2015杭州高三数学理科二模试卷
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．7．（5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
浙江省杭州高级中学2015届高考仿真模拟数学理试题 Word版无答案
侧视图杭州高级中学2015届高考模拟数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若函数x x f 2cos )(=，x x g 2sin )(=，则“48ππ<<x ”是“()()f x g x <”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件2．若椭圆C 1：13222=+b y x 与双曲线C 2：12222=-by x )0(>b 的四个交点，恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线C 2的离心率是 ( )A. 23B. 6C. 7D. 233．已知某锥体的正视图和侧视图如图1，体的俯视图可以是 ( )A.4．设函数x x x f 2cos sin )(=图象的一条对称轴方程是（ ） A ． 4π-=xB ．0=xC ．4π=x D ．2π=x5．已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1231a a a ++<，则实数x 可能等于 （ ) A ．32-B ．512-C ．47-D ．1124- 6．已知异面直线,a b 成60角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成45角的平面（ ）A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个7．若过点(1,0),(2,0),(4,0),(8,0)P Q R S 作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不．可能．．等于( ) A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 196538．设二次函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4上至少有一个零点，则22a b +的最小值为（ ） A ．1100 B ． 110 C ． 4289 D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．已知[,]2x ππ∈，且1sin(2)23x π-=，则cos 2x = ，sin x = ， tan x = ．10．设P 是椭圆221259x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，且123F PF π∠=，则12F PF ∆的面积为 ，内切圆半径为 ．11．已知函数()ln()x x f x m e ne m -=⋅++为偶函数，且其最小值为2l n 4+，则m n -= ，{}|()()x f x f m n ≤+= ．12．已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b a -==，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a b -与c b -的夹角正弦值为 ，c = ．13．数列22n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（1,2,n =⋅⋅⋅），则数列中的最大项为______________．14．已知{}(,)|1A x y ax by =+=，{}(,)|0,1,2B x y x y x y =≥≥+≤，若A B ≠∅恒成立，则23a b +的取值范围是 ．15．已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，,C D 两点在球O 的球面上，2CD =，AB CD ⊥，45135AOC ≤∠≤，则四面体ABCD 的体积的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分15分）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，且满足4cos b aC a b+=．（Ⅰ）求222sin sin sin CA B+的值；（Ⅱ）若B A tan 2tan =，求sin A 的值．17．（本题满分15分）如图，已知矩形ABCD 是圆柱12O O 的轴截面，N 在上底面的圆周2O 上，,AC BD 相交于点M ．（Ⅰ）求证：平面ADN ⊥平面CAN ；（Ⅱ）已知圆锥1MO 和圆锥2MO 的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC 与平面CANCDN ∠的度数．18．（本题满分15分）设函数1()1x f x x -=+，x R ∈且1x ≠-， （Ⅰ）就m 的取值情况，讨论关于x 的方程()f x x m -=在[]0,1x ∈上的解；（Ⅱ）若可变动的实数12,x x 满足12(3)(3)1xxf f +=，求12()f x x +的最小值．19．（本小题满分15分）已知A 是抛物线x y 42=上的一点，以点A 和点)0,2(B 为直径的圆C交直线1=x 于N M ,两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于Q P ,两点． （Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）若3-=⋅，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程．A20．（本题满分14分）设数列{}n a 定义为1a a =，112111n n a a a a +=+++⋅⋅⋅+-，1n ≥．（Ⅰ）证明：存在正实数a ，使得123,,a a a 成等差数列； （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得当2n ≥时，01n a <<．。
2015浙江省杭州二中高考考前仿真卷(理科)
2014学年杭州二中高三年级仿真考数学试卷（理科） 第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-， B ．()()x R f x f x ∀∈-=， C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-， D ．000,()()x f x f x ∃-=2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P2 1,F F分别为双曲线的左右焦点，且I为三角形21FPF的内心，若1212IPF IPF IF FS S Sλ∆∆∆=+成立，则λ的值为（）ABCD8．过正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1的中点与直线BD1所成角为40°，且与平面AC C1A1所成角为50°的直线条数为（）A.1B.2C.3D.无数第II卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．9．设全集为R，集合2{|430},M x R x x=∈-+>集合{|24},xN x R=∈>则M N⋃=；M N⋂=；()RC M N⋂=.10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan4α=，则cosα=________,sinβ=_______ . 11．在如图所示的空间直角坐标系O—xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号），此四面体的体积为.12．已知圆22:(cos)(sin)9(R)C x yααα-++=∈与直线:cos sin10(R)l x yβββ--=∈，则圆C的圆心轨迹方程为，直线l与圆C的位置关系是______．④③②①1A13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，()ax b f x cx d +=+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B+的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA 上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）若二面角B QC D --的大小为23π，点M 为BC 的中点，求直线QM 与AB 所成角的余弦值.CA18．已知数列{}n a 中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x ag x x++=， （Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅=,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QCx =⋅x =.过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，2QG ==，AM ==QM =，22234104cos 2QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。
浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(6)及答案
