2018届高考数学一轮复习选修4-5.1

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2018版高考一轮总复习数学(理)习题选修4-5-1 Word版含答案

．已知关于的不等式＋－－≤(其中>)．()当＝时，求不等式的解集；()若不等式有解，求实数的取值范围．解()当＝时，不等式为＋－－≤.当<－时，－－≤，解得－≤<－；当－≤≤时，≤，解得－≤≤；当>时，≤，此时不存在，∴原不等式的解集为.()令()＝＋－－，则()＝(\\(－－，<－()，，－()≤≤，＋，>.))故()∈，即()的最小值为－.若()≤有解，则≥－，解得≥，即的取值范围是.．设()＝－.()若()≤的解集为，求实数的值；()当＝时，若存在∈，使得不等式(＋)－(－)≤－成立，求实数的取值范围．解()显然≠，当>时，解集为，则－＝－，＝，无解；当<时，解集为，令－＝，＝－，得＝－.综上所述，＝－.()当＝时，令()＝(＋)－(－)＝＋－－＝错误!由此可知()在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当＝－时，()取到最小值－，由题意，知－≤－，则实数的取值范围是.．设函数()＝－＋＋(>)，()＝＋.()当＝时，求不等式()≤()的解集；()若()≥()恒成立，求实数的取值范围．解()当＝时，－＋＋≤＋，所以(\\(≤－()，,－≤＋))或(\\(－()<<()，≤＋))或(\\(()≤，≤＋，))解得∈∅或≤<或≤≤.综上，不等式的解集为.()－＋＋≥＋，转化为－＋＋－－≥，令()＝－＋＋－－，()＝错误!()＝＝－，令－≥，得≥.．已知函数()＝－－＋.()解不等式()>；()当>时，函数()＝(>)的最小值总大于函数()，试求实数的取值范围．解()当>时，原不等式可化为－－－>，此时不成立；当－≤≤时，原不等式可化为－－－>，即－≤<；当<－时，原不等式可化为－＋＋>，即<－.综上，原不等式的解集是{<}．()因为当>时，()＝＋－≥－，当且仅当＝时“＝”成立，所以()＝－，当>时，()＝(\\(－，<≤，,－，>，))所以()∈已知函数()＝＋，()＝＋.()当＝－时，解不等式()≤()；()若存在∈，使得()≥()，求实数的取值范围．解()当＝－时，不等式()≤()，即＋≤－，从而(\\(≤－，,－－≤－－，))即≤－，或(\\(－<≤，＋≤－－，))即－<≤－，或(\\(>，＋≤－，))即≥.从而不等式()≤()的解集为(\\())≤－或≥.()存在∈，使得()≥()，即存在∈，使得＋≥＋，即存在∈，使得≤＋－.设()＝＋－＝(\\(－，≤－，＋，－<≤，，>，))则() 的最大值为，因而≤，即≤.．已知函数()＝－＋＋，()＝－＋.()解不等式：()<；()若对任意的∈，都有∈，使得()＝()成立，求实数的取值范围．解()由－＋<，得－<－＋<，所以－<－<，解不等式得－<<，所以原不等式的解集是{－<<}．()因为对任意的∈，都有∈，使得()＝()成立，所以{＝()}⊆{＝()}，又()＝－＋＋≥(－)－(＋)＝＋，()＝－＋≥，所以＋≥，解得≥－或≤－，所以实数的取值范围是{≥－或≤－}．。

