昆工2015高数A1参考答案
2015年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷
2015年云南昆明理工大学高等数学考研真题A 卷一、单项选择题（每小题５分，共45分）１．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,1,0,1,1)(x x x f , 则[]}{)(x f f f 等于（ ）（A ）0 (B) 1 (C) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,0,1,1x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤,1,1,1,0x x2．设函数11)(1-=-x xex f ， 则（ ）（A ）x=0, x=1都是)(x f 的第一类间断点。
（B ）x=0, x=1都是)(x f 的第二类间断点。
（C ）x=0是)(x f 的第一类间断点, x=1是)(x f 的第二类间断点。
(D) x=0是)(x f 的第二类间断点, x=1是)(x f 的第一类间断点。
3. 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ ）（A ）2222y u x u ∂∂-=∂∂ （B ）2222yux u ∂∂=∂∂ （C ）222y uy x u ∂∂=∂∂∂ （D ）222x u y x u ∂∂=∂∂∂ 4. 下列函数为偶函数的是( )(A) y=x sin x (B) y=x cos x (C)) y=sin x+cos x (D) y=x(sinx+cos x)5. 已知函数f(x)=ax 2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=( )(A) 0 (B) 1 (C)) 2 (D) 36．极限22x 3x 9limx 2x 3→---=( )(A) 0 (B) 23 (C) 32(D)927.若)(x f 为奇函数, 且对于任意实数x 恒有0)1()3(=--+x f x f ，则=)2(f （ ）（A ） -1 （B ） 0 （C ） 1 （D ） 28. 设f(x)=x 3－3x,则在区间(0,1)内( )(A) 函数f(x)单调增加且其图形是凹的 (B) 函数f(x)单调增加且其图形是凸的 (C) 函数f(x)单调减少且其图形是凹的 (D) 函数f(x)单调减少且其图形是凸的9. 计算定积分⎰--=-112dx e e xx （ ）(A) 0 (B)e1 (C) 1（D ） e二、填空题（每小题5分，共45分）1．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,,2arcsin1)(2tan x ae x x e x f x x在x=0处连续，则a= .2. 设1)1()(2lim +-=∞→nx xn x f n ， 则)(x f 的间断点为x= . 3.=--++→2211limxx x x . 4. 已知2)3('=f ，则=--→hf h f h 2)3()3(lim 0.5. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定，则=dxdy. 6. xe y y 24''=-的通解为 .7. 求定积分=-=⎰π22sin 1dx x x I . 8. 与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 211, 及112211-=+=+z y x 都平行, 且过原点的平面方程 为 . 9. 函数34)(4+-=x x x f 在区间[0, 2]的最小值 .三、解答题（需写出解题过程，共60分）1． 设)(),(xy g y x xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求yx z ∂∂∂2. (15分)2．求微分方程02)(2=-+xdy dx x y 满足561==x y的特解。
高等数学A1练习题(答案在主页中)
1、设函数在点处连续，则.2、设为可微函数，且，则.3、函数在上的最小值为.4、设是的一个原函数，则.5、积分. 二、单项选择题（每题3分，共15分）： 1、当时，与是等价无穷小.A ：；B ：； C ：； D ：. 2、已知，则. A ：3； B ：； C ：； D ：. 3、若点为曲线的拐点，则.A ：必有存在且等于零；B ：必有存在但不一定等于零；C ：如果存在，必等于零；D ：如果存在，必不等于零.4、已知的一个原函数是，则. A ：； B ：； C ：； D ：5、反常积分. A ：； B ：； C ：0； D ：发散.三、计算题（每小题6分，共12分）：1、.2、. 1sin , 0()3 , 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩=0x a =()u ϕ2ln[()]y x ϕ=dy =216()f x x x=+(0,)+∞__________()F x ()f x ()32f x dx -=⎰12-11sin 1x dx x +=+⎰0→x sin 0ln(1)x t dt +⎰()x 12x 22x 212x 0()3f x '=-()000()()lim h f x h f x h h→+--=3-66-00(,())x f x )(x f y =()0''()f x 0''()f x 0''()f x 0''()f x ()f x 2x e-()'()xf x dx =⎰22(21)x x eC --++()()xf x f x dx -⎰222x x e C --+222x x e--()21ln e dx x x +∞=⎰1-10sin lim (1cos )x x x x x →--1012lim 1x x x x →+⎛⎫ ⎪-⎝⎭1、已知函数，求.2、求曲线在点处的切线方程.3、求由参数方程所确定的函数的导数及二阶导数. 五、计算题（每小题6分，共18分）：1、.2、.3、. 六、（8分）采用列表的格式求函数的单调区间和极值.七、（8分）设平面图形由曲线及直线所围成.（1）求该平面图形的 面积；（2）求该平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积.八、（6分）证明：当.20x y =⎰dy 2222x y x e y -+=+(1,1)221t t x e y te⎧=+⎨=⎩()y y x =dy dx 22d y dx 3ln x xdx ⎰24ππ-⎰40⎰2()(57)x f x x x e =-+y =12y x =A x V 0x >13x <+。
云南省部分2015届高三1月份统一考试数学(理) Word版含答案
