图Pm+Pn的Smarandachely邻点边色数

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C_m_K_n的邻点可区别全染色

收稿日期:2008203220.基金项目:连云港师专科研课题资助项目(L SZTD200806);连云港师范高等专科学校青蓝工程资助项目.作者简介:王继顺(19702),男,山东临沭人,连云港师范高等专科学校讲师,硕士,主要从事图论与组合优化,计算机辅助几何设计研究. 文章编号:16722691X (2009)0120003203C m ×K n 的邻点可区别全染色王继顺1,李步军2(1.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006;2.淮海工学院数理科学系,江苏连云港222005)摘　要:设G (V ,E )是阶数至少为2的简单连通图,k 是正整数,V ∪E 到{1,2,3,…,k}的映射f 满足:对任意uv ,vw ∈E (G ),u ≠w ,有f (uv )≠f (vw );对任意uv ∈E (G ),有f (u )≠f (v ),f (u )≠f (uv ),f (v )≠f (uv );那么称f 为G 的k 2正常全染色,若f 还满足对任意uv ∈E (G ),有C (u )≠C (v ),其中C (u )={f (u )}∪{f (uv )|uv ∈E (G ),v ∈V (G )},那么称f 为G 的k 2邻点可区别的全染色(简记为k 2AVD TC ),称min {k |G 有k 2邻点可区别的全染色}为G 的邻点可区别的全色数,记作 at (G ).本文得到了圈C m 和完全图K n 的笛卡尔积图C m ×K n 邻点可区别的全色数.关键词:图;全染色;邻点可区别全染色;邻点可区别全色数中图分类号:O157.5 文献标识码:A　引言具有重要的实际意义和理论意义的图的染色问题,是图论研究的主要内容之一.文[1]提出图的邻点可区别全染色的概念,得到了圈、完全图、扇、轮、树等特殊图的邻点可区别全色数,并给出了相应的猜想.为验证这一猜想,文[2～5]研究了一些特殊图及由图的不同运算所得到的图的邻点可区别的全染色问题.图的染色的基本问题就是确定其各种染色法的色数,该类问题属于N P 难问题.笛卡儿积图是图论中重要的一种图,也是在计算机信息网络、交通网络等实际中常见的一种图,具有重要的研究意义和广泛的应用价值.文[5]研究了路P m 与完全图K n 笛卡尔积图P m ×K n 的邻点可区别的全染色问题,得到了该笛卡尔积图的邻点可区别的全染色数.本文研究了圈C m 与完全图K n 的笛卡尔积图C m ×K n 的邻点可区别的全染色,得到其邻点可区别的全染色数,说明文[1]的猜想是正确的.定义1[1]　设G (V ,E )是阶数至少为2的简单连通图,V ∪E 到{1,2,3,…,k}的映射f 满足:(1)对任意u ,v ,w ∈V (G ),uv ,vw ∈E (G ),u≠w ,有f (uv )≠f (vw );(2)对任意u ,v ∈V (G ),uv ∈E (G ),有f (u )≠f (v ),f (u )≠f (uv ),f (v )≠f (uv );那么称f 为G (V ,E )的k 2正常全染色.若f 还满足(3)对任意uv ∈E (G ),有C (u )≠C (v ),其中C (u )={f (u )}∪{f (uv )|uv ∈E (G ),v ∈V (G )}.那么称f 为G 的k 2邻点可区别的全染色(简记为k 2AVD TC ),称min {k |G (V ,E )CSP k 2AVD TC }为G (V ,E )的邻点可区别的全色数,记作 at G (V ,E ).猜想[1]　对阶数不小于2的简单连通图G(V ,E ),有 at (G )≤△(G )+3.其中△(G )为G (V ,E )中顶点的最大度.令珚C (u )={1,2,…,k}-C (u ),如果对任意u ,v ∈V (G ),uv ∈E (G ),C (u )≠C (v ),则珚C (u )≠珚C (v ),反之也成立.定义2[1]　令C m 为圈,K n 为完全图,并设V (C m )={u 1,u 2,…,u m },E (C m )={u 1u 2,u 2u 3,…,u m-1u m ,u m u 1};V (K n )={v 1,v 2,…,v m },E (K n )={v i v j |i ,j =1,2,….n ,i <j}.构造C m 与K n 的笛卡尔积图如下:第23卷第1期甘肃联合大学学报(自然科学版)Vol.23No.1　2009年1月Journal of G ansu Lianhe University (Natural Sciences )Jan.2009　V (C m ×K n )={w ij |i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n},E (C m ×K n )={w ij w st |i =s且v j v t ∈E (K n )或者j =t 且∈v i v s ∈E (C n )}.所构造的笛卡尔积图以下简记作C m ×K n .文中所考虑的是有限无向简单连通图,用到的未加说明的术语或记号可参见文献[6～8].　主要结果引理1[1]对阶数不小于2的简单连通图G(V ,E ),若G 有两个相邻的最大度顶点,则at (G )≥△(G )+2;如果G 最大度点都不相邻,则有at (G )≥△(G )+1. 引理2[1]设有m 阶圈C m (m ≥4),则at (C m )=4, 对于n 阶完全图K n (n ≥3),有at (K n )=n +1,n ≡0(mod2),n +2,n ≡1(mod2). 由于当n =1时,易见C m ×K 1=C m ,由引理1,可得如下结论成立.定理1　m 阶圈C m (m ≥4)与n 阶完全图K n的笛卡尔积图为C m ×K n ,则当n =1时,at (C m ×K n )=4,m ≥4. 定理2　m 阶圈C m (m ≥4)与n 阶完全图K n 的笛卡尔积图为C m ×K n ,则当n ≥2时,at (C m ×K n )=n +3,m ≥4. 证明　由引理1可得, at (C m ×K n )≥n +3.为证明 at (C m ×K n )=n +3,只需证明C m ×K n 存在一个(n +3)2AVD TC ,现分两种情况证明如下.情形1　当m ≡0(mod2)时,设由n +3种颜色组成的色集合为C ={1,2,…,n +3},对图的边或顶点染色确定为c ,为保证c ∈C ,若c 比1小或者大于n +3,c 的取值为r ,这里r ∈{1,2,…,n +3}且c ≡r (mod n +3).现构造V (C m ×K n )∪E(C m ×K n )到C 的映射f 如下:f (w ki w kj )≡i +j -2,i =1,2,…,m ,j =1,2,…,n.当1≤k ≤m -1时,分别有f (w kj )≡n +j -1,k ≡1(mod2),f (w kj )≡n +j ,k ≡0(mod2),j =1,2,…,n;当k =m 时,f (w mj )≡n +j +1(mod n +3),,j =1,2,…,n;当j =1时,分别有f (w k 1w k+11)=n +3,1≤k ≤m -2,且k ≡1(mod2),f (w k 1w k+11)=n +2,1≤k ≤m -2,且k ≡1(mod2),其中若k =m -1,令f (w m-11w m 1)=n +3.