2020高考数学第二轮专题复习：专题一 第三讲

第三讲 题目解答求规范一、数学语言应用规范数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言．用数学语言可以定义数学概念，表述数学结论，揭示数学关系．数学语言具有准确、抽象、简捷等特点，在解题中使用数学语言要力求规范，避免高考中不必要的失分．例1 (1)函数y ＝log 2(x ＋2)的定义域是________．(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调区间为________． 分析 (1)函数的定义域应该是集合或区间的形式，不能写成不等式；(2)单调区间形式一定是区间；三角函数的单调区间如含有k ，不要忘记k ∈Z ，另外还要注意区间的开闭． 解析 (1)令x ＋2>0，得x >－2，∴函数y ＝log 2(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)．(2)令x ＋π4＝t ，则t 单调递增．由复合函数单调性知，只有y ＝tan t 单调递增才能使原函数单调递增，∴t ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . ∴函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z .答案 (1)(－2，＋∞) (2)⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z 例2 (2013·安徽)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，P A ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积．分析 由四边形ABCD 是菱形可得对角线垂直；由等腰三角形PBD 又可得垂直，结合图形，深刻理解文字语言、图形语言的含义，在证题过程的书写中要注意数学符号的应用． (1)证明 连接AC 交BD 于O 点，则O 为BD 中点，且AC ⊥BD ，连接PO ，又PB ＝PD ，则PO ⊥BD ，又AC ∩PO ＝O ，因此BD ⊥平面POC ，则BD ⊥PC .(2)解 在△ABD 中，AO ＝3， 在△BOP 中PO ＝ 3.在△POA 中，AO 2＋PO 2＝P A 2，则PO ⊥AO ，又PO ⊥BD ，则PO ⊥底面ABCD .V P －BCE ＝V P －ABC －V E －ABC ＝16PO ·S △ABC ＝12.跟踪训练1 (1)(2013·安徽)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >01－x 2≥0得：0<x ≤1.因此函数的定义域为(0,1]．(2)(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为①利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； ②在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． a ．用产品编号列出所有可能的结果；b ．设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.②a.在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．a ．在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.二、结论应用要规范在解题中，我们要用到教材中的公理、定理、推论等，一定要结合公理、定理的叙述，严格对照题目条件，每一步推理要有理有据，规范作答，不要漏掉条件；另外，对一些教材中没有出现的“小结论”，应用时要作铺垫．例3 如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥A 1B ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：平面AB 1C 1⊥平面ABB 1A 1.分析 在使用线面位置关系的判定定理时，推理一定要严谨，保证条件的充分性．证明 (1)设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OD . 由于点O 是AB 1的中点，又D 为AC 的中点， 所以OD ∥B 1C ，而B 1C ⊄平面A 1BD ， OD ⊂平面A 1BD ， 所以B 1C ∥平面A 1BD . (2)因为AB ＝BB 1，所以四边形ABB 1A 1是正方形，则A 1B ⊥AB 1，又A 1B ⊥AC 1，且AC 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C 1. 而A 1B ⊂平面ABB 1A 1， 所以平面AB 1C 1⊥平面ABB 1A 1.例4 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0,2)作直线与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线的交点为P . (1)求x 1x 2的值； (2)求点P 的纵坐标； (3)求△P AB 面积的最小值．分析 (1)中使用根与系数的关系要先考虑Δ；(3)中求|AB |要先用两点间距离公式，对|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|作适当铺垫．解 (1)由已知直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －8＝0，Δ＝16k 2＋32>0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8.(2)由导数的几何意义知过点A 的切线斜率为x 12，∴切线方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，化简得y ＝x 1x2－x 214，① 同理过点B 的切线方程为y ＝x 2x 2－x 224，② 由x 1x 2－x 214＝x 2x 2－x 224，得x ＝x 1＋x 22，③将③代入①得y ＝－2， ∴点P 的纵坐标为－2.(3)∵点P 到直线AB 的距离为d ＝|2k 2＋4|k 2＋1，又|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4k 2＋2·1＋k 2.S △P AB ＝12·|2k 2＋4|k 2＋1·4k 2＋2·1＋k 2＝4(k 2＋2)≥82 ，当且仅当k ＝0时取等号， ∴△P AB 面积的最小值为8 2.跟踪训练2 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积． (1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD . 又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以V C －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.三、步骤书写要规范32在高考中，解答题的要求是“应写出文字说明、证明过程或演算步骤”．在解答题的解题步骤中，一定要计算过程明确，推理过程严谨，不可跨度太大而漏掉得分点．例5 (2013·辽宁)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．分析 利用古典概型求概率，不能只有简单的计算公式，要列举基本事件的全部情况，和所求事件包含的基本事件．解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.跟踪训练3 (2013·天津)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 跟踪训练4 (2013·福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1(注：此公式也可以写成K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2所以得K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70≈1.79.因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。