云南省部分名校高2015届1月份统一考试理科数学试卷命题 昆明三中高三年级数学备课组一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足iz=1+i ，则z =（ ） A ．1+i B ．1－i C ．－1+i D ．－1－i2．集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．.(,2]A -∞- .[2,)B -+∞ .(,2]C -∞ .[2,)D +∞ 3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是（ ） A.2()f x x = B. ()2xf x = C. 21()log f x x= D. ()sin f x x = 4.已知向量,a b ，其中2,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B. 4π C. 2π D.3π5．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为4-时，则输入的0S 的值为（ ）A.7B.8C.9D.106. 实数x ，y ，k 满足3010x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，22z x y =+，若z 的最大值为13，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知函数①sin cos y x x =+,②cos y x x =,则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称图形.B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称图形.C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数. D ．两个函数的最小正周期相同.（第5题图）8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若△ABC 的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于 （ ）A.34 B.43C. 43-D.34- 9.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 （ ） A.14 B.13 C.23 D.1210．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A.3160B. 160C.23264+D.6011.抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 ( )D. 212.已知函数()f x 满足1()()f x f x=, 当[]1,3x ∈时,()ln f x x =,若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( )A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.ln 31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13.已知611e n dx x =⎰,那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为________________. 14.已知圆22:1O x y +=,直线250x y -+=上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为_________.15．观察下列等式：3233233323333211,123,1236,123410,,=+=++=+++=根据上述规律，第n 个等式为 .16．表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC ⊥SAB 平面ABC ,则棱锥ABC S -体积的最大值为 .三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=,数列{}n b 中，1211,2b b ==,()12211*n n n n N b b b ++=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n c 满足nn na cb =，求证： 12334n c c c c +++⋅⋅⋅+<.18. （本小题满分12分）云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布(170.5,16)N .现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人中任意抽取2人，该2人 中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：若),(~2σμξN ．则()P μσξμσ-<≤+=0.6826， (22)P μσξμσ-<≤+=0.9544, (33)P μσξμσ-<≤+=0.9974.19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）设1CE CC λ= (01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值. 20．（本小题满分12分）如图，已知椭E:()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ， 22AC BD b k k a⋅=-.（Ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅱ）求证：四边形ABCD 的面积为定值. 21．（本小题满分12分） 已知函数()(0)ln xf x ax a x=->.1（Ⅰ）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若212[,]x x e e ∃∈、，使12()()f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为()2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （Ⅱ）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值.24. （本小题满分10分）已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求a 的取值范围.云南省部分名校高2015届1月份统一考试理科数学参考答案1-4 ADCB 5-8 DBCC 9-12 DAAC13.135 14.2 15.233333(1)112342n n n +⎡⎤+++++=⎢⎥⎣⎦16. 27 17.解.（Ⅰ）由21n n S a +=，得()112n n S a =-当2n ≥时，()()1111111112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-+ 即11123n n n n n a a a a a --=-+∴=（由题意可知10n a -≠） {}n a 是公比为13的等比数列，而()111112S a a ==-113a ∴=，1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由12211n n n b b b ++=+，得12211111111,2,1,,n n d n b b b b b b n===-=∴=∴=（2）13nn n n a c n b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设12n n T c c c =+++，则()123231111112333331111112133333nn n n n T n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由错位相减，化简得：3311132313.443234434nnn n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18.解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全市的平均值170.5（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分）（Ⅲ） 4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ， 0013.029974.01)5.182(=-=≥∴ξP ，0.0013×100 000=130. 