2018届高考数学一轮复习选修4-5.2

第二节证明不等式的基本方法
选修4-5
第二节
证明不等式的基本方法
主干知识回顾名师考点精讲
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考纲概述
考查热点
考查频次 ★★★
备考指导
通过一些简单问题了解不等式的综合法证明证明不等式的基本方法: 比较法、综合法、分析不等式的分析法证明法
★
熟悉不等式的各种证明方法以及解题步骤,同时要注意根据不等式的特征确定证明方法
选修4-5
考点一考点二考点三
第二节
证明不等式的基本方法
主干知识回顾名师考点精讲
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(2)设a,b∈(0,+∞),求证:a2ab2b≥(ab)a+b. 【解题思路】利用作商比较法证明.
【参考答案】作商得 ��+�� (��) 又由指数函数的性质知 �� −�� 当a=b时, =1;
理、性质等),从而得出要证的命题成立
证明不等式的基本方法
主干知识回顾名师考点精讲
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3.反证法与放缩法 (1)反证法: 证明命题时,先假设要证的命题不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实) 矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立. (2)放缩法: 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 ,简化不等式,从而达到证明的目的.
当b>a>0时,0< <1,a-b<0,
��
��
>1,
故a2ab2b≥(ab)a+b.

2018版高考数学(理)第一轮总复习教师用书：选修4-5不等式选讲含答案

(3）|x －a ｜＋|x －b |≥c ,｜x －a ｜＋｜x －b ｜≤c （c 〉0)型不等本节主要包括2个知识点：1。

绝对值不等式的解法； 2.绝对值三角不等式.式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数,利用函数的图象求解．考点贯通抓高考命题的“形"与“神”绝对值不等式的解法[典例](1)|2x＋1｜－2|x－1|〉0。

(2)|x＋3｜－｜2x－1|<错误!＋1.［解] (1）法一:原不等式可化为|2x＋1｜〉2|x－1|，两边平方得4x2＋4x＋1>4（x2－2x＋1）,解得x>错误!,所以原不等式的解集为错误!。

法二：原不等式等价于错误!或错误!或错误!解得x>错误!，所以原不等式的解集为错误!。

(2）①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x）〈错误!＋1，解得x<10，∴x<－3。

②当－3≤x〈错误!时，原不等式化为（x＋3)－（1－2x）〈错误!＋1,解得x〈－错误!，∴－3≤x<－错误!。

③当x≥错误!时，原不等式化为(x＋3)＋（1－2x）〈错误!＋1，解得x〉2，∴x〉2.综上可知，原不等式的解集为错误!。

绝对值不等式的常用解法[方法技巧］(1)基本性质法：对a∈R＋，｜x|<a⇔－a〈x〈a，|x|>a⇔x〈－a或x>a。

2018版高中数学(理)一轮全程复习(课时作业)选修4—5 不等式选讲(七十七)含解析

因此｜a＋b｜〈|1＋ab｜.
6．设函数f（x)＝｜x－a|.
（1）当a＝2时，解不等式f(x）≥7－｜x－1｜；
（2)若f(x）≤1的解集为[0，2］，＋＝a（m〉0，n>0)，求证:m＋4n≥2 ＋3。
解析：（1)当a＝2时，不等式为｜x－2｜＋｜x－1|≥7，
∴ 或
或 ,
∴不等式的解集为（－∞，－2]∪［5，＋∞）．
当0<a〈1时, 〈0，
所以a2－a＋1< ，
当a＝1时，＝0,
所以a2－a＋1＝，
当1〈a<2时， >0，
所以a2－a＋1> ，
综上所述:当0〈a〈1时，a2－a＋1< ，
当a＝1时，a2－a＋1＝，
当1<a〈2时，a2－a＋1> .
4．设a>0,b〉0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋ ≥4.
解析：(1)解:f(x)＝
当x≤－时，由f（x）<2得－2x<2，解得x〉－1，所以－1〈x≤－ ;
当－ <x〈时,f(x)〈2，恒成立;
当x≥ 时，由f(x)<2得2x〈2，解得x<1,所以 ≤x<1.
所以f（x）<2的解集M＝{x|－1<x<1｝．
（2)证明：由（1)知,当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b〈1，从而（a＋b）2－(1＋ab）2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2）〈0。
(2）证明：f（x）≤1,即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，
而f(x)≤1的解集是［0,2],
∴ ，解得a＝1，
∴ ＋＝1(m〉0,n〉0)，
∴m＋4n＝（m＋4n）＝3＋＋ ≥2 ＋3（当且仅当m＝2 n时取等号)．

