人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课时训练
n次方根与分数指数幂教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课堂教学设计学科： 数学 姓名：4.1.1 n 次方根与分数指数幂课型：新授课教学背景分析1. 教材来源本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第1节《指数》第１课时。
2. 地位与作用从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂()0,;1,0>≠>n n m a a a nm为整数，且且 、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．三）学情分析1.认知基础：学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如21S 的以分数为指数的幂。
2.认知障碍：从整数指数幂过渡上升转化到分数指数幂的数学抽象需初步培养，还不足以支撑学生非常清晰的理解。
教学目标1. 知识目标：①掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； ②了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； ③理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2.能力目标：①由整数指数幂上升到分数指数幂；②学会借助已有经验，有意识的进行类比处理。
3.素养目标：通过根式与分数指数幂之间的相互转化培养数学抽象核心素养；利用逻辑推理理解分式指数幂的含义； 正确运用根式的运算性质进行根式的运算，提升数学运算核心素养。
教学重点和难点重点：会根据不同的需要选择恰当方法表示函数，了解分段函数概念，并能简单应用；难点：函数的解析式的求法，分段函数的定义及应用。
教学资源和教学方法启发式教学方法,并借助多媒体辅助教学.自主探究、合作交流教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一问题导学预习教材104-109，并思考以下问题：1.n次方根是怎样定义的？2.根式的定义是什么？它有哪些性质？3.有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？有理数指数幂有哪些运算性质？教师提出问题，让学生带着问题去思考阅读培养学生逻辑推理等核心素养环节二情境1：以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．情境2：简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考以下问题：追问：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的问题串的设置，逐步引导学生从已有经验出发，慢慢迁移到我们所要学习的新知上。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根学案
4.1.1 n次方根与分数指数幂学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2．能利用根式的性质对根式进行运算．学习过程：【知识导学】1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号n a表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，这个数的n次方根可以合写成n a± (a>0)．③负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零．(3)根式:式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．3．分数指数幂一般的，我们规定： (1) ＝n m a (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；(2) ＝1a mn＝nma 1(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )．【名师点拨】1.na n与(na )n的区别(1)na n 是实数a n的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)(na )n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式 na m化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23＝3－52有意义，但(－5) 34 ＝4－53就没有意义．【初试身手】mna n m a -1．（2020·浙江高一课时练习）化简(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A B C ．D ．【答案】A【解析】先计算小括号里面的，然后化简负分数指数幂.原式=123-=. 故选A.2．（2020·全国高一专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）a =，②a R ∈，则()211a a -+=43x y ==A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】①当n a =，①错误；②当a R ∈时，210a a -+≠，则()211a a -+=，②正确；③43x y y ====，④错误 故选B3.用根式的形式表示下列各式(a >0)：①a15 ＝________；②a34＝________；③a －35 ＝________；④a －23＝________. 答案 ①5a ②4a 3③15a 3 ④13a24．（2020·全国高一课时练习）()2a b -＋()55a b -的值是________.【答案】0或2(a －b )【解析】()2a b -＋()55a b -＝|a －b |＋(a －b )＝()0,2,a ba b a b ≤⎧⎨->⎩.故答案为：0或2(a －b ).5.若n 为偶数时， nx －1n＝x －1，则x 的取值范围为________．答案 x ≥1【典例学习】 类型一根式的概念、求值、化简 例1. 求下列各式的值．(1) 3（－2）3； (2) 4（－3）2；(3) 8（3－π）8； (4) x 2－2xy ＋y 2＋7（y －x ）7. 答案：(1) －2 (2)3 (3) π－3. (4) ⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .解析: (1) 3（－2）3＝－2. (2) 4（－3）2＝432＝ 3. (3) 8（3－π）8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝ （x －y ）2＋y －x ＝|x －y |＋y －x . 当x ≥y 时，原式＝x －y ＋y －x ＝0；当x ＜y 时，原式＝y －x ＋y －x ＝2(y －x )．所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2（y －x ），x ＜y .［方法技巧］1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号．2.正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性．［变式训练］1．（2020=________.【答案】0. 【解析】()()()44440ππππ=-+-=-+-=.2．（2020·浙江高一课时练习）当810x <<=________.【答案】2 【解析】∵810x <<，∴80x ->，100x -<，|8||10|(8)(10)2x x x x =-+-=-+-=. 故答案为：23．