2015年高考模拟试卷数学卷（理科）第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）已知集合}21{，=A ，}12{A a a B ∈-=，则=B A （ ） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}1,2,3 D ．∅ 2．（改编）若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( ) A ．212cm π B ．215cm π C ．224cm π D ．230cm π 3．（改编）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则( ) A ． 1n m <<B ． 1m n <<C ． 1m n <<D ． 1n m <<4．（原创）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤083024733y x y x y ， 则y x z 2+=的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 5．（原创）在三角形ABC 中，“0tan tan tan >++C B A ”是“三角形ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（原创）已知sin cos (0,)3αααπ+=∈，则s i n ()12πα+的值为（ ） ABCD ．7．（改编）已知圆M ：25)2()322=-+-y x （，过点)0,1(P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为( ) A ．21 B ．321 C ．221D ． 42 8．（改编）设函数2)(-+-=x a x x f ，若函数)()()(x f a x x g ⋅+=的图象中心对称，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 32-第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．9．(原创)已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等（第2题图）比数列的公比=q ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = 。
浙江省杭州二中2015届高三数学第二次月考试题 理(含解析)
数学试卷（理科）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 第I 卷（共50分）【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1、若集合{|2}x M y y，{|1}Py yx ，则MPA ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C 解析：因为集合{}{}0,0M y y P y y =>=≥，所以{}0M P y y ⋂=>，故选择C.【思路点拨】先求得集合M ，P ，然后利用交集的定义可求得M P ⋂的值. 【题文】2、实数等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】等比数列性质 充分必要条件A2 D3【答案】【解析】A 解析：设等比数列的公比为q ，由14a a <得311a a q <，因为10a >，所以31q >，即1q >，由53a a <得2411a q a q <，因为10a >，所以21q >即11q q <->或，所以“41a a <”是“53a a <” 的充分而不必要条件，故选择A.【思路点拨】结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题文】3、已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是 A ．一定相离 B ．.一定相切 C ．相交且一定不过圆心 D ．相交且可能过圆心[【知识点】直线与与圆的位置关系H4 【答案】【解析】C 解析：因为直线恒过点()1,1，且该点在圆的内部，所以直线与圆相交，又因为圆的圆心坐标为()1,0，直线的斜率存在所以直线不能过圆心，故选择C.【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部，可得直线与圆相交，又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不存在的直线上，而直线斜率存在，所以不过圆心. 【题文】4、已知实数等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于A ．12-B ．1C ．12-或1D ．112-或【知识点】等差数列的性质 等比数列前n 项和D2 D3 【答案】【解析】A 解析：因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9362S S S =+，若公比1q =，9362S S S ≠+，所以1q ≠，当1q ≠时，可得()()()9361111112111a q a q a q qqq---=+---，整理可得：12q =-，故选择A.【思路点拨】根据等差数列的性质列的9362S S S =+，当公比1q =，等式不成立，当1q ≠时，再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到，【题文】5、已知x 、y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A ．34B ．14C ．211 D ．4【知识点】线性规划E5【答案】【解析】B 解析：画出x y ，满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图：由 2y x x y +⎧⎨⎩＝＝，得()1,1A ，由x a y x =⎧⎨=⎩，得()a,a B ， 当直线2z x y =+过点()1,1A 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3； 当直线2z x y =+过点()a,a B 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选择B.【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，可求z 的最大值与最小值，即可求解a .【题文】6、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知254523335,25S S a a ==，则6543S a =A ．125B ．85C ．45D ．35【知识点】等差数列前n 项和 D2【答案】【解析】C 解析：根据等差数列前n 项和的性质可得()2121n nS n a -=-，所以254523335,25S Sa a ==，可得1323233315,,59a a a a ==根据合比定理可得：33435499413a a +==+，所以 65334343965654513S a a a ===，故选择C.【思路点拨】根据等差数列前n 项和的性质可得()2121n n S n a -=-，可得1323233315,,59a a a a ==根据合比定理可得：33435499413a a +==+，即可求得.【题文】7、若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值A ．1B ．6C ．9D ．16 【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】B 解析：∵正数a b ，，满足111a b +=，10a a b ∴-＝＞，解得1,a ＞同理1b ＞， 所以()19191916111111a a a b a a a +=+=+-≥=------，当且仅当()1911a a =--，即43a =等号成立，所以最小值为6．故选择B. 【思路点拨】根据已知可得10b a a -＝＞，代入1911a b +--，整理可得()()11912.91611a a a a +-≥-=--，可得结果.【题文】8、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为A ．13-B ．32-C ．22D ．23【知识点】椭圆的几何性质H5【答案】【解析】A 解析：因为过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，所以可得12290,FMF MF c∠==，因为122F F c=，所以可得13MF c=，由椭圆定义可得2132MF MF c c a+=+=，可得题意离心率为23113e ==-+，故选择A.【思路点拨】由已知条件推导出21212290MF c F F c FMF ==∠=︒，，，从而得到13MF c=，由此能求出椭圆的离心率．【题文】9、若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为A ．60B ．50C ． 45D ．40【知识点】等差数列的性质 D2【答案】【解析】B 解析：设等差数列的公差为d ，因为2211010a a +=，所以()221010910a d a -+=，而10111910...1045S a a a a d=+++=+，可得104510S da -=，代入()221010910a d a -+=，整理得()222213545360210000d dS S +-+-=，由关于d 的二次方程有实根可得()()22222360413545210000S S ∆=-+-≥，化简可22500S ≤得，解得50S ≤，故选择B.