多元函数微分学-5 (4月25日)
知识点五(多元函数微分学及其应用)
（3）连续、偏导数存在和可微之间的关系在点处连续、偏导数存在、可微、存在连续的偏导数之间的关系是：在点处存在连续的偏导数在点处可微在点处连续在点处偏导数存在.3、多元复合函数求导法（1）一元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．（2）多元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点具有对及对的偏导数．函数在对应点具有连续的偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，．这里有两个自变量和两个中间变量，随着自变量个数与中间变量个数的变化，链导法公式也因之而异，但如果能搞清楚复合函数结构中哪些是自变量，哪些是中间变量以及它们的个数，则就抓住了复合函数求导的关键.如果自变量只有一个，不论中间变量的个数是多少，所求得的导数就是全导数.值得注意的是，对自变量兼作中间变量的情形，求导时往往容易弄混.例如下面的情形：，则复合函数对，的偏导数为，．这里与是不同的，是将复合函数中的看成不变而对的偏导数，是把中的及都看成不变而对的偏导数．与也有类似的区别．读者如能领会此点，就不难正确理解公式中的偏导符号的意义了.4、隐函数的求导公式（1）若是由方程所确定的一元隐函数.则且．（2）若是由方程所确定的二元隐函数.则.求隐函数的一阶导数或偏导数时，首先要认清公式中或中哪个为自变量，哪个为因变量，然后套用公式，值得注意的是，求二阶偏导数不能用上面的公式.5、偏导数的应用（1）偏导数的几何应用①设空间曲线方程为 .则曲线上点处的切线方程为法平面方程为.②空间曲线的方程为.则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为．③空间曲线为则曲线在点处切线方程为.法平面方程为．④若曲面方程为.则在点的切平面方程为法线方程为.⑤曲面方程为．则曲面在点处的切平面方程．在点处的的法线方程为．（2）偏导数在经济上的应用主要表现为求边际成本、边际利润和交叉弹性，读者应注意其内在的经济意义.6、方向导数与梯度一般地，方向导数是单侧的，偏导数是双侧的，如函数沿着方向的方向导数存在，但不存在.若在点可微，则在该点它沿任何方向的方向导数均存在，且=（其中，分别为与轴和轴正向的交角，为的方向余弦）且，.梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数变化最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值.7、多元函数的极值（1）多元函数极值的概念与一元函数完全一样，函数在一点取得极值的含义就是必须大于（或小于）它在的某个邻域上的所有值，只是一元函数中的邻域是一维的区间，而二元函数是二维平面区域.可导函数在取得极值的必要条件是，．由于它们仅仅是必要条件，所以满足，的点不一定是极值点，但是可以肯定，凡不满足这两个条件的点就一定不会是极值点.换句话说，即这两个条件虽然不能用来肯定极值点，但却可起到筛选极值点的作用.因此，我们又引出驻点概念，并给出判定极值点的充分条件.（2）多元函数最值与拉格朗日乘数法在实际问题中，需要我们解决的往往是求函数在特定的有界闭区域上的最大值与最小值.我们知道，在有界闭区域上连续函数必有最大值与最小值，它们既可以在闭域内部取得，也可在边界上取得.与一元函数一样，如果在闭域内取得，则它一定也是极大值或极小值.值得注意的是，函数的最大值或最小值也可在函数不可导的点处取得.例如函数在原点处不可导，但它在原点得最大值1. 因此，求连续函数在有界闭域上的最大值、最小值的方法是：①计算出函数在区域内所有驻点、不可导的点（即所有的临界点）处的值；②将①中的这些值与区域边界上函数的最值一起加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.③在求最大、最小值的实际问题中，目标函数的各自变量之间往往还有附加的约束条件，这就形成了条件极值的概念.一般说来，条件极值问题可以化为无条件极值问题来处理，方法是利用约束条件将目标函数中多余的自变量消去，使之成为求另一个新的目标函数的无条件极值问题.但这种转化往往有一定的困难，这时我们可引入所谓拉格朗日乘数，它与目标函数及约束条件中的函数构成拉格朗日函数，把其中的乘数也看成是一个变量，然后按无条件极值写出求极值的必要条件，由此即可得到一组求解驻点的联立方程组：拉格朗日乘数法的优点在于引进了拉格朗日乘数后，可以把中的变量都当作自变量，然后按无条件极值写出形式完全对称的必要条件.因此，这个方法还便于推广到有多个约束条件的情形.。
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
多元函数微分学
r = r (u0 , v) , 所有这样的 u曲线和 v曲线构
上的参数曲线网 参数曲线网， 成曲面 S 上的参数曲线网， 而影射 r 将
uov 平面上的区域 D 变成 R 3 中的曲面 S.