若（2a －1）2＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：（2a －1）2＝|2a －1|，3（1－2a ）3＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.类型二根式与分数指数幂的互化例2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b ) －34 (a ＞b )；(2) 5（ab ）2； (3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37.答案：(1)14（a －b ）3（2）(ab )25.（3）(x －1)53.（4）a －23 （5）7（a －b ）3解析：(1)(a －b ) －34＝14（a －b ）3.(2) 5（ab ）2＝(ab )25.(3) 3（x －1）5＝(x －1)53.(4) 13a2＝a －23(5)(a －b )37＝7（a －b ）3. ［方法技巧］根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：am n＝na m 和a－m n＝1a m n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂. ［变式训练］（2020·全国）设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >1172223612123a aa a b--===.故答案为：76a .类型三利用指数幂的性质化简求值计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a 2÷46a ·b ·3b 3.答案：（1）1615（2）100.（3）－a 3c (4) 32a 12b 43.解析：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c.(4)原式＝2a 23÷4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16b 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32＝12a 23－16·b －16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 32 ＝32a 12b 43. ［方法技巧］(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． ［变式训练］（2020·云南省泸西县第一中学高一月考）计算：（1）11020.753270.064()[(2)]168π----+-+；（2【答案】（1）38π-.（2）1 【解析】（1）原式()13344641(2)21000π--⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭133343210π--⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦51328π=+-+38π=-（2）原式1332211392373a a a a --⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭13621236a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭aa =1= 类型四 条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15.［方法技巧］条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． ［变式训练］ 34．（2020·全国）已知1122a a -+= （1）1a a -+；（2）22a a -+.【答案】（1）3；（2）7. 【解析】 （1）1122a a-+=125a a -++=，13a a -∴+=；（2）由（1）13a a -+=，平方得2229a a -++=，227a a -∴+=.课堂小结1．注意na n同(na )n的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．3．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．4．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”． 巩固练习1．已知x 5＝6，则x 等于（ ）A B C D 【答案】B 【解析】因为56x =，故可得x =故选：B.2．（2020·浙江高一课时练习）函数()12442y mx x m -=+++的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．1,2)B ．1,)+∞C ．(2,2)-D ．(11--【答案】B【解析】函数()12442y mx x m -=+++=因此，要使函数()12442y mx x m -=+++的定义域为全体实数，需满足2420mx x m +++>对一切实数都成立即2044(2)0m m m >⎧⎨-+<⎩解得1m >-. 故选：B3．（2019·山东省济南回民中学高一期中）计算：73244a a a ÷=_____ 【答案】12a【解析】737312244442a a a a a +-⋅÷== 故答案为：12a4.（2020·全国）若227a a -+=，则22a a --=________.【答案】±【解析】因为227a a -+=，所以()()222244222449445a a a a a a ----=+-=+-=-=，所以22a a --=±故答案为：±.5．（2020·全国高一课时练习）解下列方程．（1）32381x -=；（2（3）256550x x -⨯+=.【答案】（1）{}2（2）43⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）{}0,1 【解析】【分析】（1）指数式化为对数式，根据对数的性质进行计算可得答案；（2）根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；（3）化为关于5x 的一元二次方程，解得51x = 或55x =,进一步可得结果.【详解】（1）因为32381x -= ，所以43332log 81log 34x -=== ，所以2x =， 所以方程32381x -=的解集为{}2 .（2=，所以23255x = ，所以223x =，所以43x = ，=43⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （3）因为256550x x -⨯+= ，所以()256550xx -⨯+= ， 所以()()51550x x --= ， 所以51x =或55x = ，所以0x =或1x =，所以方程256550x x -⨯+= 的解集为{}0,1.。
4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
4.1.1 n次方根与分数指数幂-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
= =
=___________________(a>0)
= =
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除
时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示
为分数指数幂的形式呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：
其中n>1，且n∈N*.
2. n次方根的性质
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是
一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示. 例如，
= , − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.
