大学物理第五章机械振动课件
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大学物理 振动
第二象限
P
A
M
第三象限
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限 M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
第三象限
A
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
第二象限 第三象限
t=t
51
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1、解析法
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
合振动 :
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
d 2t l
令 g l 2 则有：
d 2 2 0
P
A
M
第三象限
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限 M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
P
第三象限
A
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限 速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
第二象限 第三象限
t=t
51
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1、解析法
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
合振动 :
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
d 2t l
令 g l 2 则有：
d 2 2 0
大学物理-机械振动
交通工具的不舒适
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
大学物理机械振动课件
03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用，使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移，振幅逐渐减小， 频率逐渐降低，直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中，系统受到的阻力 称为阻尼力，它与振动速度成正比， 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程，形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`，其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料，提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功，系统动能增加；阻尼 使系统能量耗散，系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中，外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅，避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义：在外来周期性力的持 续作用下，物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化，来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
5-第5章 机械振动
§5- 2 简谐振动的运动学
特殊初位相的确定：
xxx xx
x
t
-A
OA
0
arctan( 0 ) x0
π
x
2
-A
OA
x
π
-A
OA
（1） x0 A, 0 0 0 0
2
（2） x
x0 0, 0 A 0 2
-A
OA
（3） x0 A, 0 0 0
（4）
x0 0, 0 A 0 3 2
例 一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+/4)，在t=T/4时，物体的加速度为:
A
1 2
2 A 2
C
1 2
3 A 2
B
1 2
D
1 2
答：选（B）
a
d2x dt 2
A 2
cos
t
π 4
2 A 2 3 A 2
t T 2π 1 π
4 4 2
a
A 2
cos
π
2
π 4
1 2
2 A 2
3
t (s)
0 0.1 0.2
0.3
(b)
(b) A 3cm 2π 10π
0.2
t 0 时， x 0, 0
0
3 2
π(或
1 2
π)
3 xb 0.03cos(10πt 2 π)(SI)
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§5- 2 简谐振动的运动学
“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§5- 2 简谐振动的运动学
大学物理机械振动和机械波ppt课件
振动系统能量转换关系
动能与势能之间的转换
在振动过程中，物体的动能和势能之间不断 转换。
能量守恒
在理想情况下，振动系统的总能量保持不变 。
能量耗散
在实际情况下，由于阻力的存在，振动系统 的能量会逐渐耗散。
02
机械波传播特性与波动方程
Chapter
机械波产生条件及分类
产生条件
01
振源、介质、传播方向与振动方向关系
天文学
天文学家通过观察恒星光谱的多普勒效应来判断恒星相对于地球的运动速度，进而研究 恒星的运动规律和宇宙结构。
音乐合成
在音乐制作中，可以利用多普勒效应原理来模拟乐器声音的空间感和运动感，使音乐更 加生动和立体。
05
干涉和衍射现象在机械波中表 现
Chapter
干涉现象产生条件及类型划分
产生条件
两列波频率相同，会出现稳定的干涉现 象。
驻波能量分布规律探讨
能量分布
驻波的能量主要集中在波腹处，波节处能量为零。
