高中数学第二章解析几何初步3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标精品学案北师大版必修

3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？梳理(1)空间直角坐标系①建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相______的轴、有________的长度单位．②建系原则：伸出右手，让四指与大拇指________，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正向．③构成要素：________叫作原点，________轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为________平面、________平面和________平面．(2)空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组________叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫作点P的________，y叫作点P的________，z叫作点P的________．特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．类型一确定空间中点的坐标例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．1题图2题图2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．跟踪训练1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．类型二已知点的坐标确定点的位置例2 在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6)．反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上类型三空间中点的对称问题命题角度1 关于点和线的对称问题例3 (1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是( )A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x 轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于________对称．命题角度2 关于平面对称例4 在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( ) A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．跟踪训练4 点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________．1．点Q(0,0,2 017)的位置是( )A．在x轴上B．在y轴上C．在z轴上D．在平面xOy上2．点(2，－1,5)与点(2，－1，－5)( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于xOy平面对称D．关于z轴对称3．点A(－1，3，2)在xOz平面的投影点的坐标为( )A．(－1，－3，2) B．(－1,0,2)C．(1，3，－2) D．(0，3，0)4．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM 1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M 的位置，可以确定点M 的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标． 2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．答案精析问题导学 知识点 思考1 三个．思考2 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直． 梳理 (1)①垂直 相同 ②垂直 x 轴 90° y 轴 z 轴 ③点O x ，y ，z xOyyOz xOz (2)(x ，y ，z ) P (x ，y ，z ) 横坐标 纵坐标 竖坐标题型探究例1 解 因为|PO |＝|PB |2－|OB |2＝169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A ⎝⎛⎭⎪⎫522，－522，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫522，522，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，522，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，－522，0.引申探究1．解 各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5,0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)． 2．解 因为正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为223，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．跟踪训练1 解 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为y 轴，以射线OA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO ＝32×2＝3， 从而可知各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,3)，B 1(0,1,3)，C 1(0，－1,3)．例2 解 方法一第一步：从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P . 方法二 以O 为顶点构造长方体，使这个长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴，y 轴，z 轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求点P . 跟踪训练2 C [∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz 平面上的点，故选C.] 例3 (1)C (2)A[(1)根据题意知，M 为线段PP 3的中点，设P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，∴P 3(6，－3，－12)．故选C. (2)∵在空间直角坐标系中，关于x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A (－3,1，－4)，∴点A 关于x 轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.] 跟踪训练3 y 轴例4 C [∵两点关于平面xOy 对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.] 跟踪训练4 2,3，－3,1 当堂训练1．C 2.C 3.B 4．(2,0,1)5．解 (1)显然A (0,0,0)，由于点B 在x 轴的正半轴上且|AB |＝4， 所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，BC ⊥AB ，CD ⊥AD ， 则点C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)，与点C 的坐标相比， 点C 1的坐标中只有z 坐标与点C 不同， |CC 1|＝|AA 1|＝5，则点C 1(4,3,5)．(2)由(1)知C (4,3,0)，C 1(4,3,5)，则C 1C 的中点为(4＋42，3＋32，0＋52)，即N (4,3，52)．。