导数及其应用综合检测综合测试题(有答案)

导数及其应用综合检测综合测试题（有答案）第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010•全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案] A [解析] y′＝2x＋a，∴y′|x ＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint D．v＝2sint ＋2cost＋1 [答案] A [解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A. 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D. 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( ) A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案] B [解析] y＝x|x(x－3)|＋1 ＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1(0≤x≤3) ∴y′＝3x2－6x (x<0或x>3)－3x2＋6x (0≤x≤3) x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ��无极值��极大值5 ��极小值1 ��∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1 故应选B. 5．(2009•安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1. 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] D [解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D. 7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令F(x)＝f(x)•g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0. 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0 于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)•g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D. 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案] B [解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B. 9．(2010•湖南理，5)241xdx等于( ) A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2 [答案] D [解析] 因为(lnx)′＝1x，所以 241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是( ) A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．以上皆不正确 [答案] D [解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28 ＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D. 11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( ) A．有最大值152 B．有最大值－152 C．有最小值152 D．有最小值－152 [答案] B [解析] 由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立．所以f′(－1)≤0f′(2)≤0 即2b－c－3≥04b＋c＋12≤0 令b＋c＝z，b＝－c＋z，如图过A－6，－32得z最大，最大值为b＋c＝－6－32＝－152.故应选B. 12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有( ) A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C [解析] 令F(x)＝f(x)g(x) 则F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)<0 f(x)、g(x)是定义域为R 恒大于零的实数∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，f(x)g(x)>f(b)g(b) ∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故应选C. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.－2－1dx(11＋5x)3＝________. [答案] 772 [解析] 取F(x)＝－110(5x＋11)2，从而F′(x)＝1(11＋5x)3 则－2－1dx(11＋5x)3＝F(－1)－F(－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________． [答案] a≥0 [解析] f′(x)＝ax－1x′＝a＋1x2，由题意得，a＋1x2≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥－1x2，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0. 15．(2009•陕西理，16)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________． [答案] －2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． k＝y′|x＝1＝n＋1，∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，x＝nn＋1，∴an＝lgnn＋1，∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100 ＝lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2. 16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________． [答案] 23＋ln2 [解析] 由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1) 由x＝2y＝1x得交点B2，12. 故所求面积S＝01xdx＋121xdx ＝23x3210＋lnx21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010•江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值． [解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x)＝1x－12－x＋a， (1)当a＝1时，f ′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)； (2)当x∈(0,1]时，f ′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12. 18．(本题满分12分)求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积． [解析] 由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2. 由图可知，所求图形的面积为S＝02(2x－x2)dx＋|02(2x2－4x)dx|＝02(2x－x2)dx－02(2x2－4x)dx. 因为x2－13x3′＝2x－x2， 23x3－2x2′＝2x2－4x，所以S＝x2－13x320－23x3－2x220＝4. 19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． [分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以f′(2)＝0，f(2)＝8.即3(4－a)＝0，8－6a＋b＝8. 解得a＝4，b＝24. (2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x ＝±a. 当x∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝12x2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3. [解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝x＋1x，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g(x)＝23x3－12x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－1x，∵当x>1时，g′(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x>0，∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝16>0，∴当x>1时，12x2＋lnx<23x3. 21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a. (1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围． [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值为－34. (2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a，当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>52. 22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)． (1)若函数y＝f(x)在区间0，23上递增，在区间23，＋∞上递减，求a的值； (2)当x∈[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈32，＋∞，求θ的取值范围； (3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由． [解析] (1)依题意f′23＝0，由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－3232＋2a•23＝0，即a＝1. (2)当x∈[0,1]时，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23. 由a∈32，＋∞，得a3∈12，＋∞. ①当a3∈12，1，即a∈32，3时，f′(x)max ＝a23， f(x)min＝f′(0)＝0. 此时0≤tanθ≤a23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)时，f′(x)max＝f′(1)＝2a－3，f′(x)min ＝f′(0)＝0，此时，0≤tanθ≤2a－3. 又∵θ∈[0，π)，∴当32<a≤3时，θ∈0，arctana23，当a>3时，θ∈[0，arctan(2a－3)]． (3)函数y＝f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3个不等实根，∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0，显然x＝0是其中一个根(二重根)，方程x2－4x＋(1－m)＝0有两个非零不等实根，则Δ＝16－4(1－m)>01－m≠0 ∴m>－3且m≠1 故当m>－3且m≠1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点．。

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导数应用测试题及参考答案

导数应用测试题一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分) 1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于（）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．)('0x f --D ．)(0x f -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于（） A ．32 B ．23C ．3D ．2 3．曲线x x y 33-=上切线平行于x轴的点的坐标是（）A ．（-1，2）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（-1，2）或（1，-2） 4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角5．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－1D ．5，－166．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为（）A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为（） A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f9．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -1610．抛物线y=x 2到直线x-y-2=0的最短距离为（）A ．2B 。

人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

导数及其应用测试题(有详细答案)

12.已知函数f{x)=x3+ax2+bx+a2在ul处有极值为10,则犬2)等于.JT13.函数y=尤+2cosx在区间[0,—]±的最大值是14.已知函数fM=x3+ax在R上有两个极值点，则实数。

的取值范围是15.已知函数八尤)是定义在R上的奇函数，/(1)=0,二⑴；'3)>0危>0),则不等式%x2f(x)>0的解集是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.设函数/(x)=2x3+3破2+3笊+8c在x=1刚好工=2取得极值.(1)求。

、b的值；(2)若对于随意的xg[0,3],都有/(x)<c2成立，求c的取值范围.17.已知函数f(x)=2x3-3x2+3.(1)求曲线y=f(x)在点工=2处的切线方程；(2)若关于工的方程/(x)+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.18.设函S/W=x3-6x+5,x e R.(1)求f(x)的单调区间和极值；《导数及其应用》一、选择题1.r（x0）=o是函数y（尤）在点气处取极值的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、设曲线y=x2+l在点（x,/（x））处的切线的斜率为g（x）,WI函数>=g（x）cosx的部分图象可以4.若曲线y=x2+ax+b在点（0,方）处的切线方程是x-j+l=0,贝！|（）A.q=L b=lB.a=—1,b=lC.g=L b=—1D.a=—1,b=—15.函数/（x）=x3+ttx2+3x—9,已知处）在x=—3时取得极值，则0等于（）A.2B.3C.4D.56.设函数f⑴的导函数为扩（x）,且/（x）=x2+2x-r（l）,则广（0）等于（）A、0B>-4C、-2D、27.直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数。

的值为（）A.-1B.eC.In2D.18.若函数f（x）=x3-12x^区间以-盘+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A.kJ—3^4—1■ k<23B.—3<上<—l^（il<k<3C.-2<k<2D.不存在这样的实数k9.函数f（x）的定义域为（m）,导函数/（%）在（。

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案)

第一章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x D ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B. 4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)，∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a 0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符；由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )> f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0， ∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x 得交点B ⎝⎛⎭⎫2，12. 故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2(a ＋1)x ＋2a x ＝2(x －1)(x －a )x (x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2(x －1)2x ≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 在[1,2]上为单调减函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意f ′(x )＝1x －a(x ＋1)2，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(x －2)(2x －1)2x (x ＋1)2.∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数，又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x －a(x ＋1)2＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥(x ＋1)2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x 2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272，即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝3(3－t )4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：所以当t ＝解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝12(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)． g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g (3)＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( ) A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0， ∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f (x ＋3)>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f (x ＋3)<0.(2) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程．[解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值．[解析](1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f(x)＝ax2＋2在x＝1处的切线与直线2x－y ＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x、x＝0、x＝1、x＝2所围成的平面图形的面积．[解析](1)由已知得：f′(1)＝2，求得a＝1，∴f(x)＝x2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是： S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。

函数、导数及其应用综合测评试题(含答案)

