2013高考一轮复习 等差数列与等比
高三 一轮复习 等比数列 教案
等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． [试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．2．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．2．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个． 答案：3考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{a n }中，若a 2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.2．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.3．设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3＝2，S4＝5S2，求{a n}的通项公式．[类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－(n≥2), 证明{b n}是等比数列.1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． [针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .考点三等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [针对训练]1．(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.2．(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．[课堂练通考点]1．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.2．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________.3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又11。
山西省2013高考数学一轮单元复习测试：数列
山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ） A ． 38 B ． 20 C ． 10 D ． 9【答案】C2． 设n S 为等差数列}{n a 的前项和，且20101-=a ，32008201120082011=-S S ，则2a =（ ） A ．2008- B ．2012- C ． 2008 D ．2012 【答案】A3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A ．①和 B ．⑨和⑩ C ．⑨和 D ．⑩和 【答案】D4．等比数列｛n a ｝中，3a 7=，前3项之各3S 21=，则数列｛n a ｝的公比为（ ）A ．1B ．1或12- c.12-D ．-1或12【答案】B5．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n，则n S 达到最小值时，n 的值为（ ）A ． 12B ． 13C ． 24D ． 25【答案】C6．设S n 是各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和，若S n ＋S n ＋22≤S n ＋1，则公比q 的取值范围是( )A ．q >0B ．0<q ≤1C ．0<q <1D ．0<q <1或q >1【答案】B7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值32D ．有最大值32 【答案】A8．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 【答案】B9．在各项均为正数的数列{}n a 中，对任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=⋅．若664a =，则9a 等于（ ） A ．256B ．510C ．512D ． 1024【答案】C10．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则10A ．－110 B ．－90 C ．90D ．110【答案】D 11．在等差数列{}n a 中，56789450a a a a a ++++=，则311a a +的值为（ ）A ．45B ．75C ．180D ．300【答案】C 12．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（ ）A ． 2788n n+ B ．2744n n + C ．2324n n+ D ．2n n +【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 【答案】2814．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_____，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为______.【答案】3 5(25122n n n S nn ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为偶数）（当为奇数）15．已知数列{n a }中，11a =，若111(0)n n n n na a a a a +++=>-，则n a = .【答案】16．数列{}n a 对一切正整数n 都有21n n S a =-，其中n S 是{a n }的前n 项和，则3a = 【答案】4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．(1）求数列{}n a 的通项公式； (2）设31323log log log nn b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．【答案】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32234199a a q =⇒=． 由条件可知0q >，故13q =． 由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =．故数列{}n a 的通项式为13n n a =．(2）31323log log log nn b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+. 18． 等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得314q a a =，即3162q =，解得2q =.所以数列{}n a 的通项公式为.222111n n n n q a a =⨯==--(Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则38b =，532b =.设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩.从而1612(1)1228nb n n =-+-=-.所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.19． 若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，求{a n }的通项公式．【答案】∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)(n ∈N *)，∴a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=(n -1)n (n +1)(n ∈N *)，两式相减，得na n =n (n +1)(n +2)-(n -1)n (n +1)(n ∈N *)， ∴a n =3n +3.20．已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. (Ⅰ）求q 的值；(Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a.211-=∴或q(Ⅱ）若.2312)1(2,12nn n n n S q n +=⋅-+==则 当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则 当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当21．等比数列{}n a 中，142,16a a ==.(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，试求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =.又12a =，所以111222n n n n a a q --==⨯=.(Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则48b =，1632b =.设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得12,2.b d =⎧⎨=⎩则数列{}n b 的前n 项和1(1)2n n n S nb d -=+2(1)22.2n n n n n -=+⨯=+ 22．已知数列{}n a 满足12a =，21a =，且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，2n n nb a =。
高考数学复习：等差数列与等比数列
Sn＝an2＋bn(a，b为 常数)
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－ bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)已知函数 f(x)＝1＋2 x2(x∈R)，若等比数列{an}满足 a1a2 020＝1，则 f(a1)
＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
√A.1 D.2
解析 ∵a1a2 020＝1，
∴f(a1)＋f(a2 020)＝1＋2 a21＋1＋2a22 ∵{an}为等比数列，
a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于
