中石油15春 高等数学(二)作业一二三试卷
中石油15春高等数学（二）作业一二三在线考试单选题(共50道题)展开收起1.（2.0分）现代远程教育的特点决定了远程学习以学生___________为主。
A、上课B、学习C、自学D、上网我的答案：C 此题得分：2.0分2.（2.0分）中国石油大学（北京）校风、中国石油大学（北京）学风是_________。
A、认真踏实，艰苦奋斗；勤奋严谨，求实创新B、实事求是，艰苦奋斗；勤奋严谨，求实创新C、实事求是，艰苦奋斗；刻苦努力，求实创新D、实事求是，艰苦奋斗；勤奋严谨，热爱专业我的答案：B 此题得分：2.0分3.（2.0分）教学计划中的课程按修课性质划分，分为_______。
A、必修课、任选课B、加修课、选修课C、必修课、选修课D、实验课、选修课我的答案：C 此题得分：2.0分4.（2.0分）中国石油大学（北京）是一所石油特色鲜明，____________的全国重点大学。
A、以工为主，理工管文相结合B、以文为主，理工管文相结合C、以文为主，理工相结合D、以工为主，管文相结合我的答案：A 此题得分：2.0分5.（2.0分）__________是指学生在选修我院教学计划中的部分课程后，参加课程学习，在具备一定条件时，可以申请免去课程考试而取得学分的一种修课方式。
A、课程免考B、课程免修C、课程重修D、课程缓修我的答案：A 此题得分：2.0分6.（2.0分）在籍学生修业期满，已修学分达到或超过教学计划规定总学分的_________，无法完成学业而退学，由学生本人提出申请，经学院审核，准予结业，发给结业证书。
A、80%B、70%C、60%D、50%我的答案：A 此题得分：2.0分7.（2.0分）已具有国民教育系列_________，可免考全部统考科目。
A、本科以上学历（含本科）B、硕士以上学历C、专科以上学历D、中专以上学历我的答案：A 此题得分：2.0分8.（2.0分）办理免修、免考申请时，学生所提供的该门课程的成绩或证书取得年限不得超过________。
A、六年B、五年C、四年D、七年我的答案：B 此题得分：2.0分9.（2.0分）在学习过程中，如遇到课程问题，需要教师解答，学生需要进入学生工作室，首先点击页面右侧某门课程的“开始学习”，再点击___________按钮即可进入。
A、教师信箱B、加书签C、课程答疑D、交流园地我的答案：C 此题得分：2.0分10.（2.0分）在远程教育中，教育教学制度上同传统教育不同，更加注重创新才能的培养，在保证受教育者具备基本学习能力的前提下，采取___________的方针。
A、严进宽出B、严进严出C、宽进严出D、宽进宽出我的答案：C 此题得分：2.0分11.（2.0分）现代远程教育有以下___________特点。
A、开放性、灵活性B、大众普及性、社会资源共享性C、学习的终身性D、以上全部我的答案：D 此题得分：2.0分12.（2.0分）远程教育发源于___________，其早期形式是函授教育，是在机器工业时代，应经济社会发展对人才素质的要求而产生的一种新型教育方式。
A、19世纪的美国B、18世纪的英国C、18世纪的法国D、19世纪中叶的英国我的答案：D 此题得分：2.0分13.（2.0分）通过浏览器进入学院首页，在登陆窗口，输入正确的_______，点击登陆后，将进入学生首页。
A、用户名和密码B、用户名C、密码D、中文姓名我的答案：A 此题得分：2.0分14.（2.0分）中国石油大学（北京）远程教育学院对学生采用弹性学分制管理，高起专和专升本学制均为_________。
A、2.5－6年B、2.5－3年C、2.5－5年D、2－4年我的答案：B 此题得分：0.0分15.（2.0分）教材费为每人一次性预交_______，学生离校时进行结算，多退少补。
A、400B、600C、500D、700我的答案：B 此题得分：2.0分16.（2.0分）________的学习者，最起码的信息化素养要求就是能够掌握计算机操作的基本技能，掌握基本的网络操作技能。
A、现代远程教育B、传统教育C、成人教育我的答案：A 此题得分：2.0分17.（2.0分）现代远程教育其主要技术特征是_________，即通过数字、多媒体等信息技术实现人机、人际的相互交流和交互作用，可以加强教师和学习都之间的双向交流，极大地促进学习者之间的个性化学习和协作学习。
A、适应性B、网络化C、实时性D、双向交互18.（2.0分）课程学习完成，必须参加课程考核。
考试形式为___________。
A、开卷或撰写论文B、闭卷、开卷C、闭卷和撰写论文D、闭卷、在线考试、开卷、大作业或论文考核19.（2.0分）免修、免考所提供成绩或证书自取得之日起_________ 内有效A、四年C、.六年D、三年20.（2.0分）学生的必修课程总成绩平均在__________ ，已经办理免修的课程不计入在内。
方具有学士学位申请资格。
A、60 分以上（含60 分）B、65 分以上（含65 分）C、75 分以上（含75 分）D、70 分以上（含70 分）21.（2.0分）学生申请转专业，必须先到_________提出申请，由其初审同意后报学院批准。
A、所属教学中心B、学校C、班级D、学院22.（2.0分）在籍学生，修业时间超过1年，已修学分达到或超过教学计划规定总学分的_______，中途退学，由学生本人提出申请，经学院审核，准予肄业，发给肄业证书。
A、50%B、40%C、60%D、30%23.（2.0分）学生须参照本专业教学计划规定的内容、要求和教学进度，根据自己的实际情况，制定学习计划。
学生每次选课的学分不得超过_________ 学分。
A、20B、24C、10D、1524.（2.0分）教育部部长陈至立在《面向21世纪教育振兴计划》一文中指出：_________，是在我国的教育资源短缺的条件下办好大教育的战略措施。
A、现代远程教育工程B、？高等教育工程C、成人教育工程D、中学教育工程25.（2.0分）掌握网络学习的技能，主要特指___________的技能。
A、计算机操作和网上学习B、网上学习和交流C、听课和在互联网上运行D、计算机操作和在互联网上运行26.（2.0分）不能选课的原因包括_________？。
A、没到选课期B、学费余额不足C、考试场次冲突D、超过24学分E、以上全部27.（2.0分）毕业论文成绩及格以上者，准予毕业，发给毕业证书。
申请学士学位者，毕业论文成绩应在___________ 以上。
A、“优秀”B、“良好”C、“及格”D、“中等”28.（2.0分）考试中有替考行为者，将给予___________处分。
A、取消考试资格B、开除学籍C、给予警告D、记过29.（2.0分）现代远程教育是以计算机、多媒体、现代通信等信息技术为主要手段，将___________有机结合的一种新型教育方式。
