股指时间序列的分形插值模型与R_S分析_王宏勇
R＼S方法、改进的R＼S方法及其对比研究
R＼S方法、改进的R＼S方法及其对比研究内容摘要：在分形市场研究的框架下，R/S分析方法是进行价格行为特性分析的重要工具，对R/S方法的运用与改进研究是金融市场研究的一个重要方向。
本文对经典R/S方法和改进的R/S方法进行了讨论，并进行了实证对比分析。
关键词：分形分数布朗运动R/S分析赫斯特指数有效市场理论是当今关于金融资本市场的主流经济学理论，其随机游动版本更成为了现代资产组合理论的理论基石。
主流资本市场计量理论总的说来是依赖于随机游走模型和收益率的正态分布的。
以上假定无疑对构建现代投资理论起了决定性的作用，它极大地简化了数学模型的推导。
然而，多年来有关收益率分布及现代投资理论适用性问题的大量实证研究却不断对此提出质疑。
价格行为的分形特征国外学者很早已经发现，收益率的分布明显异于正态分布，具有“尖峰”和“胖尾”（概率密度曲线在均值附近有更高的峰度值和尾部过多的观测值）。
Mandelbrot将之称为“稳定帕累托”（Stable Paretain）分布，即分形分布，其统计特性最初由Levy提出。
其特征函数为：其中，γ是尺度调整参数；α是特征指数，0<α≤2，它与密度函数的峰度和尾部胖度有关，这里，α=1/H，H就是赫斯特指数；β是偏斜度的度量，-1≤β≤+1，β=0时，分布是对称的；δ是位置参数，表示均值的位置。
当α=2，β=0，δ=1，γ=1时，密度函数变成正态分布，可见正态分布是分形分布的一个特例。
只有当α=2时，方差有限且稳定，因此，只有价格是随机游走时，方差才是重要的描述风险的信息。
除此之外，方差是无定义的或可能是无穷的，这时，作为风险度量的样本方差是无意义的。
价格运动也不是遵循随机游走，而是服从Mandelbrot称之为“分数布朗运动”（FBM）的有偏随机游动，我们现在称之为分形时间序列。
分数布朗运动与普通布朗运动最重要的区别，是分数布朗运动不再是独立的增量过程。
给定一个从-T到0的过去增量，则未来从0到T的增量，与过去增量的相关性可表示为：其中：C指相关性度量；H指赫斯特指数。
时间序列方法在股票交易中的应用
时间序列方法在股票交易中的应用股票市场是一个动态变化的金融市场，影响股票价格变动的因素众多且复杂。
为了预测股票价格的未来走势和制定有效的投资策略，金融学家和投资者们开始广泛运用时间序列方法来分析和预测股票市场的走势。
本文将介绍时间序列方法在股票交易中的应用，包括AR模型、MA模型、ARMA模型、ARCH模型和GARCH模型等。
一、AR模型自回归（AR）模型是时间序列分析中常用的一种方法。
它假设未来的数值与过去的数值存在相关关系，能够通过过去的数据来预测未来的走势。
AR模型可表示为：xt = β0 +β1xt-1 + β2xt-2 + ... + βpxt-p +εt，其中xt表示时间序列的数值，p表示使用过去的几个数据，β表示权重参数，εt表示误差项。
在股票交易中，AR模型可以通过历史股票价格来预测未来股票价格。
金融学家们可以根据过去一段时间内股票价格的变动情况，建立AR模型并进行参数估计，然后利用该模型预测未来股票价格的走势，为投资决策提供参考。
二、MA模型移动平均（MA）模型是另一种常用的时间序列方法。
它假设未来的数值与过去的预测误差有关，能够考虑到不同时间点的影响。
MA模型可表示为：x t = μ + εt + θ1εt-1 + θ2εt-2 + ... + θqεt-q，其中xt表示时间序列的数值，μ表示常数项，q表示使用过去的几个预测误差，θ表示权重参数，εt表示误差项。
在股票交易中，MA模型可以通过历史股票价格的预测误差来预测未来股票价格。
金融学家们可以根据过去一段时间内股票价格的预测误差，建立MA模型并进行参数估计，然后利用该模型预测未来股票价格的走势，提供投资决策的参考。
三、ARMA模型自回归移动平均（ARMA）模型是将AR模型和MA模型结合起来的一种方法。
它能够同时考虑过去数据和预测误差对未来数值的影响。
ARMA模型可表示为：xt = μ + β1xt-1 + β2xt-2 + ... + βpxt-p + εt + θ1εt-1 + θ2εt-2 + ... + θqεt-q，其中xt表示时间序列的数值，μ表示常数项，p和q分别表示AR模型和MA模型的阶数，β和θ表示权重参数，εt表示误差项。
基于改进的分形插值与SVM的股指预测模型
基于改进的分形插值与SVM的股指预测模型黎红;王宏勇【摘要】为了更好地分析和预测股指时间序列的短期变化趋势,提出了一种确定分形插值自由参数的新方法,由此建立了一个改进的分形插值模型,并将该模型与支持向量机模型相结合构造混合预测模型 .经R/S分析可知上海证券综合指数的日收盘数据具有长程相关性,于是将混合预测模型用于分析和预测上海证券综合指数时间序列,发现混合预测模型较其他方法具有更好的拟合效果,且在短期预测方面有更高的预测精度 .