2016_2017学年高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵1.3.2一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件
高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教版选修4-2
1 矩阵称为切变变换矩阵．以 0
k 把平面上的点(x， 1
y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位， 当 ky>0 时沿 x 轴正方向移动， 当 ky<0 时沿 x 轴负方向移动，当 ky＝0 时原地不动．
【基础自测】
1 －1 对应的变换作用下得到的点的坐 1． 点 A(3， －6)在矩阵 1 0 2
a11 a21
a12 b11 b12 a22b21 b22 a11×b12＋a12×b22 . a21×b12＋a22×b22
a11×b11＋a12×b21 ＝ a ×b ＋a ×b 21 11 22 21
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数 相等时才能进行乘法运算．
a11 (2)二阶矩阵 a21 a11×x0＋a12×y0 a ×x ＋a ×y . 21 0 22 0
x0 a11 a12 x0 a12 与列向量 和乘法规则： ＝ a22 y0 a21 a22y0
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵， 其乘法法则如下：
1 M1＝ 0 1 0 ，M2＝ 0 1 0 0 ，M3＝ 0 0
0 确定的投影变换．需要注意 1
的是投影变换是映射，但不是一一映射． (6)由矩阵
1 M＝ 0
k 1 或 1 k
0 确定的变换称为切变变换，对应的 1
1 k 为例，矩阵 1 0
第 1节
线性变换与二阶矩阵
【知识梳理】 1．矩阵的相关概念 (1)由 4 个数
a a，b，c，d 排成的正方形数表 c
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
线性变换与二阶矩阵PPT课件
二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。
高中数学 第1课时 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换教案 新人教A版选修42
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → =→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：③ 概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。
练习1： 1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,— 2 —3 —⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88 23324x y x y ++⎧⎨-+⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2： 1.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
1.1线性变换与二阶矩阵
cos 2a sin 2a sin 2a cos 2a
O
x
线性变换
坐标变换公式 一一对应
二阶矩阵
常见反射变换矩阵：
1 0 把一个几何图形变换为与之关于 y 轴 (1) M1 0 1 对称的图形；
(2)
1 0 把一个几何图形变换为与之关于 x 轴 M2 0 1 对称的图形；
点P’(x’,y’)，它们的坐标之间存在什么关系？
P( x, y )
y
a
O
a
x cos a y sin a x P( x, y) y x x sin a y cos a
x ax by 在平面直角坐标系xOy内，形如 ……③ y cx dy
数学应用
1 0 例2.验证圆C: x y 1 在矩阵A= 对 0 2 应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆
2 2
的方程.
y x 1 4
2
2
再回首
1、在平面直角坐标系中，
形
平面内的点 平面内的曲线 平面内的图形变换
数
有序实数对 方程
2、两种特殊的线性变换：
旋转变换
1 3 Q( , ) 2 2
探究
在直角坐标系xOy内，直线 l 过原点，倾斜角 为 a . 你能求出关于直线 l 的反射变换的坐标变换公 式和对应的二阶矩阵吗？
P( x, y )
y
l
a
O
P( x, y)
x
cos 2a sin 2a sin 2a cos 2a
sin a cosa
高中数学—线性变换与二阶矩阵
绕原点 O 按逆时针旋转 270 和按顺时针旋转 90 的
坐标变换公式以及对应的二阶矩阵. 看看它们有什么
关系?
旋转角为 270 时,
坐标变换公式:
二阶矩阵:
x y
= =
x cos 270 x sin 270 +
ysin ycos
270, 270.
01 -1 0
x y
= =
y, - x.
(二) 变换、矩阵的相等
2. 怎样根据条件求上述变换的变换公式?
2. 反射变换
一般地, 我们把平面上的任意一点 P 对应到它关 于直线 l 的对称点 P 的线性变换叫做关于直线 l 的反 射.
如点 P(x, y) 关于 x 轴的反射 P(x, y), 其反射变
换公式为 x=x,
y P(x, y)
y= -y.
与之对应的二阶矩阵是
-1 0
0 1
.