高中数学阶段综合测评试题测试范围：函数、导数及其应用 (时间：120分钟满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·浙江杭州七校联考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P 0(1＋k )n (k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变3．(2013·云南第一次统检)已知f (x )的定义域为(－2,2)，且f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3＋ln 2－x 2＋x，－2<x ≤1－4x 2－5x ＋23，1<x <2，如果f [x (x ＋1)]<23，那么x 的取值范围是( )A ．－2<x <－1或0<x <1B ．x <－1或x >0C ．－2<x <－54 D ．－1<x <04．(2013·大连双基测)已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为( )A ．2k (k ∈Z )B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z ) C ．0D ．2k 或2k －14(k ∈Z )5．函数y ＝log 2|x |x 的大致图象是()6．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 7．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94πD.92π8．(2013·安徽联谊中学联考)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (－2)与f (2)B ．f (－1)与f (1)C ．f (2)与f (－2)D ．f (1)与f (－1)9．(2013·东北三校第一次联考)已知f (x )＝ln x1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( )①f (x 0)<x 0 ②f (x 0)＝x 0 ③f (x 0)>x 0 ④f (x 0)<12 ⑤f (x 0)>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤10．(2013·石家庄一模)已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12f (ln 2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．b >a >c11．(2013·陕西省咸阳市高三模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c12．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞).则满足f (x )＝14的x 值为________．14．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________．15．(2013·云南第一次统检)已知f (x )＝x 3－mx 2＋43mx ＋2 013在(1,3)上只有一个极值点，则实数m 的取值范围为________．16．(2013·山东济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求实数m 的取值范围． 19．(12分)如图所示，四边形ABCD 表示一正方形空地，边长为30 m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； (3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？20．(12分)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中m >0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围． 21．(12分)(2013·石家庄一模)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2，求证：0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2.22．(12分)(2013·石家庄质量监测)设函数f (x )＝x －1e x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(1)设函数f (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值；(2)设函数g (x )＝⎩⎨⎧0，(x ＝0)，1f (x ).(x ≠0)，如果x 1≠x 2，且g (x 1)＝g (x 2)，证明：x 1＋x 2>2.阶段综合测评详解答案1．A 由幂函数的性质可知α＝1或3.2．B 由于－1<k <0，所以0<1＋k <1，因此P n 为关于n 的递减函数．故选B.3．A 依题意得，函数y ＝2x ＋3＋ln 2－x 2＋x ＝2x ＋3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上是减函数(注：函数y ＝2x ＋3、y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上均是减函数)；函数y ＝－4x 2－5x ＋23在(1,2)上是减函数，且21＋3＋ln 2－12＋1＝12－ln 3>－4×12－5×1＋23，因此函数f (x )在(－2,2)上是减函数，且f (0)＝23，于是不等式f [x (x ＋1)]<23＝f (0)等价于0<x (x ＋1)<2，由此解得－2<x <－1或0＜x ＜1，选A.4．D 令g (x )＝0得f (x )＝x ＋m .(1)先考虑f (x )在0≤x ≤1时的函数图象，因为两个端点为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y ＝x ＋0；(2)考虑直线y ＝x ＋m 与0≤x ≤1时的f (x )＝x 2的图象相切，与1＜x ≤2时的函数图象相交也是两个交点，仍然有两个零点．可求得此时切线方程为y ＝x －14.综上根据周期为2，得m ＝2k 或m ＝2k －14(k ∈Z )．5．D y ＝log 2|x |x 为奇函数，其图象关于(0,0)对称，排除A ，B ；当x ＝2时，y ＝12>0，排除C ，故选D.6．C 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.7．C 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.8．A 由图可知：x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0； x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0； x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (－2)是f (x )的极大值，f (2)是f (x )的极小值．9．B f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ln x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x(1＋x )2＝－ln x ＋x ＋1(1＋x )2，由题意可知f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)，故f (x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 0(1＋x 0)1＋x 0＝x 0.令函数g (x )＝ln x ＋x ＋1(x >0), 则g ′(x )＝1x ＋1>0，故函数g (x )为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32>32－ln e ＝12>0＝g (x 0)． ∴x 0<12，即f (x 0)<12.故选B.10．D f ′(x )＋f (x )x ＝xf ′(x )＋f (x )x >0，即x >0时，x ·f ′(x )＋f (x )>0，即x >0时[xf (x )]′>0，x ·f (x )为增函数，又f (x )为奇函数，故0·f (0)＝0得：x ≥0时，xf (x )≥0，且为增函数；a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)，c ＝－ln 2f (ln 2)<0，故b >a >c ，选D.11．B ∵g (x )＝2x ，∴g ′(x )＝2. 令2a ＝2，∴a ＝1；h (x )＝ln x ，h ′(x )＝1x . 令ln b ＝1b ，设M (x )＝1x －ln x ，则M (1)>0，M (e)<0，∴12恒成立，所以f ′(x )≥2恒成立．又f ′(x )＝a x ＋x ，故ax ＋x ≥2即a ≥－x 2＋2x ，而g (x )＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a ≥1，故选A.13．3解析：当x ≤1时，由f (x )＝2－x＝14得x ＝2，不合题意；当x >1时，由f (x )＝log 81x ＝14得x ＝3，故满足f (x )＝14的x 值为3.14．2≤m <3解析：由题知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可．于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3. 15.92≤m <8114解析：依题意得f ′(x )＝3x 2－2mx ＋43m ＝0有两个不等的实根，且恰有一个根属于区间(1,3)，于是有①f ′(1)·f ′(3)<0，或②⎩⎨⎧f ′(1)＝0f ′(3)>0m 3>1，或③⎩⎨⎧f ′(1)>0f ′(3)＝0m 3>1.解①得92＜m <8114；解②得m ＝92；解③得，该不等式组的解集是空集．综上所述，满足题意的实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，8114.16．9 解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，在区间(3,6]上有4个零点，故在区间[0,6]上的零点个数是9.17．解：(1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．18．解：(1)设P 点坐标为(x ，y )，则Q 点坐标为(－x ，－y )． ∵Q (－x ，－y )在函数y ＝log a (x ＋1)的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )．这就是说，g (x )＝－log a (1－x )． (2)当x ∈[0,1)时，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x ) ＝log a 1＋x 1－x(a >1)．由题意知，只要m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log a1＋x 1－x min 即可， ∵F (x )＝log a 1＋x1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ∈(－∞，0]即为所求．19．解：(1)因为点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ，所以由平面几何知识得AM －3AM ＝9x ，解得AM ＝3xx －9(10≤x ≤30)．(2)由勾股定理，得MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2(x －9)2.因为MN ∶NE ＝16∶9，所以NE ＝916MN .所以S ＝MN ·NE ＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2(x －9)2，定义域为[10,30]．(3)S ′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x (x －9)2－9x 2(2x －18)(x －9)4＝98·x [(x －9)3－81](x －9)3，令S ′＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝9＋333. 当10≤x <9＋333时，S ′<0，S 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 为增函数．所以当x ＝9＋333时，S 取得最小值．20．解：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )>0时，－π<x <－π2或0<x <π2；当f ′(x )<0时，－π2<x <0或π2<x <π，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可．g ′(x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m >0)，①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0<m <2时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，∴g (x )<g (0)＝1，故0<m <2时不成立．综上m ≥2.21．解：(1)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立， a ≥－4.经检验，当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝2(x ＋2)(x －1)x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以满足题意的a 的取值范围为[－4，＋∞)．(2)证明：函数的定义域(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0，依题意方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不等的实根，记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎨⎧Δ>0g (－1)>0－12>－1，得0<a <12.下面有两种证法：证法一：∵x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12<x 2<0，f (x 2)x 1＝x 22－()2x 22＋2x 2ln (x 2＋1)－1－x 2，令k (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln (x ＋1)－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 k (x )＝－x 2x ＋1＋2x ln(x ＋1)，k ′(x )＝x 2(x ＋1)2＋2ln(x ＋1)，k ″(x )＝2x 2＋6x ＋2(x ＋1)3，因为k ″⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－12，k ″(0)＝2，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，使得k ″(x 0)＝0，k ′(0)＝0，k ′⎝ ⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2<0，∴k ′(x )<0，所以函数k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为减函数，k (0)<k (x )<k ⎝⎛⎭⎪⎫－12即0＜f (x 2)x 1<－12＋ln 2证法二：x 2为方程2x 2＋2x ＋a ＝0的解，所以a ＝－2x 22－2x 2，∵0<a <12，x 1<x 2<0，x 2＝－12＋1－2a 2，∴－12<x 2<0，先证f (x 2)x 1>0，即证f (x 2)<0(x 1<x 2<0)，在区间(x 1，x 2)内，f ′(x )<0，(x 2,0)内f ′(x )>0，所以f (x 2)为极小值，f (x 2)<f (0)＝0，即f (x 2)<0，∴f (x 2)x 1>0成立；再证f (x 2)x 1<－12＋ln 2，即证f (x 2)>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋ln 2(－1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2(x 2＋1)，x 22－(2x 22＋2x 2)ln(x 2＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2x 2>12－ln 2，令g (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0g ′(x )＝2x －(4x ＋2)ln(x ＋1)－2x (x ＋1)x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2，＝－2(2x ＋1)ln(x ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2，ln(x ＋1)<0,2x ＋1>0，12－ln 2<0，∴g ′(x )>0，g (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为增函数． g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×14－1ln 12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2 ＝14＋12ln 12＋14－12ln 2＝12－ln 2. 综上可得0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2成立．22．解：(1)f ′(x )＝x e x －e xx 2，则x >1时，f ′(x )>0；0<x <1时，f ′(x )<0. 知函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．当m ≥1时，函数f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，此时f (x )min ＝f (m )＝e mm . 当0<m <1时，函数f (x )在[m,1]上是减函数，在[1，m ＋1]上是增函数，此时f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：可得g (x )＝x e －x (x ∈R )，g ′(x )＝(1－x )e －x .所以g (x )在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．① 考查函数F (x )＝g (x )－g (2－x )，即F (x )＝x e －x ＋(x －2)e x －2，于是F ′(x )＝(x －1)(e 2x －2－1)e －x . 当x >1时，2x －2>0，从而e 2x －2－1>0，又e －x >0，所以F ′(x )>0，从而函数F (x )在[1，＋∞)是增函数．又F (1)＝e －1－e －1＝0，所以x >1时，有F (x )>F (1)＝0，即g (x )>g (2－x )．② 由①及g (x 1)＝g (x 2)，则x 1与x 2只能在1的两侧．不妨设0<x 1<1，x 2>1，由结论②可知，g (x 2)>g (2－x 2)，所以g (x 1)＝g (x 2)>g (2－x 2)．因为x 2>1，所以2－x 2<1，又由结论①可知函数g(x)在(－∞，1)内是增函数，所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.。