%In order to better analyze and predict the short-term trend of stock index time series ,we pro-pose a new method to determine the free parameters of fractal interpolation ,and establish an improved fractal interpolation model .This model is the combined with the support vector machine model to estab-lish a mixed prediction model .The daily closing data of Shanghai composite index is selected as the re-search object which is shown to have long-range dependence thorugh R/S analysis .The time series of Shanghai composite index are analyzed and predicted by the mixed prediction model .The empirical re-sults show that and the new mixed model proposed in this paper has good fitting performance and higher accuracy in short-term prediction .【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】6页(P14-19)【关键词】分形插值;SVM模型;股指序列;预测【作者】黎红;王宏勇【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京210023;南京财经大学应用数学学院,江苏南京210023【正文语种】中文【中图分类】F224.9;F830.9分形理论的创始人B B Mandelbrot[1]在研究股票价格时间序列的波动规律时发现，股票价格序列呈现尖峰胖尾的统计特征，不服从正态分布，因此提出用分形分布来描述股票收益序列.研究[2-5]表明，金融市场的波动具有明显的非线性分形特征.将分形的理论和方法与某些统计分析模型或者数据挖掘技术相结合，成为研究现代金融市场的非线性范式.[6-9]在分形分析方法中，基于迭代函数系理论发展起来的分形插值技术是拟合数据的新方法[10]，它尤其适合应用于研究非平稳数据和非光滑曲线的逼近、拟合及趋势预测[11-12].在利用分形插值方法对数据进行拟合和预测时，分形插值迭代函数系的一组自由参数——纵向尺度因子，对于拟合效果具有决定性的影响.翟明岳[13]令所有的纵向尺度因子都相等，再利用数据序列的分形维数或者Hurst指数求出这些相等的纵向尺度因子.当然，也有其他求纵向尺度因子的方法[14]，但是计算非常复杂.此外，利用分形插值进行预测时，对于最后一个预测值常常需要先给出期望值，然后利用外推法来确定其他预测点的值.因受到预先给定的期望值的影响，这些预测值的精确性难以保证.近年来，支持向量机(Support Vector Machine，SVM)越来越多地被应用于金融时间序列的预测[7,15-18].SVM是一种基于统计理论发展起来的数据挖掘方法，在求解小样本、非线性和高维模式识别问题时有优势；但是在多目标预测和实时控制方面能力欠缺，每次仅能预测1个值.针对在选取纵向尺度因子时遇到的这些问题，笔者提出一种确定纵向尺度因子的新方法，并在此基础上建立一个改进的分形插值模型，将该模型与SVM模型相结合，形成混合预测模型.1 时间序列的R/S分析方法与SVM预测模型1.1 R/S分析方法R/S分析方法是Hurst提出的一种非参数统计分析方法.该方法通过Hurst指数来判断时间序列的不同波动状态，其步骤如下：对于时间序列{xt,t=1,2，…,T}，设是该序列的均值，则该序列的累积离差极差标准差称R(T)/S(T)为重标极差，记为(R/S)T.Hurst通过大量的实验研究发现，重标极差(R/S)T满足幂律关系(R/S)T=cTH,其中H是Hurst指数，c是与参数T无关的正常数.时间序列的Hurst指数H与分形维数D满足线性关系H+D=2.Hurst指数介于0和1之间，不同的Hurst指数可用来描述时间序列的不同性质和状态特征:(1)H=0.5，意味着序列是随机的或不相关的.(2)H≠0.5，意味着序列具有分形特征.其中：0≤H<0.5说明序列存在反持续性；0.5<H≤1说明序列存在状态持续性，此时序列具有可预测性.1.2 SVM预测模型SVM预测模型的基本思想是，通过非线性映射φ将样本数据xi映射到高维特征空间，并在该空间进行线性回归.设训练样本集为{(xi,yi),i=1,2,…,l}，则回归模型为f(x)=(ω·φ(x))+b,对应的优化问题为：其中：ξi和为松弛变量；C为惩罚参数；ε为估计精度.将这个二次规划问题转换为对偶问题：定义高维特征空间内积运算的核函数K(xi,x)=(φ(xi),φ(x))，求解该二次规划问题得到非线性映射在构建SVM预测模型时需选取惩罚参数和核函数，这2个参数的选取直接影响模型预测的精度.本研究取径向基核函数K(xi,x)=exp(-γ‖x i-x‖2),在LIBSVM仿真平台上实现SVM算法.2 基于改进的分形插值与SVM的混合预测模型对于区间I=[a,b]，给定划分Δ={x0,x1,…,xN}，满足a=x0<x1<…<xN=b，其对应的纵坐标值分别为{y0,y1,…,yN}.