O
x
练习(补充). 请写出在直角坐标系 xOy 内, 任一 点 P(x, y) 关于直线 x+y=0 的反射变换公式及对应的
【课时小结】
5. 线性变换对应的矩阵
线性变换
x y
= =
ax + by, cx + dy.
对应的矩阵为二阶矩阵
ab c d.
旋转变换
x y
= =
xcosa xsina +
ysina ycosa
, .
对应的矩阵为
cosa sina
-sina cosa
.
(第二课时)
第一课时 第二课时
1. 反射变换、伸缩变换、投影变换、切 变变换分别是怎样的变换?
例3. 设 A= 1 y
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第一章 第一节 线性变换与二阶矩阵
一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢?教学目标知识与能力了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵过程与方法情感态度和价值观用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系教学重难点重点1.二阶矩阵的概念2.线性变换及其对应的二阶矩阵难点线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵旋转变换反射变换伸缩变换投影变换切变变换1.旋转变换探究将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度α.设平面内点P (x,y )经过旋转后变成点 ()y ,x P ′′′ 那么如何用P 的坐标(x,y )表示 的坐标 ?P ′()y ,x ′′得到：x ’=－x, y ’=－y.① ①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式 P ’是P 在这个旋转变换的像. O 180°PP′ y x如图,在直角坐标系x o y 内,点P (x,y )绕原点O 按逆时针方向旋转180°,变成点 ().y ,x P ′′′例1 在直角坐标系x o y 内,将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换.(1)求点A （1，0）在这个旋转变换下的像A ′;(2)写出这个旋转变化的表达式. A(1,0) O30° A ′y x 图1 图2 O yx (x,y ) P α30° ().y ,x P ′′′的横坐标和纵坐标为点解：如图A ,′123= 23×1= °30=cos OA x °30=sin OA y 21=21×1=)21,23(′(1,0)A A 为在这个旋转变换下的像点θ=θ=rsin y rcos x (2) 如图2,分别连接OP ,OP ’,设OP = OP′=r,.OP ,x 为终边的角以轴的正半轴为始边是以记θ∴()()°30+θ=′°30+θ=′sin r y cos r x即: yx y yx x 23+21=′2123=′－② 23212123－即得到正方形数表: 由两角和的三角函数公式得:,cos y sin x y ,sin y cos x x °30+°30=′°30°30=′－其中系数a,b,c,d 均为常数，则称③的几何变换为线性变换. ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.dycx y by ax x +=′+=′③线性变换③与dc b a 一一对应 在平面直角坐标系x O y 中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式定义 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表 称为二阶矩阵dc b a 数a,b,c,d 称为矩阵的元素.零矩阵: 0000记为: 单位矩阵: 1001记为: 0E2.反射变换平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P ’的线性变换叫做关于直线l 的反射. 例:在直角坐标系xOy 内,任意点P(x,y)关于直线y=x 的对称点为P ’(x ’,y ’).则相应 的坐标变换公式是: x ’=y,y ’=x.对应的二阶矩阵是 0113.伸缩变换在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2,其中k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.定义伸缩变换的坐标变换公式为: x’=k1x,y’=k2y.对应的二阶矩阵:k k2 14.投影变换设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为点P在直线l上的投影.PlαP’定义平面上每一点P变成它在直线l上的投影P’,这个变换称为关与直线l的投影变换.在直角坐标系xOy 内,任意点P 关于x 轴的投影变换的坐标变换公式为: x ’=x,y ’=0.对应的二阶矩阵: 00015.切变变换如图,在直角坐标系xOy 内,将每一点P (x,y )沿与x 轴平行的方向平移ky 各单位变成P ’,其中k 为常数,称这类变换为平行于x 轴的切变变换. O y xP (x,y )P ’(x+ky ,y ) 定义平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为:x’=x+ky,y’=y.1k对应的二阶矩阵:1抢答平行于y 轴的切变变换的坐标公式?x ’=x,y ’=kx +y.