第6章线面积分
线面积分
一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分(,)Lf x y ds ⎰的计算公式:(,)Lf x y ds ⎰中，L 为一段光滑的平面曲线，其参数方程为(),t (),x x t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩ (,)f x y 为定义在曲线L 上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量,x y 在曲线L 上，故,x y 满足曲线L 的方程；2)ds 是曲线L的弧长的微分，故ds =. 所以有如下的计算公式:(,)[(),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰.对L 是空间曲线段的情况，有类似的公式. 设L 的方程为 (),(), t (),x x t y y t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩(,,)f x y z 在L 上连续，则对弧长的曲线积分(,,)[(),(),(Lf x y z ds f x t y t z t βα=⎰⎰.弧微元 dt t z t y t x ds )(')(')('222++=2. 对坐标的曲线积分(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰在(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰中，AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩的平面曲线，A 点的坐标为((),())x y αα，B 点的坐标为((),())x y ββ.物理意义：变力F沿曲线L 所做的功⎰⎰+=∙=LLQdy Pdx r d F W其中 }.,{;}),(,),({dy dx r d y x Q y x P F ==为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（,x y ）在AB L 上，故满足曲线方程(),()x x t y y t ==； 2) (),()dx x t dt dy y t dt ''==. 对坐标的曲线积分的计算公式为(,)(,){[(),()]()[(),()]()}ABL P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt βα''+=+⎰⎰.,αβ分别对应于,A B 点的参数t 的值，可能,αβ<也可能αβ>.类似地，对于空间曲线AB L ，也有类似的计算公式.设AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩的空间曲线，A 点的坐标为((),(),())x y z ααα，B 点的坐标为((),(),())x y z βββ，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在曲线AB L 上连续，则(,,)(,,)(,,)ABL P x y z dx Q x y z dy z x y z dz ++⎰{[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt βα'''=++⎰.两类曲线积分之间的关系。
线面积分
y =0 a x
4
x = x L1 y=0
x = x L3 y = x
I =∫
a
0
+ ∫ eaad θ e dx 0
x
4
π
2. 第二类曲线积分 变力沿曲线所作的功. 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用
恒力沿直线所作的功
F
W = F AB cosθ
B
= F ⋅ AB
F( x, y, z) = (P , Q, R)
z
n
Σ
y
第二类曲 o Γ 化 面积分 x 空间的封闭曲线弧 为空间曲面∑的边界线. Γ是 空间的封闭曲线弧, 为空间曲面∑的边界线 曲线弧
Γ
∫
Pd x + Qd y + Rd z =
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ( − )d yd z + ( − )d z d x + ( ∂x − ∂y )d xd y ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∑
求其质量. 求其质量
M = ∫∫ f ( x, y, z)d S
o x
y
又称为对面积的曲面积分 若 f ( x, y, z) ≡ 1 得曲面面积为 S =
∫∫ d S
Σ
第一类曲面积分计算
转化
二重积分
∫∫ g( x, y)dxdy
Dxy
1. 把空间曲面 写成方程: z = z( x, y) Σ xoy 并将Σ投影到 面上: ( x, y) ∈ Dxy
t :α → β ,
dx = x′(t )dt dy = y′(t )dt dz = z′(t )dt
=∫
+ Q[ x(t ), y(t ), z (t )]y′(t ) + R[ x(t ), y(t ), z (t )] z′(t )}d t
《线面积分计算》课件
参数化和面积元素：
曲面积分的计算通常需要对 S 进行合适的参数 化，以便计算面积元素。
计算公式和几何意义：
二元函数曲面积分的计算公式较复杂，但可以 通过对参数化和面积元素的精细分析进行计算。
计算例题：
线面积分计算
本课程简要介绍线面积积分的概念和计算方法，以及其在数学和物理等领域 中的应用。