分形插值法就是构造迭代函数系{R2:wi,i=1,2,…,N}，使其吸引子是连续函数f:[x0,xN]→R的图像且经过数据集{(xi,yi):i=0,1,…,N}.在一般应用中，压缩映射wi为如下形式的仿射变换：(1)满足端点条件(2)由(1)，(2)式可得：(3)在(1)式中，di(i=1,2,…,N)为自由参量，称为迭代函数系{R2:wi,i=1,2,…,N}的纵向尺度因子，满足条件|di|<1.根据分形插值理论，若且插值点不共线，则分形插值函数图像的分形维数D满足方程根据D=2-H，有由上述可知，当插值点{(xi,yi):i=0,1,…,N}给定且纵向尺度因子di(i=1,2,…,N)确定时，可由(3)式求得相应的系数ai,ci,ei,fi(i=1,2,…,N)，迭代函数系也就确定了.因此，如何确定自由参数di是确定迭代函数系的关键.以往一种简单的做法是令所有的di 都相等，先求出Hurst指数，再利用(4)式来计算di.但通过这种方法确定的di和由此得到的分形插值曲线，在实际应用中拟合效果不佳.为了提高分形插值的拟合精度，笔者根据数据的自身信息提出一种确定di的新方法.对于数据集{(Xi,Yi),i=0,1,…,m}，从中等距或非等距地选取插值点{(Pj,Qj),j=0,1,…,k},k<m.假设相邻2个插值点(Pj-1,Qj-1)与(Pj,Qj)之间的数据集为{(Pj-1,Qj-1),(Xl,Yl),(Xl+1,Yl+1),…,(Xl+n,Yl+n),(Pj,Qj)}，则这些数据点之间的高度差dj0=Yl-Qj-1,dj1=Yl+1-Yl,…,dj,n+1=Qj-Yl+n.记djmax=max(Qj-1,Yl,Yl+1,…,Yl+n,Qj)，djmin=min(Qj-1,Yl,Yl+1,…,Yl+n,Qj).令(5)按照(5)式确定的di,能够将相邻插值数据之间的局部变化趋势和整体变化幅度考虑在内，且满足条件|di|<1，这使得所构造的分形插值函数在局部更逼近原始数据.接下来建立基于改进的分形插值与SVM的混合预测模型.对于已知数据{(Xi,Yi),i=0,1,…,m}，假设已选取插值点为{(Pj,Qj),j=0,1,…,k}，并由(5)式求得dj(j=1,2,…,k),现需要预测未来数据{(Xi,Yi),i=m+1,m+2,…,m+r}.由于有r个未知预测点，因此在利用分形插值进行预测时需要先确定下一个插值点(Pk+1,Qk+1)和纵向尺度因子dk+1.(Pk+1,Qk+1)可利用SVM算法求出，dk+1可根据(5)式求出.利用(Pk+1,Qk+1)和dk+1，再构建一个新的迭代函数系进行分形插值，得到相邻插值点(Pk,Qk)与(Pk+1,Qk+1)之间的所有数据{(Xi,Yi),i=m+1,m+2,…,m+l},且(Pk+1,Qk+1)=(Xm+l,Ym+l),l≤r.按此步骤继续下去，直至得到全部的预测数据{(Xi,Yi),i=m+1,m+2,…,m+r}.3 上海证券综合指数序列的分析与预测选取上海证券综合指数(简称上证综指)2006年1月4日至2017年3月13日共2 718个日收盘数据作为R/S分析对象，以确认上证综指序列的分形特征和可预测性.图1 上证综指的R/S分析结果Fig. 1 R/S Analysis Result of Shanghai Composite Index图1是上证综指的R/S分析结果.由R/S分析可得H=0.680 4，从而可知上证综指的日收盘数据时间序列具有长程相关性，可用分形方法进行预测.下面将上证综指2016年1月4日至2017年1月3日共245个日收盘数据作为分形插值研究对象，这些原始数据如图2所示.通过间隔为4的等距分割选取插值点，再利用(5)式计算纵向尺度因子，建立分形插值模型，对这245个日收盘数据进行插值拟合.图3给出了分形插值拟合的结果.从图3可以看出，采用纵向尺度因子的新计算方法所建立的分形插值模型对上证综指日收盘数据进行拟合，精度较高，表明该模型能很好地描述上证综指日收盘数据的走势.图2 上证综指2016年1月4日至2017年1月3日的日收盘数据Fig. 2 Daily Closing Data of Shanghai Composite Index from 2016-1-4 to 2017-1-3图3 上证综指2016年1月4日至2017年1月3日的分形插值拟合Fig. 3 Fractal Interpolation Fitting of Shanghai Composite Index from 2016-1-4to 2017-1-3接下来预测最后4天(2016年12月28—30日和2017年1月3日)的日收盘数据.根据分形插值法，要预测未来4天的数据，就需要知道下一个插值点(2017年1月3日)的日收盘数据和相应的纵向尺度因子.下面利用SVM算法来进行计算.图4 SVM参数寻优结果Fig.4 Result of SVM Parameter Optimization由于SVM模型预测的都是相邻的下一个点的值，因此需适当增加样本规模以提高预测精度.对1990年12月21日至2017年1月3日的上证综指日收盘数据每隔4天选取1个数据，就得到1 592个数据，以最后一个(2017年1月3日的收盘数据)作为预测数据.