弹性力学平面问题的边界单元法计算报告
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5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法

将式 (d) 代入 (c) 中第三式,得:
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式(d),得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程:
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界: X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸(b>0) 或均匀压缩(b<0)。(包括轴向拉压)
y
(2)
cx
2
2
应力分量: y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸(b>0) 或均匀压缩(b<0)。(包括轴向拉压)
4
多项式次数 n 越高,则系数间需满足的条件越多。 (2) 一次多项式,对应于无体力和无应力状态;任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式,对应力无影响。 (3) 二次多项式,对应均匀应力状态,即全部应力为常量;三次多项式, 对应于线性分布应力。 (4) 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法(只能解决简单直 线应力边界问题)。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
(1) 逆解法
(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式;
(2)然后利用应力分量计算式求出
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式(d),得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程:
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界: X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸(b>0) 或均匀压缩(b<0)。(包括轴向拉压)
y
(2)
cx
2
2
应力分量: y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸(b>0) 或均匀压缩(b<0)。(包括轴向拉压)
4
多项式次数 n 越高,则系数间需满足的条件越多。 (2) 一次多项式,对应于无体力和无应力状态;任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式,对应力无影响。 (3) 二次多项式,对应均匀应力状态,即全部应力为常量;三次多项式, 对应于线性分布应力。 (4) 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法(只能解决简单直 线应力边界问题)。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
(1) 逆解法
(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式;
(2)然后利用应力分量计算式求出
弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题

- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩:
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立,须将整体刚度矩阵的第1,3,7, 8,10,12以及同序列的各列去掉。最后 得到:
6
结构整体分析(10)
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如,设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q,试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵(7)
结构整体分析(1)
对于每个单元,我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵:
结构整体分析(2)
根据虚功原理,我们也推导了结点力与结点位移的关系:
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析(15)
1. 有限元法的求解步骤: 2. 划分有限元, 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵, 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵, 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去,得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组,得到结点位移,并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分(2)
当结构具有凹槽或孔洞时,为了正确地描述应力集中效 应,必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时,可以分两次计算。第一次计算时, 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点,甚至 和其他区域的网格大致相同,第二次计算时,将需要细 化的部分区域(区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值)取出,利用第一次计算的计算结果,就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
1
需求解的结点还剩:
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立,须将整体刚度矩阵的第1,3,7, 8,10,12以及同序列的各列去掉。最后 得到:
6
结构整体分析(10)
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如,设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q,试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵(7)
结构整体分析(1)
对于每个单元,我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵:
结构整体分析(2)
根据虚功原理,我们也推导了结点力与结点位移的关系:
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析(15)
1. 有限元法的求解步骤: 2. 划分有限元, 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵, 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵, 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去,得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组,得到结点位移,并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分(2)
当结构具有凹槽或孔洞时,为了正确地描述应力集中效 应,必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时,可以分两次计算。第一次计算时, 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点,甚至 和其他区域的网格大致相同,第二次计算时,将需要细 化的部分区域(区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值)取出,利用第一次计算的计算结果,就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法

上节课内容回顾:
1. 弹性力学问题的求解方法 (1)按位移求解(位移法、刚度法) 以u、v 为基本未知函数,将平衡方程和边界条件都用u、v 表示, 并求出u、v ,再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 (2)按应力求解(力法,柔度法) 以应力分量 为基本未知函数,将所有方程都用应力分量表示,并 求出应力分量 ,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 (3)混合求解 以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数,将,并求出这 些未知量,再求出其余未知量。 2. 按位移求解平面问题的基本方程
问题:
按应力求解平面问题,其基本未知量为: 如何由
x , y , xy
求出形变分量、位移分量?