专题23导数及其应用综合检测题(解析版)

专题23导数及其应用综合检测题（解析版）一、单选题1．下列求导运算正确的是（） A ．()sin cos x x '=-B ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()1x x a xa -'=D．'=【答案】D 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，()sin cos x x '=，A 选项错误；对于B 选项，211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()ln x xa aa '=，C 选项错误；对于D选项，'=D 选项正确.故选：D. 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知f (x )=lnx ，则f ′(1e)的值为（） A ．1 B ．-1C ．eD ．1e【答案】C 【分析】利用导数的运算法则即可得出．【详解】由()ln f x x =，则()1f x x'=.试卷第2页，总17页所以111f ee e⎛⎫'== ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查具体函数在某处的导数值，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．属于基础题.3．设点P是曲线323y x =-+上的任意一点，点P 处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（）A ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， B ．5026πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．526ππ⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】A 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数323y x =+得23y x '=-≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 4．由曲线1y x=，直线1x =，2x =和x 轴所围成平面图形的面积为（） A ．12B ．ln 2C ．1D ．2ln 2【答案】B 【分析】利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【详解】12121ln ln 2S dx x x=⎰==，故选：B 【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.5．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x f x x x∆→--∆=∆，则()0f x '=（）A ．2B ．-1C ．1D ．-2【答案】A 【分析】根据导数的定义求解．【详解】()()()0000000[()]lim lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆．故选：A. 【点睛】本题考查导数的定义，()()0000()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，注意极限中形式的一致性．6．已知函数()3223m f x x x x =+-在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调递增区间，则m 的取值范围为（） A ．[)0,+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[)3,-+∞D ．11,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】求出导函数()241f x mx x '=+-，使导函数()0f x '≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，讨论m 的取值范围即可求解. 【详解】试卷第4页，总17页函数()3223m f x x x x =+-，()241f x mx x '=+-，由题意可知2410mx x +-≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，当0m ≥时，二次函数开口朝上，即2410mx x +-≥在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解成立，当0m <时，041093m ∆>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，即16401093m m +>⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得30m -≤<，综上所述，3m ≥-. 故选：C 【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围，考查了基本运算能力，属于基础题. 7．若函数()()32113132f x x ax a x =-+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．()6,2- B ．[]6,2-C ．()(),62,-∞-+∞D ．(][),62,-∞-+∞【答案】B 【分析】求导函数，利用函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，可得不等式，即可求实数a 的取值范围. 【详解】求导函数可得f ′（x ）＝x 2-ax +()3a -∵函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数， ∴△＝a 2﹣4()3a -≤0 ∴6-≤a ≤2；故选B 【点睛】本题考查利用导数处理单调性问题，考查二次不等式恒成立问题，属于基础题. 8．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D 【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.9．关于函数()=2x f x e -，下列结论正确的是（）试卷第6页，总17页A ．()f x 没有零点B ．()f x 没有极值点C ．()f x 有极大值点D ．()f x 有极小值点【答案】B 【分析】直接求得()f x 的零点，根据()f x 的导数，判断出()f x 的单调性，由此判断出()f x 极值点的情况. 【详解】令()0f x =，解得ln 2x =，所以()f x 有零点，所以A 选项不正确.()'0x f x e =>，所以()f x 在R 上递增，没有极值点，所以B 选项正确，CD 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数零点的判断，考查利用导数研究函数的极值点，属于较易题. 10．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线20x y --=的最短距离为（） ABC．3D【答案】D 【分析】过点P 做切线和直线20x y --=平行时距离最短，求导数令其等于1，找到点P 的坐标，再由点到直线的距离公式可得解. 【详解】当过点P 做切线和直线20x y --=平行时距离最短.2ln ,(0)y x x x =->，令121y x x'=-=，解得1x =，所以(1,1)P最短距离为：d ==故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题. 11．已知函数()ln 1f x x =-，若方程()xm xf x e-=在区间[]1,e 内有且仅有一个根，则实数m 的取值范围是（） A ．[]1,e e - B ．[],1e e + C ．(],1e -∞- D ．(),e -∞【答案】A 【分析】方程()xm x f x e-=即()ln 10xx e x m -+-=，引入函数()()[]()ln 11,x g x x e x m x e =-+-∈，()g x 有且仅有一个零点，求导函数()'g x ，再引入函数()[]()1ln 11,h x x x e x=+-∈，由()h x 的单调性确定()'g x 的正负，得()g x 的单调性，最大值和最小值，然后由零点存在定理列不等式得结论．【详解】解：方程()x m x f x e -=等价于ln 1xm x x e--=，等价于()ln 10xx e x m -+-= .令()()[]()ln 11,x g x x e x m x e =-+-∈，由题意知函数()g x 有且仅有一个零点，则()1ln 11x g x x e x ⎛⎫'=+-+⎪⎝⎭，令()[]()1ln 11,h x x x e x =+-∈，则()221110x h x x x x-'=-+=≥，所以函数()h x 在[]1,e 上单调递增，所以当[]1,x e ∈时，()()10h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 11g x g e m ==--，所以要使函数()g x 在区间[]1,e 内有且仅有一个零点，需()()min max 10,0,g x e m g x e m ⎧=--≤⎪⎨=-≥⎪⎩解得1e m e -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,e e -. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的范围；（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，然后数形结合求解.试卷第8页，总17页12．已知锐角1x ，2x 满足1212πsin cos 2x x x x -<+-，则下列结论一定正确的是（） A ．()112sin sin x x x <+B ．121tan tan 2x x x +> C ．1122sin cos sin cos x x x x +>+ D ．1212sin sin cos cos x x x x +>+【答案】D 【分析】结合已知条件，构造函数()sin f x x x =-，得：122x x π+>，根据选项，逐一验证即可. 【详解】1212πsin cos 2x x x x -<+-，即1122ππsin sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫-<---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，所以21ππ022x x <-<<，由sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，得21πsin sin 2x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即21cos sin x x <，同理可得12cos sin x x <，所以1212sin sin cos cos x x x x +>+ 故选：D 【点睛】解题关键在于利用1212πsin cos 2x x x x -<+-，变为1122ππsin sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫-<--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而构造()sin f x x x =-，再利用导数进行判断选项，难度属于中档题二、填空题13．曲线21()2x f x e x +=+在点()0,(0)f 处的切线方程为_____________ 【答案】(22)y e x e =++ 【分析】求出导数，进而利用导数的几何意义求出所求切线的斜率，再求出(0)f 即可写出切线的点斜式方程. 【详解】21()22x f x e +'=+，()022f e '∴=+，又(0)f e =，∴曲线()f x 在点()0,(0)f 处的切线方程为(22)y e x e =++. 故答案为：(22)y e x e =++ 【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线，属于基础题.14．已知a 为正实数，若函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值为_____ 【答案】12．【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得a ．【详解】由题意2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，∵0a >，∴0x <或2x a >时，()0f x '>，02x a <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞上递增，在(0,2)a 上递减， ()f x 的极小值是332(2)81220f a a a a =-+=，解得12a =（0a =舍去）．故答案为：1215．函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞ 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3xxxxf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】试卷第10页，总17页本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 16．已知函数()xf x x e -=⋅，()21ln 2g x x x a =-+，若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______.【答案】2211ln 22,2ee ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦ 【分析】“若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =”转换为集合交集非空，分别根据导数求()f x ，()g x 的值域，进一步求出答案.