利用Matlab和LIBSVM进行参数寻优与建模，惩罚参数和核函数的取值范围均为[2-4,24].图4示出了SVM参数优化的结果.通过SVM模型预测得到2017年1月3日的收盘数据为3 139.8元，再根据已知的di计算出插值区间2016年12月27日至2017年1月3日的参数d，这样就可以利用分形插值预测出2016年12月28—30日和2017年1月3日的日收盘数据.表1列出了原始数据与预测数据的比较结果.表1 原始数据与预测数据的比较Table 1 Comparison of the Prediction Data and the Original Data 元时间2016年12月28日2016年12月29日2016年12月30日2017年1月3日原始数据3 102.243 096.103 103.643 135.92预测数据3 111.003 097.403 125.903 139.80图5 3种预测方法的比较Fig. 5 Comparison of Three Prediction Methods为了检验基于改进的分形插值与SVM的混合预测模型的预测效果，将其与如下2种方法进行比较：方法一是只利用SVM模型预测4个点，因SVM模型每次只能预测1个点的值，故将此预测值作为已知值带入模型中再预测下一个点的值，这样就能依次预测出4个点的值；方法二是在传统分形插值方法中令所有的纵向尺度因子di都相等，再利用Hurst指数求出di，接着利用SVM模型预测出的最后一个点的值进行分形插值，从而预测出4个点的值.图5示出了这3种预测方法的比较结果.从图5可以看出，混合预测模型的预测效果要明显优于其他2种方法.计算图5中3种方法所得预测结果的根均方相对误差其中：yi是原始数据；是预测数据；N是数据个数.得到预测结果的根均方相对误差分别为5.828 7×10-6，4.968 3×10-5和1.158 7×10-4.由此可知，混合预测模型的预测效果最佳.4 结语提出了一种确定分形插值迭代函数系纵向尺度因子的新方法，并由此建立了一个改进的分形插值模型.将该模型与SVM模型相结合，构造了可以预测时间序列变化趋势的混合预测模型.将混合预测模型应用于上证综指日收盘数据的分析和预测：通过R/S分析得到上证综指日收盘数据的Hurst指数为0.680 4，说明上证综指的日收盘数据具有长程相关性，是可预测的；利用改进的分形插值模型对上证综指2016年1月4日至2017年1月3日的日收盘数据进行分形插值拟合，获得了很好的拟合效果；利用混合预测模型对上证综指2016年12月28—30日和2017年1月3日的日收盘数据进行预测，预测效果较另外2种方法更好.笔者相信，基于改进的分形插值与SVM的混合预测模型在对时间序列的分析和预测中将有广泛的应用.参考文献：[1] MANDELBROT BENOIT B.New Methods in StatisticalEconomics[J].Journal of Political Economy,1963，71(5)：421-440.[2] PETERS EDGAR E.Fractal Market Analysis:Applying Chaos Theory to Investment and Economics[M].NewYork,Chichester,Brisbane,Toronto,Singapore:John Wiley & Son,Inc.,1994.[3] 王明涛.基于R/S法分析中国股票市场的非线性特征[J].预测,2002,21(3):42-45.[4] YUAN Ying,ZHUANG Xintian,JIN Xiu.Measuring Multifractality of Stock Price Fluctuation Using Multifractal Detrended FluctuationAnalysis[J].Physica A:Statistical Mechanics and ItsApplications,2009,388(11):2 189-2 197.[5] 王宏勇,郭丽娜.国际黄金期价与美元指数交互关系的多重分形分析[J].数理统计与管理,2015,34(5):878-889.[6] RICHARDS GORDON R.A Fractal Forecasting Model for Financial Time Series[J].Journal of Forecasting,2004,23(8):586-601.[7] NI Liping,NI Zhiwei,GAO Yazhuo.Stock Trend Prediction 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基于R／S分析的中国股市分形结构的实证研究
北 京科 技大学学 报（ 社会科 学版 ）
Ｊｕ ａｏ ｎｖｒ ｔｏ ｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｅｉｇ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉｅｓｙ ｆ ｃｅ ｅａｄＴ ｃ ｎｌｇ ｉｎ ｎ Ｕ ｉ Ｓ ｎ Ｂ ｊ
（ ｏ ｉｌ ｃｅ ｃ ｓＥｄｔ ｎ） Ｓ ｃａ ｉｎ ｅ ｉｏ Ｓ ｉ