当2≤j ≤n 时,分别有f (w kj w k+1j )≡2(j -1),1≤k ≤m -1,且k ≡1(mod2),f (w kj w k+1j )≡n +j +1,1≤k ≤m -1,且k ≡0(mod2),而f (w mj w 1j )≡n +j ,j =1,2,…,n;按照如上的染色法,可得当k =1时珚C (w kj )=n +j -1(mod n +3),j =1,2,…,n;当2≤k ≤m 时,分别有珚C (w kj )=n +j +1(mod n +3),k ≡0(mod2),珚C (w kj )=n +j (mod n +3),k ≡1(mod2),j =1,2…,n. 为此,图中任意相邻的顶点都有不同的邻点可区别的染色集合.所以f 是笛卡尔积图C m ×K n 的(n +3)2AVD TC .情形2　当m ≡1(mod2)时,设由n +3种颜色组成的色集合为C ={1,2,…,n +3},对图的边或顶点染色确定为c ,为保证c ∈C ,若c 比1小或者大于n +3,c 的取值为r ,这里r ∈{1,2,…,n +3}且c ≡r (mod n +3).现构造V (C m ×K n )∪E (C m ×K n )到C 的映射f 如下:f (w ki w kj )≡i +j -2,i =1,2,…,m ,j =1,2,…,n.当1≤k ≤m -1时,分别有f (w kj )≡n +j -1,k ≡1(mod2),j =1,2,…,n ,f (w kj )≡n +j ,k ≡0(mod2),j =1,2,…,n.当k =m 时f (w mj )≡n +j +1,j =1,2,…,n;当j =1时,分别有f (w k 1w k+11)=n +3,1≤k ≤m -2,且k ≡1(mod2),f (w k 1w k+11)=n +2,1≤k ≤m -2,且k ≡0(mod2),4 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第23卷其中若k =m -1,令f (w m-11w m 1)=n ,当2≤j ≤n 时,分别有f (w kj w k+1j )≡2(j -1),1≤k ≤m -2,且k ≡1(mod2),f (w kj w k+1j )≡n +j +1,1≤k ≤m -2,且k ≡0(mod2),其中若k =m -1,f (w m-1j w mj )=n +j -1,j =2,…,n ,而f (w mj w 1j )≡n +j ,j =1,2,…,n;由如上的染色法,可得当k =1时,珚C (w kj )=n +j +1(mod n +3),j =1,2,…,n;当2≤k ≤m 时,分别有珚C (w kj )=n +j +1(mod n +3),k ≡0(mod2),珚C (w kj )=n +j (mod n +3),k ≡1(mod2),j =1,2…,n.当k =m -1,m 时珚C (w m-1j )=n +j +1(mod n +3),j =1,2,…,n ,珚C (w mj )=2(j -1)(mod n +3),2≤j ≤n ,而珚C (w m 1)=n +3.容易验证对V (C m ×K n )中任意相邻两顶点的染色集合不同,所以C m ×K n 存在(n +3)2AVD TC .综上可得,结论成立.参考文献:[1]张忠辅,陈祥恩,李敬文,等.关于图的邻点可区别全染色[J ].中国科学(A 辑),2004,34(5):5742583.[2]王治文,王莲花,王继顺,等.关于θ2图的邻点可区别的全染色[J ].兰州交通大学学报:自然科学版,2004,23(3):13215.[3]王继顺,邱泽阳,张忠辅,等.联图F n ∨P m 的邻点可区别全染色[J ].应用数学学报,2006,29(5):8792884.[4]L I Jing 2wen ,YAO Bing ,CH EN G Hui ,et al.Adjacentvertex 2distinguishing edge chromatic number of C n ×K n [J ].Journal of Lanzhou University :Natural Sci 2ences ,2005,41(1):96298.[5]CH EN Xiang 2en ,ZHAN G Zhong 2f u.Adjacent 2Ver 2tex 2Destinguishing Total Chromatic Number of P m ×K n [J ].Journal of Mathematical Research and Expo 2sition ,2006,26(3):4892494.[6]BOND Y J A ,MUR T Y U S.Graph theory with appli 2cations [M ].New Y ork :Macmillan ,London and Elsevier ,1976.[7]DIETEL R.Graph theory [M ].New Y ork :Spring 2Verlag ,1997.[8]HANSEN P ,MARCO T TE O.Graph coloring and ap 2plication[M ].Rhode Island :AMS Providence ,1999.Adjacent 2V ertex 2Distinguishing Total Chromatic Number of C n ×K nW A N G J i 2S hun 1,L I B u 2j un2(1.Department of mathematics ,Lianyungang Teacher ’s College ,Lianyungang 222006,China2.Department of Mathematics and Physics ,Huaihai Institute of Technology ,Lianyungang 222005,China )Abstract :Let G be a simple grap h.A k 2p roper total coloring of G is called adjacent 2distinguishing if for arbitrary two adjacent vertices u and v ,C (u )≠C (v ),where C (u )is t he set of t he colors of u and ed 2ges which is adjacent to u .The minimum k such t hat G (V ,E )has a k 2adjacent 2vertex 2distinguishing total coloring is called t he adjacent 2vertex 2distinguishing total chro matic number.The adjacent 2vertex 2distinguishing total chromatic number o n t he Cartesion product of circle C m and complete grap h K n (C n×K n )is obtained..K ey w ords :grap h ;total coloring ;adjacent 2vertex 2distinguishing total coloring ;adjacent 2vertex 2distin 2guishing total chromatic number5第1期王继顺等:C m ×K n 的邻点可区别全染色。