【详解】因为()xf x x e -=⋅所以()1xx xf x ex e xe --'=⋅--=当[]1,2x ∈，()0f x '≤，所以()f x 单调递减，()221f x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为()21ln 2g x x x a =-+，所以()g x '211x x x x-=-=，当[]1,2x ∈，0g x，所以()g x 单调递增，()1,2ln 22g x a a ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦因为[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =，所以222ln 2112a e a e ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩所以2211ln 22,2a e e ⎡⎤∈+--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2211ln 22,2ee ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题. 本题主要是转换的思想，“若[]12,1,2x x ∃∈，使得()()12f x g x =”可以转换为集合交集非空.三、解答题17．已知函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）1；（2）3-. 【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a 的值；（2）求导，求出[2,1]x ∈-时的极值，比较极值和(2)(1)f f -、之间的大小的关系，最后求出函数的最小值. 【详解】（1）3'2()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；（2）由（1）可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒，当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处取得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--，3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力. 18．已知函数()322f x x mx nx m =+++在1x =-处取得极值1-．（1）求m 、n 的值；（2）求()y f x =在()()1,1f 处的切线方程．【答案】（1）39m n =⎧⎨=⎩；（2）245y x =-.【分析】（1）由题意得出()10f '-=，()11f -=-，可得出关于m 、n 的方程组，解出即可；（2）计算出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.试卷第12页，总17页【详解】（1）()322f x x mx nx m =+++，则()234f x x mx n '=++，由题知()10f '-=，()11f -=-，()()()2331410121m n m n m ⎧⨯-+⨯-+=⎪∴⎨-+-+=-⎪⎩，即34030m n m n -+=⎧⎨-=⎩，解得39m n =⎧⎨=⎩. 检验：当3m =，9n =时，()()()23129313f x x x x x '=++=++，当3x <-或1x >-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<. 所以，1x =-是函数()y f x =的极小值点，合乎题意. 综上所述，3m =，9n =；（2）由（1）知()32693f x x x x =+++，()23129f x x x '=++，则()119f =，()124f '=，因此，所求切线方程为()19241y x -=-，即245y x =-. 【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数求函数图象的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题. 19．设函数13()ln 122f x a x x x =+++，其中在a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 极值．【答案】（Ⅰ）1a =- （Ⅱ）极小值(1)3f = 【分析】（Ⅰ）因13()ln 122f x a x x x =+++ ，故213()22a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即()01f '= ，从而13022a -+= ，解得1a =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知13()ln 1(0)22f x x x x x =-+++>，2113()22f x x x -'=-+ 222321(31)(1)22x x x x x x --+-==令()0f x '=，解得1211,3x x ==-（因213x =- 不在定义域内，舍去）当(0,1)x ∈ 时，()0f x '< 故()f x 在(0,1)上为减函数；当(1,)x ∈+∞ 时，()0f x '> 故()f x 在(1,)+∞上为增函数，故()f x 在1x = 处取得极小值(1)3f =本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力【详解】20．已知函数()()32269f x x ax a x a R =-+∈．()1当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；()2当1a ≥时，若对任意[]0,3x ∈都有()27f x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）380x y +-=；（2）1a ≤≤【分析】(1)把1a =代入原方程可得()3269f x x x x =-+，可得()2'3129f x x x =-+，()()22'23f f ==-，，可得函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；(2)()()()()22'3129331f x x ax a x a x a a =-+=--≥可得，分3a ≥，13a ≤<两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意[]0,3x ∈都有()27f x ≤，可得a 的取值范围. 【详解】解()1当1a =时，()3269f x x x x =-+，()2'3129f x x x =-+，()22f ∴=，()'23k f ==-，切线方程为：()232y x -=--，试卷第14页，总17页整理得：380x y +-=．()()()()()222'3129331f x x ax a x a x a a =-+=--≥．()f x ∴在()0,a 上单调递增；在(),3a a 上单调递减；在()3,a +∞上单调递增．当3a ≥时，函数()f x 在[]0,3上单调递增．∴函数()f x 在[]0,3上的最大值是()23275427f a a =-+，由题意得227542727a a -+≤，解得：02a ≤≤，3a ≥，∴此时a 的值不存在；当13a ≤<时，33a a <≤，此时()f x 在()0,a 上递增，在(),3a 上递减．∴函数()f x 在[]0,3上的最大值是()3333694f a a a a a =-+=，由题意得3427a ≤，解得：a ≤综上，a的取值范围是12a ≤≤．【点睛】本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用. 21．设()()ln 1x a x f x x +=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值；（2）若[)1,x ∀∈+∞，不等式()()11x fx m x x x +⎛⎫⋅-⎪⎝⎭≤恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）0a =；（2）12m ≥. 【分析】（1）利用两直线垂直得斜率乘积为1-，可得()112f '=，即可求解. （2）原不等式可化为1ln x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭对[)1,x ∀∈+∞恒成立，构造函数 ()1ln g x x m x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，将问题转化为[)1,x ∀∈+∞，()0g x ≤恒成立，再利用导数研究函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，求出()g x 最大值即可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()()()()2ln 1ln 1x a x x x a x x f x x +⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭'=+，因为直线210x y ++=的斜率为2-，所以()112f '=，所以()21142a +=，所以0a =. （2）由（1）得：()ln 1x xf x x =+，由()()11x fx m x xx +⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭≤可得：1ln x m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对[)1,x ∀∈+∞恒成立，设()1ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，即[)1,x ∀∈+∞，()0g x ≤，而()222111mx x m g x m x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，①若0m ≤，()0g x '>，()()10g x g ≥=，这与题设矛盾，舍去. ②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-，当0∆≤，即12m ≥时，()0f x '≤,且当且仅当1x =时，()0f x '=,所以 ()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即不等式成立. 当0∆>，即102m <<时，方程有两根，分别记为1x ，2x ，由韦达定理得： 1210x x m+=>，1210x x =>，所以：1201x x <<<；当()21,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()()10g x g >=，与题设矛盾，舍去.综上得：12m ≥. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求试卷第16页，总17页()g x 的最值即可.22．己知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数).()sin cos h x x x =+. （1）求证：函数()f x 在(0,]a b +内至少有一个零点；（2）设函数()f x 在3x π=处有极值，对于一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x h x >恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞. 【分析】（1）根据零点存在性定理，证明()00f ≠且()()00f f a b +≤即可；（2）利用导数研究极值得到a 的值，利用分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，利用导数研究相应函数的单调性，求得相关最值，根据不等式恒成立的意义得到b 的取值范围. 【详解】解：（1）证明：(0)0f b =>()sin()[sin()1]0f a b a a b a b b a a b +=+--+=+- (0)()0f f a b ∴+所以函数f (x )在(0,]a b +内至少有一个零点；（2）()cos 1f x a x '=-由已知得：03f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝所以2a =，所以()2sin f x x x b =-+不等式()()f x h x >恒成立可化为：sin cos x x x b -->-，记函数()sin cos ,0,2g x x x x x π⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦()cos sin 121,0,42g x x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎣'⎭⎦12sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()0g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，最小值为(0)1g =-所以1b >，所以b 的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】（1）中关键是注意题设区间左开右闭，仅有()()00f f a b +≤,是不足以保证在(0,1]上存在零点的，需要说明()00f ≠；（2）关键是利用导数判定()sin cos ,0,2g x x x x x π⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的单调性，并求得最小值,注意结合三角函数的辅助角公式和性质对()'g x 的正负进行研究，从而得到()g x 的单调性，进而得到最小值.。