通 过 对 Ｒ Ｓ双 对 数 曲线 以及 Ｖ统 计 量 的 的 拟 合 ， 究 结果 表 明 中 国股 票 市场 的 收 益序 列 均 不服 从 正 态分 布 ， 且 呈 现 ／ 研 并
出状 态 的 持 续 性 和长 期记 忆性 ， 有 明 显 的分 形 特 征 。这 种 特 征 为进 一 步认 识 我 国股 票 市 场 的 收 益 的持 续 性 、 环 周 期 具 循
重标极差被定义为极差与标准差的商 ：
＝
（ ｓ Ｒ／Ｊ ）
（） １
其 中 ｓ 为序列的标准差 ，值 ， ： 即 分 形理论 是 当今 世界 十分 风靡 和 活跃 的新 理论 、 Ｈ ｒ 发现 ， 于一般 的时 间序列 有 ： ｕｓ ｔ 对 （ ． Ｒ／ｓ ＝ｃ ）
Ｍ ａ ． ０ｏ９ ｒ２
Ｖｏ． ５ Ｎｏ １ １２ ．
基 于 ＲＳ ／ 分析 的中国股市分形结构 的 实证研究
杨 成 义 王 大 鹏 刘 澄
（ 京科 技大 学 ， 京 １０ ８ ） 北 北 ００ ３
［ 要 ］ 文 章 以 中 国股 市 的 日收 益 率 为研 究对 象 ，运 用 Ｒ Ｓ研 究方 法 对 中 国股 市 的分 形 结 构 进 行 实 证分 析研 究。 摘 ／
性发生 ；当 ＲＳ ／ 统计量 比 ｎ 的平方根增长得慢时 ， 散
［ 收稿时 间￣０ ８ ０ — ０ ２０ － ２ ２
时间序列周期分析在上证指数中的应用研究
时间序列周期分析在上证指数中的应用研究1. 引言1.1 背景介绍时间序列周期分析在上证指数中的应用研究引言时间序列分析是一种重要的统计分析方法，可以帮助我们理解和预测时间序列数据的规律和趋势。
在金融领域，时间序列分析被广泛应用于股市预测、风险管理等方面。
而上证指数作为中国股市的代表性指数之一，其走势对整个股市具有重要的影响。
随着经济全球化和信息技术的不断发展，股市波动越来越频繁且复杂。
传统的技术分析方法已经不能很好地适应这种变化。
利用时间序列周期分析方法对股市走势进行研究和预测，变得愈发重要。
本研究旨在通过时间序列周期分析方法，探索上证指数的周期特征，并研究周期分析在股市预测中的应用。
通过对上证指数历史数据的分析，可以更好地揭示价格变动的规律和周期性，为投资者提供更准确的决策依据，同时也为未来研究提供新的思路和方向。
1.2 研究意义时间序列周期分析在上证指数中的应用研究具有重要的实践意义和理论意义。
通过对上证指数的周期分析，可以更加深入地了解股市的运行规律和周期性特征，为投资者提供可靠的参考依据，提高投资决策的准确性和效率。
周期分析可以帮助我们更好地了解股市波动的规律性，有助于发现潜在的投资机会和风险，提高投资者对市场的适应能力和应对能力。
周期分析还可以帮助我们更好地理解股市走势的周期性变化，有助于预测未来市场的走势和趋势，为投资者提供更加全面和准确的市场信息，从而更好地应对市场的变化和挑战，获得更好的投资收益。
时间序列周期分析在上证指数中的应用研究具有重要的研究意义和实践意义，可以为投资者提供更加全面和准确的市场信息，为投资决策提供有力的支持和帮助。
2. 正文2.1 时间序列分析的基本原理时间序列分析是一种通过观察某个变量随时间变化的规律性来进行预测和分析的方法。
其基本原理包括以下几个方面：首先是趋势分析，时间序列分析中很重要的一项内容。
通过检测数据的长期趋势，可以揭示出数据的整体发展方向，帮助分析人员进行有效的决策。
时间序列分析方法在金融预测中的应用
时间序列分析方法在金融预测中的应用随着金融市场的不断发展，人们对于金融预测的需求也越来越迫切。
时间序列分析作为一种重要的统计方法，被广泛应用于金融预测中。
本文将探讨时间序列分析方法在金融预测中的应用，并分析其优势和局限性。
时间序列分析是一种通过对一系列按时间顺序排列的数据进行分析和预测的方法。
在金融领域，时间序列分析可以用于预测股票价格、汇率变动、利率波动等金融指标。
其中，最常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）。
首先，时间序列分析方法在金融预测中具有较高的准确性。
通过对历史数据的分析，时间序列模型可以捕捉到数据的趋势、周期和季节性等特征，从而预测未来的发展趋势。
例如，通过对过去几年的股票价格数据进行时间序列分析，可以预测未来股票价格的涨跌情况，为投资者提供决策依据。
其次，时间序列分析方法能够识别和分析金融市场的周期性波动。
金融市场往往存在着一定的周期性，例如股市的牛市和熊市交替出现，汇率的周期性波动等。
时间序列分析可以通过建立适当的模型，对这种周期性波动进行预测和分析，为金融市场的参与者提供参考。
然而，时间序列分析方法也存在一些局限性。
首先，时间序列模型对数据的平稳性要求较高。
如果数据存在明显的趋势或季节性变动，时间序列模型可能无法准确预测未来的趋势。
其次，时间序列分析方法对于异常值和离群点比较敏感。
如果数据中存在异常值或离群点，可能会对模型的拟合效果产生较大影响，从而导致预测结果的不准确。
为了克服时间序列分析方法的局限性，研究者们不断提出了各种改进方法。
例如，引入外部因素和变量，如宏观经济指标、政策变化等，可以提高时间序列模型的预测准确性。
同时，结合机器学习和人工智能等技术，可以构建更加复杂和准确的预测模型。
总之，时间序列分析方法在金融预测中具有重要的应用价值。