z
= R sin ϕ sin θ
ϕ
o
P( x, y, z)
z = OP cos ϕ
= R cos ϕ
R
ϕ R y
R
y
x
x
θ
M
( x , y, 0)
的球面参数方程： 于是得半径为 R 的球面参数方程：
r = r (ϕ ,θ ) = { R sin ϕ cosθ , R sinϕ sinθ , R cosϕ }
= rv′ ( u0 , v ) v0
19
曲面S 在点P (u0 , v0 )处的v曲线的切向量 0
r
v0
N
u = u0
P0 = r (u0 , v0 )
S
v = v0
o
20
满足
ru′ × rv′
P0
P0
( u0 , v 0 )
≠ 0,
′ 这说明 ru × rv′
n
P0
是个确定了方向的向量,且 是个确定了方向的向量 且
曲线： 得球面的 ϕ曲线： 一族以球心为圆心的大 的交线(经线 经线)。 圆——是球面与射面θ = θ 0 的交线 经线 。 是球面与射面 正螺面的参数方程。 例4 正螺面的参数方程。 或
x = u ⋅ cos( 0 .3 v ) y = u ⋅ sin( 0 .3 v ) z = 4v
关于多元微分学的几点注记
关于多元微分学的几点注记多元微分学是微积分的一个重要分支，它研究多元函数的微分和积分问题。
在实际应用中，多元微分学具有广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等各个领域。
本文将就多元微分学的几个重要概念和定理进行简要的介绍和注记。
1. 多元函数的偏导数在多元微分学中，我们首先需要了解多元函数的偏导数的概念。
一个多元函数可以写成f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn分别表示自变量。
多元函数的偏导数就是指在函数f(x1, x2, ..., xn)中，对其中的一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数来进行求导的过程。
对于函数f(x, y)，我们可以分别求关于x和y的偏导数，表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。
通过对多元函数的偏导数计算，我们可以得到函数在不同方向上的变化率，从而对函数的性质进行更深入的研究。
2. 梯度梯度是多元函数微分学中的一个重要概念，它是一个向量，表示了函数在每个方向上的变化率。
对于一个二元函数f(x, y)，其梯度记为grad f(x, y)或者∇f(x, y)，表示为一个向量(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
梯度的方向就是函数增长最快的方向，而梯度的模长则表示了增长的速率。
梯度在实际问题中具有重要的物理意义，比如在物理学中描述了力场的方向和大小，对于优化问题中也有着重要的应用。
3. 雅可比矩阵雅可比矩阵是多元函数微分学中的另一个重要概念。
对于一个由n个变量决定的m个函数的向量值函数，其雅可比矩阵是一个m×n的矩阵，表示了这些函数在各个变量上的偏导数。
雅可比矩阵在矢量微积分、微分几何中有广泛的应用，也是求解偏微分方程和积分方程的重要工具。
雅可比矩阵的性质和计算方法对于深入理解多元函数的微分学具有重要的意义。
在多元微分学中，我们也需要对多元函数进行积分运算。
对于二元函数f(x, y)，其二重积分可以表示为∬f(x, y)dxdy，表示在xy平面上对函数f(x, y)所在的区域进行积分的运算。
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
第五章多元函数微分学讲解
第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。
05多元复合函数微分法62640
例
求 z , z . x y
zu x
vy
解
z z u z v y u y v y
eusinv2x2yeucovs(1)
ex2y2(2 x2ysixn y)( co x sy)) (
例
设 F(x, y) e xy t3 dt (x0,y0) 0
求 F , F .
x y
F
u
x
y
解
令 u
xy , 则 F(u) e u t3 dt 0
关于 u 的 一元函数
F dF u eu3
x du x
2
y xy
1 e ( 2
xy)3
y x
F d F u eu3 x 1 e ( xy)3 x
y du y
2 xy 2
y
例
设 zf(x2y2, ex)y,求 z 。
x
1
解
z
2
x
自
z 己
y y 做
xz f1
(x2 y2) x
f
2
(e xy ) x
高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
（三）
多元微积分学
第一章 多元函数微分学
教案编写：曾 刘金 楚平 中 电子制作：曾 刘金 楚平 中
第一章 多元函数微分学
本章学习要求：
1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。
在点 (x1,,xn)处可导, 且
u m u vi
x j i1 vi x j
(j1,2,,n)
例
多元函数微分学
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C .