【思路点拨】设等差数列的公差为d ，易得()221010910a d a -+=，由求和公式可得104510S d a -=，代入()221010910a d a -+=，整理可得关于d 的方程，由0∆≥可得S 的不等式，解不等式可得．【题文】10、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论：①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【知识点】函数的性质B3 B4【答案】【解析】C 解析：因为(4)()f x f x -=-，所以()()8f x f x +=，即函数的周期为8，因此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，①若1204x x <<<且124x x +=，由图像可得正确；②若1204x x <<<且125x x +=，f x （）在(0,2]上是增函数，则11054x x -＜＜＜，即1512x ＜＜，由图可知：12()()f x f x >；故②正确；③当0m ＞时，四个交点中两个交点的横坐标之和为()2612⨯-=-，另两个交点的横坐标之和为224⨯=，所以12348x x x x +++=-．当m ＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以12348x x x x +++=．故③正确；④如图可得函数()f x 在[8,8]-内有5个零点，所以不正确.故选择C.【思路点拨】由条件(4)()f x f x -=-得()()8f x f x +=，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在(0,2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．第II 卷（共100分）【题文】二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．【题文】11、如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km ）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ．【知识点】解三角形 C8【答案】【解析】7.解析：因为A B C D 、、、四点共圆，所以D B π∠+∠=，在ABC 和ADC 中，由余弦定理可得：()222285285cos 35235cos D Dπ+-⨯⨯⨯-=+-⨯⨯⨯，1cos 2D =-，代入可得222135235492AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为7.【思路点拨】根据A B C D 、、、四点共圆，可得D B π∠+∠=，再由余弦定理可得解得1cos 2D =-，代入余弦定理可得.【题文】12、在△ABC 中，6A π=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则角B 等于 ．【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8【答案】【解析】512π.解析：由已知可得：()()()22...AB AD AB AD AB AD AB AD BD BD DC-=-+=+=，整理得()()..0BD AB AD DC BD AB AC ++=+=，即()BD AB AC ⊥+，又因为D 在BC 上，所以()BC AB AC⊥+，即AB AC =三角形为等腰三角形，所以6212B πππ-∠==，故答案为512π.【思路点拨】由已知变形可得()()()22...AB AD AB AD AB AD AB AD BD BD DC-=-+=+=，可得()BC AB AC⊥+，即AB AC =，三角形为等腰三角形，可求得.【题文】13、函数210()log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．【知识点】函数的零点问题 B9【答案】【解析】113,,24⎧--⎨⎩.解析：当1x ≤-时，()10f x x =+≤，∴1111[0]f f x x +=+++=（），∴3x =-；当10x -<≤时，()10f x x =+＞，∴()2111]102[f f x log x x +=++=∴=-（），；当01x <≤时，()20f x log x =≤，()21110]14[f f x log x x ∴+=++=∴=，；当1x ＞时，()()2220110[]f x log x f f x log log xx =∴+=+=∴=＞，（），所以函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为：113,,24⎧--⎨⎩，故答案为113,,24⎧--⎨⎩.【思路点拨】欲求函数[()]1y f f x =+函数的零点，即求方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦的解，下面分：当0x ≤时，当0x ＞时分别求出函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合即可．【题文】14、已知正三棱柱111ABCA B C 体积为94，若P 为底面111A B C的中心，则1PA 与平面ABC 所成角的大小为【知识点】求线面角 G7【答案】【解析】3π.解析：因为1AA ⊥底面111A B C ，所以1APA ∠为PA 与平面111A B C所成角，因为平面ABC ∥平面111A B C ，所以1APA ∠为PA 与平面ABC 所成角，因为正三棱柱111ABCA B C 体积为94，底面是边长为3，所以11934ABC V S AA ==，可得13AA =，11A P =，所以111tan 3AA APA A P ∠==，即13APA π∠=，故答案为3π.【思路点拨】利用三棱柱111ABCA B C 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，1APA ∠为PA 与平面111A B C 所成角，，即为1APA ∠为PA 与平面ABC 所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得13AA =，再利用正三角形的性质可得1A P ，在1Rt AA P 中，利用111tan 3AA APA A P ∠==即可得出．【题文】15、已知sin ,cos αα是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根，则1cos 2sin 21sin 2cos 21sin 2cos 21cos 2sin 2．【知识点】二倍角公式 同角三角函数基本关系式 韦达定理 C6 C2 【答案】【解析】21解析：根据二倍角公式221cos 22cos ,1cos 22sin ,sin 22sin cos ααααααα+=-==，可将已知式子化简为：22222cos 2sin cos 2sin 2sin cos cos sin 12sin 2sin cos 2cos 2sin cos sin cos sin cos αααααααααααααααααα--+=--=---，由韦达定理可得：sin cos sin .cos aa αααα+=⎧⎨=⎩，根据同角三角函数基本关系式可得：()22sin cos 12sin cos 12a aαααα+==+=+，即2210a a --=，解得1a =，又因为sin cos αα+≤，所以1a =-111sin cos a αα-=-=，故答案为1.【思路点拨】由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得2210a a --=，再根据sin cos αα+≤，确定a 值，利用二倍角公式将已知式子降角升幂化简为1sin cos αα-，即可求得.【题文】16、已知O 是ABC ∆外心，若2155AO AB AC =+，则cos BAC ∠= ．【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】.解析：因为O 为三角形的外心，所以2211,,22AO AB AB AO AC AC ==,由22155AO AB AB AC AB =+整理得：22AB AC AB=，同理22155AO AC AB AC AC=+整理可得：243AC AB AC =,所以cos 42AC AB BAC AC AB∠===，故答案为.【思路点拨】根据O 为三角形外心，可得2211,,22AO AB AB AO AC AC ==再让已知式子分别与向量,AB AC 求数量积，可得到22AB AC AB =与243AC AB AC =，再结合向量夹角公式求得结果.【题文】17、已知函数()a f x x x =-，对(0,1)x ∀∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a的取值范围为 ．