分布规律
随着时间与空间的变化，能量在波腹与波节之间周 期性传递。
弦线上驻波实验演示
实验装置
弦线、振源、测量仪器等。
实验步骤
激发弦线振动，调整振源频率使弦线上形成驻波，观察并测量驻波 的波形、波腹波节位置等。
实验结果
通过测量得到驻波的波长、频率等参数，验证驻波的产生条件和能量 分布规律。
04
多普勒效应原理及应用举例
Chapter
多普勒效应定义及公式推导
定义
当波源与观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率会发生变化，这种现象 称为多普勒效应。
公式推导
设波源发射频率为f0，波速为v，观察者与波源相对运动速度为vr，则观察者接收到的 频率为f=(v±vr)/v×f0，其中“+”号表示观察者向波源靠近，“-”号表示观察者远离
大学物理课件0机械振动
2
mg
0 cos t
l T 2 g 2
其中，单摆的周期是
1. A 、 的确定：
k 2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ： m
2
2 v0 2 A x0 2 x0 A cos v0 A sin arctan v0 x0
F
2. 阻尼振动方程 F弹 , f 以弹簧振子为例 2 d x o m 2 kx x dt 2 d x dx k x0 或写为 2 dt m dt m 定义固有角频率ω0和阻尼因子β，有 k 2 2 0 m m
x
d x dx 2 2 2 0 x 0 dt dt
2o 两振动到达同一状态的时间差是
五、旋转矢量(rotational vector)
旋转矢量
A
(ωt 2 φ2 ) (ωt1 φ1 ) 2 1 t t 2 t1
t
t+
Oo
矢径 A 与 x 轴夹角为: ( t ) 在 x 轴上的投影为: x = Acos( t )
o
合振幅最小
t
( 3) φ φ2 φ1为其它值时
则A在上述两者之间。
当A1=A2时： 合振幅最大值是2A1 ；
合振幅最小值是0。 二、相互垂直同频率简谐振动的合成 特点: ω1=ω2=ω , x1 x2 对如下两个振动
x A1 cos(ωt φ1 ) y A2 cos(ωt φ2 )
2o 初相 ，由开始时刻振动物体的运动状 态决定 由运动方程可知：t = 0时刻
x0 A cos φ υ0 ωA sin φ
υ υo A x , tan φ ω ωxo 5. 相位差(phase fifference) 两个简谐振动的相位之差称为相位差, 用Δ 表示
mg
0 cos t
l T 2 g 2
其中，单摆的周期是
1. A 、 的确定：
k 2. (结合周期T,结合旋转矢量法) ： m
2
2 v0 2 A x0 2 x0 A cos v0 A sin arctan v0 x0
F
2. 阻尼振动方程 F弹 , f 以弹簧振子为例 2 d x o m 2 kx x dt 2 d x dx k x0 或写为 2 dt m dt m 定义固有角频率ω0和阻尼因子β，有 k 2 2 0 m m
x
d x dx 2 2 2 0 x 0 dt dt
2o 两振动到达同一状态的时间差是
五、旋转矢量(rotational vector)
旋转矢量
A
(ωt 2 φ2 ) (ωt1 φ1 ) 2 1 t t 2 t1
t
t+
Oo
矢径 A 与 x 轴夹角为: ( t ) 在 x 轴上的投影为: x = Acos( t )
o
合振幅最小
t
( 3) φ φ2 φ1为其它值时
则A在上述两者之间。
当A1=A2时： 合振幅最大值是2A1 ；
合振幅最小值是0。 二、相互垂直同频率简谐振动的合成 特点: ω1=ω2=ω , x1 x2 对如下两个振动
x A1 cos(ωt φ1 ) y A2 cos(ωt φ2 )
2o 初相 ，由开始时刻振动物体的运动状 态决定 由运动方程可知：t = 0时刻
x0 A cos φ υ0 ωA sin φ
υ υo A x , tan φ ω ωxo 5. 相位差(phase fifference) 两个简谐振动的相位之差称为相位差, 用Δ 表示
大学物理第五章机械振动
A0 B C
提交
例题2. 弹簧振子放在光滑的水平面上，已知k=1.60N/m，m=0.4kg.
试就下列两种情形分别求运动方程. (1)将物体从平衡位置向右移到
x=0.10m处后释放; (2)将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
物体以向左的速度0.20m/s.
解： k m 1.6 0.4 2rad s1
k
m
(1) t 0， x0 0.10m， v0 0
o
x
A
x02
v02
2
x0 0.10m
cos x0 1
A
0
x 0.1cos2t (m)
(2)
t
0，
x0
0.10m，
v0
0.20m/s
cos
x0
1
A
x02
v02
2
0.1
2m
A2
sin v0 0
A
x 0.1 2 cos(2t ) (m)
设弹簧振子在任一时刻 t 的位移为x，速度为v，则
振动系统所具有的弹性势能Ep和动能Ek分别为：
Ep
1 kx2 2
x Acos( t )
Ep
1 2
kA2
cos2 (
t
)
Ek
1 2
mv2
v A sin( t )
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 (
t
)
2 k /m
1 kA2 sin2 ( t )
大加速度为 4.0 ms-2. 求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动
能；(3) 总能量；(4) 物体在何处其动能和势能相等？
解: (1) amax A 2
《大学物理振动》课件
調音叉實驗
通过调音叉实验，我们可以直观地观察和测量振动的特征。这个实验对理解 振动现象具有重要意义。
例子和應用
在这个部分，我们将介绍一些与振动有关的具体例子和实际应用。这些例子和应用将帮助我们更好地理解和应 用振动的知识。
結論及問題解答
在这个部分，我们将总结我们在整个课件中学到的关于物体振动的知识，并 回答一些与振动相关的问题。
《大学物理振动》PPT课 件
欢迎来到《大学物理振动》PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨物体振 动的定义、不同种类、振幅、频率和周期之间的关系，以及调音叉实验、例 子和应用。最后，我们将总结并回答一些问题。