A.12
B.24
√ C.30
D.32
解析 设等比数列{an}的公比为q， 则 q＝aa21＋＋aa32＋＋aa43＝21＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于
∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴2k＋111－－2210＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝
证明 由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn). 因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列. 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
高三数学第一轮总复习课件： 等差、等比数列
Sn
a1 an n na
2
q 1 na1 等比数列前n项和 S n a1 1 q n q 1 1 q n 1 S1 2.如果某个数列前n项和为Sn，则 an S n S n1 n 2
nn 1 d 1 2
3.下列命题中正确的是( B
)
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列 B. 数列 {an} 的前 n 项和是 Sn=3n-c，则 c=1 是 { an} 为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1
4. 等差数列 { an} 中， a1＞0，且 3 a8=5a13，则 Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
4. 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn=32n-n2，求数列 { |an|} 的前 n 项 Sn 和S’n ．
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n ak＜0时， S n S(n k =1，2，…，n).若在 S；当 n
高三数学第一轮总复习四：等差、等比数列
等差、等比数列的通项及求和公式 等差、等比数列的运用
等差、等比数列的应用 数列的通项与求和
第1课时 等差、等比数列的通项及求 和公式
• • • •
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零， 设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
（完整版）高考等差等比数列知识点总结
1高考数列知识点等差数列1.等差数列的定义：d aa n n=--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22dn a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为的二次式且常数项为00） 特别地()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．是等差数列． （2） 等差中项：数列{}na 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函的一次函 数，数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
2013高考数学(理)一轮复习课件：专题三
高考动向透视 等差、等比数列的基本运算
等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等 差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的．解 决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量 法，即运用条件转化成关于a1和d的方程(组)；②巧妙运用等 差、等比数列的性质．
高考命题特点 在新课标高考中，数列内容的主要考点包括三个方面：一是数 列的有关概念；二是等差数列的定义、通项公式与前n项和公 式；三是等比数列的定义、通项公式与前n项和公式．其中， 数列的有关概念是了解级要求，等差数列和等比数列一般是掌 握级要求．根据《考试说明》中“重视数学基本能力和综合能 力的考查”的精神，高考对数列的考查呈现出综合性强、立意 新、难度大的特点，注重在知识交汇点处设计试题，如常常与 函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证 明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考 查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查．
【示例4】►(2011· 浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1 1 1 1 为a(a∈R)，且 ， ， 成等比数列． a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 1 1 (2)对n∈N ，试比较a ＋a ＋a ＋„＋a 与a 的大小． 2 22 23 2n 1
*
解
本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运 算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和 创新思维能力．对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公 比；对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求 和．
有关数列与不等式的综合考查
数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式 相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时 需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决， 要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要 考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化 化归的思想和数学素养．
等差数列和等比数列
等差数列和等比数列数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数列中，等差数列与等比数列是两类常见的数列形式。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质以及求和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻的两个数之差保持恒定的数列。
我们用a1、a2、a3……表示等差数列的各项，其中a1是首项，d是公差（相邻两项的差值）。
等差数列的通项公式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an表示第n项，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质很多，这里我们介绍两个重要的性质。
1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和，an表示第n项。
2. 等差数列的性质：首项、末项和项数之间的关系an = a1 + (n-1) * d通过这个公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻的两个数之比保持恒定的数列。
我们用a1、a2、a3……表示等比数列的各项，其中a1是首项，r是公比（相邻两项的比值）。
等比数列的通项公式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1是首项，r是公比。
等比数列也有一些重要的性质。
1. 等比数列的前n项和公式：Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示首项，r表示公比。
2. 等比数列的性质：首项、末项和项数之间的关系an = a1 * r^(n-1)通过这个公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值。
综上所述，等差数列和等比数列都是常见的数列形式。
了解它们的概念、性质以及求和公式，将有助于我们在数学问题中的解答和计算。
文末以上是对等差数列和等比数列的介绍。
通过本文我们了解到了等差数列的概念、性质以及求和公式，以及等比数列的概念、性质以及求和公式。
熟练掌握这些知识，我们可以更好地解决与数列相关的问题。
(三轮冲刺)2013年高考数学复习 点睛专题(考向聚焦+解题反思) 第2讲 等差、等比数列的概念与性质课件
(1) ∵ n =pn +qn, an+ 1=p( 1) +q( 1) 解: a ∴ n+ n+ , 2 于是 an+ 1-an =[ n+1) +q( 1) -( 2+qn) 2pn+p+q, p( n+ ] pn = 要使{an }为等差数列, 则 2pn+p+q应是一个与 n无关的常数, 因此只有 2p= 0, p= 0, 即 故当 p= 0, q∈R 时, n }是等差数列. {a (2) 证明: an+ 1-an =2pn+p+q, ∵ ∴ n+ 2-an+ 1= 2p( a n+1) +p+q, ∴an+ 2-an+ 1) an+ 1-an ) 2p是一个与 n无关的常数, ( -( =2p, ∴ n+ 1-an }是等差数列. {a
【例 2】(1) (2011 年江西九校联考)在等差数列{an}中, n是其前 n S 项和, a 3+ 2a 7+a11= 60, S 13 等于( 若 则 (A)195 (B)200 (C)205 (D)210 )
(2) (2011 年 浙 江 温 州 五 校 联 考 ) 已 知 等 比 数 列 {an} 中, 1+a 2+a3= 40, 4+a 5+a6= 20, a a 则其前 9 项之和等于( ) (A)50(B)70 (C)80(D)90
解析: (1)因为 a 3+ 2a 7+a11=60, 所以(a 3+a7)+(a7+a 11)=60, 因此 2a 5+ 2a 9=60, 所以 a 5+a 9=30, 即 2a 7= 30, 7=15, a 于是 S 13= = 13a 7= 13× 195, 15= 故选 A.