导数及应用综合练习(经典题目)

导数及应用综合练习（经典题目）一．选择题（共11小题）1．曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．12．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣3．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．4．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）5．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）7．函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜08．若函数f（x）＝x2+ax+在是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）9．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）10．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1B．1，﹣17C．3，﹣17D．9，﹣1911．已知函数f（x）＝﹣ax，x∈（0，+∞），当x2＞x1＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，e）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，e]二．填空题（共8小题）12．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x3+f′（）x2﹣x，则f′（1）＝．13．已知函数f（x）＝，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（1）＝．14．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．15．已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是．17．已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为．18．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为．19．设定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式e x﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为．三．解答题（共7小题）20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．21．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．23．已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．24．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．25．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）探究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≥m+1﹣x在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．26．已知函数．（1）若f（x）在x＝2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求证：当x＞1时，．。

人教版导数及其应用多选题测试综合卷学能测试试卷

人教版导数及其应用多选题测试综合卷学能测试试卷一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论．【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||PQ =2ln 22<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>，∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-，函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<，则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<，由零点存定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点，即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．3．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（） A ．cos 2x x π+D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确，对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数，令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增，其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确；对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<，所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=，即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.4．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.5．已知函数()()2214sin 2xxe xf x e -=+，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+，则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.6．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin3π142e4eg--⎛⎫-==-⎪⎝⎭，当3π4112ea--<-时，即3π42e0a-<<时，函数()g x与1=-ya无交点，即()f x在()π,-+∞不存在零点，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.7．已知()2sinxf x x xπ=--.（）A．()f x的零点个数为4 B．()f x的极值点个数为3C．x轴为曲线()y f x=的切线D．若()12()f x f x=，则12x xπ+=【答案】BC【分析】首先根据()0f x'=得到21cosxxπ-=，分别画出21xyπ=-和cosy x=的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】()21cosxf x xπ'=--，令()0f x'=，得到21cosxxπ-=.分别画出21xyπ=-和cosy x=的图像，如图所示：由图知：21cosxxπ-=有三个解，即()0f x'=有三个解，分别为0，2π，π.所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.8．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．故选：CD．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．。