2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：选修4-5 不等式选讲

选修4－5 不等式选讲第1课绝对值不等式[过双基]1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解． [小题速通]1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1，所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{x |x ≥1}2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]x|1≤x≤3，则实数k＝________.3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.x|1≤x≤3，∵不等式的解集为{}∴k＝2.答案：24．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)[清易错]1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.答案：5绝对值不等式的解法[典例] 设函数(x )＝|x ＋1|－|x －1|＋a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若方程f (x )＝x 只有一个实数根，求实数a 的取值范围． [解] (1)依题意，原不等式等价于： |x ＋1|－|x －1|＋1>0，当x <－1时，－(x ＋1)＋(x －1)＋1>0，即－1>0，此时解集为∅；当－1≤x ≤1时，x ＋1＋(x －1)＋1>0，即x >－12，此时－12<x ≤1；当x >1时，x ＋1－(x －1)＋1>0，即3>0，此时x >1.综上所述，不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－12.(2)依题意，方程f (x )＝x 等价于a ＝|x －1|－|x ＋1|＋x ，令g (x )＝|x －1|－|x ＋1|＋x . ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1..画出函数g (x )的图象如图所示，∴要使原方程只有一个实数根，只需a >1或a <－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [方法技巧](1)求解绝对值不等式的两个注意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程． (2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6⇒－12≤x ≤12；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2，即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．绝对值不等式的证明[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [即时演练]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12，当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去；当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3，综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.绝对值不等式的综合应用[典例] (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [方法技巧](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a . [即时演练]已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|. (1)当a ＝2时，求f (x )＋3≥0的解集；(2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，由f (x )＋3≥0，可得|x －2|－|2x －1|≥－3，①⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，2－x ＋2x －1≥－3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <2，2－x －2x ＋1≥－3或 ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2－2x ＋1≥－3. 解①得－4≤x <12；解②得12≤x <2；解③得x ＝2.综上所述，不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}． (2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立，即|x －a |≤3＋|2x －1|＝2x ＋2. 故－2x －2≤x －a ≤2x ＋2，即－3x －2≤－a ≤x ＋2，∴－x －2≤a ≤3x ＋2对x ∈[1,3]恒成立． ∴a ∈[－3,5]．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.1．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎨⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2，当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a2＝1，解得a ＝－4或0.2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x －1|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x －1|，两边平方整理得x 2＋2x ≥0，解得x ≥0或x ≤－2. 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )≥g (x )，得a ≤|2x ＋1|－|x －1|. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －2，x ≤－12，3x ，－12<x <1，x ＋2，x ≥1.故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 故所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 3．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|，a ∈R. (1)当a ＝3时，求关于x 的不等式f (x )≤6的解集； (2)当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≤6可化为|2x －3|＋|2x －1|≤6.当x <12时，不等式可化为－(2x －3)－(2x －1)＝－4x ＋4≤6，解得－12≤x <12；当12≤x ≤32时，不等式可化为－(2x －3)＋(2x －1)＝2≤6，解得12≤x ≤32；当x >32时，不等式可化为(2x －3)＋(2x －1)＝4x －4≤6，解得32<x ≤52.综上所述，关于x 的不等式f (x )≤6的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12≤x ≤52.(2)当x ∈R 时，f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＝|1－a |，所以当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13等价于|1－a |≥a 2－a －13. 当a ≤1时，等价于1－a ≥a 2－a －13，解得－14≤a ≤1；当a >1时，等价于a －1≥a 2－a －13，解得1<a ≤1＋13，所以a 的取值范围为[－14，1＋13]． 4．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤3；(2)若f (x )≤2a ＋x 在[a ，＋∞)上有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )≤3化为|x －1|＋|2x ＋1|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋2x ＋1≤3，解得－1≤x <－12或－12≤x ≤1或∅.所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)因为x ∈[a ，＋∞)，所以f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|＝x －a ＋|2x ＋1|≤2a ＋x ，即|2x ＋1|≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解，即2a ＋1≤3a ，解得a ≥1，所以a 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．解：(1)∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a,2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a 2. 而f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，故有⎩⎨⎧32a －3＝－6，3－12a ＝4，解得a ＝－2.(2)由(1)得f (x )＝|2x ＋2|－4， ∴不等式|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5，化简得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1.画出函数y ＝g (x )的图象如图所示．要使不等f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，只需k 2－1>2或k 2－1≤－1，解得k >3或k <－3或k ＝0，∴实数k 的取值范围为(－∞，－3)∪{0}∪(3，＋∞)． 6．设函数f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a ＝2，无解；当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a，－1a ，则－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72. 7．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 8．