什么是线面积分
线积分和面积积分的区别：
线积分是对函数沿曲线的积分，而面积积分是 对函数在曲面上的积分。
参数方程和向量场的概念：
线面积分中经常使用参数方程描述曲线或曲面， 在向量场中则经常使用参数方程描述向量。
一元函数线积分的计算方法
定义式和性质：
一元函数线积分的定义式通常可以表示为 $\int_C f(x,y)ds$ 。在计算中，常常使用曲线长度公式。
计算例题：
通过细致计算某条曲线的线积分，学生可以更加深 入地理解一元函数线积分的概念和计算方法。
二元函数线积分的计算方法
1
定义式和性质：
二元函数线积分的定义式为 $\int_C
理论结合实践，多练习计
线面积积分分别描述了函
学中有很多重要应用，如
算题，是掌握线面积积分
数在曲线和曲面上的积分，
计算电场强度和电势差。
的关键。
有着重要的数学和物理应
用。
3
通过线面积积分计算电场强度和 电势差：
通过对电荷分布和电场分布的描述，可
计算例题：
4
以应用线面积积分的计算方法得出电场
强度和电势差的数值。
通过计算某个带电体的电场强度和电势
高数讲座-线面积分选讲（精品pdf）
一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例.求(22LI x x y ds ⎡⎤=++⎣⎦⎰ ,其中()22:11L x y +-=.解.(((22222LLLI y ds yds ds π⎤=+=+=+=+⎦⎰⎰⎰. 例.求()I xy z ds Γ=+⎰ ,其中2221:0x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩. 解.()()()1233I xyds x y ds xy yz zx ds x y z ds ΓΓΓΓ=-+=++-++=⎰⎰⎰⎰ ()()22221110663x y z x y z ds ds πΓΓ⎡⎤++-++-=-=-⎣⎦⎰⎰ . 注.求()23I x y z ds Γ=++⎰ ,其中2221:0x y z x y ⎧++=Γ⎨+=⎩. 解.()()32333002I x y z ds xds zds x y ds ΓΓΓΓ=++=+=++=⎰⎰⎰⎰ . 例.求()2I x dS ∑=⎰⎰ ,其中222:2x y z y ∑++=.解.()()()222222222342222I x y z dS x y dS x y z dS ∑∑∑=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()441416ydS y dS dS π∑∑∑=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ .二.第二类线面积分的估值例.设()33cos :02sin x a t L t y a t π⎧=≤≤⎨=⎩,逆时针方向,()()222L ydx xdy F a x xy y -=++⎰ , 证明:()lim 0a aF a →+∞=. 解.设()222yP xxy y=++,()222xQ xxy y-=++,则()LF a Pdx Qdy =+=⎰(),max 6n LLLP Q e ds ds a ⋅≤≤=⋅⎰⎰⎰,而22222x y x xy y +++≥()3322222432a x xy y x y =≤≤+++,故 ()2192F a a ≤,因此()lim 0a aF a →+∞=.例.设∑为圆柱体()()()2200413x x y y z -+-≤≤≤的外表面,证明:()()22cos sin 2x y dydz xy dzdx dxdy ∑+++≤⎰⎰ . 证.()n n A dS A e dS A e dS A dS dS ∑∑∑∑∑⋅=⋅≤⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,证毕.注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以 用格林公式和高斯公式转化为重积分.例.设22:0L x y x y +++=,逆时针,证明:22cos sin Lx y dy y x dx -≤⎰证.左式()()2222cos sin cos sin 2DDy x d x x d πσσ=+=+≤⎰⎰⎰⎰,证毕.例.设22:1L x y +=,逆时针,证明:sin sin 222545y x Lxe dy ye dx x y π--≥+⎰. 证.左式sin sin sin sin sin sin 222254545y x y x y xL D D xe ye e e e e dy dx d y x y x σ---⎛⎫+=-=+≥= ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin sin 122555x xD D e e d d σσπ-+≥=⎰⎰⎰⎰,即得,证毕. 三.第二类线积分的计算 例.求224Lxdy ydxI x y-=+⎰,其中L 从()1,0A -沿y =到()1,0B ,然后 再沿直线到()1,2D -的有向曲线.解一. cos :sin x tAB y t=⎧⎨=⎩,:0t π-→,:1BD y x =-+,:11x →-,故12221374cos sin 521288dt dx I t t x x ππππ---=+=+=+-+⎰⎰; 解二.由于Q Px y ∂∂=∂∂,故取()1,1C --,()1,1E -,()1,2F ,则 ACCEEBBFFDI =++++⎰⎰⎰⎰⎰;解三.