【知识点】不等式恒成立问题 E8【答案】【解析】114a a ≤-≥或解析：因为(0,1)x ∀∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，，即()111a a x x x x ⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，整理可得()()()22222111a ax x x x x x ⎡⎤--++-≥-⎣⎦，令()11(0,]4x x t -=∈，上式为()()()2212010a a t t t a t a t --+-≥⇒++-≥，所以1a t a t ≤-≥-或因为1(0,]4t ∈，所以114a a ≤-≥或，故答案为114a a ≤-≥或【思路点拨】根据题意可得()()11f x f x -≥，即()111a a x x x x ⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，令()11(0,]4x x t -=∈，整理可得()()()2212010a a t t t a t a t --+-≥⇒++-≥，1a t a t ≤-≥-或因为1(0,]4t ∈，所以114a a ≤-≥或.【题文】三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【题文】18、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0b C C a c +--=.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =，求2ac 的取值范围.【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）.【解析】（1）由正弦定理知：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=sin sin()sin cos cos sin A B C A C A C =+=+代入上式sin cos sin sin 0B C B C C --=sin 0C >cos 10B B --=即1sin()62B π-=(0,)B π∈3B π∴=（Ⅱ）由（1）得：22sin bR B ==)sin(72cos 3sin 5)sin sin 2(22ϕ+=+=+=+A A A C A R c a其中，725cos ,723sin ==ϕϕ2(0,)3A π∈]72,3()sin(72∈+ϕA【思路点拨】sin cos sin sin 0B C B C C --=，cos 10B B --=，化一得1sin()62B π-=即可得角B 的值；由正弦定理可得25sin )a c A A A φ+==+再根据正弦函数的范围求得2ac 的范围.【题文】19、如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若F 在线段AC 上，满足//AD 平面PEF ，求AFFC 的值．APB CDEF【知识点】线面垂直线面平行 G4 G5【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）1 2.【解析】（Ⅰ）证明：BC⊥平面PAB BC AD∴⊥PA AB=，D为PB中点AD PB∴⊥PB BC B⋂=AD∴⊥平面PBC（Ⅱ）连接DC交PE于G，连接FG，//AD平面PEF，平面ADC⋂平面PEF FG=//AD FG∴又G为PBC∆重心12AF DG FC GC ∴==【思路点拨】证明,AD PB AD BC ⊥⊥，即可证明AD ⊥平面PBC ，连接DC 交PE 于G ，连接FG ，//AD 平面PEF ，平面ADC ⋂平面PEF FG =，//AD FG ∴，即可得G 为三角形重心.【题文】20、已知数列{}n a 的首项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且有1(0)n n S tS a t +=+≠，1n n b S =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1t =时，若对任意*n N ∈，都有5n b b ≥，求a 的取值范围；（Ⅲ）当1t ≠时，若122...n n c b b b =++++，求能够使数列{}n c 为等比数列的所有数对(,)a t ．【知识点】等比数列的性质 数列求的和 D3 D4【答案】（Ⅰ）1n n a at-=；（Ⅱ）22[,]911--；（Ⅲ）(1,2).【解析】解析：（Ⅰ）当1n =时，由21S tS a =+解得2a at = 当2n ≥时，1n n S tS a -=+，11()()n n n n S S t S S +-∴-=-，即1n n a ta +=又10a a =≠，综上有1(*)n n a t n N a +=∈，即{}n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列,1n n a at -∴=（Ⅱ）当1t =时，,1n n S an b an ==+，当0a >时，{}n b 单调递增，且0n b >，不合题意；当0a <时，{}n b 单调递减，由题意知：460,0b b >< ，且4565||||b b b b ≥⎧⎨-≥⎩解得22911a -≤≤-, 综上a 的取值范围为22[,]911-- （Ⅲ）1t ≠，11n n a at b t -∴=+-22(1)2(1)(...)2(1)111(1)n nn a a a at t c n t t t n t t t t -∴=++-+++=++-----1222(1)(1)1(1)n at a at n t t t +=-+++---由题设知{}n c 为等比数列，所以有,220(1)101at t t a t ⎧-=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩，解得12a t =⎧⎨=⎩，即满足条件的数对是(1,2)．（或通过{}n c 的前3项成等比数列先求出数对(,)a t ，再进行证明）【思路点拨】（Ⅰ）由数列递推式求得首项，得到1n n a a t +=，由此说明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）根据题意可得1n b na =+，因为1n n b b a+-=，所以得到{}n b 为等差数列，当0a >时，{}nb 为单调递增数列，且对任意*0n n N a ∈，＞恒成立，不合题意．当0a <时，{}n b 为单调递减数列，由题意知得4600b b ＞，＜，结合去5n b b ≥绝对值后求解a 的取值范围；（Ⅲ）由题意得11nn a at b t -=+-，代入可得()()12221111n n ata at C n t t t +⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭--，由等比数列通项的特点列式，可得需满足220(1)101at t t a t ⎧-=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪-⎩.【题文】21、如图，已知圆2220G x y x +-=：，经过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点))(0,(a m m >倾斜角为65π的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．【知识点】椭圆方程 直线与椭圆 H5 H8【答案】（Ⅰ）12622=+y x ；（Ⅱ）323m <<【解析】解析：（Ⅰ）∵圆G ：02222=--+y x y x 经过点F 、B ． ∴F （2，0），B （0，2），∴2=c ，2=b ． ∴62=a ．故椭圆的方程为12622=+y x ．（Ⅱ）设直线l 的方程为)6)((33>--=m m x y ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)(3312622m x y y x 消去y 得0)6(2222=-+-m mx x ．设),(11y x C ，),(22y x D ，则m x x =+21，26221-=m x x ， ∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=．∵),2(11y x FC -=，),2(22y x FD -=，∴FD FC ⋅=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x=3)3(2-m m ．∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ⋅>，即2(3)03m m ->，解得0m <或3m >．由△=0)6(8422>--m m ，解得3232<<-m ．又6>m ，326<<m ．∴3m <<【思路点拨】根据圆与x 轴的交点求得F （2，0），B （0，2），可得椭圆方程；设直线l 的方程为)6)((33>--=m m x y 与椭圆方程联立，得到m x x =+21，26221-=m x x ， 因为点F 在圆G 的外部， 所以0FC FD ⋅>，即FD FC ⋅=2121)2)(2(y y x x +-->0,求得3m <<.【题文】22、已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值． 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2【答案】（Ⅰ）2a -≤；（Ⅱ）()()()()33033003a a h x a a a +≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪<-⎩.【解析】解析：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x=+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a xx ax a xx ax a x⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分①当1,22aa>>即时，结合图形可知()h x在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a-=+=+，经比较，此时()h x在[2,2]-上的最大值为33a+.