函数奇偶性的应用

特级教师 王新敞
wxckt@
3.体会具有奇偶性函数的图象对称的性质，感觉数学 的对称美，体现数学的美学价值。
走进复习
一、基础知识：
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，
那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数的定义 f(－x)＝-f(x) 如果对于函数f(x)的定义域内的 任意 一个x，都有____________， 那么称函数y＝f(x)是奇函数．
－1≤x－1≤1 0≤x≤2 ∴－1≤2x－1≤1 ，即0≤x≤1 x>0 x－1<2x－1
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化 成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一 致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函 数自身定义域对参数的影响．
函数单调性和奇偶性与抽象不等式
例4、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且
f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．
【思路点拨】 f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－
1)―→根据单调性 列不等式组―→解得实数x的取值范围
【解析】 ∵f(x)是奇函数， 且在[－1,1]上是 增函数． 由 f(x－1)＋f(1－2x)<0 得 f(x－1)<－f(1－2x) ＝f(2x－1)
【解析】 (1)当 x＝0 时，由 f(－x)＝－f(x) 得 f(0)＝0； (2)当 x<0 时，则－x>0 ∴f(－x)＝(－x)· [1－(－x)] 又∵f(－x)＝－f(x) ∴－f(x)＝(－x)· (1＋x) ∴f(x)＝x· (1＋x) ∴函数 f(x)的解析式为： (1－x) (x>0) x· f(x)＝0 (x＝0) x(1＋x) (x<0)
3．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 y轴 对称． (2)奇函数的图象关于 原点 对称．
4．奇函数的图象一定过原点吗？
【提示】 不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点．
5．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想 到什么简便方法？
【提示】 若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x>0部分， 再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象．
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于______对称； 原点
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
-f（x） 若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=________，则f（x）为偶函数； f（x） 若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是 -f（x） f （x） 奇函数又是偶函数；
走进课堂
一、函数奇偶性概念的应用：
例 1、①已知
x3 x a f ( x) x2 1
， f (x) 是奇函数，求 f (1)
②已知函数 f ( x) ax5 bx3 cx 1 ， f (2) 1 ， f (2) 求
变式：1、已知 f ( x)
x5 x a x2 1
二、 巩固练习： 1、 一次函数 y kx b(k 0) 何时为奇函数？ 2、二次函数 y ax2 bx c(a 0) 何时为偶函数？ 3、函数 y ax b (a 0, b 0) 的奇偶性如何？
x
4、判断下列函数的奇偶性 （1） f ( x) 、
函数奇偶性的应用
学习目标 : 1.会根据函数奇偶性求解析式或参数。
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的 问题。
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源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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பைடு நூலகம்
【解析】 设 x<0，则－x>0 ∴f(x)＝f(－x)＝－x· [1－(－x)] ＝－x· (1＋x) 又 f(0)＝0 ∴函数 f(x)的解析式为 (x>0) x(1－x) f(x)＝0 (x＝0) －x· (1＋x) (x<0)
小结： 1、利用概念求参数（可能用到方程思想） 2、函数奇偶性的图像特征： （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 （2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 （3）若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值 M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值 －M ，最小值和最大值和为0。 3、求函数的解析式－－－求谁设谁
(2).若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若 f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
例5、若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减
，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
【解析】 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|) f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入． ③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝
0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？
问题：在例1 （1）、（2）、（3）中，若是偶函数，结论又如何？
三、利用奇偶性求函数解析式：
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是R上的奇函数； ②x>0时f(x)的解析式已知． 解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
－1≤1－m≤1 ∴－1≤m≤1 |1－m|>|m|
1 解得 0≤m<2
第三部分 走向课外
【课后作业】 1、已知函数 f ( x) ax7 bx5 x 2 (ab 0) ， f (2) 1 ，求 f (2) 。 2、已知偶函数 f (x) 在 [0 , ) 上是增函数，且 f (1) 0 ，解不等式 (2x 1)f (x) 0 。 3、 函数 f ( x) 在 R 上为奇函数， x 0 时，f ( x) x 1 ， 且 则当 x 0 ，f ( x) 选做题： 1、已知 f (x)
相同 小结：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”“相反” 、 ）.
相反
（2）若奇函数 f (x) 在区间 [ 3 , 5] 上是增函数，且最大值是 6，那么 f (x) 在区间
[5 , 3] 上是（
） （B）增函数，最大值为 6 （D）减函数，最大值为 6
x2 4 4 x2
x （2） y 2 (k 0) 、 x k
（3） g ( x) | x 1 | | x 1 | 、 （4） 、
x(1 x) g(x) x(x 1)
x0 x0
分段函数奇偶性判断
x(1 x), x 0 判断函数 g ( x) 的奇偶性 x(1 x), x 0
解： 函数g ( x)的定义域为R, 当x 0时，-x<0, g(-x)=-x(1-x)=-g(x) 当x 0时，-x>0, g(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-g(x); 当x=0时，g(-0)=－g(0)=0 对任意的x R, 都有g(-x)=-g(x) 故函数g(x)为奇函数.
（A）增函数，最小值为 6 （C）减函数，最小值为 6
函数奇偶性与最值之间的关系 若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在 [－b，－a]上是 增函数 ，且有 最小值－M ，最小值和最 0 大值和为 。
（3）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（-∞,0] 上是增函数，且 f(2)=0， 则使得 f(x)<0 的取值范围是______________.
， f (x) 是奇函数，求 f (2)
2、已知函数 f (x) ax 4 bx 2 1 ， f (2) 1 ，求 f (2)
二、函数奇偶性的图像特征：
例 2．先根据条件画出函数的大致图象，再利用图象解题 （1）已知函数 f (x) 是奇函数， f (x) 在 (0 , ) 上是增函数，那么 f (x) 在 (,0) 上 是增函数还是减函数？
2
.
x
10000x 1
x
2
1
的最大值为 M，最小值为 N，则 M+N＝___________.
2、已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； 1 (2)如果 x 为正实数，f（x）<0,并且 f 1 , 试求 f(x)在区间［-2，6］上的最值. 2