通过对历史数据的分析和建模，时间序列模型可以预测未来金融市场的趋势和波动，为投资者和决策者提供重要的参考。
上海股票市场分形特征的动态研究——基于R／S分析
本 文拟 将 观 测 数 据 根据 股 市 发 展 进 程 中 的 一 些 重 大 事 件 划 分成 若 干 阶 段 ．然 后 对 每 个 阶 段 分 别 运 用 ＲＳ分 析 法 计 算 ／ 出 相 应 的 Ｈ ｒ 指 数 及 其 非 循 环 周 期 以 试 图找 出我 国 股 市 ｕｔ ｓ
经 典 方 法 这种 方 法 的 主 要 思 想 是 改 变 所 研 究 对 象 的 时 间
目前 世 界 上 大 多 数 国 家 股 票 市 场 的实 践 都 证 明 股 票 收
益 率 分 布 具 有 尖 峰肥 尾 以及 存 在 长 期 记 忆 效 应 等 特 征 ． 传 统 的有 效 市 场 理 论 显 然 已经 不 合 时 宜 ．学 者 们 在 非 线 性 分 析 思 维 的 启 示 下 ．提 出 了与 有 效 市场 理 论 相 对 应 的 分 形 市 场 理 论 ．其 代 表 人 物 有 Ｍ ｎ ｅｂｏ 和 Ｅ ｇｒ ．ｅ ｒ ａ ｄｌｒｔ ｄ ａ ＥＰ ｔ ｓ等 。 ｅ Ｍ ｎ ｅｂｏ（９４对 资 本 市 场 的统 计 特 性 进 行 了 开 创性 的探 ａｄｌ ｔ ６） ｒ １ 索 ． 立 了 分 形 几 何 学 ， 出 了 分 形 理 论 ， ｅ ｒ（９ ４ 在 创 提 Ｐｔ １９） ｅ ｓ
发展 所 呈 现 的动 态 变 化 规 律 。
月３ １日为 股 改后 的 检验 阶段 共 有 ３ ５个 样 本 数 据 。为 便 于 ２ 处 理 ， 际 收 益 率 数 据 采 用 对 数 形 式 ， ｒ １０ ｌ（Ｃｌ） 实 即 ， ０ ＊ ｐＰ １ ＝ ｎ －，
论R／S分析法与股票市场的分形结构
致 ， 时 表 明时 间序 列｛ｔ 独立 同分布 的 随机 变量 ， 这 Ｒ｝ 为 其
典 型 代 表 是 布 朗 运 动 或 随 机 游 走 ： ０ Ｈ＜ ／ 当 － ＜ Ｉ ２时 ， 标 极 重 差 按 ｎ平 方 根 更 慢 的 速 率 增 长 ， 时 间 序 列 具 有 反 持 续 性 （ 称均 值 回复过 程 ）当 １ ＜ 或 ； ／ Ｈｓ Ｉ时 ， 标 极 差 按 ｎ平 方 ２ 重 根 更 快 的 速 率 增 长 ， 时 时 间 序 列 为 分 形 时 间 序 列 。 有 这 具 状 态 持 续 性 和 自相 似 性 。状 态 持 续 性 是 指 时 间 序 列 在 过 去 时 期是 上升 （ 降 ） 势 ， 么 在未 来 时期 也是 上 升 （ 降 ） 下 趋 那 下 的 ， 意 味 着 过 去 发 生 的 事 件 对 未 来 发 生 的 事 件 总 是 产 生 也 影 响 。 自相 似 性 是 指 不 同 时 间 增 量 （ 、 、 、 等 ） 时 日 周 月 年 的 间 序 列 之 间 具 有 相 同 的 统 计 规 律 。 因 此 ， 指 数 可 用 于 判 Ｈ 定 时 间 序 列 的 性 质 为 估 计 Ｈ 指 数 ， 子 序 列 的 长 度 ｎ增 加 到 下 一 个 更 大 将
数 期 货 的研 究 ， 内学 者 如 徐 龙 炳 和 陆蓉 （９ ９）史 永 东 国 １９ 、
（０ ０ 、 海 华 和 李 道 叶 （ ０ １ 、 维 和 黄 兴 （０ １ 、 一 ２ ０ ）伍 ２０ ）张 ２ ０ ）杨 文 和 刘 贵 忠 （０ ２ 、 明 涛 （０ ２ 、 迪 和 吴 世 农 （ｏ ２ ２ ｏ ）王 ２ ０ ）徐 ２０ ） 等 对 中 国 股 市 的 研 究 ， 们 的 研 究 结 果 均 表 明 股 票 市 场 具 他 有显 著 的分形 特征 。
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二、分形插值模型的建立
设｛（ｘｉ，ｙｉ）∈ Ｒ２：ｉ＝ ０，１，…，Ｎ｝是 一 个 给 定 的数据集，其中ｘ０ ＜ｘ１ ＜ … ＜ｘＮ 。一 个 分 形 插 值 函数ｆ：［ｘ０，ｘＮ ］→Ｒ 是经过这个数据集的一个连续 函 数 ，其 图 像 是 某 个 迭 代 函 数 系 的 吸 引 子 。由 于 在 实
ｓｑｕａｒｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｐａｒｔ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ
ｂｏｏｔｓｔｒａｐ ｍｅｔｈｏｄ，ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ＧＬＲ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ Ｔａｎｓｌｏｇ ｍｏｄｅｌ ａｇａｉｎｓｔ ｔｈｅ ｓｅｍｉ－ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｖａｒｙｉｎｇ
第 ２６ 卷 第 ８ 期 Ｖｏｌ．２６ Ｎｏ．８
【统 计 应 用 研 究 】
统计与信息论坛 Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｆｏｒｕｍ
２０１１ 年 ８ 月 Ａｕｇ．，２０１１
股指时间序列的分形插值模型与 Ｒ／Ｓ分析