除原点,Q Px y ∂∂=∂∂,取222:4C x y r +=,逆时针,则L DA DAI +=-=⎰⎰ 222222241172488CDAx y r xdy ydx dy dxdy r r y πππ+≤---=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰. 注.若在区域D 内Q Px y ∂∂=∂∂,则(1)当D 单连通时,0CPdx Qdy +=⎰ ; (2)当D 内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C ,CPdx Qdy +=⎰ 常数.例.求()()()()22222222222222L y y x xI dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+=++-⎢⎥⎢⎥-+++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ , 其中22:9L x y +=,取逆时针方向.解.取()2221:2L x y r -+=,()2222:2L x y r ++=,均为逆时针方向,则12L L I =+⎰⎰ ,而()()112222222222222r L L B y y x x dx dy d r r r x y x y σπ⎡⎤⎡⎤-+-=++-==-⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ , 类似地,22L π=-⎰ ,故224I πππ=--=-.例.求x y z dx y z x dy z x y dz I +-++-++-=,其中的Γ为曲线22211x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩上逆时针从()1,0,0A 到()0,0,1B 的一段弧.解一.2221:1x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在xOy 上的投影为22:0x xy y x y 'Γ++--=,22223x y x xy y ξηξηξη=-⎧⎨=+⎩++=+,故2222032x xy y x y ξηξ++--=⇒+-=2211333ξη⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令11cos 3311cos 1133cos 33121cos 33x t t t y t t tz x y tξη⎧=+-⎪⎧⎪=+⎪⎪⎪⇒=++⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=--=-⎪⎩,又:013z t ππ→⇒=-→,故3I dt ππ==⎰. 解二.()()()12121212BABAI z dx x dy y dz I I ΓΓ+=-+-+-=-=-⎰⎰⎰,其中()11,1,1rot 12,12,12121212n ijkI z x y e dS x y z z x y∑∑∂∂∂=---⋅==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰()11,1,12122,2,23332I dS ππ∑∑⎡⎤⎛⎫=---==--⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎦⎰⎰, ()()()112001211221I x dx d x x dx =--+-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,故I =.注.∑是边长为的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺. 解三.代入1z x y =--,则()()221I x y dx x y dy 'Γ=+---=⎰()()1042216216196D OAOA x dx d x dx σπ'Γ+⎛⎫--=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.求()()()22222223I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中1:2x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩,从z 轴正向看为逆时针方向.解.代入2z x y =--,则()()2222223242I x y z dx x y z dy 'Γ=-+-+-++=⎰()12221224xyxyD D x y d d σσ--+=-=-⎰⎰⎰⎰.例.求()22222ydx xdy z x y dzI x y Γ--+=+⎰,其中22221:1x y a b x y z ⎧+=⎪Γ⎨⎪++=⎩,从z 轴正向 看逆时针. 解.2222rot ,,20y xz x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭,但是Γ张成的曲面均与z 轴有交点, 故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z 轴的1Γ,Γ与1-Γ均张成一个围绕z 轴的曲面,故()111I Γ+-Γ-ΓΓ=-=⎰⎰⎰ ,于是取2211:0x y z ⎧+=Γ⎨=⎩,则122DI ydx xdy d σπΓ=-=-=-⎰⎰⎰ . 四.第二类面积分的计算注.