正的n次方根用 表示，负的n次方根用− 表示. 两者也可以合并成
± (a>0). 例如， = , − = −, ± = ±
【3】 负数没有偶次方
根. 【4】 0的任何次方根都是0.记
作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
3. 根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
①当n为奇数时， =
②当n为偶数时， = =
思考
和
, ≥ ,
−, < ,
有什么区别？
是实数an的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限
制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于a，
4.1.1n次方根与分数指数幂-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习
n 次方根与分数指数幂同步练习一、选择题1. 若2m ⋅4n =16，则必有（ ）A. mn =4B. mn =2C. m +2n =2D. m +2n =42.√a 55+√(2a −1)44的化简结果为（）A. 1−aB. 3a −1C. 1−a 或3a −1D. a −1或1−3a3. 当x >0时，若√√x 3=3x，则x =( )A. 927B. 327C. 925D. 3254. 若{1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则a 2012+b 2012的值为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−15. 若10a =5,10b =2，则a +b =( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 已知a m =4，a n =3，则√a m−2n 的值为（）A. 23B. 6C. 32D. 27. 化简√√ab 23⋅a 3b 2√b 3⋅(a 16b 12)4(a,b 为正数)的结果是（ ）A. baB. abC. abD. a 2b8. 有下列说法：①81的4次方根是3；②√164的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义．其中，正确的是( )A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ③④9. 若xy ≠0，那么等式√x 2y 3=−xy √y 成立的条件是A. x >0,y >0B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <010. 已知a =0.24，b =0.32，c =0.43，则（）A. b <a <cB. a <c <bC. c <a <bD. a <b <c二、填空题11. 化简(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)的结果是____.12. 化简：√(−4)44=__________． 三、解答题 13. (1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x −12=√6，求x+x −1−1x 2+x −2−2的值．14. 求下列各式的值：(1)√10044； (2)√(−0.1)55； (3)√(π−4)2； (4)√(x −y)66．15. (1)求值：(214)12−(−9.6)0−(338)−23+1.5−2+[(−5)4]14；(2)已知a 12+a −12=3，求a 32+a −32的值． (附：a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2))答案和解析1.D【解答】解：∵2m ⋅4n =2m ⋅22n =2m+2n =24， ∴m +2n =4．2.C解：√a 55+√(2a −1)44=a +|2a −1|={1−a,a <123a −1,a ≥12，故√a 55+√(2a −1)44的化简结果为1−a 或3a −1．3.A解：∵√√x 3=3x，∴√x 3=9x 2，∴x 2⋅x 32=x 72=9， ∴x =927．4.B解：根据题意，对于{a,ba ,1}，有a ≠1，a ≠0； 又有{1,a,ba }={0,a 2,a +b }， 则有a =0或b a =0； 又由a ≠0；故b =0；代入集合中．可得{a,1，0}={a 2，a ，0}， 必有a 2=1， 又由a ≠1， 则a =−1；则a 2012+b 2012=1．5.C解：10a =5,10b =2，所以10a ·10b =10a+b =5×2=10, a +b =1，6.A解：√a m−2n =√a m (a n )2=√49=23．7.C解：原式=[(ab 2)13⋅a 3⋅b 2]12b 13⋅a 23⋅b 2=(a 13+3·b 23+2)12a 23·b 13+2=(a 103·b 83)12a 23·b 73=a 103×12−23·b 83×12−73=a ·b −1=ab．8.D解：①81的4次方根是±3，故①错误；②√164的运算结果是2，故②错误；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义，故③正确；④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义，故④正确．9.C解：∵xy ≠0，且√x 2y 3=−xy √y ， ∴y >0，xy <0， 则y >0，x <0，10.B解：∵c =0.43=0.064，a =0.24=0.0016， ∴a <c ，又∵c =0.43=0.064，b =0.32=0.09，c <b ， ∴a <c <b ，11.−9a解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16b 12+13−56=−9a ．12.4解：根据偶次方根的性质得√(−4)44=|−4|=4． 故答案为4．13.解;(1)原式=0.33×(−13)−1(−16)2+34×0.75+1−13=103−36+27+1−13=−5．(2)若x 12+x −12=√6，两边平方得x +x −1=4， 再两边平方得x 2+x −2=14，故x+x −1−1x 2+x −2−2=4−114−2=14．14.解：(1)√10044=10044=1001=100； (2)√(−0.1)55=(−0.1)55=(−0.1)1=−0.1；；(4)√(x −y)66=|x −y |．15.解：=32−1−49+49+5 =112；(2)∵a 12+a−12=3，∴a 32+a −32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a +a −1−1)， ∵(a 12+a −12)2=9=a +a −1+2，所以a +a −1=7，代入上式得，a 32+a −32=3×(7−1)=18．。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂教案