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |＋a ， (1)若a ＝－1，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为 |2x ＋1|－|x |－1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0，解得x ≤－2或x ≥0，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x <－12，－x －1，－12≤x <0，x －1，x ≥0，作出函数y ＝g (x )的图象如图所示，易知A ⎝⎛⎭⎫－12，－12，B (0，－1)，结合图象知：当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12.第2课不等式证明[过双基]1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．比较法(1)比差法：依据是a －b ＞0⇔a ＞b ；步骤是“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a 2i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n (当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[小题速通]1．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________．解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m .答案：n ≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2. 解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确．答案：①③⑤3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9[清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a >0，b >0，则a a b b ________(ab )a ＋b2(填大小关系)．解析：∵a a b b (ab )a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b2＝1，当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b≥(ab )a ＋b2.答案：≥2．设x >y >z >0，求证：x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.证明：x －z ＋8(x －y )(y －z )＝(x －y )＋(y －z )＋8(x －y )(y －z )≥33(x －y )(y －z )8(x －y )(y －z )＝6.当且仅当x －y ＝y －z ＝8(x －y )(y －z )时取等号，所以x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.[典例] (2018·a ＋b )． [证明] (a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)．因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较法：由a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.综合法证明不等式[典例] 已知a ，(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2； (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252.[证明] (1)(ax ＋by )2－(ax 2＋by 2)＝a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ，因为a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数，所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.(2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2 ＝4＋a 2＋b 2＋(a ＋b )2a 2＋(a ＋b )2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋a 2b 2≥6＋(a ＋b )22＋4＋2＝252，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. [方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba ≤－2(ab <0)． [即时演练]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.分析法证明不等式[典例] 设a ，b 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥3(a ＋b ＋c )．[证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)abc＋ b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立．所以原不等式成立． [方法技巧]1．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，即证(a －c )2<c 2－ab ，即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ，即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.3．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 4．(2014·全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.1．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1) ＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1).∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 3．(2018·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2≥33(m －n )(m －n )1(m －n )2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .4．已知x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114. 解：(1)∵x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1， ∴1x ＋1y ＋1z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )＝6＋2y x ＋3z x ＋x y ＋3z y ＋x z ＋2yz ≥6＋22＋23＋26，当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2yz 时取等号． (2)由柯西不等式可得1＝(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32) ＝14(x 2＋y 2＋z 2)，∴x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．故x 2＋y 2＋z 2≥114.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|. (1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab . 解：(1)由绝对值不等式的性质知 f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －x ＋1|＝1， ∴f (x )min ＝1， ∴只需|m －1|≤1，即－1≤m －1≤1， ∴0≤m ≤2，∴实数m 的最大值M ＝2.(2)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，且a 2＋b 2＝2， ∴ab ≤1，∴ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号．① 又ab ≤a ＋b 2，∴ab a ＋b ≤12，∴ab a ＋b ≤ab2，当且仅当a ＝b 时取等号．②由①②得，ab a ＋b ≤12，∴a ＋b ≥2ab . 6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号． 7．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc . (1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数，得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ，所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥ 2ac,b 4＋d 4≥ 2bd ，又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号．所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |. 因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立.阶段滚动检测(六)全程仿真验收(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9 B ．6 C ．4D ．3解析：选D 集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }＝{(2,3)，(3,2)，(3,3)}，则集合B 中的元素个数为3.2．若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R)是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B2a ＋2i 1＋i ＝(2a ＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2a ＋2＋(2－2a )i2，由题意可知2a ＋2＝0且2－2a ≠0，所以a ＝－1，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．3．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0；命题q ：∀x ∈0，π2，cos x ＜1，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 因为x ∈(－∞，0)时，2x 3x ＝⎝⎛⎭⎫23x＞1，所以2x ＞3x ，故命题p 是假命题；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos x ＜1，是真命题，则綈p 是真命题，綈q 是假命题，故(綈p )∧q 是真命题．