高数第十章线面积分习题和答案

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高数第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时，曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++，则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)

； .
于是所求的曲面积分为
.
（2），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3），其中为，的上侧；
解在面上的投影为半圆域，，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4），其中是由平面，，，所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中为上半球面，，，故
，
其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为，定直径在轴上，依题意得球面上点的密度为，从而得球面的质量为，由轮换对称性可知：，故有
．
2设某流体的流速为，求单位时间内从圆柱：（）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中从变到，
故
。
解法2作有向线段，其方程为
，其中从变到，
则有向曲线与有向线段构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中为平面在第一卦限中的部分；
解将曲面投影到面上，得投影区域为，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中是球面的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧，取上侧。于是

第十章__曲线积分与曲面积分

(二) 线面积分的计算方式 1．曲线积分的计算⑴ 大体方式：曲线积分−−−→转化定积分第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分）其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】求yLxe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解（法一）ds adt ==,故原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为极点的三角形(图边界.解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰111xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lxy ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分）点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如下图解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dydx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰解（法二）因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，那么dy dx =；当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，那么dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图⑵ 大体技术① 利用对称性简化计算；【例1】求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技术)；【定理】格林（Green ）公式设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段滑腻的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶持续偏导数，那么有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算关于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必需利用代入技术,消去分母,不然工作量太大.因为L 是反向的,因此利用格林公式是需要补加一个负号.解将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x Le x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 依照格林公式，原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰22a π=-。

线面积分复习JD.docx

高数下册第十章-曲线积分与曲面积分练习题（一）・复2填1・设曲线L:x2 +y2 =4 ,则曲线积分j（x- y + V）^x2 + y2ds = 8兀・2 2复3填1・设椭圆厶：—1的周长为Q,且椭圆厶上任意一点处的质量密度为3 4厂（兀,刃=4兀2+3尸+2心，则该椭圆构件的质量M = \2a・2 21 •设椭圆厶:—+ ^- = 1的周长为°,则L（1+4兀2 + 3y2 + 3兀2y）ds = 13a・3.设曲线厶：，+）/=]上任意一点处的质量密度p（x,y） = （x+y）2,则该曲线构件的质量M = 27V ・复5填1・设曲线厶：/+）'二]上任意一点处的质量密度。

（兀，刃=X2 4- y2 + 2 ,则该曲线构件的质量M= _______________ ・(二)・复1选1・设有向曲线厶为y = x2,从点(1,1)到点(0,0),则J /(x, y)dy = ( C )・J厶A . f(x,x2)clx; B. ^2xf(x,x2)clx ;C. J：/(V7，y)dy；D. 芳・复2选1.设有向曲线厶为『=仮，从点(1,1)到点(0,0),则\L y)dx = ( B ).A. [/（兀仮）如D.复1三、（5分〉计算曲线积分J/Fyh,其中厶为连接两点（1,0）及（0,1）的直线段.解：厶的方程为y = \-x（ 0 < x < 1 ）, y = -1 （1分）『厶x2yds = J。