4.1.1 n次方根与分数指数幂教材分析：教科书章引言一方面指出了章头图所蕴含的数学模型，另一方面还列举了这些数学模型的其他背景实例，从而指出本章将类比幂函数的研究方法，学习指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，以及运用它们解决一些实际问题．教科书章头图是良渚遗址．通过章引言，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时间的变化按一定的规律衰减，引出本章将要学习的指数函数．在实际应用中，往往是先通过技术手段测出死亡生物体内碳14的含量，然后根据指数函数建立生物体内碳14的含量与死亡时间的关系，并利用对数和对数函数推算生物死亡的大致时间，从而实现考古的目的．由于死亡生物体内碳14的含量随时间连续变化，说明引进分数指数幂和无理数指数幂的必要性，并为指数函数的定义域是实数集提供了现实背景．研究函数必先掌握运算，而数及其运算是推动数学发展的源泉和动力之一，是数学的基石．指数幂运算和对数运算是两类基本运算，对数运算与指数幂运算紧密相连，需要转化成指数幂运算，因此，熟练掌握指数幂运算是本章的基础．指数幂运算的本质是数的自乘，把整数指数幂运算推广到有理数指数幂运算的本质就是使用新的运算符号表示根式运算和分式运算（负数指数幂运算），简而言之就是从一个符号的规定再到另一个符号的规定.只要能够准确进行两种运算符号的转化即可.而有理数指数幂这种数学运算符号表示的简洁性、运算的便捷性都优于分式和根式，这一符号的产生具有其必然性.比如：a与b的算术平均数为，几何平均数为，可理解为运算级的上升.事实上从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉才明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.指数幂运算的发展史充分说明基于数学语言的简洁性、准确性和合理性，有理数指数幂运算符号的产生与完善是有其历史必然性的.教科书在研究幂函数时把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作引出分数指数幂的表示法.数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容，于是从根式的意义入手，将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，又为了希望整数指数幂的运算能与其相容，于是只规定了被开方数为正数的分数指数运算.事实上分数指数幂是根式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式．而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.因此本节课的教学重点是：根式与有理数指数幂的意义及运算性质.学情分析：虽然学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，并在学习幂函数的过程中接触过二次根式的分数指数幂的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有困难．因此本节课教学难点是：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质.教科书是通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根，归纳类比出n次方根的一般定义与性质. n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广．教学时，可以用平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化区分负数指数幂与分数指数幂的不同，巩固、加深对有理数指数幂的理解.教学目标：1.经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质．2.了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化.3.理解有理数指数幂意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养. 教学重点：理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，有理数指数幂的运算性质.教学过程：1．独立阅读，明确任务问题1请同学们先阅读教材第四章的章头图和章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）这些函数可以解决哪些现实问题？师生活动：学生独立阅读教材内容，回答上述问题．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，及其相关知识．（2）比如人口增长模型是指数函数；不可治愈的强传染病在大量人群中传播的初期都是一个简单的指数增长；声音的强度单位分贝是用对数做单位的（因为人耳对声音的变化很不敏感，其变化成倍数时才会有感）；衡量酸碱度的PH值也是取离子浓度的对数做单位的……举例时应突出指数函数爆炸性增长的特点，对数函数增速变缓的特征.设计意图：明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的研究指明方向．2．创设情境，引发思考问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义，并谈谈整数指数幂运算与乘法、除法运算的关系.指数的范围还能进一步扩充吗？师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师予以归纳.预设的答案：正整数指数幂来源于自乘运算，负整数指数幂运算来源于数的自乘运算的倒数，这种幂运算在表示形式上更加简洁.在学习幂函数时曾经把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜想，指数的范围还能进一步扩充．设计意图：通过复习整数指数幂的运算，体会指数运算源于数的自乘，同时为了表示的简洁才引入了指数幂运算，阐述指数幂运算产生的必要性，以便引出分数指数幂运算.3．