若12∑=∑+∑关于xOy 面对称,1∑与2∑在xOy 面上的投影相反, 则当()(),,,,R x y z R x y z -=时,(),,0R x y z dxdy ∑=⎰⎰;当()(),,,,R x y z R x y z -=-时,()()1,,2,,R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.例.求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑为半球面z =222x y x +=截下部分的上侧.解.由于∑关于xOz 面对称,故()()I y z dydz x y dxdy ∑=-+-⎰⎰,又22222424220x x y x zz x x y z x z y zz z +=⎧-++=⇒⇒=⎨+=⎩,y yz z -=,故 ()()()22,0,,,1x y x I y z x y dxdy y z x y dxdy z z z ∑∑---⎛⎫⎡⎤=--⋅--=-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()22222xy D x y x y x y d d σσπ+≤⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例.求2222cos cos cos dydz dzdx dxdyI x x y z z∑=+-⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=外侧. 解.()222,,211,,cos cos cos x y z I dS x x y z z R ∑⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⎰⎰ 2222221211211cos cos cos cos cos cos y dSdS dS R x y z R x z R z∑∑∑⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224tan x y R R π+≤=⎰⎰.例.求()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中()()()22211:1025167x y z z --∑++=≥ 上侧.解.取1:z ∑=()()22222211:0,12516x y z x y r ⎛⎫--∑=+≥+≤ ⎪ ⎪⎝⎭,均取下侧,则12121312I xdydz ydzdx zdxdy r π∑+∑+∑∑∑-∑=--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.若()22:212z x y z ∑=+--≤≤外侧,可取()221:24z x y ∑=+≤上侧,()222:11z x y ∑=-+≤下侧,22223:x y z r ∑++=外侧,则 ()121231231=I xdydz ydzdx zdxdy r ∑+∑+∑∑∑∑∑∑=--=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰换曲面,再用高斯公式.。
线面积分总结
圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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结束
的圆弧 L 对于它的对 例. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫
线面积分整章课件
且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
特殊情形
(1) L : y y( x) x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)
xi
Q( i
,i
)
yi
].
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L 上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,, n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
一、问题的提出 y
实例:曲线形构件的质量
(线面积分)计算方法总结
（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广2.方法①：197P 计算公式（2-1）方法②：y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==),(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）方法①：199P 计算公式（2-1）的推广方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）3.第一类曲面积分：dSz y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.解题步骤：①根据曲面∑选好投影面②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.方法②：高斯公式）（'23216P -转为三重积分。
