有理数的认识
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
认识有理数ppt课件
求
相
2、负数的相反数是正数
反
数
3、0的相反数是0
的
方
4、一个字母的相反数只需要在这个字母前面添一个“-”
法
5、一个式子的相反数只需要将这个式子用括号括起来，在前面添一个“-”
结论
原点
一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 有理数a 的绝对值记
作
。
练习：
|+2|=
;
|-3|=
;
|0|=
;
|1.5|=
.
1、正数的绝对值是它本身
求
相
2、负数的绝对值是它的相反数
反
数
3、0的绝对值是0
的
方
4、任何一个数都有唯一的绝对值
法
5、绝对值相等的两个数（一正一负）互为相反数。
思考： 相反数、绝对值的联系是什么？ 互为相反数的两个数的绝对值相等.
绝对值相等
|+5|=5 |-5|=5
互为相反数，符号相反
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
;
(2)1.7与
互为相反数;
(3)x的相反数是
.
例2：求下列各数的相反数和绝对值：
-2， ，0，-3.8，30.
解：-2， ，0，-3.8，30的相反数分别为 2， ，0，3.8，-30
认识相反数
一、利用相反数的概念求值。 例1：已知 是-3的相反数， 是最小的正整数，则
① 已知 的相反数是-0.5， 是-2的相反数，则 ② 已知 的相反数是它本身， 是最小的质数，则
结论
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
练习：
1.-5 -4； 2.-2.3 -2.2； 3.-2 2； 4.2021 2022； 5.-2021 0。
第1讲：认识有理数
第一讲：认识有理数模块一 正数与负数在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，41-......，我们把它们叫 。
把下列具有相反意义的量有用线边起来：（1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米（2）零上10C ︒运出50筐梨高于海平面8848米 低于海平面392米运进80筐梨 零下5C ︒学习与归纳：①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略；② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； ③ 大于零， 小于零，正数 一切负数。
现在我们就把正数与负数的概念总结如下： 像5，2.1，21，⋅⋅⋅这样的数叫做正数，它们都比0大。
在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32-，⋅⋅⋅ 0既不是正数，也不是负数。
典型例题讲解（理解新知识） 例1：填空：（1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作 ，80-元表示 。
（2）手表的指针顺时针旋转︒90记作︒-90，那么逆时针旋转︒60则记作 。
（3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁番盆地海拨155-米表示 。
变式练习： 判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（ ）（3）零上10C ︒和支出20元是两个相的反意义的量（ ）解题方法点拨：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。
2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
认识有理数
认识有理数一、学习目标1.认识正数和负数；2.有理数的定义；3.有理数的分类。
二、知识点讲解1、认识正数和负数①正数：像3，3.5这种大于0的数叫做正数；②负数：像-3，-4.5这样在正数前加上“-”号的叫做负数；③符号：一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。
知识点解读一般，我们会把上升、运送、零上、收入、前进、高出等规定为正；而它的相反意义的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负。
2、负数和正数①负数：比0小的数。
负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。
负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。
②正数：比0大的数。
正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。
正数与负数表示意义相反的量。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。
③0既不是正数，也不是负数。
注意事项①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
典型例题、认识正数和负数五个数中，负数共有（）个。
1.题干：在-5、-2.3、0、0.89、1-43A、2个B、3个C、4个D、5个个人分析：负数的定义是_______。
答案：B、解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，符合条件的有3个，故选B错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂总结：本题主要考察正数和负数的相关概念，需要分清他们的定义。
2.题干：-5属于（）。
（填正数或者负数）个人分析：负数的定义是_______；正数的定义是______。
答案：负数解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，故为负数。
错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂3.题干：-8是正数。
初一数学有理数的要点归纳
初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。
有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。
有理数的运算是全章的重点。
在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。
基础知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。
2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
5、数轴(numberaxis)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。
6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
记做|a|。
由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。
8、有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
表达式：a+b=b+a。
加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
八年级数学上册《认识有理数》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：有理数的概念、性质、运算及其在实际问题中的应用。
2.难点：有理数的性质和运算规律的掌握，特别是负数的运算和数轴上的表示。
（二）教学设想
b.及时对学生的作业进行度与价值观的培养：
a.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们勇于表达、善于倾听的良好习惯。
b.注重培养学生的团队合作精神，让他们在合作中学会互相尊重、互相帮助。
c.培养学生面对困难时，保持积极的心态，勇于克服挫折，追求卓越。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度和类型的练习题，让学生当堂完成。
a.填空题：有关有理数定义、性质的基础题。
b.选择题：涉及有理数运算的题目。
c.解答题：综合运用有理数性质和运算的题目。
2.教学方法：练习、指导、反馈。
3.教学目的：巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的有理数概念、性质、运算等知识点进行总结。
a.有理数的定义：整数、分数统称为有理数。
b.有理数的性质：符号规律、大小比较、相反数和倒数等。
c.数轴表示：利用数轴表示有理数，理解数轴上的点与有理数之间的对应关系。