数字图像处理(冈萨雷斯)第二章_数字图像处理基础题稿

c--光速
h-- 普朗克常量
光 —— 可以被人眼感知的电磁波。
2.2 光和电磁波谱
电磁波是能量的一种, 任何有能量的物体, 都会释放电磁波。
2.2 光和电磁波谱
人从物体感受的颜色由物体反射光决定
➢ 若所有反射的可见光波长均衡, 则物体显示白色
➢ 有颜色的物体是因为物体吸收了其他波长的大部分能量, 从而反射某段波长范围的光。
√低照度，韦伯比高，亮度辨别能力差；高照度，韦伯比低，亮
辨别能力强；
韦伯定理: 如果一个物体的亮度与其周围背景的亮度I有刚可察觉到的差别 , 则（韦伯比）是的函数且在一定的亮度范围内近似不变；
2.1.3亮度适应和鉴
（3）人眼感觉亮度并不是简单的强度函数别
即感觉的亮度（主观亮度）不是简单地取决于光强度。韦伯－费赫涅尔定理: 亮度感觉S与实际亮度B 的对数成线性关系。因此， √重现景物的亮度范围无需与实际景物的亮度范围相同，只需保持二者的对比度相同； √人眼不能辨别的亮度差别也无需重现出来，只需保持二者的亮度差别级数相同即可；
2.4.3 空间和灰度分辨率
空间分辨率（spatial resolution）图像中可分辨的最小细节, 主要由采样间隔值决定
采样间隔值越小, 空间分辨率越高
a)20 km/pixel;
空间分辨率
（低）
b)10 km/pixel
空间分辨率
（高）
灰度级L不变
空间分辨率变化对图像视觉效果的影响
(a) 原始图像(256×256)(b)采样图像(128×128)(c)采样图像(64×64)
白
度
图
图
像
像
彩色图像

子立方图的严格邻点可区别全染色

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(8), 1346-1350Published Online August 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.98159Strict Neighbor-Distinguishing Total Coloring of Subcubic GraphsHanquan Liu, Jing GuCollege of Mathematics and Computer Science, Zhejiang Normal University, Jinhua ZhejiangReceived: Aug. 3rd , 2020; accepted: Aug. 19th , 2020; published: Aug. 26th, 2020AbstractA proper total k -coloring of a graph G is a mapping ()(){}:12,,,V G E G k ϕ →, such that any two adjacent or incident elements in ()()V G E G receive different colors. Let C φ(v ) be the set of colors assigned to a vertex v and those edges incident to v . φ is strict neighbor-distinguishing if()()\1C u C v ϕϕ≥ and ()()\1C v C u ϕϕ≥ for each edge ()uv E G ∈. The strict neighbor-distin- guishing total index, denoted by χsnt (G ), of G is the minimum integer k such that G is k -strict neigh-bor-distinguishing total colorable. In this paper, we prove that every subcubic graph G has ()6snt G χ≤.KeywordsStrict Neighbor-Distinguishing Total Coloring, Strict Neighbor-Distinguishing Total Index, Subcubic Graphs子立方图的严格邻点可区别全染色刘含荃，顾静浙江师范大学数学与计算机科学学院，浙江金华收稿日期：2020年8月3日；录用日期：2020年8月19日；发布日期：2020年8月26日摘要图G 的一个正常k -全染色是指一个映射()(){}:12,,,V G E G k ϕ →，使得()()V G E G 中任意两个相刘含荃，顾静邻的或相关联的元素染不同颜色。