4.第二类曲面积分：⎰⎰∑++RdxdyQdzdx Pdydz 格林公式方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式（5P230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按按照曲面积分的不同情况分为以下三类：（1）若曲面][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑∑=（3）若曲面])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：1.应根据曲面∑选好投影面.2.确定投影域并写出曲面∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.小结：与路径无关的四个等价命题条件在单连通区域D上),(),(yxQyxP，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立等价命题（1）在D内⎰+LQdyPdx与路径无关（2）⎰=+C,0QdyPdx闭曲线DC⊂（3）在D内存在),,(yxu使QdyPdxdu+=（4）在D内，xQyP∂∂=∂∂感谢高数老师大人的总结！！！。
线面积分的物理意义
线面积分的物理意义
线面积分是数学中的一种积分方式，用于对曲线或曲面上的某个量进行求和。
在物理学中，线面积分有以下几个重要的物理意义：
1. 流量：线面积分可以用于计算流量，即单位时间通过曲线或曲面的液体或气体的体积。
例如，在电磁学中，通过一个闭合回路的电流的总量可以通过对该回路上的磁场分布进行线积分来计算。
2. 电荷：线面积分可以用于计算电场或磁场对电荷的影响。
例如，在电动力学中，电场对一个电荷的作用力可以通过电场在电荷路径上的线积分来计算。
3. 能量与功：线面积分可以用于计算能量与功。
例如，在静电学中，电场对一个电荷从一个位置移动到另一个位置所做的功可以通过电场在路径上的线积分来计算。
4. 传热与传质：线面积分可以用于计算传热和传质。
例如，在热力学中，热流通过一个曲面的总量可以通过曲面上的温度梯度进行线积分来计算。
总之，线面积分在物理学中有广泛应用，可以用于描述各种物理量的分布和相互作用。
通过线积分，我们可以更好地理解和分析物理现象，并计算出与这些现象相关的物理量。
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高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分________ 系 ________ 专业 _______ 班一.选择题=1 ,并且其周长为 S ,则 n L (3X 2 +4y 2+12)ds =到点B （o,1）的折线，则曲线积分 jL （x + y ）ds= _ 三.计算题2 兀 2 n / 2 2~解：原式=[a J (x ") +(y ') dt=a 2，直线y = X 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x 轴和直线y=x 的交点分别为 A 和B ,于是原式显J OA + J AB +J BO }$"叫5 在直线OA 上y =0,ds = dx 得第一节对弧长的曲线积分1.设L 是连接 A(—1,0),B(0,1) , C(1,0)的折线，贝y JL(x + y)ds =(A) 0(B)(C) 242（A ） S 二.填空题 (B) 6S (C ) 12S (D) 24S1.设平面曲线L 为下半圆周y = -71 -X 2，则曲线积分 [(x 2 + y 2)ds = _四 』（X 2+y 2）n ds ，其中L 为圆周x=acost , y=asi nt ( 0 < t < 2兀).姓名学号2.设L 为椭圆2 .设L 是由点 0（0,0）经过点 A （1,0）2n 十 r 2兀■丄2n 4jl e ^ds ，其中L 为圆周X 2 +y 2f ~2 j y2 aOA 护 ds^ie^x-e*—13T在圆周 AB 上令 X = acosB, y = asin0,O <0 <二得4r ~2 2 兀 _____________[e"x 旳 ds = 0鼻玄 J (x )2 +(y')2d 日= ■2 J AB在直线BO 上y=x,ds = j2dx 得____ Q a LLe'X 旳 ds = 72 t 2 e"2x dx = e a-1所以原式=（2 +色；Qe * —24 3. ( y 2ds ，其中 L 为摆线的一拱 x=a(t-si nt) , y = a(1 — cost) ( 0 < t < 2花).解：原式=2a 2 讥1 -cos t )2 J (X )2 + ( y )2dt 5=2层3 f(1 - cos t )2dt_ 256a 3-15《高等数学》练习(下)高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分.选择题1.设L 以(1,1), (—1,1) , (―1,—1), (1,—1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则21 •设设L 是由原点O 沿y = X 到点A (1,1),则曲线积分2 22 •设 L 是由点 A(1,—1)到 B(1,1)的线段，则 J L (x —2xy)dx+(y -2xy)dy =三.计算题，求曲线积分(2xy-2y)dx +(x 2-4x)dy • 解：将圆周写成参数形式 X =acos£,y =asin£,(0 ＜日＜2兀),专业 姓名学号第二节对坐标的曲线积分(A) 2.