期末专题02 导数及其应用大题综合(精选30题)(解析版)-备战期末高二数学

期末专题02导数及其应用大题综合（精选30题）1．（22-23高二下·江西·期末）已知函数()()2ln 21f x x x f x '=+.(1)求()1f '的值；(2)求()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程.【答案】(1)2-(2)222e 0x y --=【分析】（1）求出函数的导函数，再代入1x =计算可得；（2）由（1）可得()2ln 4f x x x x =-，求出()2e f ，()2e f '，再由点斜式求出切线方程.【详解】（1）因为()()2ln 21f x x x f x '=+，所以()2ln 22(1)f x x f ''=++，代入1x =得：()()()12ln1221221f f f '''=++=+，所以()12f '=-.（2）由（1）可得()2ln 4f x x x x =-，则()2ln 2f x x '=-所以()22222e ln e 4e 0e f =-=，()222ln e 22f =-=，所以切线方程为202(e )y x -=-，即222e 0x y --=.2．（22-23高二下·安徽亳州·期末）设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a b ，的值；(2)设函数()()g x f x '=，求()g x 的极值点；【答案】(1)1,1a b =-=(2)()g x 的极大值点为0和33【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论求出()g x ，再利用导数求出极值点作答.【详解】（1）函数3R ()e ,ax b f x x x x +=-∈，求导得()()2313e ax bf x a x x ++'=-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+，于是(1)110f =-+=，(1)1f '=-，则()311e 013e 1a ba ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以1,1a b =-=.（2）由（1）得()()()23113e x f x x g x x -+='-=-，求导得()()1266e x x g x x x -+'+-=-，令2660x x -+=，解得3x =±1e 0x -+>成立，由()0g x '<，得03x <<3x >+，函数()g x 递减；由()0g x '>，得0x <或33x <<，函数()g x 递增，所以()g x 的极大值点为0和33.3．（22-23高二下·安徽合肥·期末）函数()e ln x f x x =-，()f x '是()f x 的导函数：(1)求()f x '的单调区间；(2)证明：()2f x >．【答案】(1)()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间(2)证明见解析【分析】（1）对()()g x f x '=求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间；（2）由（1）知()f x '单调递增区间为()0,∞+，然后根据零点存在性定理可得存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0xf x x '=-=，从而可求得()f x 的单调区间和最小值，进而可证得结论.【详解】（1）由()e ln x f x x =-，得()()1e 0xf x x x '=->，令()()()1e 0xg x f x x x '==->，则()210x g x x'=+>e 恒成立，所以()f x '单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；（2）由（1）知()()1e 0xf x x x'=->，()f x '单调递增区间为()0,∞+，因为121e 202f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0xf x x '=-=，所以当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在区间()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000min 01e 2ln x f x f x x x x ==-=+≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号取不到，所以()2f x >，得证．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，第（2）问解题的关键是根据函数的单调性结合零点存在性定理可求得函数的最值，考查数学转化思想，属于中档题.4．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知函数32()f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数()y f x =在区间()2,2-上的单调性．【答案】(1)1a =-；1b =(2)在12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()1,2上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.【详解】（1）令0x =，由1y x =-+，则()10y f ==，由()32f x x x ax b =-++，可得(0)1==f b ．又2()32f x x x a '=-+，所以(0)1f a '==-.（2）由（1）可知32()1f x x x x =--+，()()2()321311f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>，解得13x <-或1x >；令()0f x '<，解得113-<<x ，所以()f x 在1(2,)3--和(1，2)上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．5．（22-23高二下·安徽合肥·期末）已知函数()sin 2()f x x ax a =--∈R ．(1)当12a =时，讨论()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性；(2)若当0x ≥时，()e cos 0xf x x ++≥，求a 的取值范围．【答案】(1)()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减(2)(,2]-∞【分析】（1）求导，由导数正负即可求解（2）利用导数求证e 1x x ≥+和sin x x ≥，即可结合零点存在性定理求解.【详解】（1）当12a =时，1()sin 22f x x x =--，1()cos 2f x x '=-，当ππ32x <≤时，()0f x '<；当π03x ≤≤时，()0f x '≥．所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.（2）设()e sin cos 2x h x x x ax =++--，由题意知当0x ≥时，()0h x ≥．求导得()e cos sin x h x x x a '=+--．设()e cos sin x x x x a ϕ=+--，则()e sin cos x x x ϕ=--，令e 1x y x =--，则e 1x y '=-，当0,0,x y '>>当0,0,x y '<<故函数e 1x y x =--在()0,∞+单调递增，在(),0∞-单调递减，所以e 1x x ≥+；令()sin m x x x =-，可得()1cos 0m x x '=-≥，故()m x 在0x ≥单调递增时，sin x x ≥．所以当0x ≥时，()e sin cos 1cos 1cos 0x x x x x x x x ϕ'=--≥+--=-≥．故()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，min ()(0)2x a ϕϕ==-，且当x →+∞时，()x ϕ→+∞．若2a ≤，则()()0h x x ϕ'=≥，函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，因此[0,)x ∀∈+∞，()(0)0h x h ≥=，符合条件．若2a >，则存在0[0,)x ∈+∞，使得()00x ϕ=，即()00h x '=，当00x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()00,x 上单调递减，此时()(0)0h x h <=，不符合条件．综上，实数a 的取值范围是(,2]-∞．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．6．（22-23高二下·吉林白城·期末）已知函数()e xf x ax =+在()()0,0f 处的切线与直线l ：240x y -+=垂直．(1)求()f x 的单调区间；(2)若对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，求整数b 的最大值．【答案】(1)单调递减区间为(),ln 3-∞，单调递增区间为()ln 3,+∞．(2)1【分析】（1）利用导数的几何意义得出3a =-，再利用导数判断单调区间即可；（2）分离参数将问题转化为2e 332x x b ++≥恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由()e xf x a '=+，得()01k f a '==+，又切线与直线l ：240x y -+=垂直，所以2k =-，即3a =-．所以()e 3xf x '=-，令()0f x '=，得ln3x =，当ln3x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 的单调递减区间为(),ln 3-∞，单调递增区间为()ln 3,+∞．（2）对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，即对任意实数2,e 332x x x x b +-+≥恒成立．设()2e 33x g x x x =+-+，即()min 12b g x ≤．()e 23x g x x =+-'，令()()e 23x h x g x x '==+-，所以()e 20'=+>xh x 恒成立，所以()e 23x g x x =+-'在R 上单调递增．又1202g ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()1e 10g '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即00e 230xx +-=，所以00e 32xx =-．当()0,x x ∈-∞时，()00g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()00g x '>，()g x 单调递增．所以()()02000min e 33x g x g x x x ==+-+2220000005132335624x x x x x x ⎛⎫=-+-+=-+=-- ⎪⎝⎭，当01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，200152564x x <-+<，所以()01151,28g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意知()012b g x ≤且b ∈Z所以1b ≤，即整数b 的最大值为1．7．（22-23高二下·福建福州·期末）已知函数2()2ln f x a x x a =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明:()*11112ln 1(2341)n n n +>++++∈+N ．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()222x af x x-+='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合导数的符号，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）由（1），根据题意，得到()()max10f x f ==，即22ln 1x x ≤-，当n ∈*N 时，结合22ln 111n n n n ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，2112ln 1n n n n --⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，L ，2112ln 122⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将不等式累加后，即可求解.【详解】（1）解：由函数2()2ln f x a x x a =-+，可得()f x 的定义域为(0,)+∞，且()22222a x a f x x x x-='+=-若0a ≤，可得()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；若0a >，令()0f x '=，因为0x >，可得x =当(x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，综上可得：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x的递增区间为(，递减区间为)+∞.（2）证明：由（1）知，当1a =时，()f x 的递增区间为()01,，递减区间为()1,+∞，所以()()max 10f x f ==，所以()0f x ≤，即22ln 1x x ≤-，当n ∈*N 时，可得：2222ln 111112ln 1112ln 122n n n n n n n n ⎧⎛⎫⎛⎫<-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪<-⎪ ⎪ ⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪<- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，将不等式累加后，可得222111112ln 11212n n n n n n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-<+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111212n n n n⎫=-+-++--=-++⎪+⎝⎭ ，即()11112ln 12341n n +>+++++ .8．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数()ln x f x a x a=-，()e xg x ax a =-．（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)当1a =时，求函数()y f x =的极大值；(2)已知1x ，()20,x ∈+∞，且满足()()12f x g x >，求证：21e 2xx a a +>．【答案】(1)1-(2)证明见解析【分析】（1）运用导数研究()f x 的单调性，进而求得其最大值.（2）同构函数()ln h x x x =-，转化为()21e x x h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，结合换元法2112,e xx t t a ==，分别讨论11t ≥与101t <<，当11t ≥时运用不等式性质即可证得结果，当101t <<时运用极值点偏移即可证得结果.【详解】（1）当1a =时，()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()111xf x x x-'=-=，()001f x x '>⇒<<，()01f x x '<⇒>，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 的极大值为()11f =-；（2）由题意知，0a >，由()()12f x g x >可得2112ln e x x a x ax a a->-，所以2211lnln e e x x x x a a->-，令()ln h x x x =-，由（1）可知，()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()21e xx h h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令11x t a=，22e xt =，又1>0x ，20x >，所以10t >，21t >，则()()12h t h t >，①若11t ≥，则122t t +>，即21e 2x x a+>，所以21e 2x x a a +>；②若101t <<，设()31,t ∈+∞，且满足()()31h t h t =，如图所示，则()()()312h t h t h t =>，所以321t t <<，下证：312t t +>．令()()()()2ln ln 222F x h x h x x x x =--=---+，()0,1x ∈，则()()()221112022x F x x x x x -'=+-=>--，所以()()()2F x h x h x x =--在()0,1x ∈上单调递增，所以()()10F x f <=，所以()()()11120F t h t h t =--<，即()()112h t h t <-，又因为()()31h t h t =，所以()()312h t h t <-，3t ，()121,t -∈+∞，所以312t t >-，即312t t +>，又因为321t t <<，所以122t t +>，即21e 2xx a a +>．由①②可知，21e 2xx a a +>得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；2.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足2()()1f x f x =，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；3.