②当01,22aa即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a-=+=+，2()124a ah a-=++，经比较，知此时()h x在[2,2]-上的最大值为33a+.③当10,02aa-<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a-=+=+，2()124a ah a-=++，经比较，知此时()h x在[2,2]-上的最大值为3a+.④当31,222aa-<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x在[2,]2a-，[1,]2a-上递减，在[,1]2a，[,2]2a-上递增，且(2)330h a-=+<, (2)30h a=+≥，经比较，知此时()h x在[2,2]-上的最大值为3a+.当3,322aa<-<-即时，结合图形可知()h x在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，故此时()h x在[2,2]-上的最大值为(1)0h=.综上所述，()()()()33033003a ah x a aa+≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪<-⎩.【思路点拨】根据题意可得2(1)|1|x a x--≥（*）对x∈R恒成立，讨论当1x=时，（*）显然成立，此时a ∈R ，当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩只需求其最小值即可；()2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x h x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪=--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥，讨论对称轴①当1,22aa >>即时，②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，③当10,02aa -<<即-2≤≤时，④当31,222aa -<-<-即-3≤≤时，四种情况，分别求得最大值.。
浙江省杭州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题 Wor
2015学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．(,2]-∞D ．[0,)+∞2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20a >且10a >”是“数列{}n S 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件4.设(0,)x π∈，若11sin cos x x +=，则sin(2)3x π+=（ ）A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-5.在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，若1566AP AD AB =+，则()BC tPB t R +∈的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．[1,)+∞ 6.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的顶点为12,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线2A M 和2A P 的斜率分别为12,k k ，若21A M PA ⊥且1240k k +=，则双曲线C 离心率为（ ）A ．2BCD ．47.设函数()f x 与()g x 的定义域为R ，且()f x 单调递增，()()()F x f x g x =+，()()()G x f x g x =-，若对任意12,x x R ∈12()x x ≠，不等式221212[()()][()()]f x f x g x g x ->-恒成立，则（ ）A ．(),()F x G x 都是增函数B ．(),()F x G x 都是减函数C ．()F x 是增函数，()G x 是减函数D ．()F x 是减函数，()G x 是增函数8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若PA AD AB kBC ===(01)k <<，则（ ） A ．当12k =时，平面BPC ⊥平面PCD B ．当12k =时，平面APD ⊥平面PCD C ．当(0,1)k ∀∈，直线PA 与底面ABCD 都不垂直 D ．(0,1)k ∃∈，使直线PD 与直线AC垂直非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题分题6分，单空题每题4分，满分36分.9.设函数()2sin()6f x x πω=+(0,)x R ω>∈，最小正周期T π=，则实数ω=__________，函数()f x 的图象的对称中心为__________，单调递增区间是__________.10.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，表面积为__________.11. 设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.12.若实数,x y 满足0120x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的取值范围是__________.13.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且0120AFB ∠=，弦AB中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为__________.14.定义{},(),,()x x y M x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，设22,42a x xy x b y xy y =++=++(,)x y R ∈，则{},M a b 的最小值为__________，当M 取到最小值是，x =__________，y =__________.15.在边长为1的正方体，''''ABCD A B C D -中，,,E F G 分别在',,BB BC BA 上，并且满足'34BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，若平面'AB F ，平面ACE ，平面'B CG 交于一点O ，BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++=__________，OD =__________.三、解答题 :本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin m A B C =+ ()m R ∈（1）当3m =时，求cos A 的最小值； （2）当3A π=时，求m 的取值范围.17. （本题满分15分）在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -，2AB =，1AA ⊥平面ABC ，,,E F G 分别为1,,BB AB AC 的中点.（1）求证：//BG 平面1A EC ；（2）若1AA -，求二面角1A EC F --的大小.18.（本题满分15分）设数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+*()n N ∈. （1）求证：22123n n a a +≤-≤；（2）求证：13123221n n a n nn a n +-≤≤--.19.（本题满分15分）设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线,,,OA OB OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1234,,,k k k k ，若OA OB ⊥. （1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ∆面积的最大值.20.（本题满分15分）设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M . （1）若2b =-，求M 的值；（2）若M k ≥对任意的,b c 恒成立，求k 的最大值.2015学年杭州市第二次高考科目教学质量检测理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3. C4.A5.A6.B7.A8.A二、填空题：本大题共7小题，多空题分题6分，单空题每题4分，满分36分.9. 2 ,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ ，,,36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 10. 83 63+11.23 12. [0,2] 13. 14. 16-，13-，16- 15. 