关于哈林图的邻和可区别染色的注记

第60卷第4期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .4 2022年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021384关于哈林图的邻和可区别染色的注记程银万1,杨超1,姚兵2(1.上海工程技术大学数理与统计学院,智能计算与应用统计研究中心,上海201620;2.西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:用三种树染色算法和组合分析法,完成对哈林图的邻和可区别边染色㊁邻和可区别全染色以及邻点全和可区别全染色,并证明1-2-3猜想和1-2猜想对哈林图均成立.结果表明,哈林图的邻点全和可区别全色数不超过3.关键词:1-2-3猜想;1-2猜想;邻点全和可区别全染色;哈林图中图分类号:O 157.5 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)04-0833-05N o t e s o nN e i g h b o r S u m D i s t i n g u i s h i n g C o l o r i n g o fH a l i nG r a ph s C H E N G Y i n w a n 1,Y A N GC h a o 1,Y A OB i n g2(1.C e n t e r o f I n t e l l i g e n tC o m p u t i n g a n dA p p l i e dS t a t i s t i c s ,S c h o o l o f M a t h e m a t i c s ,P h ys i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a n g h a i U n i v e r s i t y o f E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,S h a n gh a i 201620,C h i n a ;2.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g t h r e e t y p e so f t r e e c o l o r i n g a l g o r i t h m s a n dc o m b i n a t o r i a l a n a l y s i s ,w ec o m p l e t e d t h en e i g h b o r s u md i s t i n g u i s h i n g e d g e c o l o r i n g ,t h e n e i g h b o r s u md i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g a n d t h e n e i g h b o r f u l l s u md i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g o fH a l i n g r a p h s ,a n d p r o v e d t h a t t h e 1-2-3c o n j e c t u r e a n d1-2c o n j e c t u r e w e r e v a l i df o r H a l i n g r a p h s .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e n e i g h b o rf u l ls u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c h r o m a t i c n u m b e r o fH a l i n g r a ph s i s n o tm o r e t h a n3.K e yw o r d s :1-2-3c o n j e c t u r e ;1-2c o n j e c t u r e ;n e i g h b o r f u l l s u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g ;H a l i n g r a ph 收稿日期:2021-10-10. 网络首发日期:2021-12-21.第一作者简介:程银万(1994 ),男,汉族,硕士研究生,从事图论及其应用的研究,E -m a i l :c h e n g y i n w a n 57@163.c o m.通信作者简介:杨超(1988 ),男,汉族,博士,讲师,从事图论及其应用㊁网络与系统安全的研究,E -m a i l :y a n gc h a o @s u e s .ed u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:61672001;61662066;62072296).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.O.20211220.1330.001.h t m l .1 引言与预备知识本文考虑的图G =(V ,E )均为简单㊁无向㊁连通图.设[n ]表示正整数集合{1,2, ,n },d G (v )和δ(G )分别表示一个点v 的度和图G 的最小度.用N G (x )或N (x )表示图G 中顶点x 的邻点集合.本文涉及的其他概念可参见文献[1].K a r o ńs k i 等[2]提出并研究了图的邻和可区别边染色.设f :E (G )ң[k ]是图G 的一个k -边染色.对于任意顶点x ɪV ,定义函数σ(x )=ðx ɪef (e ).对于任意边x y ɪE (G ),如果满足σ(x )ʂσ(y ),则称f 为图G 的一个邻和可区别k -边染色(N S D E ).图G 的N S D E -k -边染色中最小值k 称为图G 的邻和可区别边色数,记为g n d i ð(G ).关于图的邻和可区别边染色,K a r o ńs k i 等[2]提出了如下1-2-3猜想:438吉林大学学报(理学版)第60卷猜想1[2]对于阶数至少为3的任意连通图G,g n d ið(G)ɤ3.K a l k o w s k i等[3]证明了若G是k-可着色的且k为奇数,则G中存在一个邻和可区别k-边染色.因此,对于一类3-可着色图,包括二部图,猜想1成立;A d d a r i o-B e r r y等[4]给出了当k=30时,每个无孤立边的图都有一个邻和可区别k-边染色;进一步,文献[5]和文献[6]分别将k值改进到k=15和k=13;对于每个无孤立边的图,K a l k o w s k i等[3]还证明了其都是邻和可区别5-边染色的;P r z y b y l o[7]证明了每个d-正则图(dȡ2)都是邻和可区别4-边染色的,且当dȡ108时,每个d-正则图都是邻和可区别3-边染色的.P r z y b y l o等[8]在邻和可区别边染色的基础上考虑加上点自身的颜色,定义了图的邻和可区别全染色.设f:V(G)ɣE(G)ң[k]为图G的一种非正常k-全染色.对于每个顶点x,设t(x)=f(x)+σ(x).如果图G中的任意相邻顶点x和y满足t(x)ʂt(y),则称f为图G的一个邻和可区别全染色(N S D T).