簡介
在这个部分，我们将对振动进行简要介绍。振动是指物体周期性地往复运动。它是物理学中一个非常重要的概 念，涉及到许多实际应用。
物體振動的定義
这一部分讨论物体振动的准确定义。物体振动是指物体围绕其平衡位置以往 复运动的现象。
物體振動Байду номын сангаас種類
在这个部分，我们将介绍物体振动的各种类型。这包括机械振动、电磁振动、 声波振动等。
振幅、频率和周期的關係
振幅、频率和周期是描述物体振动的重要参数。在这个部分，我们将讨论它 们之间的关系，并给出具体的数学公式。
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平衡位置O：物体受合外力 为零的位置。
k
m o x
X
单摆: 较小
f t mg sin mg
d 2 f t mg mat ml 2 dt 2 d g 0 2 dt l
d 2x F ma kx m 2 dt 2 d x k x0 2 dt m
弹性力 -kx
d 2x
阻尼力
b
dx dt
周期性策动力 f=F0cost
2. 振动方程
2
dx m 2 kx b f dt dt
d x dx F0 2 2 0 x cos t 2 dt dt m
其中
0
k m
b 2m
是典型的常系数、二阶、 线性、非齐次微分方程。
2
mg-kx0=0 x
1 1 2 2 E E k E p mv kx 2 2 1 kA 2 2
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 E p kx 2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 振动系统总能量
1 2 E kA 2
5-2 阻尼振动
定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动
T1
T1 T2
kx0 mg sin
二、简谐振动的运动规律 谐振动微分方程
F kx
定义：物体受到的作用力 与位移正比反向的振动。 谐振动（运动）方程
d2x 2 x0 2 dt
结论：
x(t)=Acos( t+)
简谐振动——凡是位移是时间的正弦 或余弦函数表示的运动都是简谐振动。
x(t ) Ae t cos(t 0 ) 这种情况称为弱阻尼
2 0 2
阻力使周期增大
A和初相位 0由初始条件决定
t 0 , x (0) x0 ,
即有：x0 A cos 0
dx V0 dt t 0
x(t )
t
弱阻尼
V0 A sin 0 A cos 0
d2x 2. 加速度 a 2 2 A cos( t ) dt
vm cos( t ) 2
vm A
am cos( t )
am A
2
四、简谐振动的描述方法 1. 解析法 由 x=Acos( t+ )
已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式
(2) 势能（以平衡点为势能零点）
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2 E p max , E p min , E p 情况同动能。
五、简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例
k
m
x=Acos( t+ )
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
x(t)=Acos( t+)
dx A sin( t ) dt 2 t 0 2 2 2 0 A x 2 A x 0 x0 v0 2
3. 相位
(1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位------ 初相
已知 t 0
x(t )
t
过阻尼
（3）如果 2 = 02 方程的解：
x (t ) (C1 C 2 t )e
C1 , C 2 是由初始条件
t
x (t )
t
2
决定的积分常数。
2 是从有周期性因子 0 到无周期性的临界点。
临界阻尼
5-3 受迫振动与共振
一. 受迫振动 1. 系统受力
k
EP=0 x 0
k m
O
k x
1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 ( x x 0 ) 2
1 2 1 2 kx kx 0 2 2
1 1 1 2 E E P E K ( kx 2 mv 2 ) kx0 2 2 2 1 1 kA 2 kx02 恒量 2 2
T1
T1 T2
mg sin T1 ma
T1 R T2 R J
T2 k ( x0 x)
kx0 mg sin
k
a R
k d 2x k x 0 a x J J dt 2 m J m 2 m 2 2 R R R
Байду номын сангаас
【例题1】系统开始处于静止状态， 证明m在外界干扰下将作简谐振动。 解：如图建立坐标，考虑m沿 X轴正方向移动一小位移x 分析步骤： 1、找到平衡位置O，建立坐标系； 2、沿X轴正方向移动一小位移x； 2 d x 3、证明 2 x0 2 dt
dx 物体在流体中受到摩擦阻尼时 f r bv b dt
弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
kx b x m x
d 2x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
k 令： m
2 0
b 2m
称0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数
（1）阻尼较小时，此方程的解：
【例题2】 一简谐振动的振幅为A，角频率为，以下 列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： ①物体过平衡位置向X轴正方向运动； ②物体被压缩到最大位移处； ③过 A 处向X轴负方向运动； 2 ④过 3 A 处向X轴正方向运动。 2
解：先写出简谐振动的标准 表达式，并画旋转矢量图
x A cos(t )
v A sin( t )
O
X
x A cos(t )
v A sin( t )
A cos 0 v A sin 0
③ ②
X
①物体过平衡位置向X轴正方向运动； x A cos(t ) 2 ②物体被压缩到最大位移处；