43三、解答题 :本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本题满分14分）所以cos A 的最小值为79，当且仅当b c =时等号成立.（2）当3A π=时，sin sin )26m B C B π=+=+， 所以2sin()6m B π=+.又因为2(0,)3B π∈，所以5(,)666B πππ+∈， 所以1sin (,1]62B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以(1,2]m ∈. 17.（本题满分15分）解：（1）取1A C 中点H ，连接,HG EH , 所以1//HG A A ，112HG A A =, 又E 为1BB 的中点， 所以//,BE HG BE HG =， 所以四边形EHGB 为平行四边形， 故//BG EH ,又EH ⊂平面1A EC ，BG ⊄平面1A EC ， 所以//BG 平面1A EC .（2）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1AA a =，则1(0,0,0),(1,0,),(1,0,),2a F A a E C -，所以11(1,0,),(0,3,0),(2,0,),(1,3,)22a a FE FC A E AC a ===-=-， 设平面ECF 法向量为(,,)m m x y z ==，则由0FE m ∙=及0FC m ∙=，得020a x z ⎧+=⎪=， 不妨取(,0,2)m a =-；类似的，可取平面1A EC 法向量为(,4)n a =， 设二面角1AEC F --的平面角为θ， 则2cos cos,m n θ==当a =cos 0θ=，即090θ=.18.（本题满分15分）解：（1）因为11a =及11(1)n n na a n a +=+≥， 所以1n a ≥，所以2101na <≤. 因为2221211()2n n n n na a a a a +=+=++， 所以221212(2,3]n n na a a +-=+∈，即22123n n a a +≤-≤. （2）由（1）得221123n n a a n +<-≤ 所以212131n n a n ++<≤+，即22132(2)n n a n n -<≤-≥，当1n =时，也满足， 所以22132n n a n -<≤-.所以1213121[,]3221n n n a n na a n n ++=+∈-- 19.（本题满分14分）解：设直线l 方程为y kx b =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y . 联立y kx b =+和22x y =， 得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =，2480k b ∆=+>.由OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，得2b =. 联立2y kx =+和223412x y +=，得22(34)1640k x kx +++=，所以3421634k x x k +=-+，342434x x k=-+. 由22192480k ∆=->，得214k >.（1）因为121212y y k k k x x +=+=，3434346y yk k k x x +=+=-所以123416k k k k +=-+.（2）根据弦长公式34CD x =-，得：CD =，根据点O 到直线CD的距离公式，得d =所以12OCDS CD d ∆=∙=，0t =>，则24OCD S t ∆=≤+ 所以当2t =，即k =OCD S ∆. 20.（本题满分15分）解：（1）当2b =-时，1()2f x x c x =+++在区间[]1,1-上是增函数， 所以4(1),(1)3g c g c =+-=， 所以{}2,()3max (1),(1)42,()33c c M g g c c ⎧≤-⎪⎪=-=⎨⎪+≥-⎪⎩.（2）①当2b ≤-时，因为1(1)11M g c b ≥=+++，1(1)11M g c b≥-=+--， 所以112(1)(1)1111M g g c c b b≥+-=+-++++- 21124221113b b b ≥++=+≥+--，所以23M ≥.②当2b -<≤(1)(1)(1)f b f f +<-<，则1max{(1),(1)}max{1,2}1M g g b c b c b=+=++++- 12(1)(1)121M g b g c b c b≥++=+++++-， 1121b b≥++≥-，所以1M ≥.③当1b <≤-时，有(1)(1)(1)f b f f +<<-， 则1max{(1),(1)}max{1,2}1M g g b c b c b=-+=-++++--， 所以12(1)(1)121M g b g c b c b≥++-=-+++++-- 1321b b ≥++≥+，所以1M ≥.综上可知，对任意的,b c 都有1M ≥.。
浙江省杭州市高考数学二模试卷理(含解析)
2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞03．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A． 24 B． 8 C． 8 D． 164．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A． 8 B． 12 C． 12 D． 156．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为，此时直线l落在区域A内的线段长为．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= ．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=AB，PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若PA=AB，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．19．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A． B． y=cosx C． y=e x D． y=ln|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可．解答：解：y=在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除A；y=cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除B；y=e x在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除C；y=ln|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且ln|﹣x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，当x＞0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+∞）上递增，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法．2．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．设等比数列{a n}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A． 24 B． 8 C． 8 D． 16考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵+=+，∴，∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴a1a2=4，同理可得：a3a4=16．∴q4=4，解得，．则a1a5==4q3=8．故选：C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A． B． C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出a、b的范围，可得函数y=log a（x+b）的单调性以及图象经过的定点，结合所给的选项得出结论．解答：解：有函数的图象可得0＜b＜1，=＞2π﹣π，∴0＜a＜1．故函数y=log a（x+b）为减函数，且图象经过点（1﹣b，0），（0，log a b），log a b＞0．结合所给的选项，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，对数函数的图象和性质，属于基础题．5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（）A． 8 B． 12 C． 12 D． 15考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果解答：解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；∴m+=；2m+2=2n=4m，∴m=，2n=4；∴m•2n=×4=12；故选：B点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．6．已知ABC﹣A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（）A．在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°B．