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4 yf11
yf
22
.
例4 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
(
f
,
具有一阶连续偏导数
)，且
z
0, 求
du . dx
解
du dx
f x
f y
dy dx
f z
dz dx
,
显然 dy cos x, dx
求 dz , 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
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例6. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w f2 yz x y z f 2 ( x y z, x y z ) 2w f12 x y f 22 x y x z 2 f z f y f 2 f f11 ,y引入记号 x ( x z ) f12 f y ,22f 2 , 为简便起见 1 12 u u v
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
例 3 求由方程xy sin z y 2 z所确定的隐函数 z f ( x, y )
t
v
t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
二、方程组的情形
定义 : 设给定方程
如果对D中每一点X都有唯一确定的y值: y=f(X)与之 对应, 使得
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, (不管它是否有显式表示)
Fy Fx z y z x 1 , . x Fz 2 cos z y Fz 2 cos z z y sin z 2 y 2 sin z z y x , ( ) 3 2 2 (2 cos z ) x x 2 cos z (2 cos z ) z (2 cos z ) y sin z 2 2 z z y y ( ) xy yx y 2 cos z (2 cos z ) 2 (2 cos z ) 2 ( x 1) y sin z , 3 (2 cos z ) 2 z ( x 1) 2 sin z . 2 3 y (2 cos z )
( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
( cos y x )
2
3
x0 y0 y 1
定理2 .若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
2 ( y x sin y cos y ) e
4
例4. 设 z ( x 2 y 2 ) xy 求偏导数 z , z . x y 解: 令u x 2 y 2 , v xy
z z u x u x u v ln u y v u v1 2 2x y 2 2 xy (x y ) [ 2 y ln( x 2 y 2 )], x y2 z 2 xy 2 2 2 ( x 2 y 2 ) xy [ 2 x ln( x y )] 2 y x y
的二阶偏导数.
解 设F ( x, y, z ) xy sin z y 2 z, Fx( x, y ) y, Fy( x, y ) x 1, Fz( x, y ) cos z 2, 容易验证它满足定理2的全部条件, 所以,
Fy Fx z y z x 1 , . x Fz 2 cos z y Fz 2 cos z
练习 1 设
求f x, f xx , f xy.
练习 2 设
且f具有二阶连续
练习 3 设g(r)有二阶导数,
2 f 2 f 1 求证： 2 2 g (r ) g (r ). x y r
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
3 多元复合函数的微分法
一、复合函数求导法则 二、多元复合函数的全微分
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
可微, 则复合函数(实际为一元函数)
在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t
z
u
使得F ( x, f ( x)) 0, 且f (0) 0.
Fx( x, y ) y 2 x ln 2 f ( x) Fy( x, y ) x 2 y ln 2
例2. 已知方程
确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
u x
z y
注意教材 P-76页打印错误
v yx y
例3. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
2
x2 y2 z 2
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“联线相乘, 分线相加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2. 全微分形式不变性
2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
4 隐函数的微分法
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
口诀 : 联线相乘, 分线相加, 单路全导, 叉路偏导
练习. 设 z ln(u v) , u e , v x 2 y , 求 z , z . x y z v z 解: x v x 1 2u 2 2 2x z u v u v
2 x y 2
f f 注意教材 P-76页打印错误 练习：设z f ( x y , xy ), 求 , . x y
例5. 设 u v . 求 x x
解: 令 xy , x xy , 则 u f ( x, ), v g ( ). u x v x
是连续可微函数,
2 x sin y
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
u f f z y y z y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z 2
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 7. 利用全微分形式不变性再解例2. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足
1
① 具有连续的偏导数; 即 F ( x , y ) C ( D) ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx ( x, y ) dy dx Fy ( x, y )
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
例1 验证方程F ( x, y) xy 2 x 2 y 0在点(0,0) 的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数yf(x), 并 求这函数的一阶导数. 解 Fx( x, y ) y 2 x ln 2, Fy( x, y ) x 2 y ln 2 在点(0,0)的邻域连续, 且 F(0, 0)0, Fy(0,0) ln 2 0. 由隐函数存在定理, 方程F ( x, y) xy 2 x 2 y 0在点x 0 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数yf(x),
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
所以 例2 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y