x
, y , Βιβλιοθήκη y,本节说明第六节 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例,说明如何由 , , 求出形变分量、位移分量? x y xy
1. 形变分量与位移分量
(1)形变分量
由前节可知,其应力分量为:
G
将式(a)代入得:
x 1 ( x y)
My u 1 x x E I My v y y E I xy u v 0 y x
(c)
(2)位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
M
M
M
h 2 h 2
yX d y
h 2 h 2
1 3 6 fy d y fh 2
2
2M f 3 h
2 又,应力分量: x 2 6 fy y 2 12M x 2 3 y 所以 y h
y xy 0 y xy 0 y xy 0
1. 弹性力学问题的求解方法 (1)按位移求解(位移法、刚度法) 以u、v 为基本未知函数,将平衡方程和边界条件都用u、v 表示, 并求出u、v ,再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 (2)按应力求解(力法,柔度法) 以应力分量 为基本未知函数,将所有方程都用应力分量表示,并 求出应力分量 ,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 (3)混合求解 以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数,将,并求出这 些未知量,再求出其余未知量。 2. 按位移求解平面问题的基本方程
问题:
按应力求解平面问题,其基本未知量为: 如何由
x , y , xy
求出形变分量、位移分量?
x
, y , Βιβλιοθήκη y,本节说明第六节 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例,说明如何由 , , 求出形变分量、位移分量? x y xy
1. 形变分量与位移分量
(1)形变分量
由前节可知,其应力分量为:
G
将式(a)代入得:
x 1 ( x y)
My u 1 x x E I My v y y E I xy u v 0 y x
(c)
(2)位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
M
M
M
h 2 h 2
yX d y
h 2 h 2
1 3 6 fy d y fh 2
2
2M f 3 h
2 又,应力分量: x 2 6 fy y 2 12M x 2 3 y 所以 y h
y xy 0 y xy 0 y xy 0
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元

v u v 2 , y 6 , xy 3 5 都是常量,即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式,它是连续函数,可以肯定,在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数,在单元边界上位移也是线性变化的,两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移,因而相邻单元在公共边界上位移连续,即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出,三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
(2-1-7b)
(2 )若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力,它在 j 点的集度为 q ,在 m 点的集度为零 (如图 2-5) 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ,其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数,为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示,根据形函数的含义,
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中, t 为单元的厚度,当单元划分得足够小时,可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式,利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
假定的位移函数是多项式,它是连续函数,可以肯定,在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数,在单元边界上位移也是线性变化的,两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移,因而相邻单元在公共边界上位移连续,即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出,三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
(2-1-7b)
(2 )若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力,它在 j 点的集度为 q ,在 m 点的集度为零 (如图 2-5) 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ,其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数,为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示,根据形函数的含义,
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中, t 为单元的厚度,当单元划分得足够小时,可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式,利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
一般弹性平面问题的边界元分析

当i =0时 , A=A , =a,:l。 有 oa ol o
(0 1) . 1
( .1 1 1)
命题 12 若 G Q 是 m m ) . () ( ≥1次调和函数 , 即
V G Q =0 () 则有 ( VQEQ)
IP _ I G Q F( , )F Q : ( ) ( )oP Q d ( ) n
V l=( 一u l 1 ) J ( .) 2 1 ( .) 22
作变换 =x +i , l x 2 式( .) 21可化为
1 1 x =x 一i 2
l知= 1 1 ) ( , ) l ( +u 1 J 于是
( .) 2 3
l寺Ⅱ1oTd l ( )dr J = + a ̄ /
。
V‘ = 一E^ V T一
.
i
(=12 i ,)
(.) 16
=
( 1 一)
(,=12 i j ,)
(.) 1 7
收稿 日期 :0 1 1 20—
维普资讯
第1 期
张义萍等: 一般弹性平面问题的边界元分析
王
式 中, 对于平面应变问题 ^=
F ( Q 满足方 程 m P, ) v F m=g P Q ( ,) ( .) 18
则 F(.0 1… , , 如下递 推公 式 ii , , m)有
E =AI(n +a) i Ir i J -
且
( _0 1 … , i , , m)
( .) 19
l 1 , = , =一 (0一) i i A a÷ i', ++i 2+ = i =1m .