对应的二阶矩阵: 11k（二）变换、矩阵的相等2π3+2π3=′2π32π3=′cos y sin x y sin y cos x x－x ’=x,y ’=－x.旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2π3即:2π32π32π32π3cos sin sincos －0110－对应的二阶矩阵:即:x ’=x,y ’=－x.）（－）（－）（－）－（－2π+2π=′2π2π=′cos y sin x y sin y cos x x 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2π－即:）（－）（－）（－－）（－2π2π2π2πcos sin sin cos 0110－即: 对应的二阶矩阵:观察1.旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵1.旋转角度定义设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）= ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ.设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为A = ,B = .若σ=ρ,则a 1=a 2,b 1=b 2,c 1=c 2,d 1=d 2.这时我们称二阶 矩阵A 与二阶矩阵B 相等.d c b a 2222d c b a 1111定义课堂练习.y ,x ,q ,p B A ,q p p q B ,x y x A ，求且－－例：设=2+=23+3=解:由矩阵定义: .x ,q p y ,p ,q x 2=+=23==+3－－.q ,p ,y x 1=3=2=2=－，－课堂小结1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵.)课堂小结2.变换和矩阵的相等（1）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等:对应系数相等注:两个线性变换相等当且仅当对应的二阶矩阵相等教材习题答案1.（1）坐标变换公式为:对应的二阶矩阵: .y x y ,y x x 22+22=′2222=′－22222222－（2）坐标变换公式为: .x y ,y x =′=′－对应的二阶矩阵: 10012.设P (x,y)是平面直角坐标系x O y 内的任意一点,则它关于原点O 的对称点 为 ∴坐标变换 公式为 对应的二阶矩阵为 ..y y ,x x －－=′=′1001－－(),y ,x P ′′′3.（1）点 在这个投影变换下的像为()；03′,A ()12,A（2）设P (x ,y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个变换下的像为P ’(x +y ,0),因此,坐标变换公式是 1001对应的二阶矩阵是 .y ,y x x 0=′+=′.Z k ,R R .k ∈其中2π32π3+π2=45.由X = Y ,得x = 3 , y =－9 , z = 0.6.设P (x 0 , y 0）是平面直角坐标系xOy 内的任意一点,它关于直线l :y =2x 的投影变换下的像为P ’（x ’,y ’). 易得:过点P （x 0,y 0)垂直于直线的斜率为k =－1/2.于是,直线方程为：().x x y y 0021=－－－(),x x y y ,x y 0021=2=－－－解方程组:得直线l :y =2x 与直线y －y 0=－1/2(x －x 0)的坐标(（x 0+2y 0)/5,（2x 0+4y 0)/5）.∵M 是线段PP ’的中点,所以,y y x y ,x y x x 00000054+2×2=′52+×2=′－－即: .y x y ,y x x 53+4=′54+3=′0000－∴坐标变换公式: .y x y ,yx x 53+4=′54+3=′－对应的二阶矩阵: 53545453－(2)对应的坐标变换公式: .y B A )B A (x B A AB y ,y B A ABx B A )A B (x 222222222222++2=′+2+=′－－－－－对应的二阶矩阵:B A )B A (B A AB B A AB B A A B 222222222222++2+2+－－－－－。
高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.1.2 变换、矩
������ = 2������ + 1,
从而有 ������-������ = ������ + 1, ������ + ������ = -������,
������ = 2������ + 1,
解得
a=-1,b=-1,c=
1 5
,
������
=
−
25.
反思两个矩阵相等,它们相应位置的对应元素分别相等.
(二)变换、矩阵的相等
1.理解并掌握变换相等与二阶矩阵相等的概念. 2.会利用变换、矩阵的相等解决简单问题.
12
1.变换相等 一般地,设σ,ρ是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果对 平面内的任意一点P,都有σ(P)=ρ(P),则称这两个线性变换相等,简 记为σ=ρ. 知识拓展根据与α角终边相同的角为2kπ+α(k∈Z),它们的三角函 数值一定相等,可知旋转变换Rα一定与旋转变换R2kπ+α(k∈Z)相等, 即有Rα=R2kπ+α.
cos������
=
cos
π 12
,
sin������
=
sin
π 12
,
∴α=
π 12
+
2������π,
������∈Z.