设L 是抛物线 (B ) 22y =x 2(-1 <x <1)(C ) 4 (D) 0,x 增加的方向为正向，则 (xds 和J L xdy - ydx = [ A ]0,|二•填空题(A) (B) 0,05 2 (C)8,3J L (x-y)dy1 •设L 为取正向圆周X 2+y 2=a 2于是原式2兀 2 20 {(2a 2 cos 日sine -2asin0) (-asinQ)+ (a 22 cos 日 一 4aco 或)a cos 日}d日L 兀{(—2a 3 cos 日 sin 2 0 +2a 2 sin 2 0) +(a 3cos 6 -4a 2 cos 2 8)}d 日 -2 -2a 兀, 2 _______________________2 .设L 是由原点O 沿y = X 到点A （1,1），再由点A 沿直线y=x 到原点的闭曲线，求—IyJ arctan 丄 dy-dx 」 x解：11 y 1 = darctan Sy-dx = ((2 xarctanx- 1)dx 'X.2 1 兀=[x arctan x — x + arctan x — x]o = — 一 2 2 3.计算 (1) 解: 12y 0=JAo arctan —dy - dx = ' (arctan 1-1 )dx =1 XJIJI 兀所以原式汀…二盯2^1盲盲-1J L (X 中 y)dx +(y-x)dy ，其中 L 是: 抛物线y 2=x 上从点（1 , 1）到点（4, 2）的一段弧; 从点（1 , 1）到点（4, 2）的直线段； 先沿直线从点（1 , 1）到点（1, 2）,然后再沿直线到点（4, 2）的折线. (门原式=1 {(y 2 +y ) 2y + ( y —y 2)}dy23 2=〔(2y +y +y )dy=34 -3(2)过(1, 1), (4, 2)的直线方程为 X = 3y - 2, dx = 3dy2所以 原式=[{3 (4y —2)+( 2—2y )}dy4 2=1 (10y-4) dy=11(3)过(1, 1), (1, 2)的直线方程为 X =1,dx =0,1 < y < 2第三节格林公式及其应用一.选择题1.设曲线积分J L (X 4中4xy P )dx 中(6x P'y 2 -5y 4)dy 与路径无关，则p =2.已知\ '、 7 f 2宀 为某函数的全微分，则 a = (x+y)所以 2 1l -1(^1)d ^2(3)过 (1, 2), (4, 2)的直线方程为 y = 2,dy = 0,1 < X < 4所以4 27 I2 = [(x+2)dx 盲于是 原式=li +12 =144•求jL(y 2-z 2)x 誓y xcz^ 2,其中L 为曲线X =t,y =t 2,z=t 3(0<t <1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式 =f {(t 4-t 6) + 4t 64-3t }dt=0 (3『-2t 4 )dt"35高等数学练习题第十章 曲线积分与曲面积分 专业姓名学号(A) 1(B) 2 (C ) 3 (D) 4(X + ay)dx + ydy2 22.设曲线L 为圆周x +y =9，顺时针方向，则』(2xy -2y)dx +(x — 4x)dy= _J l87i |三.计算题1. I = J L (2xy 3-y 2cosx)dx +(1-2ysinx + 3x 2y 2)dy ，其中 L 为在抛物线 2x =兀 y 2上从点3T(0,0)到(；,1)的一段弧。
解：设 P(x,y) =2xy3 - y2cosx, Q(x, y) = 1 - 2ys i rx + 3x2y2.= 6xy 2-2ycosx ，所以曲线积分与路径无关。
cy ex■TT - jr(y ，0)(-.1) 3 2 2 2 =[J02十 Jj ? ](2xy 3 -y 2 cos x )dx + (1-2y sin x + 3x 2y 2)dy，(2,0)(A)-1(B) 0(C ) 1 (D) 21 2 2x3•设L 为从A(1,—)沿曲线2y=x 2到点B(2,2)的弧段，则曲线积分f —dx-2 Ly2x ,—dy = [ D ] y(A )—3 3(B)-2(C ) 3二.填空题 1.设L 是由点0(0,0)到点A(1,1)的任意一段 光滑曲线，则曲线积分((1-2xy-y 2)dx-(x + y)2dy =因为于是 I打(―2 y +3'7y 2)dy《高等数学》练习(下)(6xy2- y3)dx + (6x2y -3xy2)dy与路径无关并计算其积分值4(3,4)2.证明J(1,2)《高等数学》练习(下)证明：设P(x, y) =6xy2 - y3, Q(x, y) = 6x2y - 3xy2,因为迟=i2xy -3y2 = 2 ,并且连续，所以该积分与路径无关。
cy ex分别记(1,2), (3,2) , (3,4)为A,B,C因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。
即，(3, 2) O Q O O (3,4) O Q O O 原式=((6 xy - y )dx+(6 x y- 3xy )dy + J((6 xy - y )dx + (6 x y- 3xy )dy (l,2) (3,2)=8 l(3x -1)dx +9 f (6y -y2)dy。
= 2363.设f (u)是u的连续可微函数，且J：f(u)du=AHO , L为半圆周y = J2x-x2，起点为原点，终点为(2,0)，求(f(x2 +y2)(xdx+ydy)解：设P(x, y) = X f(X2+ y2), Q(x, y) = y ”f(X2+ y2),cP 2 2 QQ因为——=2xyf (X2+ y2)=—兰，所以该积分与路径无关。
dy ex若记(0,0),(2,0)分别为O,A 则原积分=『f(X2+ y2)(xdx+ ydy)OA=J02f(x ) xdx1 4 2f ( U) du(令u = X )=A"2。