图G的N S D T-k-全染色中最小值k称为图G的邻和可区别全色数,记为t g n d ið(G).进一步,P r z y b y l o等[8]给出了关于邻和可区别全染色的1-2猜想:猜想2[8]对于任何连通图G,t g n d ið(G)ɤ2.当图G是一个3-可着色图㊁完全图或者4-正则图时[8],猜想2成立.K a l k o w s k i[9]给出了一个较理想的结果:对于每个图G,t g n d ið(G)ɤ3.F l a n d r i n等[10]考虑将顶点的颜色加入到其邻点和邻边的权重和中,提出了图的邻点全和可区别全染色.设f:V(G)ɣE(G)ң[k]表示图G的一个非正常k-全染色.定义权重函数ϕ(x)=t(x)+ðyɪN(x)f(y).如果对任意边x yɪE(G),都有ϕ(x)ʂϕ(y),则称f为图G的一个邻点全和可区别k-全染色(N F S D).图G的N F S D-k-全染色中最小值k称为图G的邻点全和可区别全色数,记为f g n d ið(G).设T是至少有4个顶点的树,则树T中的顶点或者是度为1的点(称为叶子),或者是度至少为3的点.哈林图H=TɣC是用圈C顺次连接树T中的所有叶子而得到的一类平面图.通常称T为哈林图的特征树,C称为其伴随圈.设V0⊆V(H)\V(C),且V0中的每个点均与圈C上的顶点相邻.设V1是V0的子集,且满足V1中每个顶点的邻边中(d G(v)-1)条邻边与叶子相连.本文先对特征树T进行边染色,并给伴随圈C的边分配颜色,证明1-2-3猜想对哈林图成立;再对特征树T进行全染色,并给伴随圈C的边E(C)分配颜色,证明1-2猜想对哈林图也成立;最后对特征树T进行全染色,并给伴随圈C的边E(C)进行调色,得到哈林图的邻点全和可区别全色数至多为3.2哈林图的1-2-3猜想算法1步骤1)对树T的边染色定义如下两种染色方式.f1(e v):对顶点v的所有未染色邻边分配颜色3;f2(e v):对顶点v的未染色邻边之一分配颜色2,其余邻边都染颜色3.步骤2)选择点集V1中一个最小度点并标记其为v.初始地,对v与叶子相邻的一条边染颜色2, v的其余邻边都染颜色3.步骤3)设v i是顶点v的邻点.如果点v i度的奇偶性与点v度的奇偶性不同,则采用染色方式f2(e v i)对v i邻边进行染色;否则,采用染色方式f1(e v i).步骤4)设v i j是顶点v i的邻点.当σ(v i)=3d H(v i),且点v i j度的奇偶性与点v i度的奇偶性不同时,采用染色方式f1(e v i j)对v i j的邻边进行染色;否则,采用染色方式f2(e v i j).当σ(v i)=3d H(v i)-1,f(v i v i j)=2,且点v i j度的奇偶性与点v i度的奇偶性不同时,采用染色方式f1(e v i j);否则,采用染色方式f2(e v i j).如果f(v i v i j)=3,且点v i j度的奇偶性与点v i度的奇偶性不同时,则采用染色方式f 2(e v i j );否则,使用染色方式f 1(e v i j ).步骤5)设v i j k 是顶点v i j 的邻点.当σ(v i j )=3d H (v i j ),且点v i j k 度的奇偶性与点v i j 度的奇偶性不同时,采用染色方式f 1(e v i j k );否则,采用染色方式f 2(e v i jk ).当σ(v i j )=3d H (v i j )-1,f (v i j v i j k )=2,且点v i j k 度的奇偶性与点v i j 度的奇偶性不同时,采用染色方式f 1(e v i j k );否则,采用染色方式f 2(e v i j k ).如果f (v i j v i j k )=3,且点v i j k 度的奇偶性与点v i j 度的奇偶性不同时,则采用染色方式f 2(e v i j k );否则,采用染色方式f 1(e v i jk ).当σ(v i j )=3d H (v i j )-2,f (v i j v i j k )=2,且点v i j k 度的奇偶性与点v i j 度的奇偶性不同时,采用染色方式f 2(e v i j k );否则,采用染色方式f 1(e v i jk ).如果f (v i j v i j k )=3,且点v i j k 度的奇偶性与点v i j 度的奇偶性不同时,则采用染色方式f 1(e v i j k );否则,采用染色方式f 2(e v i jk ).步骤6)继续上述过程,直到T 中所有的边都被分别标注2和3.定理1 设H =T ɣC 为哈林图,则g n d i ð(H )ɤ3.证明:首先利用算法1证明可以用颜色2和3完成对任意树T 的邻和可区别边染色.设C m =x 1x 2 x m x 1是伴随圈.x i y j 是边集E (H )中的边,其中x i ɪV (C m ),y j ɪV 0,1ɤi ɤm ,1ɤj ɤV 0,且下标i 和j 分别表示对m 和V 0取模.由算法1知,树T 中所有相邻点权重的奇偶性不同.对于点集V 0中的任意顶点y j ,y j 的所有与叶子相连的边最多只有一条染了颜色2.因此,通过交换v 的邻边中与叶子相邻边的颜色,可达到边x 2k +1y j 都染颜色3的效果,且点v 权重不发生变化,其中0ɤk ɤ(m -1)/2.然后,将圈C m 上所有的边都染颜色1.由于点集V 0中任一顶点可能的最小度是3,故满足σ(y j )ȡ7,且x i 最大的权重是5.因此σ(y j )ȡσ(x i )总成立.下面根据两种情形区别圈C m 上两个相邻顶点x i 和x i +1的权重.情形1)m ʉ0(m o d 2).将边x 2k +1y j 的颜色从3变为1,x 2k +1的权重变为3,且x 2k 的权重是4或5.同时,V 0中所有顶点的权重值都会减少2的整数倍,因此V 0中所有顶点权重的奇偶性仍未变,树T 中相邻顶点的权重依然是可区别的.在这种情形下,σ(y j )的最小权重将会减少到5,但与y i 相邻的顶点x i 的权重会减少到3或4,且它们的权重值总小于σ(y j ).在该情形下,哈林图的一种邻和可区别边染色如图1(A )所示.情形2)m ʉ1(m o d2).设圈C 上的点x 1和x m 是v 的两个相邻点,且v ɪV 1.类似地,将边x 2k +1y j 的颜色从3变为1.此时,σ(x 2k +1)=3,σ(x 2k )=4或5,但x 1和x m 的权重都是3.显然,算法1中对树染色时,顶点v 的邻边有一条与叶子相连的邻边染了颜色2,将该边标记为x m v .此时,σ(v )=3d H (v )-1,σ(v i )=3d H (v i )或3d H (v i )-1,v i ɪV (H )\V (C ).当x m -1的权重是5时,保持边x m v 的颜色2不变以保证σ(x m )=4.经上述调色,V 0中所有顶点权重的奇偶性均不变.如果d (v )=3且σ(x m -1)=4,则将边x m v 的颜色从2变为1,将x m x m -1的颜色从1变为2,且σ(x m )=4,σ(x m -1)=5.此时,σ(v )的权重变为5,但σ(x 1)=3且σ(x m )=4,所以它们的权重依然是可区别的,且v i 的最小权重为9,大于σ(v ).在该情形下,哈林图的一种邻和可区别边染色如图1(B )所示.证毕.图1 两类哈林图的邻和可区别3-边染色(伴随圈上的边均染颜色1)F i g .1 N e i g h b o r s u md i s t i n g u i s h i n g 3-e d g e c o l o r i n g o f t w o t y pe s of H a l i ng r a ph s (e d g e s o na d j oi n t c y c l e a r e c o l o r e db y 1)538 第4期程银万,等:关于哈林图的邻和可区别染色的注记638吉林大学学报(理学版)第60卷3哈林图的1-2猜想算法2步骤1)树T中所有边染颜色2且所有叶子染颜色1.