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1＋2πB ．1＋4π3C ．1＋π2D ．1＋π6解析：选D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面是一个半径为12的球，下面是一个棱长为1的正方体，所以该几何体的体积V ＝4π3·⎝⎛⎭⎫123＋1＝1＋π6.5．函数y ＝x 22x －2－x的图象可能是( )解析：选C 因为f (－x )＝x 22－x －2x ＝－f (x )，即函数y ＝x 22x －2－x是奇函数，故排除B 、D ；当x >0，且x →＋∞时，y →0，故排除A ，因此选C.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的m ，n 分别为1 848,936，则输出的m 的值为( )A ．168B ．72C ．36D ．24解析：选D 根据题意，运行程序：m ＝1 848，n ＝936；r ＝912，m ＝936，n ＝912；r ＝24，m ＝912，n ＝24；r ＝0，m ＝24，n ＝0，此时满足条件，循环结束，输出m ＝24，故选D.7.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ―→·AD ―→的最小值为( )A ．2＋ 5 B. 5 C ．2D ．2－ 5解析：选D 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，A (0,2)，D (1,0)，设P (x ，y )，故BP ―→＝(x ＋2，y )，AD ―→＝(1，－2)，所以BP ―→·AD ―→＝x －2y ＋2.令x －2y ＋2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x －2y ＋2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得|2－t |5＝1，t ＝2－5，即BP ―→·AD ―→的最小值是2－ 5.8．将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，若所得图象与原图象重合，则f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于( )A ．0B ．1 C.22D.32解析：选D 将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，由题意可得ωπ3＝2k π，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ω＝6k ＞0，k ∈Z ，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝cos ωπ24＝cos k π4，k ∈Z ，显然，f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于32，故选D. 9．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C作出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2，则tanC ＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 因为b 2－a 2＝12c 2且b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2bc ，所以b ＝3c 22，a ＝5c 22，由余弦定理可得cos C ＝58c 2＋98c 2－c 22×5c 22×3c 22＝15，则角C 是锐角，sin C ＝25，则tan C ＝sin C cos C ＝2.11．已知点P 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF 1―→ |2－|PF 2―→|2＝12a 2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3]解析：选D 根据题意，因为|PF 1―→|2－|PF 2―→|2＝12a 2，且|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6a ≥|F 1F 2|＝2c ，所以e ≤3.又因为e >1，所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．12．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，若g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，则方程g ⎝⎛⎭⎫x2a －x －x ＝0有且仅有一个根时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪{1} B ．(－∞，1] C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选A 由函数的解析式可得f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，f ′(1)＝1－f (0)＋f ′(1)，所以f ′(1)＝e ，f (0)＝1，所以f (x )＝12x 2－x ＋e x ，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝e x ，则e x 2a －x －x ＝0有且仅有一个根，即x 2a ＝x ＋ln x 有且仅有一个根，分别作出y ＝x 2a 和y＝x ＋ln x 的图象，由图象知a <0或a ＝1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(m ＋x )(1＋x )3的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则⎠⎛-11x m d x ＝________.解析：(m ＋x)(1＋x)3＝(m ＋x)(C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)，所以x 的奇数次幂项的系数之和为m C 03＋m C 23＋C 13＋C 33＝16，解得m ＝3，所以⎠⎛-11x md x ＝⎠⎛-11x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪1-1＝0.答案：014．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________．解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t|t 4＋1，BC ＝t 4＋1t，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t|t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号．答案：3215．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．解析：令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.所以12·|x|·|y|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m<2，由几何概型概率公式可得，所求事件的概率为23.答案：2316．已知M(x 0，y 0)是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，A ，B 是其左、右顶点，若AM―→2AM ―→·BM ―→＝x 20－a 2，则离心率e ＝________.解析：由题意知A(－a,0)，B(a,0)，∴AM ―→＝(x 0＋a ，y 0)，BM ―→＝(x 0－a ，y 0)，∵2AM ―→·BM―→＝x 20－a 2，∴2(x 20－a 2＋y 20)＝x 20－a 2，∴x 20＝a 2－2y 20. 又x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2－2y 20a 2＋y 20b2＝1， ∴－2a 2＋1b2＝0，∴a 2＝2b 2，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－12＝12，∴e ＝22. 答案：22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n∈N *)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列；(2)求S 1＋S 2＋…＋S n .解：(1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1，即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n2n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，S n2n ＝1＋n －1＝n ，即S n ＝n ·2n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ①2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.18．(本小题满分12分)如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)估计日销售量的平均值；(2)求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率； (3)记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解：(1)估计日销售量的平均值为25×0.003×50＋75×0.005×50＋125×0.006×50＋175×0.004×50＋225×0.002×50＝117.5.(2)不低于100袋的概率为0.6，低于50袋的概率为0.15，设事件A 表示有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋，则P (A )＝C 23(0.6)2×0.15＝0.162.(3)不低于150袋的概率为0.3，由题意知，X ～B (3,0.3)，P (X ＝0)＝C 03(0.7)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13(0.7)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.7×0.32＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027.所以X 的分布列为则X 的均值为E (X 19．(本小题满分12分)如图①，等腰直角三角形ABC 的底边AB ＝4，点D 在线段AC。