%2（1 - x）y[2 dx（3 分）复2三、（6分）设曲线L:y = 2x+l （0<x<l ）上任意一点处的质量密度为p （x, y ） = xy ,求该曲线构件的质量M. 解：_/ = 2 , ds = yfidx ,M = j xy ds= 7A /5 复5三•计算曲线积分£ y(l - x)ds , 三角形的整个边界.解：OA:y = 0 （0 < x< 1）AB \ y = \- x (0 < x < 1) , ds - 4^dx ,L y(1 一 x)d$ = J ； (1 一 x) 2 y[2dx = ¥ ' OB : x = 0 (0 < y < 1) , ds = dy, \oB y(\-x)ds = \\)y dy=^1 J? 所以 $ y(l - x)ds =——i--—・2 3复3三、计算曲线积分削xds,其中厶为由及所围成区域的边界. 解：厶：y =兀(0 井 x 1) , ds -4^dx,（3分）L 2 : y= x 2 (01) , ds = Jl + 4x 2 dx,12（5分）（1分）J （）x （2x+1）亦心（5分）（6分）其中厶为0（0,0）,A （1,0）,B （0,1）三点所^xds=xj 1 + 4x 2 dxo=J1+ 4才 d(l+ 4x 2)（3分）1 2 护+4“5A /5- 1 12y(l - x)ds = 0 ,所以 51 xds =竺5—I +. （1 分）5 1226. 计算\L Jyds,其中厶是抛物线y = X 2上点0（0,0）与点B （l,l ）之间的一段弧.解厶的方程y = x 2（0 < x < 1）,ds = y]l + (x 2 )fl dx = 71 + 4x 2 dx. 因此J y[yds = j V? • J1 + 4” dx=J xy) 1 + 4x 2 dx= ±(575-1).0丄厶7.设曲线厶是y = 2x, y = 2和x = 0所围三角形区域的边界，求线积分7 =xyds .解令厶=/j + /2 + /3 ,其中厶为 y = 2%, 0 < x < 1 , ds = y[5dx ；厶为 = 2, 0 < x < 1, ds - dx ；厶为 x = 0, 1 < y < 2 , ds - dy /二 J x2x>/5dx + j 2xdx + 0 二—V5 +0 0（三）・复2四、（6分）求质点在平面力场F （x, y ） =y7 + 2xy 作用下沿抛物线L : y = \-x 2从点（1,0）移动到点（0,1）所做的功W 的值.=|] [1 - x 2 + 2^(-2x)]t/x =j (l-5x 2)rfx（6分）复1四、（7分〉验证平面力场F （x,y ） =cosxsin y ~i + sinxcosy;所做的功与路径无关，并求质所以解:W = ^yclx + lxdy（2分）（4分）（5分）点在力戸的作用下沿直线厶从点(。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

《高数》第十章习题课-线面积分的计算

12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L

2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线所作的
功, 其中为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算重心公式
20
例4. 设为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS

曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CA.0B.2C.4D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2πC.0D. π4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B.π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑的值为 [ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A.21 B. 21- C. 22 D. 22- 8. 设I=⎰L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdy ydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑83π。

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9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++，则⎰⎰∑dS z y x 222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有⎰+CQdy Pdx ，则⎰+LQdy Pdx 与路径无关。

2．已知2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．2 3、设曲线积分()dx x y dx xy Lφ+⎰2与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则()()()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（）A ．3/8B ．1/2C ．3/4D ．14．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰Syds 的值是（）A ．0 ;B ．343; C ． 34; D ． 5.设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω的体积为V ，则()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS ++-⎰⎰12222= （）A ．0B ．VC ．2VD ．3V 6. 已知曲线C ：122=+y x 逆时针方向一周，则⎰+-Cy x ydxxdy 22=（）A. 0；B. π2；C. π2-；D. π7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰∑++dxdy z y x )(22=（） A. ⎰⎰-+--+-xdy y x y x dx 10221)1(； B.⎰⎰-+--+xdy y x y x dx 10221)1(C.⎰⎰-+--+xdx y x y x dy 10221)1(； D. ⎰⎰-++-x dy z y x dx 102210)(8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关的充要条件是（）A 在G 内有一闭曲线，使⎰=+γ0Qdy Pdx ；B 在G 内有恒有xy Qy x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使⎰⎰+=+LCQdy Pdx Qdy Pdx ；D. 在G 内有恒有yPx Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面1432=++zy x 在第一卦限内的部分，则⎰⎰∑++dS y x z )342(=（） A⎰⎰-)1(30224x dy dx ； B.⎰⎰⋅20304361dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302023614x dy dx 10. 设L ：12222=+by a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 22（）A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关；B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关；C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关；D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关；三、计算题1. 计算曲线积分⎰++Ldy x y xdx )(2，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