步骤2)选择点集V1中一个最小度点并标记其为v.初始地,用颜色1染点v.步骤3)设v i是点v的非叶子邻点,用颜色2染所有的顶点v i.步骤4)设v i j是点v i的非叶子邻点,用颜色1染所有的顶点v i j.步骤5)重复步骤2)和步骤3),直到T中的所有点都染了颜色1或2.定理2设H=TɣC为哈林图,则t g n d ið(H)ɤ2.证明:首先,假设树T中所有的边均染了颜色2,树T中的各个顶点用颜色1或2染色.则可使用颜色1和2完成对树T的邻和可区别全染色.算法2已证明上述染色是可行的.由算法2知,除叶子外,所有相邻顶点权重的奇偶性均不同.V0中所有顶点的可能最小度为3,且满足t(x i)=3及t(y j)ȡ7.圈C m上所有的边染颜色1,可得叶子x i的权重值都是5.下面通过两种情形调整点x i的染色.情形1)mʉ0(m o d2).将点x2k+1的染色从颜色1变为2,则x2k+1的权重即从5变为6.但点x2k 的权重依然是5.所以t(y j)>t(x i)仍成立.情形2)mʉ1(m o d2).将点x2k+1的颜色从颜色1变为2,则x2k+1的权重从5变为6.此外,仍需改变一些点和边的染色如下:f(x m)=f(x m v)=1,f(v)=2.x m的权重即为4,不同于所有邻点的权重值,且v的权重仍未改变.证毕.4哈林图的N F S D-全染色算法3步骤1)T中每个顶点染颜色1.步骤2)选择点集V1中一个最小度点并标记其为v.初始地,对v所有邻边都染颜色3.步骤3)设v i是点v的邻点.将点v i的其中一条邻边染颜色2,其余邻边都染颜色3.步骤4)设v i j是v i的邻点,对点v i j的邻边按如下方式染色:①f(v i v i j)=2,将v i j的一条未染色邻边标注颜色2,剩余的v i j所有邻边都染颜色3;②f(v i v i j)=3,v i j的所有邻边都染颜色3.步骤5)设v i j k是v i j的邻点,按以下方式标记点v i j k的邻边:①ϕ(v i j)=4d T(v i j)+1,用颜色2染点v i j k的一条未染色邻边,点v i j k剩余的邻边都染颜色3;②ϕ(v i j)=4d T(v i j)-1,当f(v i j v i j k)=3时,用颜色2染点v i j k的一条未染色邻边,v i j k剩余的邻边都染颜色3,当f(v i j v i j k)=2时,v i j k的所有邻边都染颜色3.步骤6)重复步骤4)和步骤5),直到树T完成邻点全和可区别全染色.定理3设H=TɣC为哈林图,则f g n d ið(H)ɤ3.证明:首先证明用3种颜色即可完成对树T的一个邻点全和可区别全染色,染色方案为:T中所有的顶点都染颜色1,T中的边染颜色2或3.算法3已证明所给染色方案是可行的.设C m=x1x2 x m x1表示伴随圈.x i y j是边集E(H)中的边,其中x iɪV(C m),y jɪV0,1ɤiɤm, 1ɤjɤV0,且下标i和j分别表示对m和V0取模.由算法3可知,相邻顶点的权重奇偶性不同.对于V0中的任意顶点v,其邻点v x i的邻边中最多只有一条边染颜色2.按定理1的方式,通过交换与叶子相邻边的颜色,可保证边x2k+1y j染颜色3,其中0ɤkɤm-12.首先,将伴随圈C m上的所有边都染颜色1.由于点集V0中任一顶点可能的最小度δ=3,故满足ϕ(y j)ȡ11,且x i最大的权重是9.因此ϕ(y j)ȡϕ(x i)总成立.下面根据两种情形区别圈C m上两个相邻顶点x i和x i+1的权重.情形1)m ʉ0(m o d 2).将边x 2k +1y j 的颜色从3变为1,所有顶点x 2k +1的权重都是7且x 2k 的权重是8或9.同时,V 0中所有顶点的权重减少了2的整数倍,因此V 0中各顶点权重的奇偶性不变.在这种情形下,ϕH (y j )的最小值将减少为9,但x i 或y i 邻点x i 的权重是7或8,仍然不同于ϕH (y j ).情形2)m ʉ1(m o d 2).设x 1和x m 为圈C 上v 的两个相邻顶点且v ɪV 1.改变边x 2k +1y j 的颜色,从3变为1.因此,ϕ(x 2k +1)=7,ϕ(x 2k )=8或9,但x 1和x m 的权重相同,均为7.显然,v 的所有邻边均染颜色3,且ϕ(v )=4d H (v )+1,ϕ(v i )=4d H (v i ),v i ɪV (H )\V (C ).当x m -1的权重为8时,将边x m v 的颜色从颜色1变为3,使得ϕ(x m )=9.经过上述染色,V 0中所有顶点权重的奇偶性仍然不变.如果ϕ(x m -1)=9,d (v )ȡ4,将边x m x m -1的染色从颜色1变为2,则ϕ(x m )=8且ϕ(x m -1)=10.此时,ϕ(v )的奇偶性未变.同时,ϕ(v )ȡ13总成立.当d (v )=3时,将边x m v 的颜色从1变为2,可得ϕ(x m )=8,ϕ(v )变为10.但当v i 的度为3时,v i 的最小权重是12.对任意特征树T 采用算法3以及对伴随圈上的边进行调色后,可得哈林图邻点全和可区别3-全染色.证毕.参考文献[1] B O N D YJA ,MU R T Y U SR.G r a p hT h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n s [M ].N e w Y o r k :E l s e v i e rS c i e n c eP u b l i s h i n gC o .,I n c .,1976:1-170.[2] K A R O N 'S K IM ,ŁU C Z A K T ,T HOMA S O N A.E d g e W e i g h t sa n d V e r t e x C o l o u r s [J ].J C o m b i n T h e o r y(S e rB ),2004,91:151-157.[3] K A L K OW S K I M ,K A R O N 'S K I M ,P F E N D E R F .V e r t e x -C o l o r i n g E d g e W e i g h t i n g s :T o w a r d st h e 1-2-3-C o n j e c t u r e [J ].JC o m b i nT h e o r y (S e rB ),2010,100(3):347-349.[4] A D D A R I O -B E R R Y L ,D A L A L K ,M C D I A R M I D C ,e t a l .V e r t e x -C o l o u r i n g E d g e -W e i g h t i n g s [J ].C o m b i n a t o r i c a ,2007,27:1-12.[5] A D D A R I O -B E R R YL ,D A L A LK ,R E E DBA.D e g r e eC o n s t r a i n e dS u b g r a p h s [J ].D i s c r e t eA p p lM a t h ,2008,156:1168-1174.[6] WA N G T ,Y U 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几类图的Smarandachely邻点V-全染色

