浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
阿基里斯追龟悖论
10 ， 0 . 1， . 01 , L 1， 0
结论：永远追不上绕圈如何？悖论就源自等着被驳倒希尔伯特旅馆
无穷个房间，而且已经住满 无穷个房间，而且已经住满 这时又来了一位，怎么办呢？ 又来了n位 又来了无穷多位…
∞+1=∞，∞+n=∞，∞÷2=∞， ∞+∞=∞
哲学家的计算
步数上看：一直都比乌 龟少一步
任何一个东西待在一个地方那不叫运动可是飞动着的箭在任何时刻不也是呆在一个地方吗
阿基里斯追龟悖论
苏向军
芝诺悖论
1.阿基里斯追不上乌龟 阿基里斯追不上乌龟：让爬得很慢 阿基里斯追不上乌龟 的物归先行一段路程，那么阿基里斯将永 远追不上乌龟。论证如下：阿基里斯为了 追赶乌龟，必须要先到达乌龟的出发点A； 当同时乌龟已经前进到B，等阿基里斯到 达B，乌龟又前进到C，…如此下去，虽然 越来越近，但是永远也追不上。
结论：很快就追上 结论：永远追不上
无穷多项相加，结果一定无穷大？
无穷项相加，一定无穷吗？
一尺之槌 日取其半 万世不竭
哲学家的计算
1.路程上看： 10 + 1 + 0.1 + L
时间上看：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
3.步数上看：比乌龟少一步
10 ， 0 . 1， . 01 L 1， 0
结论：永远追不上
哲学家的计算
时间上看： 1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
永远都追不上
1 1 10 时间：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L = = = s 1 − 0 .1 0 .9 9
并非永远
无穷多项相加，结果一定无穷？
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名的逻辑悖论。
它通过一个巧妙的思维实验，揭示了时间和空间的悖论，给人们的思维带来了极大的困惑。
这个悖论的思考实验是这样的：假设有一条无限长的赛道，在这条赛道上，静止不动的阿基里斯要追赶一只悖论乌龟。
为了给乌龟一个机会，阿基里斯必须先给乌龟一个领先的位置。
假设乌龟在起跑线上跑了10米，阿基里斯开始追赶。
然而，在阿基里斯追上乌龟之前，乌龟又向前移动了1米。
当阿基里斯再次追赶时，乌龟又向前移动了0.1米。
如此循环下去，无论阿基里斯多快，乌龟总能在阿基里斯追上之前，再向前移动一段距离。
因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个思维实验看似简单，但却引发了人们对时间和空间的思考。
按照常理，阿基里斯追得越来越近，最终应该能追上乌龟。
然而，芝诺悖论却告诉我们，无论阿基里斯多么努力，乌龟总能再向前移动一段距离，导致阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论揭示了时间和空间的一种奇特性质。
在这个实验中，无论阿基里斯多么努力，他总是无法追上乌龟。
这种情况下，时间和空间被划分成了无数个无限小的部分，无论阿基里斯运动多快，乌龟总能在阿基里斯接近的同时再向前移动一段距离。
这种无限分割的过程，使得阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论引发了人们对运动和空间的思考。
传统上，人们认为时间和空间是连续的，可以被无限分割。
然而，芝诺悖论却告诉我们，即使是无限小的分割，也可以导致无法追上的结果。
这对我们对运动和空间的理解提出了挑战。
芝诺悖论的出现让人们意识到，人类的思维有时会陷入矛盾和困惑之中。
我们常常通过逻辑和推理来解决问题，但有时候，逻辑自身却会出现悖论。
这让我们反思思维的局限性和不完备性，也提醒我们在思考问题时要多角度、多维度地思考，不仅仅局限在传统的逻辑框架中。
在面对芝诺悖论时，我们不应该陷入无限循环的思维中。
相反，我们应该意识到人类思维的局限性，尝试从不同的角度去思考问题，以寻找可能的解决方法。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识引言芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论，它们挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解。
这些悖论引发了人们对于逻辑和数学的深度思考，对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
芝诺悖论的概述芝诺悖论是一系列看似矛盾和荒谬的陈述，但却能通过推理得出合理的结论。
它们挑战了我们对于现实世界的感知和理解，引发了人们对于逻辑和数学的思考。
悖论一：亚基里斯与乌龟赛跑在这个悖论中，亚基里斯与乌龟进行一场赛跑。
乌龟比亚基里斯慢，但亚基里斯必须先给乌龟一个头脑的优势。
然而，根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为每当亚基里斯到达乌龟之前，乌龟已经前进了一段距离。
悖论二：阿喀琉斯与乌龟赛跑这个悖论类似于前一个悖论，但加入了连续性的概念。
