线面积分

y =0 a x
4
x = x L1 y=0
x = x L3 y = x
I =∫
a
0
+ ∫ eaad θ e dx 0
x
4
π
2. 第二类曲线积分 变力沿曲线所作的功. 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用
恒力沿直线所作的功
F
W = F AB cosθ
B
= F ⋅ AB
F( x, y, z) = (P , Q, R)
z
n
Σ
y
第二类曲 o Γ 化 面积分 x 空间的封闭曲线弧 为空间曲面∑的边界线. Γ是 空间的封闭曲线弧, 为空间曲面∑的边界线 曲线弧
Γ
∫
Pd x + Qd y + Rd z =
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ( − )d yd z + ( − )d z d x + ( ∂x − ∂y )d xd y ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∑
求其质量. 求其质量
M = ∫∫ f ( x, y, z)d S
o x
y
又称为对面积的曲面积分 若 f ( x, y, z) ≡ 1 得曲面面积为 S =
∫∫ d S
Σ
第一类曲面积分计算
转化
二重积分
∫∫ g( x, y)dxdy
Dxy
1. 把空间曲面 写成方程: z = z( x, y) Σ xoy 并将Σ投影到 面上: ( x, y) ∈ Dxy
t :α → β ,
dx = x′(t )dt dy = y′(t )dt dz = z′(t )dt
=∫
+ Q[ x(t ), y(t ), z (t )]y′(t ) + R[ x(t ), y(t ), z (t )] z′(t )}d t
{ P[x(t ), y(t ), z(t )] x′(t ) α
→
∫
→
→
F( x, y) = (P , Q)
W = L F⋅ ds = ∫L P dx + Qdy
→
ds = ( dx, dy )
Q ( x + d x, y + d y)
L
∫
→
→
ds P( x, y)
第二类曲线积分计算
转化
定积分
∫α g(t ) dt
β
x = x(t )
Γ:
y = y(t ) z = z (t )
= ∫∫
∑
方向: d yd z d z d x d xd y 方向 ∂ ∂ ∂ Σ 的侧与 Γ 的正向 ∂x ∂y ∂z 符合右手法则 右手法则, 符合右手法则 P Q R
∫Γ Pd x + Qd y + Rdz =
r n = (Fx , Fy , Fz )
Fx Fy Fz ro n =( , , ) | n| | n| | n|
2. 投影法 第二类→ 二重积分 上正下负
Σ Dxy
Σ 的方程: z = z( x , y) ∫∫ P( x, y, z ) dx dy = ± ∫∫ P[ x, y, z( x, y ) ] dx dy
Σ
中只含一项时常用此法.
例5. 计算 I =
∫∫ z d x d y + x d y d z + y d z d x
Σ
z
Σ r n
y
Σ 是柱面x2 + y2 = 1 被平面z = 0 及 z = 3
的部分的前侧. 所截得的在第一卦限内
解: (化为第一类曲线积分 化为第一类曲线积分 )
Σ : F = x + y −1 = 0 ,
求移动过程中变力所作的功W. 求移动过程中变力所作的功
→
→
θ A
分割有向曲线Γ , 物体 通过弧段 ds 时 , 力 F 做功
B
dW = F ⋅ d s
物体 G 沿曲线从 A 移到 B , 力 F 做功 :
→
→
→
ds
→
Γ
F
→
A , W = L F⋅ ds 这就是第二类曲线积分
∫
→
→
向量 有向弧微分 (向量)
Σ
I1 = ∫∫ z dx dy = 0
利用坐标对称轮换 : x → y , y → x
3 ∫∫ x dy dz = ∫∫ y dz dx ∴ I = 2∫∫ y d x d z = 2 π Σ Σ Σ
Σ
积分之间相互关系(三个定理公式 三个定理公式) 四. 积分之间相互关系 三个定理公式
1. Green公式 公式 第二类曲线积分(平面封闭 第二类曲线积分 平面封闭) 平面封闭
∫∫ P( x, y, z ) dy dz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z ] dy dz
Σ Dyz
前正后负
Σ
右正左负
Dxz
∫∫Q( x, y, z ) dz dx = ± ∫∫Q[ x, y( x, z ), z ] dz dx
当被计算积分 ∫∫ P dy dz + Qdz dx + Rdx dy
→
→
2
2
x
→
n = ±( 2x , 2 y , 0) , 取 n = ( x , y , 0) , n° = ( x, y , 0)
Σ
I = ∫∫ ( x cosα + ycos β + z cosγ ) dS
( P =? Q =?
2 2
R =? )
y
→
3π = ∫∫ ( x + y ) d S = ∫∫ 1 d S = 2 Σ Σ
复习课 曲线与曲面积分
二. 曲线积分的定义与计算
) 对弧长的曲线积分 1. 第一类曲线积分 (对弧长的曲线积分
( x, y, z) B
是空间中一条有限长的光滑曲线, 设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线 其线密度为 线密度为 求其质量. 求其质量
ds
m = ∫ f ( x, y, z)ds
Γ
若f ( x, y, z) ≡ 1
记为
−→
→ o
计算方法:
1. 第二类→第一类 第二类→
∫∫ A⋅ d S = ∫∫ P dy dz + Qdz dx + Rdx dy Σ
→
_→
Σ
= ∫∫ (Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) dS
Σ
cosα , cos β , cosγ 为Σ 正侧法向 量的方向余弦. 若Σ : F( x, y, z) = 0 则
β
α ↔ 起点, β ↔终点, 并不要求α < β .
(重要性质 用L－ 重要性质)用 重要性质 表示 L 的反向弧
∫
−L
F⋅ ds = −∫ F⋅ ds
L
→
→
→
→
例3. 计算 (1) 半径为 a 圆心在原点的
L为
y
上半圆周, 方向为逆时针方向; 逆时针方向 上半圆周 方向为逆时针方向 o (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 沿 x = acos t, 解: (1) 取L的参数方程为 的参数方程为 t : 0 →π sint y = asin t, π 2 2 y dx = a sin2 t ⋅(−asint )d t 则 −
平面曲线: 平面曲线:
x = x (t ) 设 L 的方程为 y = y (t )
L ds
α≤t≤β
(弧长微分) 弧长微分
∫
L
Q ( x + d x , y + d y ) ds = dx2 +dy2 2 2 P( x, y) dx dy dt (dt > 0) = 2 + 2 dt dt f ( x, y)ds
Σ
→ → o
Σ
= ∫∫ A⋅ d S = ∫∫ P dy dz + Qdz dx + Rdx dy
→
→
其中 n° = ( cosα , cos β , cosγ ) .
Σ
→
Σ
dS = n dS = (cosα dS , cos β dS, cosγ dS)
===(dydz, dxdz, dxdy)
第二类曲面积分常化为 第一类曲面积分来计算 .
0
1
1 2 2 = (1 + 4x ) 12 0 1 = ( 5 5 − 1) 12
3
1
o
1x
2. 设 C 是由极坐标系下曲线 r = a,θ = 0 及 θ = π 所围区域的边界, 所围区域的边界 求
4
y
y = x r =a
π
解: 分段积分
o
x = a cosθ L2 y = a sin θ
β α
=∫
f [ x(t ) , y(t )]
x′2 (t ) + y′2 (t )d t
α<β
例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: x = x
QL: y = x2
0≤ x ≤1
y
B(1,1)
y = x2 L
=∫ x
0
1
= ∫ x 1+ 4x2 dx
(0 ≤ z ≤ a ) 对于 z 轴的转动惯量 .
解: I = ∫∫ z
Σ
(x + y ) µ dS
2 2
0
Σ D
Σ: z = x + y
2
2
ds =