类比归纳，形成定义问题3 请类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根，5次方根，10次方根，11次方根，……你认为n次方根应该是什么？预设的师生活动：先由学生举例解释，然后进行观察、归纳、抽象.预设答案：学生举例：①(±2）4=16，我们把叫做16的4次方根；②(-2)5=-32，我们把叫做-32的5次方根；③37=2187，我们把3叫做2187的7次方根；……教师讲解：设计意图：引导学生由特殊到一般进行观察、归纳、抽象.形成n次方根的定义．4.深入分析，精致定义问题4 对于任意一个实数，它的n次方根分别是怎样的？预设答案：设计意图：规范根式的表示方法，通过对被开方数的分类讨论，理解根式的意义．小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就容易避免出现错误．设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根概念，形成严谨的逻辑划分思想，提升逻辑推理的核心素养.将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式引出分数指数幂运算的定义.预设的师生活动：学生独立完成证明，然后交流展示．设计意图：通过简单应用，落实一个数到底有没有n次方根，一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.通过反例说明两步缺一不可．如果被开方数是一个正数，那么是一定成立的，并且其结果就是.为引出分数指数幂做铺垫.5．初步应用，深化理解例1 求下列各式的值：追问：求解的依据是什么？6.类比研究，获得有理数指数幂问题6负整数指数幂是用于表示分式的，如，其本质是通过扩充指数的范围表示分式．那么根式可以利用指数幂的形式表示吗？如果能，你要如何扩充指数的范围呢？尝试给出一个合理规定表示根式，并谈谈你这样规定的合理性.预设的师生活动：学生分组交流，可谈出多种方法，教师可提示以不改变指数幂的运算性质为标准.设计意图：从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.这一历史发展过程充分说明分数指数幂的产生有其历史必然性，学生可以通过类比归纳，感受数学家制定规则时内在的逻辑性、概念之间的相容性，体会数学的简洁美，提升类比推理的能力.追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，被开方数的指数能被根指数整除的根式，可以表示为分数指数幂的形式．那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如,是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？预设的师生活动：学生类比猜想得到答案.预设答案：教师讲解：我们规定正数的分数指数幂的意义是．被开方数为负时不做研究.设计意图：为问题6的解决铺设阶梯.追问2：阅读教科书，理解分数指数幂的意义，谈谈负分数指数幂的意义．零与负数有分数指数幂吗？能不能说说这些规定的合理性？预设的师生活动：学生阅读教科书,回答问题．预设答案：负分数指数幂是在正分数指数幂的基础上取倒数．规定0的正分数指数幂都是0；0不能做分母，零的负分数指数幂没有意义. 而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.规定：（1）0的正分数指数幂等于0；（2）0的负分数指数幂没有意义.设计意图：规范表示方法，通过探讨数学符号形成的科学性与合理性，与根式比较体会分数指数表示在运算中的简洁性，同时理解分数指数幂意义的本质就是根式.追问3：有理指数幂的运算性质有哪些？预设的答案：7.初步应用，深化理解例2求值：例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：追问：求解的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范．预设的答案：例2例3追问：通过求解这些题目，你获得了怎样的经验？预设的答案：要明确求解的依据，根据规则有序运算．在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．设计意图：求解的依据有理指数幂的运算性质，因此要转化为指数运算而不是转化为根式．体现分数指数幂在运算中的优越性．8．梳理小结问题7：谈谈理数指数幂运算性质的特点.预设的答案：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化的是以降低一个运算级来实现的．9.布置作业（1）教科书107页练习1、2、3；五、目标检测设计计算下列各式设计意图：检测根式与分数指数幂的互化及有理数指数幂的运算性质.。
人教A版(2019)高中数学课时练 必修第一册 第四章 n次方根与分数指数幂【有答案】
人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n 次方根与分数指数幂一、选择题（60分）1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )A ．B ．C ．D ．2．若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（A ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知,0,a b ab >≠下列不等式①22a b > ②22a b > ③11a b < ④1133a b > ⑤1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．已知5ab =-，则 ）A ．B ．0C ．-D ．±5的分数指数幂表示为（ ）A ．12aB ．32aC ．34a D ．都不对6（其中0,0a b >>）的结果是（ ）A ．23ab B ．23ab - C ．441681b a D ．44181b a -7． 若21x a =，则33x xx x a a a a--++ 等于A ．1B ．2-C ．1D 18．若1,4a < ）A B C ． D ．9．若0xy ≠=- ）A ．0x >，0y >B ．0x >，0y <C ．0x <，0y >D ．0x <，0y <10．下列说法：（13±；（2）16的4次方根是2；（3）当n 为大于10a ≥时才有意义；（4）当n 为大于1a R ∈有意义．其中正确的个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．