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高考一轮复习 等差数列及其前n 项和
一、选择题
1、若等差数列{n a }的前5项和525S =,且23a =,则7a 等于( )
A.12
B.13
C.14
D.15
2、等差数列{n a }的公差不为零,首项121a a =,是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项和是( )
A.90
B.100
C.145
D.190
3、等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2812a a +=,则9S 等于( )
A.54
B.45
C.36
D.27
4、已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S 等于( )
A.68
B.72
C.54
D.90
5、已知{n a }是等差数列67782028a a a a ,+=,+=,则该数列前13项和13S 等于( )
A.156
B.132
C.110
D.100
6、在等差数列{n a }中,已知12411039n a a a a =,+=,=,则n 等于( )
A.19
B.20
C.21
D.22
7、已知{n a }是等差数列451555a S ,=,=,则过点34(3)(4)P a Q a ,,,的直线的斜率为( )
A.4
B.14
C.-4
D.-14
8、等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且3164S a =,=,则公差d 等于( ) A.1 B.53 C.-2 D.3
9、已知{n a }为等差数列,且743210a a a -=-,=,则公差d 等于( ) A.-2 B.12- C.12 D.2
二、填空题
10、设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若972S =,则2a +49a a += .
11、已知数列{n a }是等差数列3410118a a a ,=,+=,则首项1a = .
12、等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且53655S S -=,则4a = .
13、(2011广东高考,理11)等差数列{n a }前9项的和等于前4项的和.若1410k a a a =,+=,则k= .
三、解答题
14、已知数列{n a }的前n 项和为212
n S n n =+,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
15、已知数列{n a }和{n b }满足1121(1)1n n n n n a a a a b a +=,-=-,=-.求数列{n b }的通项公式.
16、已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{n a }的首项14a =,且当2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,且 n b =12n
a ,-试判断数列{n
b }是否是等差数列?并说明理由.
高考一轮复习 等比数列及其前n 项和
一、选择题
1、已知等比数列{n a }中234a a a ,,分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且11a =公比1q ≠.则n a 等于 ( )
A.12n -
B.22n -
C.12n -
D.22n -
2、设{n a }是由正数组成的等比数列n S ,为其前n 项和.已知24317a a S =,=,则5S 等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172
3、设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,若633S S =,则96
S S 等于 ( ) A.2 B.73 C.83
D.3 4、已知等比数列{n a }满足122336a a a a +=,+=,则7a 等于( )
A.64
B.81
C.128
D.243
5、已知等比数列{n a }满足01n a n >,=,2,…,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,log 21a +log 23a +…+log 221n a -等于( )
A.n(2n-1)
B.2(1)n +
C.2
n D.2(1)n - 6、已知各项均为正数的等比数列{n a }123789510a a a a a a ,=,=,则456a a a 等于( ) A.52 B.7 C.6 D.42
7、已知等比数列{n a }的公比为正数,且2395221a a a a ⋅=,=,则1a 等于( ) A.12 B.22
C.2
D.2 8、设n S 为等比数列{n a }的前n 项和2580a a ,+=,则52
S S 等于 ( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11
9、在等比数列{n a }中11a ,=,公比|q|1≠.若12345m a a a a a a =,则m 等于( )
A.9
B.10
C.11
D.12
二、填空题
10、设等比数列{n a }的公比12
q =,前n 项和为n S ,则44S a = .
11、三个数成等差数列,其比为3∶4∶5,如果最小数加上1,则三数成等比数列,那么原三数分别为 .
12、等比数列{n a }的公比q>0,已知221n a a +=,+16n n a a +=,则{n a }的前4项和4S = . 13、在正项等比数列{n a }中153537225a a a a a a ,++=,则35a a += .
三、解答题
14、等比数列{n a }中,已知14216a a =,=.
(1)求数列{n a }的通项公式;
(2)若35a a ,分别为等差数列{n b }的第3项和第5项,试求数列{n b }的通项公式及前n 项和n S .
15、已知等比数列{n a }的通项公式113()2
n n a -=⋅且n b =32313n n n a a a --++,求证:{n b }成等比数列.
16、设n S 为数列{n a }的前n 项和2n S kn n n ,=+,∈N *,其中k 是常数.
(1)求1a 及n a ;
(2)若对于任意的m ∈N 24m m m a a a *,,,成等比数列,求k 的值.。