王宏勇，张青格
（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 ２１００４６）
向距离的点 Ｓ（ｘｓ，ｙｓ）。由于Ｓ（ｘｓ，ｙｓ）仅为插值曲线 上的点，未必是插值点，其 位 置 通 常 难 以 确 定。李 国
璋等利 用 三 次 Ｂ － 样 条 分 形 插 值 曲 线，给 出 了 求 Ｓ（ｘｓ，ｙｓ）的代数解法［７］。然 而 此 法 在 实 用 上 很 不 方 便，下面基于 Ｍａｚｅｌ和 Ｈａｙｅｓ的几何法，提出一种在
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ｓｅｍｉ－ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｖａｒｙｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｔｒａｎｓｌｏｇ
ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｏｕｔｐｕｔ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ａｒｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｐｒｏｆｉｌｅ ｌｅａｓｔ
对 分 形 插 值 函 数 的 形 态 、性 质 等 有 着 决 定 性 的 影 响 。
如何合理地确 定 ｄｉ 的 值 是 建 立 仿 射 分 形 插 值 模 型 的关键。在利用仿射 分 形 插 值 函 数 拟 合 实 验 数 据 或
曲线的过程中，任给ｄｉ 的值是没有意义的，这是因
２４
为使用任给的 ｄｉ 迭 代 产 生 出 来 的 分 形 插 值 曲 线 很 难较准确地拟合给定的ｄｉ 数据或 逼 近 给 定 的 曲 线。 根据 仿 射 变 换 式 （１）和 （３）可 知，由 给 定 数 据 点
为迭代函数 系 ｛Ｒ２；ｗｉ，ｉ ＝ １，２，…，Ｎ｝的 纵 向 尺 度
因 子 ，满 足 ｜ｄｉ｜＜ １。由 式 （１）和 （２）可 得 ：
烄ａｉ ＝ （ｘｉ －ｘｉ－１）／（ｘＮ －ｘ０） ｅｉ ＝ （ｘＮｘｉ－１ －ｘ０ｘｉ）／（ｘＮ －ｘ０）
烅ｃｉ ＝ ［（ｙｉ －ｙｉ－１）－ｄｉ（ｙＮ －ｙ０）］／（ｘＮ －ｘ０） （３） ｆｉ ＝ ［（ｘＮｙｉ－１ －ｘ０ｙｉ）－ｄｉ（ｘＮｙ０ －ｘ０ｙＮ ）］／
｛（ｘｉ，ｙｉ）：ｉ＝１，２，…，Ｎ｝的信息，来确定ｄｉ 的值是 确 定 仿 射 迭 代 函 数 系 的 关 键。对 于 离 散 数 据 集，
Ｍａｚｅｌ和 Ｈａｙｅｓ提出了计算 ｄｉ 的两种方法：几何 法 和解析法［５］。在 几 何 法 中，为 了 求 得 ｄｉ，必 须 先 求
出分形插值曲线到数据集两端点所成直线的最大纵
－ｓｈａｐｅ ｔｒｅｎｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｒａｎｓｌｏｇ ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｅｍｉ－ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｖａｒｙｉｎｇ－ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｏｄｅｌ；ｌｏｃａｌ ｌｉｎｅａｒ
ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｒａｔｉｏ ｔｅｓｔ；ｂｏｏｔｓｔｒａｐ
烆 （ｘＮ －ｘ０）
满足条件（１）和（２）的 迭 代 函 数 系 ｛Ｒ２；ｗｉ，ｉ＝
１，２，… ，Ｎ｝称 为 仿 射 迭 代 函 数 系 。由 分 形 插 值 理 论
可 知 ，该 迭 代 函 数 系 的 吸 引 子 是 一 个 仿 射 分 形 插 值
函数ｆ：［ｘ０，ｘＮ ］→ Ｒ 的图像［６］。
在仿射迭代函 数 系 式 （１）中，纵 向 尺 度 因 子 ｄｉ
实 用上非常方便的求取ｄｉ 的几何方法。它无需计算 插值曲线上的最大 值 点 Ｓ（ｘｓ，ｙｓ），也 不 用 借 助 其 它 的解析工具，仅仅利 用 离 散 数 据 自 身 的 信 息，就 可
确定ｄｉ 的值。 设 有 时 间 序 列 ｛Ｙｔ，ｔ＝０，１，… ，Ｍ ｝，按 下 列 方 式
将其等分成长度为ｎ＋１的 Ｎ 个连续的子序 列Ｉｉ，ｉ ＝１，２，…，Ｎ。记 子 序 列Ｉｉ 中 的 每 个 元 素 为 Ｙｋ，ｉ（０ ≤ｋ≤ｎ），且有Ｙｎ，ｉ ＝Ｙ０，ｉ＋１（ｉ＝１，２，…，Ｎ －１）（亦 即每个子序列的最后一个元素的值等于相邻的下一
Ｓｅｍｉ－ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｖａｒｙｉｎｇ－Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｔｒａｎｓ－ｌｏｇ Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＺＨＡＮＧ Ｓｈａｎｇ－ｆｅｎｇ，ＧＵ Ｗｅｎ－ｔａｏ