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，令1202x x x +=，求证：()00f x '>；4.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足2()()1f x f x =，令1202x x x +=，求证：()00f x '>.9．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数()ln 1f x a x ax =-+（a ∈R ，且0a ≠）.(1)讨论a 的值，求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++> .【答案】(1)见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，分0,0a a ><分类讨论即可得解；（2）当1a =时利用函数单调性可得ln 1≤-x x ，放缩可得()110ln 1x x x >>-，根据裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由()ln 1f x a x ax =-+知函数定义域为(0,)+∞，()()1a x af x a x x-'=-=，①当0a >时，若01x <<，则()0f x '>，若1x >，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；②当a<0时，若01x <<，则()0f x '<，若1x >，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.（2）令1a =，则()ln 1f x x x =-+，所以(1)0f =，由（1）可知()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f ≤=，（当1x =时取等号)，所以()ln 10f x x x =-+≤，即ln 1≤-x x ，当2x ≥时，0ln 1(1)x x x x <<-<-，即0ln 1)(x x x <<-，即()110ln 1x x x >>-令x n =，则()1111ln 11n n n n n>=---，所以11111111111ln 2ln 3ln 1223341n n n +++>-+-+-++-- 111n n n-=-=，故当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++> .【点睛】关键点点睛：1a =时，利用函数单调性得出ln 1≤-x x ，当2x ≥时，放缩得出0ln 1)(x x x <<-，变形得出()110ln 1x x x >>-是解题的关键，再由裂项相消法及不等式的性质即可得解.10．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数()1ln 2f x a x x x=--，a ∈R .(1)当1a =时，判断()f x 的零点个数；(2)若()1e 2e xf x x x+++≥恒成立，求实数a 的值.【答案】(1)()f x 的零点个数为0(2)a e=-【分析】（1）求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，（2）将问题转化为e ln e x a x +≥，构造函数()e ln x F x a x =+和()e xg x x a =+，()0,x ∈+∞，利用导数求解函数的单调性，分类讨论并结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 20f x x x x x=-->，则()()()2222222111121212x x x x x x f x x x x x x +--++--=+-==-=-'，当()0,1x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞，()0f x '<，函数()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11230f x f ==--=-<，所以()f x 的零点个数为0.（2）不等式()1e 2e xf x x x+++≥，即为e ln e x a x +≥，设()e ln xF x a x =+，()0,x ∈+∞，则()e e x x a x aF x x x+=+='，设()e xg x x a =+，()0,x ∈+∞，当0a ≥时，()0g x >，可得()0F x '>，则()F x 单调递增，此时当()1,1e,x F ==而当01x <<时，()e F x <，故不满足题意；当0a <时，由()()1e 0xg x x '=+>，()g x 单调递增，当x 无限趋近0时，()g x 无限趋近于负数a ，当x 无限趋近正无穷大时，()g x 无限趋近于正无穷大，故()0g x =有唯一的零点0x ，即00e 0xx a +=，则00e x ax =-，()00ln ln x x a +=-，当()00,x x ∈时，()0g x <，可得()0F x '<，()F x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，可得()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()()0000min 0e ln ln x aF x F x a x a a x x ⎡⎤==+=-+--⎣⎦()()00001ln ln a a a ax a a a x x x ⎛⎫=---=--+ ⎪⎝⎭，因为00x >，可得0012x x +≥，当且仅当01x =时，等号成立，所以()()001ln ln 2a a a x a a ax ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭因为()e F x ≥恒成立，即()ln 2e a a a --≥恒成立，令()()ln 2h a a a a =--，(),0a ∈-∞，可得()()()ln 12ln 1h a a a =-='-+--，当(),e a ∈-∞-时，()0h a '>，()h a 单调递增；当()e,0a ∈-时，()0h a '<，()h a 单调递减，所以()()e e h a h ≤-=，即()e h a ≤又由()e h a ≥恒成立，则()()ln 2e h a a a a =--=，所以a e =-.【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．11．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数()ln f x x x =.(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()21f x x =-的两个解为1x 、2x ，求证：122e x x +>.【答案】(1)减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值；(2)证明见解析【分析】（1）求出函数()f x 的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可得出结果；（2）设()()21h x f x x =-+，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，分析可知120e x x <<<，要证122e x x +>，即证()()112e h x h x >-，构造函数()()()2e p x h x h x =--，其中0e x <<，利用导数分析函数()p x 在()0,e 上的单调性，证明出()0p x >对任意的()0,e x ∈恒成立，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，且()ln 1f x x '=+，令()0f x '=可得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+()f x 减极小值增所以，函数()f x 的减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）解：设()()21ln 21h x f x x x x x =-+=-+，其中0x >，则()ln 1h x x '=-，令()0h x '<，可得0e x <<，此时，函数()h x 在()0,e 上单调递减，令()0h x '>，可得e x >，此时，函数()h x 在()e,+∞上单调递增，所以，e x =是函数()h x 的极小值点，因为函数()h x 有两个零点1x 、2x ，设12x x <，则120e x x <<<，即()()120h x h x ==且120e x x <<<，要证122e x x +>，即证21e 2e x x >->，因为函数()h x 在()e,+∞上单调递增，所以，只需证明：()()212e h x h x >-，即证()()112e h x h x >-，令()()()()()2e ln 2e ln 2e 44e p x h x h x x x x x x =--=----+，其中0e x <<，则()()()2ln ln 2e 2ln 2e 2p x x x x x '=+--=--，因为0e x <<，则()()22222e e e 0,e x x x -=--+∈，所以，()()22ln 2e 2ln e 20p x x x '=--<-=，故函数()p x 在()0,e 上为减函数，又因为()e 0p =，所以，()0p x >对任意的()0,e x ∈恒成立，则()()()1112e 0p x h x h x =-->，即()()112e h x h x >-，故122e x x <+成立.【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()2f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3121212ln ln 2x x x xx x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.12．（22-23高二下·湖南·期末）已知函数()()2e 3xf x a x a =-+∈R .(1)若方程()0f x =有3个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()()224x x x f x ϕ=-++-有两个零点()1212,x x x x <，求证：0ea <<2121e e x x x x --<+.【答案】(1)36(0,e(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为y a =与()23e xx g x -=有三个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的性质，从而结合图象即可求得实数a 的范围；（2）利用导数求得函数()x ϕ的单调性，再利用零点存在定理证得0a <2121221e 1ex x x x x x ++-<+，构造函数()e 2e 1t h t t =--，利用导数证得()()00H t H >=即可得证.【详解】（1）解：令()0f x =，即得2e 30xa x -+=，即23ex x a -=方程有三个零点，即直线y a =与曲线()23ex x g x -=有三个不同的交点，可得()()()22132323e e e x x xx x x x x x g x +--+--==-=-'，所以当(),1x ∈-∞-或()3,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,3x ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当=1x -时，()g x 有极小值为()2e g x =-，当3x =时，()g x 有极大值为()36e g x =，当x →+∞时，()0g x →，且当x ≥()0g x >，所以作出函数()23e xx g x -=的图象如图所示，所以数形结合可知360e a <<，即实数a 的取值范围为36(0,)e.（2）解：因为()()22421e xx x x f x x a ϕ=-++-=+-，当0a ≤时，()x ϕ单调递增，不可能有两个零点，所以0a >，此时()2e xx a ϕ=-'，令()0x ϕ'=，得2lnx a =，所以当2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>；当2ln ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在区间2,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间2ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以222ln 2ln 122ln 1a a a ϕ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，若()x ϕ有两个零点，则2ln 0a ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭21ln 2a >，所以0ea <<，当0a <<时，2ln 0a ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，121e 02a ϕ-⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，211ln 22a >>-，故存在112,ln 2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又当x 趋向于+∞时，()x ϕ趋向于-∞，故存在22ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，故0a <<，则满足121221e 21ex x x a x a ⎧+=⎨+=⎩，可得212121e 21x x x x -+=+212e x x -=，2121e e x x x x --<+，只需证2121221e e e x x x x x x ---<+，两边同乘以1e x ，可得2121221e 1ex x x x x x ++-<+，因为112x >-，221ln 2x a >>，所以120x x +>，令1202x x t +=>，即证2e 1e 2t tt-<，即证2e 2e 10t t t -->，令()2e 2e 1(0)t t h t t t =-->，可得()()()22e 21e 2e e 1t t t th t t t =-+=--'，令()()e 10t H t t t =-->，()e 10tH t =->'，故()H t 在区间()0,∞+上单调递增，故()()00H t H >=，因此()0h t '>，所以()h t 在区间()0,∞+上单调递增，故()()00h t h >=，因此原不等式成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．13．（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知函数2()ln f x x x x =-+．(1)证明()0f x ≤；(2)关于x 的不等式222ln 0ee x axx xx ax x -+-+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[1,)+∞【分析】（1）根据题意，求得并化简得到(21)(1)()x x f x x+-'=-，得出函数()f x 的单调区间，结合()()1≤f x f ，即可可证；（2）根据题意把不等式转化为22ln 2ln e 2ln e ln x ax x x x ax x x --+≤-+-，根据()e x g x x =+为增函数，转化为2ln x x a x +≥恒成立，令2ln ()x x h x x +=，求得312ln ()x xh x x --'=，得出函数()h x 的单调区间和最大值(1)1h =，即可求解.【详解】（1）由函数2()ln f x x x x =-+，可得1(21)(1)()21x x f x x x x'+-=-+=-，令()0f x '>，可得01x <<；令()0f x '<，可得1x >，所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=，即()0f x ≤．（2）由不等式222ln 0e ex axx x x ax x -+-+≤，可得22ln 2ln e 2ln e ln x ax x x x ax x x --+≤-+-，因为()e x g x x =+为增函数，则22ln ln x ax x x ≤--，即2ln x xa x +≥在(0,)+∞恒成立，令2ln ()x x h x x +=，可得312ln ()x xh x x --'=，再令()12ln m x x x =--，可得()210m x x'=--<，所以()m x 单调递减，又因为()10m =，所以当()0,1x ∈时，()0m x >，()0h x '>，函数()h x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0m x <，()0h x '<，函数()h x 在()1,+∞上单调递减，即()h x 在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()h x 最大值为(1)1h =，所以实数a 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．14．（22-23高二下·福建莆田·期末）已知函数()2ln f x ax x =--，其中a ∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且213x x ≥，求12x x 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)49e 【分析】（1）求出函数的导函数，再分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性；（2）依题意可得11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，即可得到12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，从而得到()121121221ln 4ln 1x x x x x x x x ++=-，令12x t x =，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数求出()g t 的最小值，即可求出12x x 的最小值.