A x A cos( t ) ③过 处向X轴负方向运动； ① 3 2 3 x A cos( t ) ④过 A 处向X轴正方向运动。 6 2
mg-kx0=0 x
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
Ep 1 1 2 k ( x x 0 ) 2 mgx kx 0 2 2
1 1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 x kx 02 2 2
k
EP=0 x 0
k m
O
k x
1 kx 2
当 sin 时
mg
d 2
mgl 复摆的角谐振动方程 0 J dt 2
J T 2 mgl
mgl J
2
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 1 2
Ep 2 k ( x x0 ) mg ( x x0 ) )
2 其解为：x(t ) A' e t cos( 0 2 t ) A cos(t )
3. 稳态解
x=Acos( t+)
4. 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率: 等于策动力的频率
F0 / m (2)振幅: A 2 2 2 2 2 1/ 2 [( 0 ) 4 ] 2 tg 2 (3)初相: 0 2
(3) 机械能
o x A sin( t )
X
1 2 E p kA cos 2 ( t ) 2
1 2 E E k E p kA 2
简谐振动系统机械能守恒
六、复摆（物理摆）
d mgl sin J 2 dt
2
O C
OC l
J 为m绕O点转动的转动惯量。
x A cos(t )
O
④
机械振动
作业： 5 -2 -10 -19 -24
【例题3】已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm,v0 0, 求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0 作x = -12cm处的旋转矢量 A
2. 曲线法
m o x0 = 0 已知曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线 A o x -A
x T t
= /2
x 0 A cos
v 0 A sin
2 x A cos( t ) T 2
相位差 : =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x A1 A2 o - A2 -A1
x2
初相差
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反 , 称反相 。
x A1 T A2 t o - A2 -A1
x1
同相
x1
反相
T t
x2
若 = 2- 1>0, 则 x2比 x x1较早达到正最大, 称x2比 A x1超前 (或x1比x2落后)。 o
A
2 x0
(V0 x0 ) 2
2
,
V0 x0 tg 0 x 0
（2）阻尼较大时， 此方程的解：
x(t ) C1e
2 ( 2 0 )t
C2 e
2 ( 2 0 )t
其中C1，C 2是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 无振动发生。
x 0 A cos
x 0 v0
v 0 A sin
由此可得出： tg
x0 或 cos A
确定其中的一个
三、简谐振动的速度、加速度 1.速度 dx A sin( t ) A cos( t ) dt 2
k
m o x
X
单摆: 较小
f t mg sin mg
d 2 f t mg mat ml 2 dt 2 d g 0 2 dt l
d 2x F ma kx m 2 dt 2 d x k x0 2 dt m
弹性力 -kx
d 2x
阻尼力
b
dx dt
周期性策动力 f=F0cost
2. 振动方程
2
dx m 2 kx b f dt dt
d x dx F0 2 2 0 x cos t 2 dt dt m
其中
0
k m
b 2m
是典型的常系数、二阶、 线性、非齐次微分方程。
2
mg-kx0=0 x
1 1 2 2 E E k E p mv kx 2 2 1 kA 2 2
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 E p kx 2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 振动系统总能量
1 2 E kA 2
5-2 阻尼振动
定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动
T1
T1 T2
kx0 mg sin
二、简谐振动的运动规律 谐振动微分方程
F kx
定义：物体受到的作用力 与位移正比反向的振动。 谐振动（运动）方程
d2x 2 x0 2 dt
结论：
x(t)=Acos( t+)
简谐振动——凡是位移是时间的正弦 或余弦函数表示的运动都是简谐振动。
x(t ) Ae t cos(t 0 ) 这种情况称为弱阻尼
2 0 2
阻力使周期增大
A和初相位 0由初始条件决定
t 0 , x (0) x0 ,
即有：x0 A cos 0
dx V0 dt t 0
x(t )
t
弱阻尼
V0 A sin 0 A cos 0
d2x 2. 加速度 a 2 2 A cos( t ) dt
vm cos( t ) 2
vm A
am cos( t )
am A
2
四、简谐振动的描述方法 1. 解析法 由 x=Acos( t+ )
已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式
(2) 势能（以平衡点为势能零点）
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2 E p max , E p min , E p 情况同动能。
五、简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例
k
m
x=Acos( t+ )
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
x(t)=Acos( t+)
dx A sin( t ) dt 2 t 0 2 2 2 0 A x 2 A x 0 x0 v0 2