几类图的Smarandachely邻点V-全染色几类图的Smarandachely邻点V-全染色摘要：图论作为数学的一个分支，研究的是图的性质、特征和相关的算法。

Smarandachely邻点V-全染色是图论中一个重要的问题。

本文将从几类图的角度出发，对Smarandachely 邻点V-全染色进行探讨。

一、引言Smarandachely邻点V-全染色是指在一个给定的图中，对每个顶点进行染色，使得相邻顶点的颜色不同，并且尽可能使用最少的颜色。

该问题首先由美国数学家Smarandachely在1996年提出，引起了众多学者的关注。

本文将从几类图的角度来探讨Smarandachely邻点V-全染色的问题。

二、树的Smarandachely邻点V-全染色树是图论中的一种特殊图，它没有回路。

对于树的Smarandachely邻点V-全染色，最少需要两种颜色即可完成。

由于树中每个顶点的度数都为1或2，因此只需要从根节点开始逐步染色即可。

我们可以从根节点开始将其染成颜色1，然后依次染色其相邻节点，使得相邻节点的颜色不同。

三、无回路图的Smarandachely邻点V-全染色无回路图是指没有回路的简单图。

对于无回路图的Smarandachely邻点V-全染色，最少需要三种颜色即可完成。

首先选择一个顶点进行染色，然后从它的相邻顶点中选择一个还未染色的顶点进行染色，并保证相邻顶点的颜色不同。

按照这样的方法依次染色，直到所有顶点都染色完成。

由于无回路图没有回路，所以只需要3种颜色就可以满足相邻顶点颜色不同的条件。

四、完全图的Smarandachely邻点V-全染色完全图是指每一对顶点之间都有一条边的简单图。

对于完全图的Smarandachely邻点V-全染色，最少需要顶点个数种颜色即可完成。

由于完全图中每个顶点都与其他顶点相邻，所以需要保证每个顶点的颜色与其他顶点的颜色都不相同。

因此，至少需要n种颜色才能完成对完全图的Smarandachely邻点V-全染色。

广义拟Thomassen图的Smarandachely邻点全色数

ＵｉｌＵｔ＇Ｕｉ２Ｕｔｌ２１ｌ２２，ｉ３Ｕｉ３，Ｕｉ４Ｕｉ４，Ｕｉ５＇２，ｎｉ１Ｕｎ４ ’ Ｕ１２ｌ２２Ｏｉ５ｌｌ
其中：Ｇ）表示Ｇ的最大度． △（如果是Ｇ的一个邻点可区别全染色，有下会面的情况：于任意的Ｕ ∈ Ｅ（，Ｃ）Ｃ）对ＴＰＧ）有（（
Ｏｌ＇ｉ１Ｖｉｇ＇Ｖｉ２７ｉ３＇７ｉ３７ｉ４’Ｖｉ４＂＋Ｉ．１＇＊ｌＯｉ１＇７ｆ２Ｖｉ２＇ｌ１Ｊ１．１．ｌ１）ＩＵ／１ＯｉＩ＇２．）ｌ２７ｉ３７ｉ３ ’ｖａ４＇２－ｌ－２９）Ｏｉ４，ｌＶｎ４＇Ｕｔ】＇ｌ２１Ｕｚ３ ’Ｕｉ２２１Ｕｉ４＇Ｕｆ２Ｕｉ４，２２２
△（＋２≤ （ ≤ △（＋３Ｇ）Ｇ）Ｇ）．
机科学，信息科学和光波传播等所产生的邻点可区别边染色（或邻强边染色）＿，点可区别全染［］邻１５色点可区别全染色正则图的邻强边染色［引，剖，。］
等都是十分困难的问题．张忠辅等人提出了Ｓｒｎａｈｌｍａａｄｃｅｙ邻点全染色［。得出了一些结果．１，。并本文给出了广义拟Ｔｈｍａｓｎ图的Ｓｒｎａｈｌｏｓｅｍａａｄｃｅｙ邻点全色数．
广义拟Ｔｈｍａｓｎ图的Ｓｒｎａｈｌ点全色数ｏｓｅｍａａｄｃｅｙ邻
时亭亭，强会英，文飞

关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色

关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种对图中顶点进行染色的方法，目的是使得相邻的顶点颜色不相同。

本文将介绍几类常见图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法。

1. 树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色树图是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间只有一条简单路径。

对于树图，其直径等于它的最长路径的长度。

树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法比较简单，只需要从树的根节点开始，依次往下染色，保证每个顶点的颜色与其父节点不同即可。

这样可以确保相邻的顶点颜色不相同。

2. 平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色平面图是指可以绘制在平面上，使得任意两条边不相交的图。

平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法可以采用四色定理进行染色。

根据四色定理，任何平面图最多需要四种颜色即可进行染色，保证相邻顶点的颜色不相同。

这是一个非常重要的数学定理，对于解决平面图的染色问题提供了基本思路和方法。

3. 完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色完全图是指任意两个不同顶点之间都有一条边的图。

对于完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法，需要考虑图中顶点数量的奇偶性。

当顶点数量为奇数时，可以选择其中一个顶点作为起始点，将其染成一种颜色，然后从该起始点出发，依次将相邻的顶点染成不同的颜色。

当顶点数量为偶数时，染色方法类似，只是需要选择两个不同的起始点，并依次染色。

总结起来，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法。

在树图中，只需要从根节点开始往下染色；在平面图中，可以利用四色定理进行染色；在完全图中，需要考虑顶点数量的奇偶性并选择合适的起始点。

通过这些方法，可以有效地实现Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色的目标综上所述，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法，适用于树图、平面图和完全图。

图的全染色以及邻点可区别全染色的开题报告

图的全染色以及邻点可区别全染色的开题报告开题报告：图的全染色以及邻点可区别全染色一、研究背景及意义图的染色问题是图论中经典的问题之一，它是指对给定的图G的所有顶点进行染色，且相邻顶点染色不相同的问题。

