函数奇偶性的应用

3．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 (2)奇函数的图象关于
y轴 对称． 原点 对称．
当应用 f(－x)＝f(x)，或 f(－x)＝－f(x)遇到困难时， 可以利用其等价形式 f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0，或 f－x 者 ＝± 1[f(x)≠0]， 前一个技巧常用于含对数运算的函 fx 数，后一技巧常用于含指数运算的函数．
调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
例5、若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上
单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|)
函数奇偶性的应用
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都 有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，
－x)＝-f(x) 都有f( ____________ ，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
练习： 定义在R上的奇函数f(x)在(0, +∞)上是增函数，
且 f(-3)=0 ， 则 不 等 式
_______________.
x· f(x)<0 的 解 集 为
设f x ，g x 都是R上的奇函数，
x | f x 0 x | 4 x 10， x | g x 0 x | 2 x 5， 则集合 x | f x g x 0 等于(
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: 原点 对称； （1）考查定义域是否关于______
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
-f（x） 若f（-x）=_______ ，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=________ f（x） ，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=_______ 且f（-x）=________, -f（x） f （x） 则f(x)既是 奇函数又是偶函数；
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一、函数奇偶性概念的应用：
例 1、①已知
x3 x a f ( x) x2 1
， f ( x) 是奇函数，求 f (1)
②已知函数 f ( x) ax5 bx3 cx 1 ， f (2) 1 ， 求 f (2)
变式：1、已知 f ( x)
x5 x a x 1
2 x ＋x 判断函数f x 2 x ＋x
x 0 的奇偶性． x 0
解析： 1当x 0时，-x 0， 则f ( x) ( x) 2 ＋( x) x 2 x f x ． 又当x 0时，－x 0， 则f ( x) ( x) 2 ＋( x) x 2 x f x ． 而x 0时，f 0 0. 综上有，对x R，f (－x) －f x 恒成立，
分析：利用函数的奇偶性定义及最值 求待定系数a、b、c的值，此时为找出 三个独立条件，应注意奇函数中隐含 定义域关于原点对称这一必要条件．
ax 2＋bx＋1 解析： 因为f x 的定义域为 x＋c (，-c) (c，＋)，而f x 为奇函数， 其定义域关于原点对称，则-c 0，即c 0， ax 2 bx＋1 ax 2＋bx＋1 且f ( x) - f x ，所以 =， x x 即2bx 0对一切x 0恒成立，所以b 0， ax 2＋1 此时f x . x ax 2＋1 1 当x 0时，f x ax＋ 2 a， x x 2 x 2＋1 所以2 a 2 2，a 2，所以f x x
4．奇函数的图象一定过原点吗？
5．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想 到什么简便方法？
练习、判断下列函数的奇偶性 （1 ） 、 f ( x)
x2 4 4 x2
x （ 2） 、 y 2 (k 0) x k
（ 3） 、 g ( x) | x 1 | | x 1 |
二、函数奇偶性的图像特征：
（1）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（-∞,0） 上是增函数，且 f(2)=0，则使得 f(x)<0 的取值范围是_______.
相同 小结：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 相反 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______ (填“相同”、“相反”）
大值和为
0
。
三、利用奇偶性求函数解析式：
2、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0； (2)当 x<0 时，则－x>0∴f(－x)＝(－x)· [1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x)∴－f(x)＝(－x)· (1＋x) ∴f(x)＝x· (1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为：
2
， f ( x) 是奇函数，求 f (2)
2、已知函数 f (x) ax 4 bx 2 1 ， f (2) 1 ，求 f (2)
ax 2＋bx＋ 1 例2.已知f x a 0 是奇函数，且当 x＋c x 0时，f x 有最小值2 2，求f x 的表达式．
解析： 3由于f x 在R上是减函数， 故f x 在[3,3]上的最大值是f (3)，最小值是f 3． 则由f 1 =-2，得f 3 f (1＋2) f 1＋f 2 f 1＋f (1＋1) 3 f 1 =-6， f (3) f 3 6， 从而f x 在区间[3,3]上的 最大值为6，最小值为-6.
错解分析： 错解中忽视f x ，g x 都是奇函数 这一条件，错误地理解f x 0的解集为 4,10 ， 则f x 0的解集为(， 4] [10，＋)．
（2）若奇函数 f ( x) 在区间 [ 3 , 5] 上是增函数，且最大值是 6， 那么 f ( x) 在区间 [ 5 , 3] 上是（ （A）增函数，最小值为 6 （C）减函数，最小值为 6 ）
（B）增函数，最大值为 6 （D）减函数，最大值为 6
函数奇偶性与最值之间的关系 若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在 [－b，－a]上是 增函数 ，且有 最小值－M ，最小值和最
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知 不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函
数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出
不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数 的影响． (2).若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单
A． 2,10 C． (， 2] B． 4,5
)
4,5 [10，＋) D． (5，-4) 4,5
Байду номын сангаас
错解： 因为f x 0的解集为 4,10 ， 所以f x 0的解集为(， 4] [10，＋)． 同理g x 0的解集为(， 2] [5，＋)． f x 0 f x 0 而f x g x 0等价于 或 ， g x 0 g x 0 所以其解集为(， 2] 4,5 [10，＋)， 故选C.
∴f(1－m)＝f(|1－m|)
又∵f(x)在[0,1]上单调递减
－1≤1－m≤1 ∴－1≤m≤1 |1－m|>|m|
1 解得 0≤m<2
练习.已知f x 的定义域为R，对任意x、y R， 有f ( x＋y ) f x ＋f y ，且当x 0时，f x 0， f 1 =-2.
1 证明：f x 是奇函数； 2 证明：f x 在R上是减函数； 3 求f x 在区间[3,3]上的最大值和最小值．
解析： 1 证明：函数f x 的定义域R关于原点对称． 又由f ( x＋y ) f x ＋f y ， 得f [ x＋( x)] f x ＋f ( x)， 所以f x ＋f ( x) f 0 ． 又f (0＋0) f 0 ＋f 0 ，所以f 0 0， 从而有f x ＋f ( x) 0，所以f ( x) f x ． 由于x R，所以f x 为奇函数．
【解析】 设 x<0，则－x>0 ∴f(x)＝f(－x)＝－x· [1－(－x)] ＝－x· (1＋x) 又 f(0)＝0 ∴函数 f(x)的解析式为 x(1－x) (x>0) f(x)＝0 (x＝0) (1＋x) (x<0) －x·
分段函数奇偶性判断
x(1 x), x 0 判断函数 g ( x) 的奇偶性 x(1 x), x 0
解析： 2 证明：任取x1，x2 R，且x1 x2， 则f x1 f x2 f x1 f [ x1＋( x2 x1 )] f x1 [ f x1 ＋f ( x2 x1 )] =-f ( x2 x1 )． 因为x1 x2，所以x2 x1 0，所以f ( x2 x1 ) 0， 所以-f ( x2 x1 ) 0，即f x1 f x2 ， 从而f x 在R上是减函数．