题型一 题型二 题型三
反思对于两个相等的旋转变换 Rα 与 Rβ,其二阶矩阵
������������������α -������������������α
������������������β -������������������β
A.−
2π 3
B.
4π 3
C.
−
4π 3
D.
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-1 对应的变换作用下变换成的图形, 0
其中������(0,0), ������(2,0), ������ (2,1), ������(0,1). 如图所示.
1
2
பைடு நூலகம்
3
4
5
x ,有 y
0
-1
x =
-������ . x
解:对于任意一向量
1
0
y
0 因此点 O(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)在矩阵
������2 ������2 椭圆 ������2 + 2 ������
= 1 中,-b≤y≤b,
∴投影后的曲线方程为 x=0(-b≤y≤b),为一条线段.
答案:A
1
2
3
4
5
-1
������2 3.已知双曲线 4 ������2 − 3
0
= 1, 矩阵 0 1 .
对应的反射变换把双曲线变成的曲线是
题型一
题型二
题型一
线性变换对由线段围成的平面区域的作用
1 【例 1】 已知矩形 ABCD 如图所示,试求在矩阵 0 对应的变换作用下的图形,
3
1
并指出矩形区域������������������������在变换过程中不变的线段. 分析:对于由线段组成的图形,只需研究端点处的变化情况即可.
题型一
其中������是非零常数, 坐标变换公式为
1
2
3
4
5
6
5.反射变换 1 (1)关于 x 轴的反射变换,对应的矩阵为 A= 0 ������' = ������, 坐标变换公式为 ������' = -������. -1 (2)关于 y 轴的反射变换,对应的矩阵为 A= 0 坐标变换公式为 ������' = -������, ������' = ������. 1 0 , -1 0 ,
1
2
3
4
5
6
2.恒等变换 把平面上任意一点变成它本身的几何变换称为恒等变换,记为 1 0 ������' = ������, I,对应的矩阵为 , 坐标变换公式为 ������' = ������. 0 1
1
2
3
4
5
6
3.旋转变换 ������������������α -������������������α 旋转变换 Rα 对应的矩阵为 A= ������������������α 坐标变换公式为 ������' = ������cos������-������sin������, ������' = ������sin������ + ������cos������. ������������������α ,
0 1 1 1 0 1 ∴A'(-2,-1),B'(4,1),C'(1,1),D'(-5,-1).
题型一
题型二
1 从而矩形 ABCD 在矩阵
3
0 1 对应变换的作用下变成平行四边形A'B'C'D',如图所示,线段 EF 为该 切变变换作用下不变的线段.
反思只要找到端点的变化情况,平面区域边界的变化情况就确 定了.
1
2
3
4
5
解析:设双曲线上任意一点 P(x,y)在反射变换下对应点 P'(x',y'),则 x' = y' 0 1 y -1 0 x = y
������'2 − 3
-x ,∴ ������' = -������, ������ = -������', ∴ ������' = ������. ������ = ������'.
题型二
解:设 A',B',C',D'为点 A,B,C,D 在变换作用下的像点,由题图可知, 点 A(1,-1),B(1,1),C(-2,1),D(-2,-1). 1 3 1 3 4 1 -2 1 ∵ 1 0 3 1 -1 -2 = = 1 -1 , -1 , 1 3 0 1 -2 1 = -1 = 1 -5 , ,
则 =
1 ������ + ������ 2 2 , = 1 1 - ������ + ������ y 2 2
代入 y2=4x,得(x'+y')2=4(x'-y'), ∴抛物线 y2=4x 变换后的曲线方程为(x+y)2=4(x-y). 答案:(x+y)2=4(x-y)
1
2
3
4
5
0 5.求矩形 OBCD 在矩阵 1
1
2
3
4
5
6
【做一做2】 关于y轴的投影变换,把单位正方形区域 x1i+x2j(0≤x1,x2≤1)变为 ,其长度为 . 答案:线段 1
1.线性变换对单位正方形区域的作用 剖析:(1)恒等变换,关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换,变换 前后正方形区域的形状都未发生改变,只是位置发生了变化. (2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动,另一边平移了 的平行四边形. (3)投影变换把正方形区域变成了线段. 2.线性变换对平面区域作用的求解 剖析:(1)当线性变换对由线段组成的图形如三角形、矩形等作用 时,只需求出端点的对应点,然后依次连起来即可. (2)当线性变换对由光滑曲线形成的图形如圆、双曲线等作用时, 应借助变换对任一点的作用,利用已知点在曲线上进行求解.