111 ）A ．－1B ．－2x －1C ．2x －5D ．5－2x12．化简3216811111421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13212--D ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（20分）13．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.14．设21*718(,)n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+_________.15．关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.1415926 3.1415927π<<；②用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223.14159265333170.0625135770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625135，得到逼近π的一个有理数为122377+=化为连分数形式：1111m n k r++++（m ，n ，k 为正整数，r 为0到1之间的无理数），舍去r的一个有理数为__________.16．已知225(0,)x x a a a x R -+=>∈，则3322x xa a -+=____________ 17．已知m =2，n =3，则3的值是______．三、解答题（70分）18的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方11-1（1（22020++19．（1）已知32x a b--=+（2）设22334a b+=，12333x a a b=+，21333y b a b=+，求2233()()x y x y++-的值. 20．若11a a--=，求下列各式的值:（1）22a a-+；（2）33a a--；（3）1a a-+；（4）3a-21．已知函数()xf x b a=⋅（,a b为常数且0,1a a>≠）的图象经过点(1,8)A，(3,32)B （1）试求,a b的值；（2）若不等式11()()0x x ma b+-≥在(,1]x∈-∞时恒成立，求实数m的取值范围. 22．已知函数()(0,1)xf x a b a a=+>≠，其中,a b均为实数.（1）若函数()f x的图象经过点()0,2,(1,3)A B，求函数1()yf x=的值域；（2）如果函数()f x的定义域和值域都是[1,0]-,求+a b的值.23．已知函数()()1,x xf x a a a x R-=->∈．（Ⅰ）判断并证明函数()f x的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()f x的单调性；。
高一数学人教A版(2019)必修第一册4、1、1n次方根与分数指数幂 课件
3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .
32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．
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分析：先化简集合 ，再对所求式子化简成含绝对值的式，进而对 进行讨论去绝对值.
解答：原式 .
，
当 时，原式 ；
当 时，原式 .
∴原式
点评：本题考查一元二次不等式的求解、配方法、去绝对值的方法，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
故答案为：0或2(a－b).
点评：本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题.
12．
分析：由实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.
解答：由 有意义，可得 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算的化简、求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
21．（1）41；（2）
分析：（1）直接由分数指数幂的运算性质化简即可.
（2）先化简所求，再代入x，y求值.
解答：（1） =36+9-5+1=41；
（2） ，
将 代入得 .
点评：本题考查了分数指数幂的运算性质，根式的化简，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
22．（1） ；（2） .
分析：（1）利用根式的性质可得出结果；
对于A中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于B中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义；
对于C中，式子 中，实数 的取值为 ，所以 可能没有意义；
对于D中式子 中，实数 的取值为 ，所以 总有意义.
故选：C.
点评：本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力.
点评：本题考查同底数幂的乘法运算，适当变形是解题关键，属于基础题.
16．
分析：根据题意，求得 的周期性，则 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可.
解答：由题可知：因为对一切 ， ，
故 关于 对称；
又因为 是奇函数，
则可得 ，
故可得 ，
故函数 是周期为 的函数.
则 ，
又当 ， ，故 ，
则 .
故答案为： .
9．
分析：原式可化为 ，然后利用分类讨论思想化简求值.
解答：因为
所以，当 时，原式 ；
当 时，原式 .
故答案为：
点评：本题考查根式的化简计算，考查算数平方根的非负性，较简单，注意利用 进行求解.
10．
解析：因为 ，所以 ，应填答案 ．
11．0或2(a－b)
分析：利用根式的性质即可求解.
解答：解析 ＋ ＝|a－b|＋(a－b)＝ .
3．D
分析：根式化简及零指数意义.
解答：对于A， ，当 为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B， ，当 时无意义，故B不正确；
对于C， ，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D， ，故D正确.
故选：D.
点评：根式化简注意根指数的奇偶性.
