周期信号的频谱4.2
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周期信号的频谱
A1
4A，
1
－
2
A3
4A，
3
3
－
2
其余 An 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 振幅频谱
n
0 1
2
31 51 7 1
• 相位频谱
n 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 例 f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。
解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的 傅里叶级数展开式。据
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
• 傅立叶系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt
则： f(t) Fnejn1t n
• 例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶 级数表示式
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
1
Fn T
T 2
T 2
f ( t ) e d jn 1t t
• 周期信号的能量是无限的，平均功率有界，
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2
属于功率信号。
f (t) Fnejn1t n
将 f(t) 表示成傅里叶级数并代入上式可得：
P
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点
1.频谱中存在基波和谐波：周期信号的频谱中不仅包含了基波分量，还包括了各个谐波分量。
基波分量对应信号的基本周期，而谐波分量则是基波频率的整数倍。
基波和谐波分量在周期信号频谱中呈现出一定的规律性，即谐波分量的幅值逐渐减小，但频率却逐渐增大。
2.频谱具有离散特性：周期信号频谱中的频率值是离散的，即频谱中只有一系列离散的频率分量。
这是因为周期信号具有固定的周期，其频谱中的各个频率值与基波频率和谐波频率有关。
3.频谱对称性：周期信号频谱在频率轴上具有对称性。
具体而言，当周期信号是实值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
当周期信号是复值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
4.频谱幅度递减：周期信号频谱中各个频率分量的幅度递减性质。
基波分量的幅度最大，而谐波分量的幅度逐渐减小。
如果周期信号中存在无穷多个谐波分量且每个谐波分量的幅度适当，则可以近似地表示任意的周期信号。
5.频谱包含整个频率范围：周期信号频谱中包含了整个频率范围，即从直流成分到无限大频率。
直流成分对应于基波分量，而高频成分对应于谐波分量。
因此，周期信号的频谱图是一个连续的、无缺口的频率分布。
总之，周期信号频谱的特点可以概括为：包含基波和谐波分量，具有离散特性，具有对称性，谐波分量幅度递减，频率范围包含整个频域。
通过对周期信号频谱的分析，可以了解信号的频率分布情况，从而更好地理解和处理周期信号。
4-2周期信号的频谱
1.单边谱 幅度谱： n 和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； Ａ 相位谱： n和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
An
A1
A2
A3
实际工程应用
n
0 Ω
ω
ω
-2π
由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
2.双边谱 幅度谱：
f t
n
Fe
n
jn t
|Fn|和ω的关系表示在一张图里称为幅度谱； 相位谱：
n
Fn e j n t 可以求周期信号的有效值
1 P T
2
T 2 T 2
f (t )dt
2
2
F0 2 Fn
n 1
n
2
Fn
时域功率等于频域功率 Parserval恒等式
例1 计算信号频谱第一个零点以内各分量的功 率所占总功率的百分比。
f (t )
n
f t T ;
n
Fn e jnt
1 Fn T
T 2 T 2
f t e jnt dt
Fn 0.
为了更好的描述非周期信号的频谱特性， 引入新的量(频谱密度)。 d T TFn 2T f t e jnt dt 为有限量. n
dt T T Sa( 2 2 )
指数级数为： f (t )
n
Fn e jnt n jnt Sa( 2 )e n
E T
T 4
Fn
1 E 4
E n Fn Sa( ) T 2
0 Ω
n
4.3周期信号的频谱
(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
（2）频谱图
1 4
Fn
2
0
2
2
4
离散性
周期信号的频谱是由间隔为 的谱线组成的。 信号周期 T越大， 就越小，则谱线越密。反之， T 越小， 越大，谱线则越疏。
收敛性
当周期信号的幅度频谱随着谐波 断衰减，并最终趋于零。
n增大时，幅度频谱|Fn|不
谐波性
频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。
结论
周期信号的频谱特点：
（1）离散性
（2）谐波性 （3）收敛性
信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽 度,即第一个零点以内的这段频率范围称为信号的频带宽度或 者信号的带宽。
B
2π
结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。 即 越大，其wB越小；反之， 越小，其wB 越大。 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部 分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不 会对信号产生明显影响。
双边幅度谱
双边相位谱
1 2 1 例1：周期信号 f (t ) 1 cos t sin t 2 4 3 4 3 6 求该周期信号的周期T，基波角频率 ，画出它的 单边频谱图。
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图: n An
1 (1) s 20
1 T1 s 4
E n Fn Sa 5 5
E n Fn S a 2 2
1 1 (2) s T1 s 8 4 结论：增大时：
不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：B 或Bf变小；
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0 1
n 是 n0 的奇函数
n
0
0
n10
1 0
n 10
第四章
周期信号频谱的特点： 离散性： 由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分 量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线 间的距离为 2
0
T
谐波性： 每一条谱线只能出现在基波频率 0 的整数倍频率 上，即含有 0 的各次谐波分量，而决不含有非 0 的谐波分量。
n N