A、信息技术和现代教育思想B、信息技术和教育技术C、教育手段和计算机操作30.（2.0分）远程教育的发展经历了三代，以下哪个不是：___________。
A、函授教育B、广播电视教育C、成人教育D、网络教育31.（2.0分）现代远程教育学习与传统教育有着很大的区别，其要求学习者首先应具备以下_________能力A、主体意识及自持力B、信息素养C、网络学习能力D、以上全部32.（2.0分）中国石油大学是___________、首批进入国家“211工程”的全国重点大学。
A、资源部直属B、石油部直属D、科技部直属33.（2.0分）现代远程教育对初学者造成了那些不适应：_________ 。
A、心理及观念不适应B、环境不适应C、方法及方式不适应D、以上全部我的答案：此题得分：2.0分34.（2.0分）学生在每学期选课后即默认参加考试，不参加考试需在考试前_________提出缓考申请。
A、一个月B、一周C、一天D、二周我的答案：此题得分：2.0分35.（2.0分）在学习过程中，学生需要经常登陆学院主页，学院主页的网址是_________ 。
D、我的答案：此题得分：2.0分36.（2.0分）学生在学习期限内只允许转________专业。
A、三次B、一次C、四次D、二次我的答案：此题得分：2.0分37.（2.0分）学院每年安排两次考试，即每学期的________。
A、5月上旬和7月上旬B、1月上旬和7月上旬C、3月上旬和7月上旬D、6月上旬和12月上旬我的答案：此题得分：2.0分38.（2.0分）学校对学生实行学分制和弹性学习期限制管理，不办理________ 。
C、休学D、转专业我的答案：此题得分：2.0分39.（2.0分）网页上的工具栏中“收藏夹”的作用是_________ 。
A、保存网页的快捷方式B、保存图片C、保存历史纪录D、保存网页的内容我的答案：此题得分：2.0分40.（2.0分）以下属于媒体播放软件的是_________ 。
A、WinzipB、MediaplayC、WinrarD、Netants我的答案：此题得分：2.0分41.（2.0分）远程教育就是把教育的场所延伸到教室和___________ 围墙之外，凭借B、校园C、学校D、老师我的答案此题得分：2.0分42.（2.0分）网络教育的特点之一是：学生的学习过程主要是在网络环境中进行的，比如在________ 网上讨论、网上辅导等等。
A、网上做作业B、网上答疑C、网上自测D、以上全部我的答案：此题得分：2.0分43.（2.0分）申请免考的课程总学分不得超过教学计划规定应修总学分的__________。
不管原课程学分多少，申请免考课程学分一律按我院教学计划规定的学分计算。
A、33%B、30%C、35%我的答案：此题得分：2.0分44.（2.0分）第一代远程教育是以________为主要学习资源、以邮政传递收写作业和批改评价（函授辅导）为主要通信手段（主要技术特征）的函授教育。
A、电视媒体B、光盘C、网络媒体D、印刷教材我的答案：此题得分：2.0分45.（2.0分）学生申请退学，必须先到______提交申请，由教学中心初审同意后报学院批准。
A、所属教学中心B、学院C、学校D、班级我的答案：此题得分：2.0分46.（2.0分）学院于每月的最后________集中办理一次退学手续。
A、三天C、一周D、四天我的答案：此题得分：2.0分47.（2.0分）第三代远程教育是建立在应用双向交互现代信息通信技术基础上的现代远程教育，其技术基础主要是计算机技术、多媒体技术和现代通信技术，核心是________。
A、计算机技术B、网络技术C、多媒体技术D、信息技术我的答案：此题得分：2.0分48.（2.0分）___________，经国家计划委员会批准，正式进入国家“211工程”首批重点建设的高等学校行列。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)
A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。
中国石油天然气管道局中学高一数学下学期第二次月考试
管道局中学2015～2016学年度第二学期6月月考高一数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。
答题时间120分钟。
必须将答案全部写在答题卷上，否则一律无效。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上） 1．在棱柱中（ ）A ．只有两个面平行B ．所有的棱都平行C ．所有的面都是平行四边形D ．两底面平行，且各侧棱也互相平行2．对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b >>，则11a b> C ．若0a b <<，则a b b a < D ．若a b >，11a b>，则0ab <3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④ D．②④4. 空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线, 那么这四点中 ( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线5.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ） A.2对 B.3对 C.6对 D.12对6．下列各函数中，最小值为2的是 （ ）A ．y x x =+B ．1sin sin y x x =+，),0(2π∈xC ．222y x =+ D ．1y x x =+7．两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C .可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线8．当191,0,0=+>>yx y x 时，y x +的最小值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．169．设、a b 是两条不同的直线, 、αβ是两个不同的平面,则下列四个命题正 确的是（ ）①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥1A 1A 1D P 1C Q 2111B 正视图 侧视图A 11D 俯视图 A. 若αα//,,b a b a 则⊥⊥ B.若ββαα⊥⊥a a 则,,// C. 若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ D.