2018版高考数学(全国人教B版理)大一轮复习讲义：选修4-5不等式选讲第2讲含解析

（建议用时:60分钟)1。

设不等式｜2x－1|＜1的解集为M.（1）求集合M；（2）若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解（1）由｜2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x｜0＜x＜1}。

(2)由（1）和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以（ab＋1)－(a＋b)＝（a－1）(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1,求证：a＋b ＋c＜错误!＋错误!＋错误!.证明法一∵a，b,c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!。

∴a＋错误!＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!.法二∵错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!；错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!；错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!.∴以上三式相加，得错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!。

又∵a，b，c互不相等,∴错误!＋错误!＋错误!＞错误!＋错误!＋错误!。

法三∵a，b,c是不等正数，且abc＝1，∴错误!＋错误!＋错误!＝bc＋ca＋ab＝错误!＋错误!＋错误!＞错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!.∴a＋错误!＋错误!＜错误!＋错误!＋错误!.3。

(2017·衡阳二联）已知函数f（x)＝｜x－3｜.（1）若不等式f(x－1）＋f（x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；（2)若｜a|＜1,｜b｜＜3,且a≠0,判断错误!与f错误!的大小，并说明理由.解(1）因为f（x－1）＋f（x)＝|x－4｜＋|x－3｜≥｜x－4＋3－x｜＝1，不等式f(x－1）＋f(x)＜a的解集为空集,则1≥a即可,所以实数a的取值范围是（－∞，1］。

（2)错误!＞f错误!.证明：要证错误!＞f错误!，只需证｜ab－3｜＞｜b－3a|，即证(ab－3)2＞(b－3a）2，又(ab－3）2－（b－3a）2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9）.因为｜a｜＜1，｜b｜＜3，所以(ab－3）2＞（b－3a)2成立,所以原不等式成立。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题选修4-5-2 Word版含答案