4．A
分析：根据指数运算性质，即可容易求得结果.
解答：由指数运算法则，容易得：( )4=2.
13．
分析：将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果.
解答：原式＝ .
故答案为：
点评：本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题.
14．110
解答：由题意得
.
15．
分析：由已知得 ，化简 代入可得.
解答： ，
，
故答案为：
A．2B．－2C．±2D．不确定
5．化简 =（）
A． B． C．1D．
6． 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）
A． B． C． D．
7．函数y＝a|x|(a>1)的图像是()
A． B． C． D．
8．已知 , ,有如下四个结论：
① ，② ，③ 满足 ，④
则正确结论的序号是（）
A．②③B．①④C．②④D．①③
17．若 ，求下列各式的值:
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
18．（1）已知 ，化简 .
（2）设 ， ， ，求 的值.
19．化简或求值．
（1） ；
（2） ．
20．已知 ， ，求 的值.
21．（1）计算： ；
（2）已知 ，求 的值．
22．（1）化简 ；
（2）已知 ，求 的值.
23．求下列各式的值：
点评：本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.
17．（1）3；（2）4；（3） ；（4） ．
分析：利用完全平方和公式，立方差公式，立方和公式以及幂的运算性质即可求解．
解答：（1） ， ，
．
（2） ．
（3） ， ．
（4） ，
即 ，由（2）得： ， ．
点评：本题主要考查指数式的化简求值，完全平方和公式，立方差公式，立方和公式的应用，以及幂的运算性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
本题主要考查指数式的化简求值完全平方和公式立方差公式立方和公式的应用以及幂的运算性质的应用意在考查学生的数学运算能力属于基础题
4.1.1 n次方根与分数指数幂
1．计算 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式正确的是（）
A． B．
C． D．
4．( )4运算的结果是（）
9．若 ，则化简 ________.
10．若10x=3,10y=4,则10x-y=__________．
11． ＋ 的值是________.
12．化简( )4＋ ＝________.
13．化简： － ＝________.
14．若 ，则 ________.
15．设 ，则 _________.
16．已知奇函数 满足：对一切 ， 且 时， ，则 __________.
18．（1） ；（2）8
分析：（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简；
（2）观察题中式子的特点，令 ， ，将 用 表示出来，简化运算.
解答：（1）由 ，得 ，
∴ .
（2）令 ， ，则
， ，
，
.
∴ .
点评：本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题.
19．（1） ；（2）
故选：
点评：本体考查根式的运算和指数的运算，属简单题.
5．D
分析：把根式转化成指数式的形式,运用指数运算公式进行运算即可.
解答： .
故选D
点评：本题考查了根式转化为指数式,考查了指数的运算法则,考查了数学运算能力.
6．C
分析：根据实数指数幂的运算性质，求得选项中各个式子有意义的条件，即可求解.
解答：由指数幂的运算性质，可得：
分析：（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可.
解答：（1）原式
（2）原式
点评：本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题.
20． .
分析：先把根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算法则即可得解.
解答：因为 ， ，
所以原式 .
点评：本题考查了根式化为分数指数幂的应用及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．B
解析：因为 ，所以 ，且在 上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B．
8．B
解析： ， ，不妨令 ， ，满足条件；则 ， ，①正确，②错误；又 ，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④，故选B.
点睛：本题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是基础题根据题意，用特殊值代入计算，即可判断命题是否正确；高考数学选择题中常用的方法有1、特例法，其包括特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等；2、筛选排除法；3、代入验算法；4、图解法；5、极限法等.
（2）在等式 两边平方可求出 的值.
解答：（1）原式 ；
（2）在等式 两边平方得 ， .
点评：本题考查根式的性质，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.
23．（1） （2）
分析：利用根式的化简直接进行运算求解.
解答：（1）原式 .
；
（2）原式 .
.
点评：本题考查根式的化简，考查运算求解能力，属于基础题.
（1） ；
（2） .
24．设 ，求 的值.
参考答案
1．B
分析：由题意结合分数指数幂的运算法则计算即可得解.
解答：由题意可得 .
故选：B.
点评：本题考查了分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．B
分析：算出 后可得它们的大小.
解答：∵ ， ， ，
∴ ，
故选B．
点评：本题考查指数幂的大小比较，属于容易题.