吉(, u) (J 1 ) u +j i: , I , j i , 2
一
(0 1) . 1
( .1 1 1)
命题 12 若 G Q 是 m m ) . () ( ≥1次调和函数 , 即
V G Q =0 () 则有 ( VQEQ)
IP _ I G Q F( , )F Q : ( ) ( )oP Q d ( ) n
V l=( 一u l 1 ) J ( .) 2 1 ( .) 22
作变换 =x +i , l x 2 式( .) 21可化为
1 1 x =x 一i 2
l知= 1 1 ) ( , ) l ( +u 1 J 于是
( .) 2 3
l寺Ⅱ1oTd l ( )dr J = + a ̄ /
。
V‘ = 一E^ V T一
.
i
(=12 i ,)
(.) 16
=
( 1 一)
(,=12 i j ,)
(.) 1 7
收稿 日期 :0 1 1 20—
维普资讯
第1 期
张义萍等: 一般弹性平面问题的边界元分析
王
式 中, 对于平面应变问题 ^=
F ( Q 满足方 程 m P, ) v F m=g P Q ( ,) ( .) 18
则 F(.0 1… , , 如下递 推公 式 ii , , m)有
E =AI(n +a) i Ir i J -
且
( _0 1 … , i , , m)
( .) 19
l 1 , = , =一 (0一) i i A a÷ i', ++i 2+ = i =1m .
吉(, u) (J 1 ) u +j i: , I , j i , 2
一
第四章 弹性力学平面问题的有限单元法

(ui , vi ),(u j , vj ),(um , vm ), 每个结点在其单元内的位移可以有两个,三个结点位移为
记单元的结点位移向量 δ 和结点力向量 F
ⓔ
ⓔ
y vm
δ ui
Fⓔ Fxi
ⓔ
vi
uj
vj
um
vm
T
(xm, ym) m
um vj j uj
(4-1a)
Fyi
3.物理方程 对于平面应力问题
E E x ( x y ) , y ( x y ) , 2 2 1 1 E E 1 xy xy xy 2 2(1 ) 1 2
5
若令
x
则
y xy T ,
(4-14)
(i, j,m)
22
如果注意到(4-1)式,则(4-11)式可写成
S i i S j j S m m
从(4-13)、(4-14)式可以看出, S 中的元素都是常量,所以每 个单元中的应力分量也是常量。因而,相邻单元将具有不同的应 力和应变。这样,越过公共边界,从一个单元到另一个与它相邻 的单元,应力和应变的值都将有突变,但是位移是连续的(参阅 下节),常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移 模式所造成的。
(1) 平面应变问题
如图柱形管道和长柱形坝体,具有如下特点:a纵向尺寸远大于横向尺 寸,且各横截面尺寸都相同;b 载荷和约束沿纵向不变,因此可以认为,沿 纵向的位移分量 等于零。 y
P
x
3
(2) 平面应力问题
等厚或不等厚平板,具有如下特点:a 长宽尺寸远大于厚度,b载荷只沿 板面,且沿厚度均匀分布,因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。 y
弹性力学 第2章边界条件(6,7)

x x, y ,
x, y , x, y ,
y xy
独立的(3个)
x x, y ,
z
x, y , x, y
y xy
独立的(3个) 3、位移分量
(3个)
ux, y , vx, y , w 独立的(2个) ux, y , vx, y (2个)
一.圣维南原理的叙述
描述-1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系(主矢及主矩均为相同) 代换,则在加载附近的的应力发生显著变 化,而在稍远处的影响可忽略不计,亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述-2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系(主矢及主矩均为 零),则面力就只会使近处产生显著的应 力,远处的应力可忽略不计。
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
x yx
f yn Y
xy l f x y m f y s
注意:以上在推导时,斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定-与面力相同。
叠加原理
• 叠加原理:两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。 • 证明概要:只需注意方程都是线性的, 同时边界条件也是线性的即可。 • 推广:以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理:根据叠加原理,可以把原问 题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
xy l f x y s m f y
x 上面:l=0,m=-1 左面: 右面: l=-1 l=1 m=0 m=0 下面:l=0,m=1 y
(2).上下两面 l 0 ) f ( ( m 1 ) f
x, y , x, y ,
y xy
独立的(3个)
x x, y ,
z
x, y , x, y
y xy
独立的(3个) 3、位移分量
(3个)
ux, y , vx, y , w 独立的(2个) ux, y , vx, y (2个)
一.圣维南原理的叙述
描述-1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系(主矢及主矩均为相同) 代换,则在加载附近的的应力发生显著变 化,而在稍远处的影响可忽略不计,亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述-2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系(主矢及主矩均为 零),则面力就只会使近处产生显著的应 力,远处的应力可忽略不计。
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
x yx
f yn Y