������2 , 如图所示. 4
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5
1.恒等变换I将直线x+2y-1=0变换为( A.x+2y-1=0 B.x+2y+1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0 解析:恒等变换保持原图形不变. 答案:A
)
1
2
3
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0
������2 2.已知椭圆 ������2
0
+
������2 ������
������'2 代入双曲线方程,得 4 ������2 ∴双曲线 4 ������2 − 3
= 1, -1 0
= 1 在矩阵 0 1
对应的反射变换下所得图形仍是它本身. 答案:双曲线
1
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5
4.在矩阵
1 2
1 2
1 2
1 2
对应的变换作用下, 抛物线������2 = .
4������变换后的曲线方程是
【做一做1】 旋转变换R30°把单位正方形区域x1i+x2j(0≤x1,x2≤1) 绕原点按逆时针方向旋转 度,变换后图形的面积 为 . 答案:30 1
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4.切变变换 1 (1)平行于 x 轴的切变变换,对应的矩阵为 A= ������' = ������ + ������������, 其中������是非零常数, 坐标变换公式为 ������' = ������. (2)平行于 y 轴的切变变换,对应的矩阵为 A= ������' = ������, ������' = ������������ + ������. k 1 0 1 1 0 , k ,
(二)一些重要线性变换对单位正方形区 域的作用
1.了解线性变换(恒等变换、旋转变换、切变变换、反射变换、 投影变换)对单位正方形区域的作用. 2.认识矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、旋转、切变、 投影等.
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1.单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形
(1)直角坐标系xOy内的单位正方形区域(如图)可用向量形式表示 为x1i+x2j(0≤x1,x2≤1). (2)设A是一个二阶矩阵,由矩阵与平面向量乘积的性质得 A(x1i+x2j)=x1(Ai)+x2(Aj)(0≤x1,x2≤1).该等式的右端表示以Ai,Aj为 邻边的平行四边形区域,所以矩阵A所对应的线性变换把(1)中的单 位正方形区域,变成以Ai,Aj为邻边的平行四边形区域.
1
= 0 1 y
= y
,
������' = 2������, 1 ������ = 2 ������', 2 ∴ 即 代入y=x ,得 y'= ������′2. ∴ 在矩阵M 对应 4 ������' = ������, ������ = ������'. 的变换作用下,曲线 y=x2 变成曲线 y=
1
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6.投影变换 1 0 (1)关于 x 轴的投影变换对应的矩阵为 A= ������' = ������, 坐标变换公式为 ������' = 0. (2)关于 y 轴的投影变换对应的矩阵为 A= ������' = 0, 坐标变换公式为 ������' = ������. 0 1 0 0 0 0 , ,
-1
1 0 对应的变换作用下变换成点O'(0,0),B'(0,2),C'(-1,2),D'(-1,0),矩形 OBCD 变成矩形 O'B'C'D',如图所示.
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解析:设抛物线 y2=4x 上任意一点 P(x,y)在矩阵 对应的变换作用下对应点为P'(x',y'), x' 1 1 x 1
-
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 1 1 y' 2 2 1 1 ������' = ������ + ������, ������ = ������'-������', 2 2 ∴ ∴ ������ = ������' + ������'. 1 1 ������' = - ������ + ������. 2 2