d.有理数的运算：加减乘除运算及其运算性质。
2.教学方法：讲授、问答、总结。
3.教学目的：巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力，为后续学习打下基础。
7.教学评价：
a.采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果。
b.关注学生的成长过程，鼓励他们不断进步，提高自信心。
有理数的意义包括知识点与配合练习
有理数的意义、数轴、绝对值第一部分：有理数1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。
“—”用正数和负数表示相反意义的量Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。
Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。
在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。
2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。
它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。
3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。
4、有理数的分类：例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？20元 2.5元 -80元 0元（2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？例2：把13121271 2.80734%0.67247--、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数和负数的圈内。
正数负数巩固练习：1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。
2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。
3、下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ }5、下列判断正确的是( )A.所有的整数都是正数B.正整数，负整数统称为整数C.分数一定是有理数D.有理数包括小数和整数6、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）Ａ.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃第二部分：数轴的再认识与相反数1、数轴的再认识（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度单位。
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第二讲 有理数的认识
【知识要点】
一、正数、负数和零：
1、概念：象1、2.5、133、48等大于零的数叫正数；象-1、-2.5、13
3-、-48等小于零的数叫负数；0叫做零，0既不是正数也不是负数。
2、负数的表示方法：数字前带一个负号。
如：-1、-2.5等。
注意：①正数，负数的“+”、“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号
叫做性质符号，负号不是减号。
②不能简单的理解为：带“+”号的数是正数，带“-”的数是负数。
例如：a -，当a 表示正数时，a -是负数；当a 表示负数时，a -是正数；当a 表示0时，a -仍是0，既不是正数也不是负数。
3、负数的重要意义：
①使数字系统得到扩充：3、2、1、0、-1、-2、-3等；
②使表示起来更方便：
例1：温度比0℃低2度记为：-2℃
例2：山峰高于海面300m 叫海拔300m ，记为：+300m ，盆地低于海面50m 记为：-50m ； ③使计算起来更容易：3-4=-1等。
4、正数、负数与0：
①0是表示正与负的分界，表示数值上既不是正也不是负，表示比任何正数小，比任何负数大。
②正数：表示在数值上不等于0，且总比0大。
③负数：表示在数值上不等于0，且总比0小。
例：A 、B 、C 三个商店，A 店在今年8月份赢利，B 店在今年8月份亏损，C 店在该月上正好不赢利也不亏本。
则从利润上看：A P ＞0，B P ＜0，C P =0 ；A P ：正数，B P ：负数，0C P =; 负数＜0＜正数
二、有理数：
1、有理数的概念：
①从小数的角度看：
整数、有限小数（有限位小数）、无限循环小数叫有理数；而无限不循环小数叫无理数。
如：••321.0，
3.14159是有理数；⋅⋅⋅=1415926.3π是无理数。
②从分数角度看：
整数和分数总称为有理数。
若m 和n 为整数（n ≠0），无理数不能表示为n m 的形式；有理数总能表示为n
m 的形式。
2、小数、分数的互化：
从有理数的概念可知：有限小数和无限循环小数总能化为分数形式，分数总能化为有限小数或无限循环小数。
例1：将3.14159、••312.1化为分数。
例2：n a a a ⋅⋅⋅21.0及••⋅⋅⋅n a a a 21.0总能化为分数。
解：n a a a ⋅⋅⋅21.0=3
210
210001个n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a ⋅⋅⋅⨯21101 ••⋅⋅⋅n a a a 21.0=4
34219
2199999个n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a ⋅⋅⋅⨯-211101 例3：将12，15，116，17，125，111，13
1化为小数。
【思考】
①什么样的分数能化为有限小数？
②为什么分数总能化为有限小数或无限循环小数？
3、有理数分类：
①()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数数有限小数或无限循环小分数负整数正整数整数有理数0；②⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 【例题精讲】
【例1】填空：
①用字母a 表示有理数时：1）a ＞0时，a 表示 数，a -表示 数；2）a ＜0时，a 表示 数，a -表示 数；3）a ≥0时，a 表示 数。
②一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它的运动。
1）如果向东运动4米记作4米，那么相西运动应记作 。
2）如果-7米表示物体向西运动7米，那么6米表示 。
③如果自行车车条的长度比标准长度长2mm记作：+2mm，那么比标准长度短3mm记作：。
④一天中午12时的气温是7℃，傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃，凌晨4时的气温比
中午12时低8℃，傍晚5时的气温是，凌晨4时的气温是。
⑤第一个冷库的温度是-6℃，第二个冷库的温度是-12℃，冷库的温度高一些。
⑥一潜水艇所在的高度是-50米，一条鲨鱼在艇上方10米处，鲨鱼所在的高度是米。
⑦如果水库的水位上升5cm，记作+5cm，那么水位下降3cm，记作：，上升-2cm表
示。
⑧若a
-不是负数，那么a一定是。
⑨有理数包括和。
⑩最小的正整数是；最大的负整数是；既不是正数又不是负数的数是。
【例2】判断正误：
① 0是最小的有理数。
（）
②分数是有理数。
（）
③大于负数的数是正数。
（）
④有理数中不是正数就是负数。
（）
⑤既没有最小的整数，也没有最大的整数。
（）
【例3】在下面有理数：-21，-3.11，5
2
，+2，
1
1
7
-，0，3.3，-0.732，1中：
正数有；
负数有；
整数有；
非负整数有。
【例4】文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩
具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在 。
【例5】一小虫从点O 处出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程
为负数，爬过的各段路程依次为（单位： cm ）：
15，-13，20，-18，-16，22，-10
（1）小虫最后能否回到出发点O 处？为什么？
（2）小虫离开出发点O 最远时的距离是多少？
（3）爬行过程中，如果每爬1cm ，奖励两粒芝麻，那么小虫共得了多少粒芝麻？
【例6】将下列小数化分数（约分）：
①1.325 ②0.0184 ③••423.1 ④1.2216••
【例7】将下列分数化小数： ①2541
②1673 ③115 ④1852 ⑤73
【例8】真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少？
【例9】若x ＞0，2x =2，求证：x 为无理数。