xy l f x y m f y s
注意:以上在推导时,斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定-与面力相同。
叠加原理
• 叠加原理:两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。 • 证明概要:只需注意方程都是线性的, 同时边界条件也是线性的即可。 • 推广:以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理:根据叠加原理,可以把原问 题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
xy l f x y s m f y
x 上面:l=0,m=-1 左面: 右面: l=-1 l=1 m=0 m=0 下面:l=0,m=1 y
(2).上下两面 l 0 ) f ( ( m 1 ) f
弹性力学问题的边界元法

弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法,它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题,具有计算准确、实现方便的优点,在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立,采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化,从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行,主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点,它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构,而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外,它还可以应用于多种时间和空间刻度,可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之,边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值,是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关,能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来,边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
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{ 其中, ������������������������ =
������ {2������ ������ [(1 − 2������)������������ ������������������ + ������(������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) − 4������������ ������������ ������������ ] + 2������(������������ ������������ + ������������ ������������ )������������ 2������(1 − ������)������ 2 ������ ������ + (1 − 2������)(2������������ ������������ ������������ + ������������ ������������������ + ������������ ������������������ ) − (1 − 4������)������������ ������������������ } 1 [(1 − 2������)(������������ ������������������ + ������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) + 2������������ ������������ ������������ ] 4������(1 − ������)������
∗ ������������������ =
1 1 ������������ ������������ [(3 − 4������)������������������ ������������ + ] 8������(1 − μ) ������ ������������������ ������������������
∗ 其含义为在 Q 点的法线方向余弦为(������1 , ������2 )的截面上产生的������������ 方向的应力分量������������������ 。 在边界元中,考虑体力时,引入伽辽金张量将域内积分转化为边界积分 ∗ ������������������ =
1 2 1 ������ ln ������������������ 8������G ������ 1 ������ ∗ 2(1 − μ) ������������,������������
1. 弹性力学平面问题的边界单元法(二次元) 1.1. 弹性力学平面问题基本解
弹性力学基本方程为
平衡方程: ij ,i b j 0 或纳维叶-拉密方程:( +G)ui ,ij Gu j ,ii b j 0 边界条件:u j =u j , p j ni ij p j
������
1
������������������
������������Ω
该边界积分方程表示:若边界Γ上的位移������������ 和面力������������ 均已知时,即可求得区域内任意一点 P ������ ������ 处沿 l 方向的位移������������������ ������������ 。 边界积分方程中的体力区域积分项,当为常体力时,取基本解,利用散度定理,得
则位移基本解可表示为
∗ ∗ ������������������ = ������������������,jj −
具体为
∗ ������������������ =