.函数()＝.()若＝，求函数()的定义域；()设，∈(－)，证明：<.解()由＋＋＋－≥，得＋≤，≤－或－≥，－<<－或≥，≥－，解得＝{≤－或≥}．()证明：∵<⇔＋<＋.而(＋)－(＋)＝(＋＋)－(＋＋)＝＋－－＝(－)＋(－)＝(－)(－)，∵，∈(－)，∴(－)(－)<，∴(＋)<(＋)，∴<..已知定义在上的函数()＝－＋，∈*，存在实数使()<成立．()求实数的值；()若α，β>，(α)＋(β)＝，求证：＋≥.解()因为－＋≥(－)－＝.要使不等式－＋<有解，则<，解得－<<.因为∈*，所以＝.()证明：因为α，β>，所以(α)＋(β)＝α－＋β－＝，即α＋β＝.所以＋＝(α＋β)＝(\\())＋＋≥((β,α)·(α,β))))＝. (当且仅当＝，即α＝，β＝时，等号成立)又因为α，β>，所以＋>恒成立．故＋≥..已知>，>，记＝＋，＝＋.()求－的最大值；()若＝，是否存在，，使得＋＝？并说明理由．解()－＝－＋－＝－－＋≤，等号在＝＝时取得，即－的最大值为.()＋＝＋＋＋≥＋，因为＝，所以＋≥＋>，所以不存在这样的，，使得＋＝. .已知函数()＝－－，记()>－的解集为.()求；()已知∈，比较－＋与的大小．解()()＝－－＝错误!由()>－，得(\\(≤，－>－))或(\\(<<()，－>－))或(\\(≥()，,－＋>－，))解得<<，故＝{<<}．()由()知<<，因为－＋－＝＝，当<<时，<，所以－＋<；当＝时，＝，所以－＋＝；当<<时，>，所以－＋>.综上所述，当<<时，－＋<；当＝时，－＋＝；当<<时，－＋>..已知函数()＝＋－的定义域为．()若()＝()，解不等式()－<＋；()若≤，求证：()≤.解()()＝()，即－＝＋－，则＝－，∴()＝－＋＋，∴不等式化为－＋<－＋，①当－≤<时，不等式化为－<－＋，∴－<<；②当≤≤时，不等式化为－＋<－＋，∴≤<.综上，原不等式的解集为.()证明：由已知∈，∴≤，又≤，则()＝(－)＋≤(－)＋≤－＋＝－＋＝－＋≤..已知函数()＝－.()若不等式(－)＋()<的解集为空集，求实数的取值范围；()若<，<，且≠，判断与的大小，并说明理由．解()因为(－)＋()＝－＋－≥－＋－＝，不等式(－)＋()<的解集为空集，则≥即可，所以实数的取值范围是(－∞，]．()>.证明：要证>，只需证－>－，即证(－)>(－)，又(－)－(－)＝－－＋＝(－)·(－)．因为<，<，所以(－)>(－)成立，所以原不等式成立.。

高考数学(文)一轮复习课件：选修4-5-1

解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解；当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2 .
1.解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决． (2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
2.不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． (3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
(2)如果 a、b、c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
绝对值不等式的常见题型及求解策略 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c 可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 可转化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤ －c，然后根据 a，b 的取值求解即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c 根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. (3)c＝0，则|ax＋b|≤0 可转化为 ax＋b＝0，然后根据 a，b 的取值求解即可；|ax＋b|≥0 的解集为 R.