根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为在每次追赶乌龟之前，他都必须先赶上乌龟前一刻的位置，而乌龟又会在这一刻前进一段距离。
悖论三：无限齐次线段这个悖论涉及到无限的概念。
根据芝诺的推理，如果我们有一个长度为1的线段，我们可以无限次地将其分成两半。
这意味着我们可以得到无限多个长度为1/2、1/4、1/8等的线段，而它们的总和应该是无限大。
然而，这与我们对于有限和无限的理解相矛盾。
悖论四：阿喀琉斯与乌龟的箭矢在这个悖论中，亚基里斯试图射中乌龟。
然而，根据芝诺的推理，箭矢在射中乌龟之前必须先到达射出箭矢的位置，而在那之前箭矢已经前进了一段距离。
这意味着箭矢永远无法射中乌龟。
芝诺悖论的意义和影响芝诺悖论挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解，引发了人们对于逻辑和数学的深度思考。
它们对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
对于逻辑的影响芝诺悖论迫使人们重新审视逻辑的基础和推理的有效性。
它们揭示了一些常识和直觉可能会导致矛盾和荒谬的结论。
人们开始思考如何修正逻辑系统，以避免这些悖论的出现。
对于数学的影响芝诺悖论对于数学的发展也产生了重要影响。
它们引发了人们对于无限的思考，导致了对于无穷集合和无限序列的研究。
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟是一则古希腊哲学家芝诺所提出的思想实验，用来探讨无穷的概念。
这个思想实验涉及到乌龟和阿基里斯进行一场赛跑，芝诺提出了一个悖论，即使乌龟速度较慢，但只要在阿基里斯和乌龟之间始终保持一个距离，那么阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个悖论引出了一系列关于无穷序列和极限的思考。
在微积分中，这个悖论可以用来阐述极限的概念。
极限是微积分中非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
芝诺的乌龟悖论可以被解释为一个极限过程，当阿基里斯越来越接近乌龟时，乌龟的位置在不断变化，但永远无法完全被追上。
这类比可以帮助人们理解极限的概念，即使函数在某一点并不取到某个值，但它仍然可以有一个极限值，这种思想对于微积分中的许多概念和定理都具有重要的启发作用。
此外，芝诺的乌龟也可以被用来探讨无穷级数的概念。
无穷级数是微积分中的重要内容，它涉及到无限个数相加的结果。
芝诺的悖论可以启发人们思考无穷级数的收敛性和发散性，以及在数学上如何处理这种无限的悖论。
总的来说，芝诺的乌龟悖论在微积分中有着重要的启发作用，帮助人们理解极限和无穷级数等概念。
通过这个思想实验，人们可以更深入地理解微积分中一些抽象而重要的概念，从而更好地应用它们解决实际问题。
芝诺-追龟悖论
追龟悖论
“追龟悖论”是古希腊人芝诺提出的多个悖论之一。
原话是“阿基里斯追不上乌龟”（阿基里斯是跑得最快的人）。
这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。
M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。
M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。
海龟：你别想抓住我，老朋友。
只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。
这个追龟悖论本身的假设就有问题：芝诺的假设就是阿基里斯追不上乌龟。
因为他总假设阿基里斯只追到乌龟当前在的那个点，而乌龟又往前走了一点……虽然他们之间的距离在不断缩小，乃至趋于零，但仍旧无法追上。
芝诺的假设存在问题之处就在于他去除了时间的概念（要知道阿基里斯的速度是比乌龟快的，有了速度，就是引入了时间，引入了时间，阿基里斯就一定能追上乌龟……事实也是如此），但芝诺的假设不考虑时间，只在空间（不含时间的空间）上考虑问题。
就如给你一条线段，首先截去1/2，然后把剩下的一半再截1/2，再取剩下的一半截1/2……如此重复下去。
最终的结果呢?线段能截玩吗？答案显而易见：截不完，无论剩的多么少，都截不完。
这和追龟悖论是一样的，只在空间上考虑问题，没有时间的概念。
综上，芝诺的追龟悖论本身的假设存在问题……在没有时间的空间里去讨论实际上存在时间约束问题的“阿基里斯追龟”是没有意义的。
个人见解
2013.10.15。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
思考：你认为芝诺悖论存在吗？
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M； 阿基里斯跑完这0.0001M需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟?的逻辑真相
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟的逻辑真相阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！上面就是芝诺悖论之一：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
