寿县迎河中学2014届高三第二次月考数学理

寿县迎河中学2014届高三第二次月考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=（ ）A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+ 2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃=（ ）A ．(1]-∞，B ．(4]-∞-，C ．(21]-，D ．[1)+∞，3．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅ 4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则 “()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B ．23C ．1321 D ．6109876．若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） （A ）43π （B ）0 （C ） 4π （D ）4π- 7．已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A ．34- B ．34 C ．43- D ．438．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)x k f x e x k =--=，，则（ ） A 当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B 当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C 当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D 当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 410设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A. N B N A ==*, B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或 C. {}R B x x A =<<=,10 D. Q B Z A ==, 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，b a c )1(t t -+=.若c b ⋅=0，则t =____ 12.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ=____．13计算定积分1201cos 2xdx π-+=⎰⎰ ____14.若数列{}n a 的前n 项和为3132n +=n a S ，则数列{}n a 的通项公式是n a =________.15 定义“正对数”: 0,01ln ,ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若0,0,a b >>()l n l n ;b a ba ++=②若0,0,a b >>()l n l n l n ;a b a b +++=+ ③若0,0,a b >>l n l nl n ;a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭④若0,0,a b >>()l n l n l n +l n 2;ab a b ++++≤+ 其中真命题有____________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（本题满分12分）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0． （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥； （2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．17（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．18（本题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；(2)求函数)(x f 的极值19（本题满分13分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;(2)是否存在0(,)64x ππ∈,使0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.20（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .21（本题满分13分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .寿县迎河中学2014届高三第二次月考数学试题（理）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

二、填空题（每小题5分，满分25分） .11.2t = 12.4λμ=113.2π+()12.14--n )4)(3)(1.(15三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16.解：（1）a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， |a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cos α〃cos β＋sin α〃sin β)＝2，所以，cos α〃cos β＋sin α〃sin β＝0， 所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β ＝ sin(3π＋β)＝1，所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π． 17解析：(1)由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-可得 []3cos()1cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=- 则3cos 5A =-(2)由3cos 5A =-，0A <<π所以4sin 5A = 由正弦定理有sin sin a bA B=所以sin sin 2b A B a ==由题可知a>b 则A>B 故4B π=由余弦定理可知2=52+c 2-325()5c ⨯⨯-解得c=1或c=-7(舍去）即向量BA 在BC18解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞ ()1af x x '=-由(1)1,f =()11f '=-所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程为1(1)y x -=--即20x y +-= (Ⅱ)由()1,0a x a f x x x x-'=-=>知 （1）当0a ≤时()0f x '>函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，函数()f x 无极值。

（2）当0a >时由()0f x '=可得x a =又当0x a <<时()0f x '<当x a >时()0f x '>从而函数()f x 在x a =时取到极小值，且极小值为()ln f a a a a =-综上可知当0a ≤时()0f x '>函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，函数()f x 无极值； 当0a >时函数()f x 在x a =时取到极小值，且极小值为()ln f a a a a =-。

19解析： (Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<10cos 22x <<所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=>且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意20【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< ．21【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-, 令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。