【详解】（1）()2ln f x ax x =--定义域为()0,∞+，且()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '=得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可得：当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()()120f x f x ==，所以11222ln 02ln 0ax x ax x --=⎧⎨--=⎩，所以()1212ln ln a x x x x -=-，()1212ln ln 4a x x x +=++，所以12121212ln ln ln ln 4x x x x a x x x x -++==-+，所以()112121121122221ln 4ln ln 1x x x x x xx x x x x x x x +++==--，令12xt x =，因为213x x ≥，所以1213x x ≤，即103t <≤，所以()121ln 4ln 1t x x t t ++=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()1ln 1t g t t t +=-，10,3t ⎛⎤∈ ⎝⎦，则()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t tt t g t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，令()12ln h t t t t=--，()0,1t ∈，则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以()h t 在()0,1上单调递增，又()10h =，所以()0h t <，即()0g t '<，所以()g t 在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()12ln 33g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()12ln 42ln 3x x +≥，即2ln 3412e x x -≥，即1249e x x ≥，当且仅当2112439e x x x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1223e x x ==时等号成立，所以12x x 的最小值为49e .【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．15．（22-23高二下·贵州黔东南·期末）已知函数()ln ,R f x ax x a =-∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，设()()()21x g x f x -=，求证：函数()g x 存在极大值点0x ，且()0222e 3g x <<.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可判断函数单调性；（2）求出函数()()()21x g x f x -=的导数，由此构造函数，利用导数判断其单调性，确定函数()g x 的极值点0x ，并判断其范围，进而化简()0g x 的表达式，即可证明结论.【详解】（1）由函数()ln ,R f x ax x a =-∈的定义域为(0,)+∞，则()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，当10x a<<时，()0f x '<，则()f x 在1(0,a 上单调递减；当1x a>时，()0f x ¢>，则()f x 在1(,)a +∞上单调递增；故当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递减，在1(,)a +∞上单调递增；（2）当1a =时，由（1）可知()ln f x x x =-，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)1f x f ≥=；故当1a =时，()()()()2211ln x x g x f x x x--==-，则()()()()2221121(ln )1(1)1(2ln 2)(ln )(ln )x x x x x x x x x g x x x x x -------+-'==--，令1()2ln 2,(0)h x x x x x =-+->，则222222121(1)()10x x x h x x x x x -+-'=-+==≥，仅当1x =时等号成立，故1()2ln 2h x x x x=-+-在(0,)+∞上单调递增，且2211()2ln 310,(e )6e 033h h -=+->=-<，即存在唯一201(e ,3x -∈，使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <；当01x x <<时，()0h x >；则当00x x <<时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在0(0,)x 单调递增，在0(),1x 单调递减，在(1,)+∞单调递增，故函数()g x 存在极大值点，即为0x ；由0()0h x =，即00012ln 20x x x -+-=，故()()()()()()222200000020000000111211111ln 1(2)1222x x x x x g x x x x x x x x x ----====---+--+，由于201(e ,)3x -∈，故()002g x x =，且2022(2e ,3x -∈，即()0222e 3g x <<.【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用问题，涉及到判断函数的单调性以及函数极值问题，解答的难点在于第二问证明不等式()0222e 3g x <<，解答时要注意零点问题的解决，并判断零点201(e ,)3x -∈.16．（22-23高二下·江苏镇江·期末）已知函数()3f x x ax =-.(1)当1a =-时，求函数在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 存在不同的极值点12,x x ，且以()()()()1122,,,A x f x C x f x 为对角线的正方形ABCD 的四顶点A B C D ､､､都在函数()y f x =的图像上，求2a 的值.【答案】(1)420x y --=(2)2278a +=【分析】（1）把1a =-代入函数解析式，可求切点坐标，利用导数求切线斜率，可求函数在点()()1,1f 处的切线方程；（2）利用导数求出极值点，得,A C 两点坐标，由AC 的中点为原点O ，ABCD 为正方形，可求D 点坐标，代入在函数()f x 中，可求出2a 的值.【详解】（1）当1a =-时，()3f x x x +，()12f =，故切点坐标为()1,2，()231f x x ='+，故切点处切线的斜率为()14f '=，切线方程为()241y x -=-，即420x y --=.（2）函数()3f x x ax =-，定义域为R ，()23f x x a '=-，()f x 存在不同的极值点12,x x ，则有0a >，()0f x ¢>，解得x <x >；()0f x '<，解得x <则()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭上单调递减，得x =x则有2,23,,939A a C ⎛⎛- ⎪ ⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭，AC 的中点为原点O ，正方形ABCD ，过C 作CC '垂直于x 轴，过D 作DD '垂直于y 轴，垂足分别为,C D ''，则有OCC ODD ''≅ ，所以D ⎫⎪⎪⎝⎭，D 点在函数()y f x =的图像上，则有f ⎝⎭即322993a ⎛⎛-= ⎝⎭⎝⎭，化简得42854810a a --=，解得2278a +=.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值()最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．17．（22-23高二下·辽宁大连·期末）已知函数()()2cos ln 11f x x x =++-．(1)判断函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若0x ≥时，不等式()1f x ax <+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点，证明见解析(2)实数a 的取值范围是[)1,+∞【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数；（2）首先由不等式构造函数()()2cos ln 12g x x x ax =++--，()0x >，并求函数的导数，根据()00g =，以及()01g a '=-，分1a ≥，01a ≤<，a<0三种情况讨论不等式恒成立的条件.【详解】（1）函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点，证明如下，()12sin 1f x x x '=-++，设()()12sin 1t x f x x x '==-++，()()212cos 1t x x x '=--+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，所以()f x '单调递减，又()010f '=>，π12220π2π212f ⎛⎫'=-+=-+< ⎪+⎝⎭+，所以存在唯一的π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=，所以当()0,x α∈时，()0f x ¢>，当π,2x α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()0,α单调递增，在π,2α⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以α是()f x 的一个极大值点，因为()02110f =-=>，()()0f f α>>，ππln 11022f ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,α无零点，在π,2α⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，所以函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点和一个零点；（2）由()1f x ax ≤+，得()2cos ln 120x x ax ++--≤，令()()2cos ln 12g x x x ax =++--，()0x >，则()00g =，()12sin 1g x x a x'=-+-+，()01g a '=-，①若1a ≥，则1a -≤-，当0x ≥时，ax x -≤-，令()()ln 1h x x x =+-，则()1111x h x x x -'=-=++，当0x ≥时，()0h x '≤，所以()h x 在[)0,∞+上单调递减，又()00h =，所以()()0h x h ≤，所以()ln 10x x +-≤，即()ln 1xx ≤+又cos 1≤x ，所以()220g x x x ≤+--=，即当0x ≥时，()1f x ax ≤+恒成立，②若01a ≤<，因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x '单调递减，且()010a g =->'，π120π212g a ⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，当()0,x ∈β时，()0g x '>，()g x 在()0,β上单调递增，不满足()0g x ≤恒成立，③若a<0，因为()()()()()()444444e 12cos e 1ln e e 1222cos e 1e 10g a a -=-+---=---->不满足()0g x ≤恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是()00g =这个条件，再根据()01g a '=-，讨论a 的取值.18．（22-23高二下·福建龙岩·期末）已知函数()ln f x ax x =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)已知()()g x xf x b =+，且12,x x 是()g x 的两个零点，12x x <，证明：()()211211x ax b x ax -<<-．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）根据12,x x 是()g x 的两个零点可得()12211221ln ln x x x x b ax x x x -=--，再将所证不等式转化为1222111ln 1x x x x x x -<<-，进而令211xt x =>，再构造函数求导分析单调性证明即可.【详解】（1）()11(0)ax f x a x x x-='-=>，①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 在()0,∞+单调递减，②若0a >，令()0f x ¢>，有1x a >，令()0f x '<，有10x a <<，即()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，综上：0a ≤，()f x 在()0,∞+单调递减，若0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）()()2ln ln g x x ax x b ax x x b =-+=-+，令()0g x =得：2ln 0ax x x b -+=，因为0x >，ln 0bax x x -+=，因为12,x x 是()g x 的两个零点，所以，112212ln 0,ln 0b bax x ax x x x -+=-+=，所以()12211211ln ln 0a x x x x b x x ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭，()12211221ln ln x x x x b ax x x x -=--，要证明()()211211x ax b x ax -<<-，只需证122121ax x x b ax x x -<<-，即证明21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--变形为1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211xt x =>，则证明11ln 1t t t-<<-，设()()1ln 11h t t t t ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()210t h t t -'=>，()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，即1ln 1t t>-，设()()ln 1u t t t =--，()10tu t t-'=<，()u t 在()1,+∞单调递减，所以，()()10u t u <=，即，ln 1t t <-，综上：()()211211x ax b x ax -<<-．19．（22-23高二下·安徽阜阳·期末）已知函数()21ln e 2f x x x x x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)令()()()212e 12eg x f x x a x =++++，若不等式()0g x ≥恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2-【分析】（1）求得()ln e f x x x =+'，令()()h x f x ='，得到()0h x '>，结合10e f '⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()ln 12e g x x x a =+++'，令()()x g x ϕ'=，求得()0x ϕ'>，得到()g x '在()0,x ∈+∞上单调递增，结合()()2e0a g -+'<，()e 0a g -'>，得出存在()()20e ,e aa x -+-∈，使得()000ln 12e 0g x x x a '=+++=，进而得出函数的单调性，结合不等式()0g x ≥恒成立等价于()min 0()0g x g x =≥，得到010ex <≤，得到00ln 2e 12a x x -=++≤，即可求解.【详解】（1）解：函数()21ln e 2f x x x x x =+-的定义域为()0,∞+，可得()ln e f x x x =+'，令()()h x f x ='，则()1e 0h x x=+>'，所以()h x 单调递增，即()f x '单调递增.又因为1110e f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭'，所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）解：由题意知()22ln e eg x x x x ax =+++，可得()ln 12e g x x x a =+++'，令()()x g x ϕ'=，可得()12e 0x xϕ+'=>，所以()x ϕ在()0,x ∈+∞上单调递增，即()g x '在()0,x ∈+∞上单调递增，又由()()()()2222e e212e e 10ea aa g a a -+-++=-+++⋅+≤-+<'，()e 12e e 0a a g a a --=-++⋅+>'，。

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