上面是个路程问题，实质是个实数与无穷问题。
上面涉及距离问题，因走速的变化也涉及时间问题。
距离的变化 : 1→1/2 →1/4→1/8→...→1/2^n→...从递减上距程的变化就包含了时间和速度.故,只要距离的变化就能完整的用距离来讨论.又每个时间段都对应所走了距离。
所以在全面讨论距离（路程）问题时，可以踢开时间去讨论（因时间段上都有路程对应着）。
从0走到1,在这段距离,不管用多大速度,光速也行.都得经过这段距离的所有,再加速也一样.因为 1/2后有个1/4,再之后有个1/8......这些都得经过,就算用跳,也经过了这些距离,就算用光速,也经过这些距离.所以,不算是人还是光速,都走不完 1/2+1/4+1/8+1/16+.....因为 1/2+1/4+1/8+1/16+.....无限,其逻辑就是之没完没了,所以走不完.与人能走完1是两回事.所以根本不形成谬论.时间,速度再怎样变化它总对应着路程(距离),所以,只要距离这一项就能反映逻辑真相.又讨论时间又讨论路程反而有歧义会出现不必要的错误误导。
此悖论与飞矢不动不同，飞矢不动涉及时间、时刻、时间流速等问题。
怎么解释芝诺悖论
怎么解释芝诺悖论
嘿，你知道芝诺悖论不？这玩意儿可有意思啦！就好比你要去一个地方，明明感觉走一会儿就能到，可按照芝诺悖论的说法，你可能永远都到不了！
芝诺悖论里有个很经典的例子，就是那个阿喀琉斯追乌龟。
阿喀琉斯可是个超级厉害的大英雄啊，但芝诺就说，就算阿喀琉斯跑得比乌龟快好多好多，他也永远追不上乌龟！这咋听起来这么怪呢？
咱就想想啊，阿喀琉斯跑那么快，乌龟那么慢，按常理肯定能追上啊。
但芝诺就说了，当阿喀琉斯追到乌龟原来的位置时，乌龟又往前爬了一段；然后阿喀琉斯再追到新位置，乌龟又爬了一点。
这么一直下去，阿喀琉斯好像就真的永远追不上乌龟了。
哎呀，这不是扯嘛！
其实啊，芝诺悖论就是在玩一个时间和空间的小把戏。
它把整个过程无限细分，让你感觉好像真的追不上似的。
但咱在现实生活中，哪会这样啊！我们不会一直纠结在这一点点的细分里，而是直接就看结果，阿喀琉斯肯定能追上乌龟啊！
就像我们做事一样，有时候会遇到一些看似很复杂很无解的问题，但那可能只是我们把它想得太复杂了。
别被那些奇奇怪怪的理论给困住了，要大胆地向前冲！芝诺悖论虽然听起来很神奇，但咱可不能被它忽悠了呀！咱得有自己的判断力，知道啥是真的，啥是假的。
所以啊，芝诺悖论就是个让我们思考的小谜题，别太当真啦！。
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浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基
里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10
倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍
然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依
然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，
但他决不可能追上它。
此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10ˆ2X ，就这样无限的进行下去，
乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10ˆnX ，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10ˆnX ≈0，但是1/10ˆnX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.
然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10ˆnX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0.
对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。
对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。
若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。
但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。
也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这A
X B
个问题。
若时空不是连续的，即量子性的，则时间和空间必存在一个最小量，设其分别为T0，P0，当A，B相距距离为P0时，而空间不可比P0小，因此B点不可能再前进比P0更小的路程，设A的速度是B的m倍，B前进P0所需时间为T0，当B每前进一个T0的时间，A，B间的距离将缩小（mv-v）T0=(m-1)vT0, 又因为总存在一个N（N为正整数），使得
N(m-1)vT0＞＝P0，即经过NT0的时间后A，B间距为N(m-1)vT0—P0＜＝0，此时A就追上了B，这与现实是相符的。