23)(22)42214⨯+⨯-⨯-⨯-=22×33+2 — 7— 2— 1 =100 19、计算:021231)12()972()71()027.0(--+----= 45- .。