（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｇｏｎｇｓｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００１８，Ｃｈｉｎａ）
正 值 ，反 之 取 负 值 。
设 子序列Ｉｉ 的每个元素Ｙｋ，ｉ 所对应的时间值为 Ｘｋ，ｉ，０ ≤ ｋ ≤ ｎ，则 相 应 于 Ｉｉ 的 两 个 端 点 数 据 为
王宏勇，张青格：股指时间序列的分形插值模型与 Ｒ／Ｓ分析
（Ｘ０，ｉ，Ｙ０，ｉ）＝ （ｘｉ－１，ｙｉ－１），（Ｘｎ，ｉ，Ｙｎ，ｉ）＝ （ｘｉ，ｙｉ），ｉ
ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｌｏｇ ｃａｐｉｔａｌ ｐｅｒ ｌａｂｏｒ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ａ ｌｉｎｅａｒ ｏｎｅ．Ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ
ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｏｆ ｃａｐｉｔａｌ ｓｈｏｗｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｔｅｄ Ｕ－ｓｈａｐｅ ｔｒｅｎｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｏｆ ｌａｂｏｒ ｓｈｏｗｓ ａ Ｕ
个子序列的第一个元素的值），则有 Ｍ ＝ｎ·Ｎ。取
所有 子 序 列 Ｉｉ，ｉ ＝ １，２，…，Ｎ 的 第 一 个 元 素 的 集 ｛Ｙ０，１，Ｙ０，２，…，Ｙ０，Ｎ ｝与第 Ｎ 个 子 序 列ＩＮ 的 最 后 一 个元素Ｙｎ，Ｎ （或者所有子序列Ｉｉ，ｉ＝１，２，…，Ｎ 的最 后一个元素｛Ｙｎ，１，Ｙｎ，２，…，Ｙｎ，Ｎ ｝的 集 与 第 一 个 子 序 列Ｉ１ 的 第 一 个 元 素 Ｙ０，１）所 构 成 的 元 素 集 ｛Ｙ０，１， Ｙ０，２，…，Ｙ０，Ｎ ，Ｙｎ，Ｎ ｝作 为 时 间 序 列 ｛Ｙｔ，ｔ ＝ ０，１，２， …，Ｍ｝的抽样数 据，共 有 Ｎ ＋１ 个 数 据。为 方 便 起
际应用中使用最为广泛的是所谓的仿射分形插值函
数 ，它 是 由 仿 射 迭 代 函 数 系 生 成 的 。因 此 ，本 文 主 要
考 虑 下 列 形 式 的 迭 代 函 数 系 ｛Ｒ２：ｗｉ，ｉ ＝ １，２，…， Ｎ｝，其中ｗｉ：［ｘ０，ｘＮ ］×Ｒ →Ｒ，ｉ＝１，２，…，Ｎ 为如 下形式的仿射变换：
（责 任 编 辑 ：郭 诗 梦 ）
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统计与信息论坛
时间序列进行分析，本文在 Ｍａｚｅｌ和 Ｈａｙｅｓ研究的 基础上提出了一种新的计算迭代函数系纵向尺度因 子的方法，以 此 建 立 了 一 种 仿 射 分 形 插 值 模 型 。 ［５］ 以 上 证 综 合 指 数 为 例 ，利 用 仿 射 分 形 插 值 模 型 模 拟 了股指序列的变化 规 律，预 测 了 股 指 在 短 期 内 的 变 化趋势。最后运用 Ｒ／Ｓ分析法和 Ｈｕｒｓｔ指数，分析 了上证综合指数的分形结构特征。
关 键 词 ：分 形 插 值 ；股 指 时 间 序 列 ；Ｒ／Ｓ 分 析 中 图 分 类 号 ：Ｆ２２４．９∶Ｆ８３０．９ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００７－３１１６（２０１１）０８－００２３－０５
一、引 言
股票 价 格 的 变 化 是 极 其 复 杂 的，分 形 学 的 创 始 人 Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ对股价的变化做了深入的研究，发现 股 票 价 格 的 变 化 曲 线 具 有 分 形 特 征 。Ｐｅｔｅｒｓ将 混 沌 和分形统计的概念 引 入 资 本 市 场 研 究 中，提 出 了 分 形 市 场 假 说 ，它 突 破 了 有 效 市 场 理 论 的 独 立 、正 态 和 线性等假设，为重新 认 识 金 融 市 场 复 杂 的 非 线 性 本
质特征提供了一个新的范式 。 ［１］３９－８５ 分形 Ｒ／Ｓ 分 析 法对揭示金融市场 的 长 期 记 忆 性、分 形 统 计 结 构 等 特征提供了一个稳健的分析技术。黄诒蓉利用 Ｒ／Ｓ 分析法研 究 中 国 股 票 市 场 收 益 率 序 列 的 状 态 持 续 性［２］５８－７９。周洪涛等对 上 海 股 市 的 月、周、日 收 益 率 序列进行了研究，说明上海股市具有非线性 特 征 。 ［３］ 申富饶等运用分形插值方法对股票的价格进行了分 析和预测 。 ［４］ 为了建立合理的分形插值模型对金融
收 稿 日 期 ：２０１１－０５－０３ 基金项目：国家自然科学基金项目《Ｓｏｂｏｌｅｖ空间上 Ｆｒａｍｅｌｅｔｓ理论及相关问题研究》（１１０７１１５２） 作 者 简 介 ：王 宏 勇 ，男 ，江 苏 扬 州 人 ，理 学 博 士 ，教 授 ，研 究 方 向 ：分 形 理 论 及 应 用 ；
张 青 格 ，女 ，河 北 邢 台 人 ，硕 士 生 ，研 究 方 向 ：分 形 与 数 理 金 融 。