1 1 7 − 8μ ������������ ������������ {[(3 − 4������) ln − ]������������������ + } 8������(1 − μ) ������ 2 ������������������ ������������������
弹性力学平面问题边界单元法计算报告
河海大学 2013 级工程力学 摘要: 本文总结了边界元法的基本原理和应用; 对弹性力学二维问题的边界元方法进行了公 式推导,并给出了二次元离散的矩阵形式公式,通过对教学程序的阅读和修改,增加了体力 项, 并运用程序计算了对径受压圆盘算例, 无体力项结果与文献较吻合, 含体力项偏差较大。 关键词:边界元、二维弹性问题、对径受压圆盘、体力项
∗ ������������ = ∬Ω ������������������ ������������ ������Ω = ∬Ω ������ ������ 8������������
(2 ln − 1) [������������ ������������
������
1
������������ ������������������
i,j 的集合为 (1,2) , 平面应力问题时, 需要将上式中拉密常数λ和 G 中 E 替换为 μ替换为
������ 1+μ 1+2μ (1+μ)2
������ ,
。
∗ 弹性力学平面问题的位移基本解������������������ 需满足 ������ ∗ ∗ ������ ������ ������ (λ + G)������������������,������ + G������������������,������������ + ������������������ Δ(������1 − ������1 , ������2 − ������2 )=0 ������ ������ 其含义为在无限大平面弹性体内某一点P(������1 , ������2 )的������������ 方向有单位集中力作用时, 在任意一 ������ ������ 点Q(������1 , ������2 )的������������ 方向是的位移解答,具体为
相应的应力基本解为 1 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ∗ ������������������ =− { [(1 − 2������)������������������ + 2 ] − (1 − 2������) ( ������������ − ������ )} 4������(1 − μ)r ������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������
������ ������ ������������Γ(光滑边界点) 其中,������������������ = { 2 ������������ ∗ ������������������ + limε→0 ∫Γ ������������������ ������Γ ������������Γ(不光滑边界点)
由边界已知值,求得区域内点的位移和应力,由下式计算
∗ ∗ ������������ = − ∫������������������ ������������ ������Γ + ∫������������������ ������������ ������Γ + ∫������������∗ ������Γ Γ Γ Γ ������ ������������������ ∗ = − ∫������������ ������������������������ ������Γ + ∫������������ ������������������������ ������Γ + ∫������������������ ������Γ Γ Γ Γ ������
上式比无体力作用时多了一个常数项, 该常数项相当于刚体位移, 对于仅有面力作用的问题, 两个基本解分析结果一致,当有体力作用时,引入伽辽金张量,必须使用上式作为基本解, 应力基本解保持不变。 弹性力学边界元法基本公式 对弹性力学基本方程,利用加权余量法,建立下式
1.2.
∗ ∗ ∬ (������������������,������ + ������������ )������������ ������Ω + ∫ (������������ − ������ ̅������ )������������ ������Γ + ∫ (������������ − ������̅������ )������������ ������Γ = 0 Ω Γ1 Γ2
0. 概述
边界元法(BEM)即边界积分方程的数值解法,是继有限元后迅速发展起来的高效数值分 析方法,与有限差分法、有限元法一起被看作为常用的三大数值方法。它以定义在边界上的 边界积分方程为控制方程,通过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解,并进而通过边 界量值求解区域内部量值。 边界元法与基于偏微分方程的区域解法相比,降低了问题的维数,降低了自由度数,边 界的离散也比区域的离散方便, 可用较简单的单元准确地模拟边界形状, 最终得到阶数较低 的线性代数方程组。 边界元法引入了控制微分方程的解析基本解作为边界积分方程的核函数, 具有解析与数值相结合的特点,通常具有较高的精度。边界元法能方便地处理无限域、半无 限域问题。边界元法具有广泛地应用,在固体力学领域中,无论静动力问题、线性或非线性 问题,均能用边界元求解;在动力学问题、传热问题、电磁问题、声场问题、多场耦合等问 题中也有较广泛的应用; 边界元法可与有限元法、 无网格方法等耦合使用, 如 BDEM、 meshfree BDEM 等。 边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提, 对于非均匀 介质等问题处理困难, 故其适用范围远不如有限元法广泛, 而且通常由它建立的求解代数方 程组的系数阵是非对称满阵,对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题,由于在方程 中会出现域内积分项,从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。