所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是924510)0(21025====C C P ξ,954525)1(2101515====C C C P ξ,924510)2(21025====C C P ξ1922951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………（12分）19．解：（Ⅰ）因为侧面11AB BB C C ⊥,1BC ⊂侧面11BBC C ，故1AB BC ⊥,在1BCC ∆中, 1111,2,60BC CC BB BCC ︒===∠= 由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC = 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥,而BCAB B =，1C B ∴⊥平面ABC（2）由（Ⅰ）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),A(0,1,0),(1,0,3),C(1,0,0),C B B-. 所以1(1CC =-,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则(1,1)AE λ=--，1(1,1AB =--. 设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，则1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,1-)00x y z x y λ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩（，令3z =，则333,22x y λλλ-==--，333(,22n λλλ-∴=--是平面1AB E 的一个法 向量.AB ⊥平面11BB C C,(0,1,1)BA =是平面1BEB 的一个法向量，cos ,n BA n BA n BA⋅〈〉===∴.两边平方并化简得22530λλ-+=，所以1λ=或32λ=（舍去）20．解：（Ⅰ）2222222222842112844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=⇒∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩分当直线AB 的斜率存在时，设()()1122:,,,,.AB l y kx m A x y B x y =+由()2222212428028y kx mk x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩2121222428,1212km m x x x x k k--∴+==++.………………..4分 ()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭. 21221222222221281284212212OA OBy y b k k a x x m k m m b k k⋅=-⇒⋅=---∴=-⋅⇒=+++………………..6分222212122222288424212122121m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++， max 22OA OB=-2k AB x OA OB =2,OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥⋅，当k=0时，当不存在即轴时所以OA OB ⋅的范围是[]2,2-.………………..8分()2S 412ABCD AOBAOBSS==..10分ABCD S ==∴=..12分21．（Ⅰ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立．所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．又22ln 1111()()(ln )ln 24x f x a a x x -'=-=--+-，故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a =-， 所以104a -≤，故14a ≥所以a 的最小值为14.（Ⅱ）“若212[,]x x e e ∃∈、，使12()()f x f x a '≤+成立”等价于当2[,]x e e ∈时，有min max ()()f x f x a '≤+，当2[,]x e e ∈时，有max max 11(),()44f x a f x a ''=-+=，问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”①当14a ≥时， ()f x 在2[,]e e 上为减函数.则222max 1()()24e f x f e ae ==-≤，故21124a e ≥-.②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数， 故()f x '的值域为2[(),()]f x f e ''，即1[,]4a a --．由()f x '的单调性和值域知，存在唯一20(,)x e e ∈，使0()0f x '=，且满足： 当0(,)x e x ∈时，()0,()f x f x '<为减函数； 当20(,)x x e ∈时，()0,()f x f x '>为增函数；所以0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈．所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意． 综上，21124a e≥-23.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：224x y x += 即：()2224x y -+=直线l的普通方程为0x y -+= 4分 （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12，得 ()22224x y -+= 即()22114y x -+=再将所得曲线向左平移1个单位，得1C ：2214y x += 又曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ则p l d →==≥（其中1tan 2ϕ=-）∴点P 到直线l24.对值不等式的性质得解。
2015年云南省高考文科数学试题与答案(word版)
2015年云南省高考文科数学试题与答案(word版)2015年云南省高考文科数学试题与答案一、选择题：1.已知集合A=｛x|-1<x<2｝，B=｛x|0<x<3｝，则AUB=（C）(0,2)2.若a为实数且2+ai=3+i，则a=（D）43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.a=(1,-1)，b=(-1,2)，则(2a+b)·a=（C）15.Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（B）76.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A）11117.过三点A（0,0），B（0,3），C（2,3）则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（B）58.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=（C）49.已知等比数列{an}满足a1=1，a3a5=4(a4-1)，则a2=（B）110.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（C）144π11.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。