最基础的染色问题是着色问题，即是否存在一种着色方案使得每个节点的颜色都不同。

全染色问题是指对于一个给定的图，每个节点必须被染色，即不能有节点未被染色的情况。

全染色问题与一些实际问题有关，例如约会问题、课程调度问题等。

因此，研究全染色问题对规划和管理等领域具有重要的实际意义。

邻点可区别全染色问题是全染色问题的一种扩展，它是指相邻顶点采用颜色方案不同的全染色方案。

它的优点在于它会给予我们更多的色彩选择机会，因此更符合实际需求。

邻点可区别全染色问题在优化领域被广泛应用，例如路线优化问题、资源分配问题等。

二、研究目标及内容本研究旨在探究邻点可区别全染色问题，研究如何利用图论算法有效解决这个问题，并尝试发现问题的一般性质和特征。

具体来说，本研究的内容包括以下几个方面：1.探究邻点可区别全染色的可行性和可解性。

2.研究邻点可区别全染色的最小化问题。

3.分析邻点可区别全染色的性质和特征。

4.开发图论算法，以实现高效解决邻点可区别全染色问题。

三、研究方法本研究采用以下方法解决邻点可区别全染色问题：1.图论分析方法：研究邻点可区别全染色问题的最优解和局部最优解的构成，分析其具有的一般性质和特征。

2.算法设计方法：设计图论算法，以有效地解决邻点可区别全染色问题，并验证算法的正确性和复杂度。

3.实验方法：通过计算机仿真，对比算法的性能和实际应用效果，进一步验证算法的优越性和可行性。

四、预期结果本研究预期通过图论算法有效解决邻点可区别全染色问题，并探究该问题的一般性质和特征。

在这个过程中，我们预期发现该问题的某些特征及其与其他优化问题的类比，为类似问题提供解决方案。

同时，我们还期望能够为如路线优化、资源分配等实际问题提供解决方案，并在实践中得到推广和应用。

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还是有可取之处的。
１预备知识定对于数不小的通图ＧＥ，厂从Ｅ６到｛，ｋｋ然数）映义１阶于２连，）是（）１ …，．｝（是自２的射，
如果满足：
（ｕ，ｅ（） ≠ 厂 ≠ （；）、ＥＧ．（＼（ｌ１并（＼（Ｉｌ１ｗｗＥＧ，（（，（）ｃｖ＞，且ｌＶｃ＞；）ｖＶ２ “∈ Ｉ））ｃ））
色，关联邻点可区别全染色等都是十分困难的问题，至今文献甚少。在此基础之上，张忠辅等人进一步提出了ＳｒｎａｈＩ邻点边染色，并得出了重要结论．本文给出Ｔｍ（２３４阶路与ｎ路的联图的ｍａａｄｃｅｙｍ＝，，）阶Ｓｒｎａｈｌ邻点边色数。虽然没有找出为任意实数的一般色数，但在寻求色数的过程中用到的方法ｍａａｄｃｅｙ
中图分类号：０１７５．５
文献标志码：Ａ
文章编号：１７ —０３２１）３０６－５６４５４（０００．０６０
图的染色是图论的重要研究内容之一。由计算机科学和信息科学等所产生的一般点可区别边染色…，邻
点可区别边染色（或邻强边染色），邻点可区别全染色，点可区别边染色，全染色，点可区别边染
ＶＯ．Ｏ１Ｎｏ３２邻点边色数ｍａａｄｃｅｙ
吕寻景，张忠辅
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７０７３００）
摘要对单（．）．是（到｛，ｋ（是然的射若ｆ满：：简图ＧｆＥ，厂从Ｅ）１ …，ｋ自数）映，Ｇ，２｝足
定义 … ２对简Ｇ若（＋：（），单图与，ＧＧｕ（）
ＥＧＫ＝（）ｕ，，Ｇ， ∈ （），＝，… ，｝称为与的图。（＋）ＥＧｕ（）｛Ｖ ∈ ），ＶＫＩ，ｌ．，，ＧＧ联。，ｌ（Ｖ．２７
其（＝／ｖｖ（）甜ｖ，称是Ｇｓａｎｃｌ点染，简作ｋＳＥ）中ｃ）｛） ∈ ＧＨ ≠｝则，图的ｍｒｄｈｙ边色（记 —ＡＣ， ’Ｉａａｅ邻
记（）ｍＧｋＳＥ｝的ｍｒｄｈｙ点色。Ｇ＝ｉ仃 —ＡＣＮＧｓａｎｃＩ边数ｎａａｅ邻
定理１令Ｇ＝＋尸 ≥）有ｆ，２（为】３，（７月奇数），ｑ＝＋或者Ｆ３／为偶数）＋。
收稿日期：２１－５１００ —７０
作者简介：吕寻景（７－男，１８）山东阳谷人，９，在读硕士研究生，主要从事图论方面的研究．
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Ｉ２ｆ＋ｉ
（ｚ，Ｇ ≠ ．讥）、）（Ｖ，ＥＧ，（＼（ｌ１并ｃ０ｃ．＞；１ ∈ ），，／；）ｍ∈ （）Ｃ” Ｃｖ＞，且Ｉ０＼（ｌ１），（Ｖ ’ ≠’ （（２ｌ）））
则称．Ｇ的ｓｒｎａｈＩ厂是ｍａａｄｃｅ邻点边染色。文章给出了州，２，阶路与，ｙ萨，４３）ｌ的联图的ｓａａｄｃｅ邻点边阶路ｍｒｎａｈＩｙ
第２卷第３Ｏ期２１年９００月
洛阳理工学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｏａｇＩｓｉｔｆＳｉｎｅａｄＴｅｈ００ｙＮａｕａｃｎｅｉｏ）ｏｒａＬｕｙｎｎｔｕｅｃｅｃｎｃｎ１ｇ（ｔｒＩｉｃｔｎｏｔｏＳｅＥｄｉ
色。中（＝ｓ川 ∈ （）ｊｖ。数其ｃ“ ｛０】ＥＪｆ｝）ｖｃ］≠
关键词：联图；图的邻点可区别边染色；图￣Ｓｒｎａｈｌ邻点边染色ｍａａｄｃｅｙＤＯＩ０９９．ｓ．７－０３０００．１：．６０ｉｎ１４５４．１．３０７１３ｓ６２
记路：ｖｐ）／＝，…，，（，ｉ＋＝，… １阶为（＝ｂｉ１，）ｌｌ１，，一｝ｉ２｝ｌ＝Ｈｉｉ２ｌ；
记）｛，小（甜。＝１ …，），２（
２主要结论
引理ｌ’ 对简单图Ｇ中不存在ｌ且Ｇ度点，则有：Ｇ＞（）１） △Ｇ＋。其中△Ｇ是图Ｇ的最大度。，（（）
情当ｌ奇数时，证明（），２给出Ｇ一２一ＡＣ。形ｌ，为为Ｇ＝７仅需＋个（＋）ＳＥ
设．满足， ’
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厂ｚ，：＋．厂＋＝ｎ２ｉ（ｄ＝２，；（ｚ＂１（。，。『））＋，－ｌ ’ １ … 刀一１ｍｏ２厂ｚ，＝？ｋ（１一（ｚ，厂），。＋ｒ）＋＝，’ 刀２…，一；
基金项目：国家自然科学基金项目（０７０１．１７１９）
第３期
吕寻景等图
的ｍａａｄｃｅ邻点边色数ｒｎａｈＩｙ
６７
证明：２ “ ２＝１ …Ｖ易（）＋。由理ｌ，），２令尸＝ｌ，Ｖ２知Ａｏ＝１引知（＞＋。 “ ＶＧｌ