2019年高考数学(理)试题分项版解析：专题05-平面向量(分类汇编)Word版含解析
1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e
2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-
3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足
CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.
【答案】17+
【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程
4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，
3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .
5. 【2019陕西高考理第13题】设2
0π
θ<
<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a
=，若b a //，则
=θtan _______.
6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足
2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.
若C
Ω为两段分离的曲线，则( )
A. 13r R <<<
B.13r R <<≤
C.13r R ≤<<
D.13r R <<<
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.
7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则
||λ= .
8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()
a b a b λλ+⊥-，则实数
λ= .
【答案】3±
10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1
cos 3
α=
，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .
11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝
12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()
AC AB AO +=2
1
，则AB 与AC 的夹角为_______．
【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．
13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
14. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和
54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，
min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .
⑤若2
min
||2||,8||b a S
a ==，则a 与
b 的夹角为4
π
2222
min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3
π
θ=
，故⑤错误.所以
准确的编号为②④.
考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.
15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
16. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y
≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，
则（ ）
A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤
B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥
C.2
222min{||
,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2
222min{||
,||}||||a b a b a b +-≤+
17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(2
3)a b c -⊥，则实数k =（ ）
9
.2A -
.0B .C 3 D.152
18. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?，点,E F 分别在边,BC DC 上，
BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF
?，2
3
CE CF ?-
，则l m += （ ） （A ）
12 （B ）23 （C ）56 （D ）712
19. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()
1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．
22。
2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝ ，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x解析 因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。
2019年高考数学真题分类汇编 专题05 平面向量 理科及答案
1.【2015高考新课标1，理7】设 为 所在平面内一点 ，则（）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
【解析】由题知 = ，故选A.
【考点定位】平面向量的线性运算
【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量 表示为 ，再用已知条件和向量减法将 用 表示出来.
4.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形， ， .若点M，N满足 ， ，则 （）
（A）20（B）15（C）9（D）6
【答案】C
【解析】
，所以
，选C.
【考点定位】平面向量.
【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于 ， 故可选 作为基底.
【答案】
【解析】因为 ， ，
， ，
当且仅当 即 时 的最小值为 .
【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求 ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算 ，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.
8.【2015高考北京，理13】在 中，点 ， 满足 ， ．若 ，
则 ； ．
【答案】
【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2019数学(理科)高考题分类(高考真题+模拟题) 平面向量
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F3 平面向量的数量积及应用7.F3[2019·全国卷Ⅰ] 已知非零向量a ,b 满足|a|=2|b|,且(a-b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 ( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π67.B [解析] 因为(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=|a||b|cos <a ,b>-|b|2=0,得|a|cos <a ,b>=|b|,又|a|=2|b|,所以cos <a ,b>=12,所以a 与b 的夹角为π3.3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.13.F3[2019·全国卷Ⅲ] 已知a ,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b ,则cos <a ,c>= . 13.23 [解析] 因为|c|=√(2a -√5b)2=√4a 2+5b 2=√4+5=3,a ·c=a ·(2a-√5b )=2a 2-√5a ·b=2,所以cos <a ,c>=a ·c |a||c|=23.7.A2,F3[2019·北京卷] 设点A ,B ,C 不共线,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.C [解析] 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.因为A ,B ,C 不共线,所以以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形ABDC ,由向量的平行四边形法则,可得AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ , 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 在△ABC 中,可得BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 故BC ⃗⃗⃗⃗ 2=(AC⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 若α为锐角,则cos α>0,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>BC ⃗⃗⃗⃗ 2,即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |;若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,即cos α>0,所以α为锐角.所以“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件.12.F3[2019·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA ,AD 与CE 交于点O.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ABAC的值是 .图1-312.√3 [解析] 如图所示,过D 作DF ∥CE ,交AB 于点F.因为D 是BC 的中点,所以F 是BE 的中点.又BE=2EA ,所以EF=EA ,所以AO=OD ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ). 又EC⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =6×14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ , 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AC ⃗⃗⃗⃗ 2,所以ABAC=√3.14.C8,F3[2019·天津卷] 在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .14.-1 [解析] 如图所示,因为AD ∥BC ,所以∠EBA=∠BAD=30°,又AE=BE ,所以△ABE 是底角为30°的等腰三角形.过点E 作EH ⊥AB ,交AB 于点H ,则AH=12AB=√3,故EH=1,AE=BE=2,且∠AEB=120°.过点B 作BF ∥AE ,交AD 于点F ,则BF=AE=2,AF=BE=2,所以FD=3.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos 30°=12+25-2×2√3×5×√32=7,所以BD=√7.在△BFD中,由余弦定理得cos ∠DBF=BD 2+BF 2-DF 22BD ·BF=7+4-92×7×2=√714,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ =-BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =-√7×2×√714=-1.F4 单元综合7.