将动点P 到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为1（无法改写，删除）则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是：A) (1,+∞)B) (-∞,1)∪(1,+∞)C) (-∞,1)D) (-∞,+∞)设函数f(x)=ln(1+x)-x/2二、填空题：13) 已知函数f(x)=ax-2x的图象过点(-1,4)，则a=______。
14) 若x，y满足约束条件2x-y-1≥0，x-2y+1≤0，则z=2x+y的最大值为______。
2015年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷
2015年云南昆明理工大学数学分析考研真题A 卷一、（10分）设{|}.S x x =为区间(0,1)内的有理数（1）求S 的上、下确界；（2）用上、下确界的定义验证所得两个结果中的一个.二、（10分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并运用它证明lim cos x x →+∞不存在. 三、（15分）设2,3,(),3,x x f x ax b x ⎧≥=⎨+<⎩试确定,a b 的值，使f 在3x =处可导.四、（15分）求下列极限 （1）n →∞ （2）2lim ;n n →∞⎛⎫++++ （3）2001lim cos .tan x x t dt x →⎰ 五、（10分）（1）设2(sin ),(1cos ).|;t x a t t dy y a t dx π==-=-⎧⎨⎩求 （2）设(,),x y u f y z = 求.du 六、（15分）设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内()f x ''存在，又连结(,()),A a f a ))(,(b f b B 两点的直线交曲线)(x f y =于点(,()),C c f c 且,a c b << 试证：在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)0.(f ξ=''七、（10分）设20()cos().3nn n x f x n x π∞==∑ （1）证明)(x f 在)2,0(内一致收敛；（2）求1lim ().x f x → 八、（20分）设222222(0,(,)0,0.x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩证明：（1）),(y x f 在点(0,0)连续；（2）),(y x f 在点(0,0)偏导数存在；（3）),(y x f 关于x 的偏导函数),(y x f x 在点(0,0)不连续.九、（10分）计算曲线积分(),L x y ds +⎰其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形.十、（10分）计算曲面积分,SxyzdS ⎰⎰其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.十一、（10分）用高斯公式计算曲面积分222,Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰ 其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧.十二、（15分）试用致密性定理证明：若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界.。
2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为 ．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值． 解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值． 解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-． 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件． 故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件． 因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >． 反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ． 从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ． 解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <． 由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。
二本2014-2015(1)高数试卷A及答案(1)
郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（ ） （A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）3=a ，b 取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x +； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________． 三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：cos x e x dx ⎰． 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．四、解答题（本题7分）设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ． 五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+． 2．设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+，)(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试求)('x f ．2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 1021(lim ）+→的值是（ D ）（A ）e ； （B ）e 1； （C ）2-e ； （D ）2e ．4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（B ）（A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）,3=a b 可取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ C ）(A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x + ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为___2_____．