F e
n
N
jn0t
N N 1 jn0t 2 2 e (t ) [ f ( t ) F e ] dt n 2 N 1 N n N
第四章
Sa(x) 1 ( x) Sa
抽样函数定义为：
• 偶函数 －3 －2
sin x x
2 3 x
－
o
1 • 看成振幅为 的正弦函数，振幅衰减的正弦振荡 x
•当x=kπ时，Sa(kπ)=0 • 且x→0时，Sa(x)=1
0
Sa ( x)dx
2
Sa( x)dx
T
时： 周期信号趋于非周期信号。
谱线无限密集，幅度趋于无穷小， 矩形脉冲信号含有无穷多条谱线, 连续频谱。 周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。
第四章
实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去，
周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内。 常常将
0~
2
这段频率范围称为矩形脉冲信号的
第四章
T 2
0
0
n0
T 4
0
0
n0
第四章
T 不变，0 不变： 谱线的疏密不变
若 ： 则 Fn 收敛速度变慢，
A n0 Fn Sa T 2
不变：
若 当
幅度减小， 包络零点间隔增大。
包络零点间隔不变。
T
： 0
即谱线变密， 幅度减小
第四章
收敛性： 各次谐波分量的振幅虽然随 n0 的变化有起伏变化，
但总的趋势是随着 n0 的增大而逐渐减小。
当 n0 →∞时，|Fn|→0。
A n0 Fn Sa T 2
A n0 Fn Sa T 2 T相同，不同τ值时周期矩形信号的频谱
f (t )
n
F e
n
jn0t
第四章
双边频谱
1 | Fn | An 2
振幅谱
Fn Fn
n n
相位谱
第四章
例
周期矩形脉冲信号
A f1 (t ) 0
当t
2
T T 当 t , t 2 2 2 2
f (t )
A
T －
第四章
1 1 f (t ) (sin 0t sin 30t sin 50t ) 3 5
4A
例：试画矩形波振幅谱和相位谱
4A 1 1 f (t ) [cos(0t ) cos(30t ) cos(50t ) ] 2 3 2 5 2 可知，其基波频率 0 ， 分别有一、 三、五……奇次谐波分量
2
第四章
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
2 (rad / s ) 0 ~ 40 (rad / s) 有效带宽为： 0 ~
1 T 4
0 8
在带宽范围内有直流、基波、二次、三次、四次谐波 分量：
8 ,16 ,24 ,32
n
P 1
n = —4
| F
4
| F 2 | Fn |
F e
n
jn0t
1 1 j n Fn An An e Fn e jn 2 2
第四章
An、n 均为 n0 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
以ω为横坐标 频谱图 相位频谱 以相位为纵坐标所得到的谱线图
振幅频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图
A0 0，0 0， A1
4A A3 ， 3 － 3 2
4A
， 1 －
2
其余
0 A n
第四章
振幅频谱
0
0
0
0
0
0
2
n 01
3 5 0 1 10 710
n 10
相位频谱
第四章
4.2.2
双边频谱与信号的带宽
A 0 Sa T 2
A 20 Sa T 2
0 0
0
第四章
3.相位的确定
A n0 是 n 的实函数 0 Fn Sa T 2
Fn Fn e
当
jn
Fn (cosn j sin n ) Fn cosn
－
τ o 2
τ 2
T 2
T
2T
t
第四章
复系数
1 Fn T
T 2
T 2
1 jn0 t f (t )e dt T
2 2
Ae
jn0 t
dt
A 1 n0 2A jn0 2 jn0 2 (e e ) sin( ) T jn0 n0T 2 n0 sin n0 A A 2 Sa( ) [ ] n0 T 2 T 2 n0 sin A jn0t 2 f (t ) e T n 1 n0 2
频带宽度。记为
或
2 B ( rad / s ) 1 B f ( Hz )
2 (rad / s )
f
1
( Hz )
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比
第四章
对于频谱单调衰减的信号： 把零频率到谐波幅度降到最大值 十分之一时的频率段，称为信号 的带宽
1 10
第四章
4.2 周期信号的频谱
4.2.1 周期信号频谱的特点
4.2.2 双边频谱与信号的带宽
4.2.3 周期信号的功率
第四章
4.2.1
周期信号频谱的特点
周期信号的两种展开式：
三角形式
A0 f (t ) An cos(n0t n ) 2 n1
指数形式
f (t )
n
第四章
可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成抽样函数的形式， 即
A n0 Fn Sa T 2
由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构 成的包络是 Sa( x) 的形式。
第四章
画周期矩形脉冲的频谱
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为 与横轴的交点
A n0 Fn Sa T 2
n 0 k 2
k (1,2,3)
n0离散自变量
n0
2k
即
2
,
4
,
6
第四章
n0 0 当 2
即
n0 0
Fn 为最大值
A ： T
2.确定各谐波分量的幅度
基波分量的幅度： 二次谐波分量的幅度：
将 f(t) 表示成傅里叶级数并代入上式可得：
P
n
F
2
n
F0 2 Fn
2 n 0
2
第四章
例： 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分 量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。 其中A=1，T=1/4，=1/20。
fT (t )
A
T
2
2
T
t
第四章
解：周期矩形脉冲的傅立叶复系数为
Fn 0
时：
cos n 0 n 0 sin n 0 cos n 0 n sin n 0
当
Fn 0
时：
第四章
周期矩形脉冲的频谱
0 0
Fn
是 n0 的偶函数
Fn
n 0
或
n
Fn Fn cosn
n0 sin( ) n0 A A 2 Fn Sa( ) n0 T 2 T 2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
Fn 0.2 Sa (n0 / 40) 0.2 Sa (n / 5)
信号的平均功率为：
1 P T
T /2
T / 2
f (t )dt 0.2
f1
1 2
f f1 ( Hz)
或者把谐波幅度降到零频率幅度的 2 时的那个频率间频带，称为信号的带宽
1
f1
第四章
4.2.3
周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，平均功率有界，
1 P T
T 2 T 2
属于功率信号。
f (t )dt
2
f (t )
n
F e
n
jn0t
2 2 0 n =1
4
2
P 0.1806 1 90 % P 0.200
第四章
MATLAB程序
第四章
Fn
1 25
8
2
40
40
n 10 n
周期信号的功率谱
第四章
有限项近似与均方误差
f (t )
瞬时误差
n N
F e
n
N
jn0t
e(t ) f (t )
均方误差