2. 计算⎰⎰∑++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=上侧3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，计算 I = ⎰+++Ldy y xy dx y x )32()3(222 4．计算⎰-L y x ds，L 是点)2,0(-A 与)0,4(B 直线段5．计算()ds y x L⎰+，L 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B ，为顶点的三角形闭回路。

6．计算ds y x L⎰+22，L 为圆周Rx y x =+227．计算ds xy L⎰，L 是圆周222R y x =+的闭路8.计算⎰+Ldy x xydx 22，L 分别为下列三种情形。

1）从点)0,0(O 经x y =到)1,1(A 2）从点)0,0(O 经2x y =到)1,1(A 3）从点)0,0(O 经3x y =到)1,1(A9．计算()d yy x L⎰+22，L 是由直线1=x ,1=y ,3=x ,5=y 围成的逆时针闭路。

10．计算⎰→L dSF ，其中→→→+-=j x i y F ,L 是由x y =,1=x 及0=y 所围成的三角形逆时针闭路。

11．计算xydy dx x y L 21++⎰，L 是由2x y =与x y =，所围成的逆时针闭路。

12.计算()()dy y x dx y xL2222+-+⎰，L 是以)0,0(,)0,1(,)1,0(为顶点的三角形正向闭路。

13.计算()()dy y x dx y x L 22--+⎰，L 是沿椭圆12222=+by a x 的正向闭路。

14.计算()22x y z ds ++⎰⎰∑，∑：平面1=++z y x 15.计算⎰⎰∑++ds z y x )342(，：1432=++z y x 在第一卦限16计算ds x ⎰⎰∑，∑：2222R z y x =++在第一卦限部分。

四．应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。

椭圆t x cos 34+=,t y sin 42+=2.设半径为r 的球面∑的球心在定球面2222a z y x =++ (0>a )上, 问当r 取何值时, 球面∑在定球面内部的哪部分面积最大3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族x a y sin = ,(0>a )中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分()()⎰+++Ldy y x dx y 213的值最小4.求⎰⋂-+-ANCx xdym y e dx my y e)cos ()sin (，式中⋂ANC 为由)0,(a A 至)0,0(O 的ax y x =+22 ()0>a设)(x f 连续可导，求dy xy f y y x dx y xy f y C ]1)([)(1222-++⎰，式中C 是从)32,3(A 到)2,1(B 的直线段。

五证明题1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记dy xy f y y x dx xy f y y I C ]1)([)]([1222-++=⎰ （1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值2. 设L 2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：⎰=+-2222L y x ydxxdy π。

A 组答案一、1. 0；2. 0；3. 0提示：)(xy d xdy ydx =+ ；,提示：)2(222y x d ydy xdx +=+；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；8. 2；9. π4；10. 22+；11.25；12. 72a π；；二、 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B ；7. A ；8. D ；9. D ；10. D三、1、32a π 3、0 42 5、1+ 6、2R 2 7、32R8、1 9、32 10、1 11、4130-+2ln 2 12、-1 13、2ab π-14 15、 16、34R π四、1、12π 2、2432327S a a π⎛⎫=⎪⎝⎭ 3、sin y x = ()0x π≤≤是使曲线积分的为最小的曲线。

4、218a m π 5、-4 B 组一、填空题：1、设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ,其周长为l ,则=++⎰L dS y x xy )4(22 . 2、设曲线C 为R z x R z y x =+=++与2222的交线，从原点看去C 的方向为顺时针方向，则=++⎰Cxdz zdy ydx .3、计算⎰CdS x 2，其中⎩⎨⎧=++=++0:2222z y x R z y x C .4、设r =()div gradr = .5、设S 为曲面2221x y z ++=的外侧，则222sI x dydz y dxdz z dxdy =++⎰⎰Ò= . 二、解答题：6、计算⎰+-Cyx ydx xdy 22，C 为逆时针方向绕圆周122=+y x 一圈的路径。

高数 第十章线面积分习题和答案