2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22x x e x→+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，得驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e=-， ……..5分 故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,2dy x y dx===-，…….5分 所以切线方程为)2y x =--． ……6分 四、解答题（本题7分）5．求不定积分：e cos x x dx ⎰． 解：cos cos cos cos x x x x e x dx x d e e x e d x ==-⎰⎰⎰……2分 cos sin cos sin x x x x e x e x dx e x x d e =+=+⎰⎰cos sin sin (cos sin )cos x x x x x e x e x e d x e x x e xd x =+-=+-⎰⎰…….5分 移项得 1e cos (cos sin )2x x x dx e x x C =++⎰．……6分 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．解法1：451(1)(1)5x x dx xd x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……2分 5511(1)(1)55x x x dx =---⎰ ……4分 5611(1)(1)530x x x C =---+ ……6分解法2：4454(1)(11)(1)(1)(1)x x dx x x dx x dx x dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰…..4分6511(1)(1)65x x C =-+-+ ……6分 解法3：令1x t -=，则1,x t dx dt =+=，……2分原式454=(1)t t dt t dt t dt +=+⎰⎰⎰ …..4分65651111(1)(1)6565t t C x x C =++=-+-+ ……6分 解法4：4432(1)(4641)x x dx x x x x x dx -=-+-+⎰⎰ …..4分54326543214341(464)65232x x x x x dx x x x x x C =-+-+=-+-++⎰……6分设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ．解：0x >时,()arctan f x x =，所以21'()1f x x =+；……2分0x <时()f x ='()f x = ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)arctan '(0)lim lim 1x x f x f x f x x---→→-===，00()(0)'(0)lim lim x x f x f f x x +++→→-===+∞．所以()f x 在0x =处不可导． ……6分故21,01()0x x f x x ⎧<⎪+⎪=⎨>． ……7分五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+．证法1：令()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，1x ≥，则(1)0f =．……2分 11'()ln 2ln 1x f x x x x x +=+-=+-，且'(1)0f =．211''()0,1f x x x x =->>． ……5分所以1x >时，'()'(1)0f x f >=；1x >时，()(1)0f x f >=，整理即得2(1)ln 1x x x ->+． ……7分证法2：2(1)()ln ,11x f x x x x -=-≥+，且(1)0f =．……2分222211(1)14(1)'()2(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +---=-=-=+++． ……5分 当1x >时，'()0f x >，所以()(1)0f x f >=，即2(1)ln 1x x x ->+．……7分 2、设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．证明：（1）存在性令()()ln ,1F x f x x x e =-≤≤，显然()F x 在[1,]e 上连续，且(1)(1)0,()()10F f F e f e =>=-<，即(1)()0F F e <，故()F x 在[1,]e 上满足零点定理，所以至少存在一点(1,)e ξ∈，使得()0F ξ=，即()ln f ξξ=． ……5分（2）唯一性 因为1'()1'()'()0xf x F x f x x x-=-=<，所以()F x 在[1,]e 上单减，故()F x 在(1,)e 内至多有一个零点． 综上所述，()F x 在(1,)e 内仅有一个零点，即在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=． ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -．将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+， )(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试证明()f x 在R 上处处可导，且)()('x f x f =．解：因为)(1)(x xg x f +=， 所以00()1()1(),lim lim ()1x x f x f x xg x g x x→→--===．……1分 0()()'()lim h f x h f x f x h→+-= ……3分 00()()()()1lim ()lim ()h h f x f h f x f h f x f x h h→→--===．……5分 所以，()f x 在R 上处处可导，且'()()f x f x =．。
高等数学考试试题及答案-昆明理工大学
e 3 x cos 2 x 3e 3 x 2 sin 2 x 3 （用洛必达法则） lim （4 分） ； （7 分） x 0 x 0 2 cos 2 x sin 2 x 2
(2). lim
x
x
2
1 x 2 1 lim
2 x
2 x2 1 x2 1
五．证明题： （本题 5 分） 设 f ( x) 为连续函数，证明： xf (sin x)dx
0
2 0
f (sin x)dx 。
昆明理工大学试卷标准答案
一．填空题： （本题总分 20 分，每小题 4 分） 1． (,4) (4,5) (5,6) (6,) ； 2． f ( x0 ) ； 3． F ( x a) F (2a) ； 4．0， 2 ； 5． x 2 y 2 C 。 二．计算题： （本题总分 49 分，每小题 7 分） 1． (1). lim
2．设 f ( x) 在 x x0 处可导，则 lim
h 0
；
3．设 F ( x) f ( x) ，则 f (t a)dt
a
x
；
4．函数 f ( x)
e2x 1 的可去间断点为 x0 x( x 1)
，补充定义 f ( x0 )
，则函数
在 x 0 点连续。 5．方程 y
昆明理工大学考试试卷
课程名称（含档次） 专 业 高等数学 B(一) 层次（本、专） 本 科 课程代号 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一．填空题： （本题总分 20 分，每小题 4 分） 1．函数 f ( x)
1 的定义域是 lg x 5
；
f ( x 0 2h) f ( x 0 ) 2h