在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C．在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行D．在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA1M中，利用锐角三角函数定义求出tan∠AMA1的值，判断出∠AMA1与45°大小判断即可．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，由题意得到AA1⊥面A1B1C1，∴AA1⊥A1M，在Rt△AA1M中，设AA1=1，则有A1B1=A1C1=B1C1=1，A1M=，∴tan∠AMA1==＞1，∴∠AMA1＞45°，则在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°，故选：B．点评：此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（）A．ab B． C．ab D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，设P（x，y），则∵=λ+μ，∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b∵P为双曲线C右支上的任意一点，∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1∴4λμ=1∴λ2+μ2≥2λμ=∴λ2+μ2的最小值为．故选：D．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．设f0（x）=|x|﹣10，f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（）A． 19 B． 20 C． 21 D． 22考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，问题转化为方程|f n﹣1（x）|=1的根的个数，依次递推下去即得结果．解答：解：令f n（x）=|f n﹣1（x）|﹣1=0，则|f n﹣1（x）|=1，即方程f n（x）=0有两个解f n﹣1（x）=±1；又∵f n﹣1（x）=|f n﹣2（x）|﹣1=±1，∴|f n﹣2（x）|=0或者2，所以方程f n（x）=0有3个解：f n﹣2（x）=0或±2；又∵f n﹣2（x）=|f n﹣3（x）|﹣1=0或±2，∴|f n﹣3（x）|=1或3，所以方程f n（x）=0有4个解：f n﹣3（x）=±1或±3；又∵f n﹣3（x）=|f n﹣4（x）|﹣1=±1或±3，∴方程f n（x）=0有5个解：f n﹣4（x）=0，±2或±4；又∵f n﹣4（x）=|f n﹣5（x）|﹣1=0，±2或±4，∴方程f n（x）=0有6个解：f n﹣5（x）=±1，±3或±5；又∵f n﹣5（x）=|f n﹣6（x）|﹣1=±1，±3或±5，∴方程f n（x）=0有7个解：f n﹣6（x）=0，±2，±4或±6；…类似地，最终得出方程f n（x）=0有n+1个解，从而函数y=f20（x）=0有21个解，故选：C．点评：本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A 分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为2x﹣y=0 ；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为x+2y=0 ，此时直线l落在区域A内的线段长为2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：作出集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A，再结合直线与圆的位置关系确定直线的方程，并求线段的长度即可．解答：解：集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A如下，故过圆心E（1，2）时，两部分面积相等；此时直线l的方程为y=x，即2x﹣y=0；当直线l与OE垂直时，两部分面积之差最大；此时直线l的方程为y=﹣x；即x+2y=0；此时与圆相交于C、D两点，CO==；故CD=2；故答案为：2x﹣y=0，x+2y=0，2．点评：本题考查了学生的作图能力，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于，体积等于．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，是四棱锥，运用空间几何体的性质，求解边长，面积体积，计算准确，可以得出答案．解答：解：某几何体的三视图如图所示可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，PA=4，AD=1，DC=4，运用三视图得出：AC==，AB=，根据这个几何体得出：PB==，PC==，PD==，∴这个几何体中最长的棱长等于，底面积为：4×2=5体积为：（4×2×1×2）×4=故答案为：，．点评：本题考查了运用几何体的三视图求解棱长，体积，属于计算题，关键是运用三视图恢复空间几何体的原图．11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p= 2 ；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|= 4 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|MF|=2p，则答案可求．解答：解：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F为（0，1），∴，则p=2；则抛物线方程为x2=4y，如图，∵=2，∴|MQ|=2|QE|，则∠EMQ=30°，∴|MF|=2p=4．故答案为：2；4．点评：本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m= ﹣10 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：当y=0时，x=﹣m，由，解得，即A（，﹣），则三角形OAB的面积S=（﹣m）（﹣）=，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（，﹣）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．即最小值z=2×（）﹣（﹣）=，当直线y=2x﹣z经过点B（﹣m，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，即最大值z=﹣2m，∵z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，∴﹣2m+=19，即m=﹣10．故答案为：，﹣10．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键．13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是[] ．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：首先①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，直接在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，求出夹角的余弦值．最后求出角的余弦值的范围．解答：解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，则：①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，设：正四面体的边长为2，取AD的中点，连接MN、NG，利用勾股定理得：CM=，M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，同理解得：CG=，在△CMG中，利用余弦定理得：，即：所成角的余弦值最小为．②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，连接DM，在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，所以：cos，即所成角的余弦值最大为．所以：cosα的范围为：[]．故答案为：[]点评：本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△AB C的面积．解答：解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．点评：考查余弦函数的定义，向量加法的平行四边形法则，以及直角三角形三边的关系，三角形的面积公式：S=．15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为 5 ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：由题意，画出图形，根据入射光线和反射光线的对称性以及正方形的性质得到I，J 的坐标，利用两点之间的距离公式可得．解答：解：从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，经过各边发射后最后由B点射出，如图，因为已知是单位正方形，这束光线在正方形内经过的路程如图，由对称性可以得到OP=FI=HE=FJ=，所以这束光线在正方形内经过的路程的长度为=5；故答案为：5．