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【解题思路】分成两个绝对值不等式,分别求解后取交集.解不等式 |2x+3|≤4,即-4≤2x+3≤4,解得- ≤ �� ≤ ; 解不等式|2�� + 3| > 2, 即2�� +
7 2 1 2 5 2 1 2
3 < −2或2�� + 3 > 2, 解得�� < − 或�� > − , 所以不等式的解集为{��| −
2 2
5.[2016· 长沙模拟]不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是 . a≥1 【解析】由已知,a≥|x-4|+|x-3|有实数解,则a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.
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考点一考点二
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绝对值不等式
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考点1 绝对值不等式的解法
5 1 − 或− 2 2 5 1 − 或− 2 2 5 1 − 或− 2 2 5 1 − 或− 2 2
< �� ≤ < �� < < �� ≤ < �� ≤
1 2 1 2 1 2 1 2
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绝对值不等式是不等式选讲的重要内容,考查频率很高,常见的是解不等式、不等式恒成立、函数最值等相关的问题,求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解
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1.绝对值三角不等式
定理 1 2 内容 |a+b|≤|a|+|b|,a,b∈R |a-c|≤|a-b|+|b-c|,a,b,c∈R 等号成立条件 ab≥0 (a-b)(b-c)≥0
1 2
�� ≤ − − < �� ≥
1 2
1 2 1 < 2 1 . 2
, ,
当x≤- 时, 由��(��) < 2得 − 2�� < 2, 此时 − 1 < �� ≤ − ;
1 当2
1 2
< �� <
1 时,f(x)=1<2恒成立; 2
�� < −2, 解得x≥2或x≤-3. −2��−1 ≥ 5,
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3.若对任意x∈[1,2],总有|x-a|≥2成立,则实数a的取值范围是 . (-∞,-1]∪[4,+∞) 【解析】解不等式|x-a|≥2得x≥a+2或x≤a-2,所以a+2≤1或 a-2≥2,解得a≤-1或a≥4. 4.若存在x∈[1,2],使得不等式|2x+1|≤m成立,则实数m的取值范围是 . ��+1 ��−1 [-5,-3]∪[3,5] 【解析】解不等式|2x+1|≤m得≤ �� ≤ , 则1 ≤ 2 2 ��+1 ��−1 − ≤ 2或1 ≤ ≤2,解得-5≤m≤-3或3≤m≤5.
式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 解题思路】(1)直接根据不等式的取值分段讨论求解;(2)根据绝对值不等式的性质直接证明即可.
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−2�� 【参考答案】(1)f(x)= 1 2��
7 2
≤ �� <
5 − 或 2
− < �� ≤
1 2
1 }. 2
【参考答案】 C
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命题角度2:|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法
典例2 [2016· 新课标全国Ⅱ(甲)卷]已知函数f(x)= |x- |+|x+ |,M为不等
|x-a|+|x-b|≤c
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1.设a,b为满足ab<0的实数,那么 ( ) A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b| B 【解析】∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|. 2.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为 . {x|x≥2或x≤-3} 【解析】原不等式等价于 �� > 1, −2 ≤ �� ≤ 1, 或或 2�� + 1 ≥ 5 3≥5
命题角度1:|ax+b|≤c型不等式的解法典例1 不等式2<|2x+3|≤4的解集为 ( A. B. C. D.
7 ��|− 2 7 ��|− 2 7 ��|− 2 7 ��|− 2
)
< �� < < �� < ≤ �� < ≤ �� ≤
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第一节绝对值不等式
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考纲概述(1)理解绝对值的几何意绝对值不等式的证明 ★★★ 义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:① |a+b|≤|a|+|b|,②|ab|≤|a-c|+|c-b|; (2)会利用绝对值的几何解含有绝对值的不等式 ★★★★★ 意义求解以下类型的不等式 :|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|xa|+|x-b|≥c
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2.绝对值不等式的解法
类型 |ax+b|≤c |ax+b|≥c |x-a|+|x-b|≥c 解法 -c≤ax+b≤c ax+b≤-c或ax+b≥c
①几何法:结合绝对值的几何意义,找出数轴上到点x1=a,x2=b的距离之
和都大于等于c(或小于等于)的点,得出对应的解集; ②零点分区间法:利用绝对值号内式子对应的根,将数轴分为(-∞,a) ,[a,b],(b,+∞)(假设a<b)三部分,在各部分分别去绝对值号求解集,最后求三部分解集的并集; ③数形结合法:分别作出y=|x-a|+|x-b|和y=c的图象来求解