[2019·长沙长郡中学月考(四)] 在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] ∵D 为AB的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗ )-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .14.[2019·山西联考] 已知向量a=(x ,2),b=(-2,1),若a 与2a-b 共线,则|b||a|= .14.12 [解析] 由a=(x ,2),b=(-2,1),得2a-b=(2x+2,3),因为a 与2a-b 共线,所以3x-2(2x+2)=0,解得x=-4,所以a=2b ,|b||a|=12.24.[2019·日照一模] 已知正方形ABCD 的边长为2,E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且AE ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =2,则(AE ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2的最小值为 ( ) A .232B .12C .252D .1324.C[解析]以A为原点,分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设E(x,y),则AC⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AE⃗⃗⃗⃗ =(x,y).∵AE⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ =2,∴2x+2y=2,即x+y=1(0<x<2,0<y<2),则(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2=(x+2)2+(y+2)2.易知(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2的最小值的几何意义是在线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)上取一点,使其到点M(-2,-2)的距离的平方最小,而点M(-2,-2)到线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)的距离d=√2=√2,故所求的最小值为252.。
2019年高考数学试题分项版—平面向量(原卷版)
2019年高考数学试题分项版——平面向量（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A.B．2 C．5D．503．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于() A．－3 B．－2 C．2 D．35．(2019·北京理，7)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||+>”AB AC BC 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 2．(2019·北京文，9)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________. 3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.。
2019年全国高考数学·分类汇编 专题03 平面向量(解析版)
专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【母题来源三】【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式，考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容．【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：第一步：根据已知条件建立平面直角坐标系第二步：用坐标表示向量；第三步：利用坐标表示平面数量积进而求范围．【方法总结】（一）平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.3. 共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r ，则A ，B ，C 三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1.（二）平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.（2）平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.（3）用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，这与x 1y 2－x 2y 1=0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.（三）平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.（四）平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用：（1）载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；（2）工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,)x =c 满足(3)10+⋅=a b c ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A2．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知O 为V ABC 内一点且满足OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，若AOC △2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC ∠= A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 【答案】A3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】向量(2,1), (1,1), (, 2)k ==-=a b c ，若()-⊥a b c ，则k 的值是A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】B4．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+ 【答案】C5．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且2=a ，1=b ，则2-=a b A ．4B ．2C ．1D ．166．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C7．【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在ABC △中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= A ．13 B ．13- C ．76 D ．76- 【答案】B8．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u r u u u r AE BF ⋅u u u r u u u r 的值为AB ．2C ．0D ．1【答案】A 9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量()1,1=a ，()2,x =b ，若()-∥a a b ，则实数x 的值为A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量a ,b 的夹角为60o ,且满足22-=a b ,则⋅a b 的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B11．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】O 是ABC △的外接圆圆心，且OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为A ．12-B ．C ．12D 【答案】B12．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u rA ．4B ．6C ．D ．【答案】B13．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2=m a ，4λ=-n a b ，且⊥m n ，则=nA ．2-B ．2C ．4D ．6 【答案】C。
2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题含解析)
2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量（基础题）一、单选题1.（2019•卷Ⅱ）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（）A. B. 2 C. 5 D. 502.（2019•卷Ⅱ）已知=(2,3)，=(3，t)，| |=1，则=（）A. -3B. -2C. 2D. 33.（2019•卷Ⅰ）已知非零向量，满足| |=2| |，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.二、填空题4.（2019•江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是________.5.（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________，最大值是________6.（2019•天津）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则________.7.（2019•全国Ⅲ）已知向量，则________.8.（2019•全国Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos<a，c>=________。
9.（2019•北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=________.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】向量的模【解析】【解答】∵- =(-1,1), ∴,故答案为：A【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出- 的模的大小即可。
2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】, = ，求出t=3即可得出, = .故答案为：C【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
3.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】设与的夹角为∵θ为两向量的夹角，【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出与的夹角。
2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量word资料6页
第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（ ）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（ ）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（ ）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（ ）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（ ）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。
2019年湖北省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。