若,,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则10．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直， 且PA=PB=PC=a ．则这个球的表面积为（ ）A ．2a 2π B ．2a 3πC ．2a 4π D ．2a 5π11．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C ．[－6,2] D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)12. 在正方体AC 1中,E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点,则A 1E 与CF 所成角的 余弦值为（ ）A 、21 B 、52C 、521D 、 22第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、过两条平行直线中的一条，可以作_______个平面平行于另一条直线14．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为 .15．给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，真命题的是________．(填序号)16．设k ＞0，若关于x 的不等式4121kx x +≥-在（1，+∞）上恒成立， 则k 的最小值为 ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某一几何体的三视图如图所示. 按照给出的尺寸（单位:cm ）， (1)请写出该几何体是由哪些简单几何 体组合而成的;（2）求出这个几何体的体积.18．已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或．（1）求,a b ；（2）解不等式()()0x c ax b -->．19．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面PAC ； (2)求证：AB ⊥PB ；20. 已知函数f(x)＝22x x ax＋＋，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．21．在如图所示的四棱锥P ABCD -中， 已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,, E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值.22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点. ⑴ 求证：BD AE ⊥；⑵ 求证：//AC 平面1B DE ； ⑶．求三棱锥1A B DE -的体积.ACPBDE(第20题)管道局中学2015～2016学年度第二学期6月月考高一数学试题参考答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。
2015年高考数学全国卷二理科真题+答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A ）｛－1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a =（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61（D ）517.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18， 则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，∠BOP=x 。
中国石油大学-高等数学(二)第一次在线作业
中国石油大学高等数学（二）第一次在线作业第1题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续的概念，二元函数的偏导数的概念第2题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数全微分的存在条件第3题您的答案：D批注：考察的知识点：二元函数的连续与偏导数存在之间的关系第4题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第5题<／p>您的答案：C批注：考察的知识点：二重积分的计算。
具体方法：式子两边做区域D上的二重积分的计算，令已知的等式中的二重积分为一个固定的字母，然后再求得此字母的值，代入初始给的等式中即得到结果。
第6题您的答案：B批注：考察的知识点：可微与偏导存在的关系第7题您的答案：D批注：考察的知识点：二重积分的计算第8题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的定义第9题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第11题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第12题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第13题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第14题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第15题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第16题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第17题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系第18题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数在一点处的微分的计算第19题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第20题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第21题您的答案：E题