28.2.2应用举例(1)

B α A β
120m
D
C
答：这栋楼高约为277m.
教师指导：
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线 前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB ？
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC＝90°
∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD ∴BC＝CD＋BD＝20＋AB 在Rt△ABC中，∠C＝30°
A
β
120m
在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，可以利用解直 角三角形的知识求出BD； 类似地，在Rt△ACD中， β= 60° ，AD＝120， 可以利用解直角三角形的知识求出CD； 最后，求出BC．
C
合作交流：
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°， 看这栋楼底部的俯 角为60°，热气球与楼的水平距离为120m， 这栋楼有多高（结果取整数）？ 解：如图，α= 30°,β= 60°，AD＝120．
当堂检测：
1、 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度.
解：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°， BC=DC=40m 在Rt△ACD中， AC tan ADC DC ∴AC＝40×tan60°=40 3（m) 又∵BC＝DC 所以AB=AC－BC=40 3 －40 答：棋杆的高度为 40 m.
（2）地球是圆形的，从组合体中直接看到地球表面的最远点，实际上就是什么？ （视线与地球相切时的切点） （3）要求最远点Q与P点的距离,实际上就是求什么？ (PQ 的长） （4）弧长的计算公式是怎样的？
F P α O· Q
要求弧长应该具备哪些条件？
（ . 应具备n、R两个条件）
（5）怎样求圆心角n呢？ （构造直角三角形，用锐角三角函 数求圆心角n）
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系 ： A
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
b
c
sin A
A的对边 a 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
C
a
B
cos B
A的邻边 b cos A 斜边 c
目标导学：
1、解直角三角形指什么？
在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道 两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个 未知元素的过程。
2、解直角三角形主要依据什么？
(1)三边之间的关系 a b c ;
2 2 2
(2)两个锐角之间的关系 A B 90 ;
B的邻边 a 斜边 c
A的对边 a tan A sinA=a/c=cosB A的邻边 b
B的对边 b tan B B的邻边 a
sinB=b/c=cosA
tanA=a/b=cotB
tanB=b/a=cotA
自主探究：
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器 成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方 时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距 离是多少（地球半径约为6400km，π 取3.142，结果保留整数）？ （1）你能根据题意，画出示意图吗？ 想一想：
人教版九年级数学(下册)第二十八章
锐角三角函数
28.2.2应用举例
（第1课时）
学习目标
1．会把实际问题转化为解直角三角形问题， 提高数学建模能力； 2.会把实际问题中的数量关系，归结为直角 三角形元素之间的关系，通过综合运用勾股定理 ，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解 直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能 力．
设CE＝x米，则BE＝x米. 在Rt△ACE中，tan 30°＝
CE x 3 AE 1464 x 3
整理得： 3x 1464 3 3x
解得：x 732 （ 3 1 ） 2000m ∴点C深度约为2000＋600＝2600米.
归纳小结
一.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造 直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形； 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数去解直角 三角形：有“斜”用“弦”; 无“斜”用“切”； 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案. 二.解题方法归纳： 1．数形结合思想； 2．方程思想； 3.把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不 是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 4.如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的 量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
自主探究
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器 成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方 时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距 离是多少（地球半径约为6400km，π 取3.142，结果保留整数）？ 分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点， F
A B
D
45° 50° 40m
C
3 －40
当堂检测：
2.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50)m， 3 则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
仰角
水平线
A
β
ห้องสมุดไป่ตู้
俯角
视线
俯角
C
合作交流：
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°， 看这栋楼底部的俯 角为60°，热气球与楼的水平距离为120m， 这栋楼有多高（结果取整数）？
想一想： （1）你能根据题意，画出几何图形吗？ （2）在右图中，已知什么？求什么？ （3）怎样求BC的长呢？其依据是什么？ 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下 方的是俯角，因此，在图中，α =30°,β =60° α B D
A
AB tan 30 tan C BC AB 3 20 AB 3

AB 10 3 10
C
D
B
答：山高AB为 10 3＋10 米.


归纳小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造 直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题； 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角 三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
作业布置：
课堂作业：P93---95
图1
3.如图2，某飞机于空中A处探测到 目标C，此时飞行高度AC=1200m， 从飞机上看到地面指挥台B的俯角 α=16°31′，则飞机A与指挥台B的距 4221m 离为 .(结果取整数)
α
A 1200
B
C
图2
当堂检测：
4.如图1，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分 别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m （保留根号）．
A
30°
45°
B
图1 图2
D
C
5.如图2，从热汽球C处测得地面A，B两地的俯角分 别为30°和45°，如果此时热汽球C处的高度CD为100m， 点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是（ D ） A、200m B、200 3 m C、220 3 m D、100（ 3＋1）m
练习
6、如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角 为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线 航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°.求海底C 点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据： 2 ≈1.414， 3≈1.732， 5 ≈2.236） 解：作CE⊥AB，交线段AB的延 长线于E.由题意知： E AB＝1464，∠EAC＝ 30°， ∠CBE＝ 45°.
合作交流：
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°， 看这栋楼底部的俯 角为60°，热气球与楼的水平距离为120m， 这栋楼有多高（结果取整数）？ 理解：仰角和俯角 测量时，视线与水平线所成的角中， 水平线 仰角 视线在水平线上方的角叫做仰角； B 视线在水平线下方的角叫做俯角.
铅 直 线 视线 α D
⌒ ∴ PQ的长为：
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2051km.
新课讲授
仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角。
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
是视线与地球相切时的切点． 如图，⊙O表示地球，点F是组合体的 位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体 ⌒ 中观测地球时的最远点． PQ 的长就是地面 ⌒ 上P、Q两点间的距离，为计算 PQ 的长需 先求出∠POQ（即a）的度数.
P α O·
Q
解：在右图中，设∠POQ＝α，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．