点评：本题考查了点关于直线的对称以及两点之间的距离公式的运用；关键是画出图形．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosB=，由余弦定理可解得a的值，由三角形面积公式即可求值．（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，可求sinC=1，当a=1时，由余弦定理和正弦定理可得sinC=，当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，即可求得sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵sinA﹣sinC=sin（A﹣B），∴sinA=sinC+sin（A﹣B）=sin（A+B）+sin（A﹣B）=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣cosAsinB=2sinAcosB，∴cosB=，由余弦定理可得（2）2=a2+62﹣12acos，即a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4．当a=2时，△ABC的面积S=acsinB=×2×6sin=3；当a=4时，△ABC的面积S=acsinB=×4×6sin=6；…8分（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，sinC=1，当a=1时，b2=a2+c2﹣2accosB=1+36﹣2×=31，∴b=，于是，从而：sinC=，当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，因为，从而得到sinC的取值范围是：[，1]…15分．点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=AB，PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若PA=AB，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；（2）根据二面角的定义先作出二面角的平面角，进行求解即可．解答：证明：（1）取AB的中点E，连接CE，则由题意知，△BCE为正三角形，∴∠ABC=60°，由等腰梯形知∠BCD=120°，设AD=DC=BC=2，则AB=4，BD=2，故AD2+BD2=AB2，即得∠ADB=90°，则AD⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAD，BC⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD；（2）在平面ABCD中，过C作CH∥BD，交AD的延长线于H，由（1）知，BD⊥平面PAD，∴CH⊥平面PAD，则CH⊥PD，在平面PAD中，过点H作HG⊥PD，交PD的延长线于G，连接CG，则PG⊥平面HGC，∴PG⊥GC，则∠HGC为二面角A﹣PD﹣C的平面角，在直角三角形CHD中，CD=2，∠CDH=60°，∴CH=，∵Rt△PAD∽Rt△HGD，∴GH=，在Rt△GHC，GC==，则cos∠GHC==，则二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用定义法是解决空间二面角的常用方法．本题也可以使用向量法进行求解．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，k DF==，a==2c，则椭圆的离心率为e==；（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线x=ty﹣c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2﹣6tcy﹣9c2=0，则y1y2=﹣，再将直线x=﹣ty﹣4c代入椭圆方程+=1，可得（3t2+4）y2+24tcy+36c2=0，则y3y4=，即有====．故为定值．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键．19．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．考点：数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）由题意可直接写出答案；（Ⅱ）分情况计算b k﹣a k，得{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得S n；（Ⅲ）由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．解答：解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；（Ⅱ）∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n）=；（Ⅲ）∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，∴a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，由（Ⅱ）知b k﹣a k=，∴b k=a+，所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．点评：本题考查数列中递推关系，以及解指数不等式，考查学生对数学知识的应用能力，属于中档题．20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；（ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）（i）（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，分类讨论得出：当b＞2a时，解集为（1，），当b＜2a时，解集为（，1），当b=2a时，解集为∅（ii）分类得出①当0时，②当时，≥1，判断结果是不是符合题意．（Ⅱ）把不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，即x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）xt﹣1﹣|2t﹣1|≤0，当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t ﹣1|）＞0，时，求解不等式，分类讨论即可．（1）当t时，只需m≤恒成立．即m≤12）当0时，只需要m≤=恒成立，转化为函数最值即可．解答：解：（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1），即f（x）＜0，即（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，当b＞2a时，解集为（1，）当b＜2a时，解集为（，1），当b=2a时，解集为∅（ii）∵a＞0，b＞0，∴＞0，①当0时，即0＜b＜a时，f（0）=b﹣a＜0=f（1），不符合题意，②当时，即b≥a时，f（0）=b﹣a≥0=f（1），符合题意，≥1，∴的取值范围：[1，∞）（Ⅱ）由不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，则x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）x+t﹣1﹣|2t﹣1|≤0，当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t﹣1|）＞0，时，解得≤x≤，（1）当t时，≤x≤，又因为＜0，≥1，只需m≤恒成立．即m≤1（2）当0时，≤x≤，显然＜0，且y==在（0，）上递减，所以＞1，所以只需要m≤=恒成立，即m≤1，综上，m的最大值为1．点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的求解，分类讨论，利用好方程的根，与不等式解集的关系，难度较大，属于难题，关键是确定根，写解集．。
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C 1：+y 2=1，双曲线C 2：﹣=1（a ＞0，b ＞0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（）A ．B ． 5C ．D ．7．（5分）半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c ﹣3（1） 6a ﹣3b ﹣2（2） 3a ﹣b+c （3） 1﹣2a+2b ﹣c （4）x 3 5 6 7lgx 2a ﹣b （5） a+c （6） 1+a ﹣b ﹣c （7） 2（a+c ）（8） x 8 9 14lgx 3﹣3a ﹣3c （9） 4a ﹣2b （10） 1﹣a+2b （11） 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A ． （3），（8）B ． （4），（11）C ． （1），（3）D ． （1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R ，集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，B={x|log 2（x ﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。