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第22题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第23题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第24题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第26题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第27题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第28题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第29题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第30题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第31题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第34题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续与可积分之间的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的概念第36题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的几何意义第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与可微之间的关系作业总得分：20.0作业总批注：。
西南石油大学2015级高等数学1-1考题(A)
1、关于极限 ，下列说法正确的是【】
A、值为0B、值为1C、值为2D、不存在
2、设函数 则 是函数的【】
A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、振荡间断点
3、设函数 在 的某个邻域内有定义， ，则【】
A、 不是函数 的驻点B、 不是函数 的极值点
C、 是函数 的极小值点D、 是函数 的极大值点
《高等数学(Ⅰ-1)》考试试卷（第一套）（Ａ）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、极限 ＝．
2、设 ，则其导数 =_____________________．
3、曲线 的凸区间为_________．
4、方程 所确定隐函数的导数 =________________________．
5、反常积分 __________．（选填“收敛”或者“发散”）
六、（12分）求曲线 所围图形的面积．
七、证明题（）
（1）（8分）利用夹逼准则证明： ．
（2）（10分）设 在区间[0，1]上可导，且满足关系式 ，证明：在 内存在一点 ，使得 ．
4、设 是连续函数 的一个原函数，则必有【】
A、 是偶函数 是奇函数
B、 是奇函数 是偶函数
C、 是周期函数 是周期函数
D、 是单调函数 是单调函数
5、曲线 的渐近线的条数为【】
A、0B、1C、2D、3
三、（10分）求参数方程 所确定函数的二阶导数 ．
四、（8分）求极限 ．
五、（12分）求不定积分 ．
中国石油大学(华东)高数2-1 试题1
0
2) 压力微元 或
3）水对薄板的压力
=
/jpkc/C95/Course/Content/N621/201111041122.htm
2013/12/22
石油大学09-10高数2-1试卷 A卷
8．求由曲线
及 所围成的图形绕直线 旋转一周所生成的旋转体的体积.
2013/12/22
石油大学09-10高数2-1试卷 A卷
解：两边对 求导得 整理得
所以 6．已知
求常数 的值.
解：左端= 右端=
页码，4/6
所以
7．设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为R米，水的比重为 ， 求薄板一侧所受的水压力(其中 表示水的比重
解：建立坐标系如图，
1) 取x为积分变量，
高下阶列无广穷义小积;分发散的是D.(
低阶无穷小.
A ).
时， 是 的( B ).
A.
;
B.
;
C.
4.方程
A.
C.
;
D.
.
的待定特解的形式可设为 ( B ).
;
B.
;
;
D.
.
三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）
1． 求极限
.
解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长 ，再将 为定积分的表达式。于是,有
由于
所以
2．设
在区间 上连续, 为偶函数, 且 满足
( 为常数).
(1) 证明：
(2) 计算： 证明：（1）
Байду номын сангаас（2）令
则
在 上连续， 为偶函数.由于
/jpkc/C95/Course/Content/N621/201111041122.htm
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
《高等数学》(Ⅱ)期中试题及答案解析
中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。
⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。
()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。
().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。
2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。
3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。
4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。
5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。
6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。
三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。