3. 相位
(1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位------ 初相
已知 t 0
x(t )
t
过阻尼
（3）如果 2 = 02 方程的解：
x (t ) (C1 C 2 t )e
C1 , C 2 是由初始条件
t
x (t )
t
2
决定的积分常数。
2 是从有周期性因子 0 到无周期性的临界点。
临界阻尼
5-3 受迫振动与共振
一. 受迫振动 1. 系统受力
k
EP=0 x 0
k m
O
k x
1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 ( x x 0 ) 2
1 2 1 2 kx kx 0 2 2
1 1 1 2 E E P E K ( kx 2 mv 2 ) kx0 2 2 2 1 1 kA 2 kx02 恒量 2 2
T1
T1 T2
mg sin T1 ma
T1 R T2 R J
T2 k ( x0 x)
kx0 mg sin
k
a R
k d 2x k x 0 a x J J dt 2 m J m 2 m 2 2 R R R
Байду номын сангаас
【例题1】系统开始处于静止状态， 证明m在外界干扰下将作简谐振动。 解：如图建立坐标，考虑m沿 X轴正方向移动一小位移x 分析步骤： 1、找到平衡位置O，建立坐标系； 2、沿X轴正方向移动一小位移x； 2 d x 3、证明 2 x0 2 dt
dx 物体在流体中受到摩擦阻尼时 f r bv b dt
弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
kx b x m x
d 2x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
k 令： m
2 0
b 2m
称0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数
（1）阻尼较小时，此方程的解：
【例题2】 一简谐振动的振幅为A，角频率为，以下 列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： ①物体过平衡位置向X轴正方向运动； ②物体被压缩到最大位移处； ③过 A 处向X轴负方向运动； 2 ④过 3 A 处向X轴正方向运动。 2
解：先写出简谐振动的标准 表达式，并画旋转矢量图
x A cos(t )
v A sin( t )
O
X
x A cos(t )
v A sin( t )
A cos 0 v A sin 0
③ ②
X
①物体过平衡位置向X轴正方向运动； x A cos(t ) 2 ②物体被压缩到最大位移处；
A x A cos( t ) ③过 处向X轴负方向运动； ① 3 2 3 x A cos( t ) ④过 A 处向X轴正方向运动。 6 2
mg-kx0=0 x
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
Ep 1 1 2 k ( x x 0 ) 2 mgx kx 0 2 2
1 1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 x kx 02 2 2
k
EP=0 x 0
k m
O
k x
1 kx 2
当 sin 时
mg
d 2
mgl 复摆的角谐振动方程 0 J dt 2
J T 2 mgl
mgl J
2
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 1 2
Ep 2 k ( x x0 ) mg ( x x0 ) )
2 其解为：x(t ) A' e t cos( 0 2 t ) A cos(t )
3. 稳态解
x=Acos( t+)
4. 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率: 等于策动力的频率
F0 / m (2)振幅: A 2 2 2 2 2 1/ 2 [( 0 ) 4 ] 2 tg 2 (3)初相: 0 2
(3) 机械能
o x A sin( t )
X
1 2 E p kA cos 2 ( t ) 2
1 2 E E k E p kA 2
简谐振动系统机械能守恒
六、复摆（物理摆）
d mgl sin J 2 dt
2
O C
OC l
J 为m绕O点转动的转动惯量。
x A cos(t )
O
④
机械振动
作业： 5 -2 -10 -19 -24
【例题3】已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm,v0 0, 求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0 作x = -12cm处的旋转矢量 A
2. 曲线法
m o x0 = 0 已知曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线 A o x -A
x T t
= /2
x 0 A cos
v 0 A sin
2 x A cos( t ) T 2
相位差 : =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x A1 A2 o - A2 -A1
x2
初相差
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反 , 称反相 。
x A1 T A2 t o - A2 -A1
x1
同相
x1
反相
T t
x2
若 = 2- 1>0, 则 x2比 x x1较早达到正最大, 称x2比 A x1超前 (或x1比x2落后)。 o
A
2 x0
(V0 x0 ) 2
2
,
V0 x0 tg 0 x 0
（2）阻尼较大时， 此方程的解：
x(t ) C1e
2 ( 2 0 )t
C2 e
2 ( 2 0 )t
其中C1，C 2是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 无振动发生。
x 0 A cos
x 0 v0
v 0 A sin
由此可得出： tg
x0 或 cos A
确定其中的一个
三、简谐振动的速度、加速度 1.速度 dx A sin( t ) A cos( t ) dt 2