选修2-3--1.2.1.1-排列的概念及排列数公式
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解 对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种． 二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析 根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析 根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案 3 600解析 不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的， 则其不同的排列有12×A 44＝12种， 而正确的排列只有1种， 则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析 可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)． 三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法． 解 作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．。
高中数学选修2-3精品课件13：1.2.1 排列(一)
名师点评 (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于 具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等 式，在运用该公式时要注意它的特点；
(2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有 关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意 先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*，m∈N*”的运用．
(4)从集合 M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相异的两 个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的 椭圆ax22＋by22＝1?
解：(1)是．选出的2人，担任正、副班长，职务不同， 与顺序有关，所以是排列问题； (2)是．对数值与底数和真数的取值的不同有关系， 与顺序有关； (3)是．起点站或终点站不同，则车票就不同，与顺序有关． (4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必须a>b，a， b的大小一定，选出的两数较大的只能作a，较小的只能作 b，与顺序无关，所以不是排列问题．
变式 将典例中③的“互发短信”改为“互通电话”，则 此问题是排列问题吗？
解：不是，互通电话与互发短信不同，与顺序无关， 故不是排列问题．
名师点评 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练 判断下列问题是否为排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一 人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底 数和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？
故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个．
解法二：从 4 个数字中任取 2 个， 其排列个数为 A42＝4×3＝12. (2)由题意作树形图，如下．
【原创】人教A版选修2-3：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
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解: (1)不是； (2)是； (3)第一问不是，第二问是． 理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素 做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算 式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与 位置有关．选出 3 个座位与顺序无关，“入座”问题同 “排队”，与顺序有关，故选 3 个座位安排 3 位客人入 座是排列问题.
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[点睛] 排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个不同的元 素，否则不是排列问题． (2)有序性：安排这 m 个元素时是有顺序的，有序的就是排 列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的 位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无 顺序．
(1)A66；
(2)2AA5888＋－7AA59 48；
(3)若 3A3n＝2A2n＋1＋6A2n，求 n.
解：(1)A66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720. (2)2AA5888＋ －7AA95 84＝8×27××86××75× ×64××53××42＋ ×71×－89××78× ×67××56×5＝1.
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判断一个具体问题是否为排列问题的方法
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[活学活用] 下列问题是排列问题吗？ (1)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种 不同的可能？ (2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可 能？ (3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选 出 3 个座位安排 3 位客人入座，又有多少种方法？
高中数学选修2-3精品课件1：1.2.1 排列
n种 (n-1)种 (n-2)种
(n-m+1)种
n (n-1) (n-2) … (n-m+1)种
基本概念
排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn (m、 ∈N*)
排列数公式： Amn =n (n-1) (n-2) … (n-m+1)种 注1.排列与排列数的区别与联系; 2.排列数公式的特征： （１）等号右侧有m项相乘； （２）等号右侧从左至右依次呈公差为－１的等差数列.
的八个数字中选取,共A种取法.所以共有2×7× A83种不同情况.
②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9
中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A83种选法， 所以共有3×6×A83 种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000
大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A83 ＋3×6× A83=10752(个)．
A124 14 13 182
理论迁移
例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有
多少种不同的送法？
A53 = 60(种)
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少
种不同的送法？
53 = 125 (种)
典型例题
题型一 数字排列的问题 例1.用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条 件的且没有重复数字的数： (1)五位奇数； (2)大于30 000的五位偶数．
第一章 计数原理 §1.2.1排列
高中数学选修2-3·同步课件
【课标要求】
1． 掌握几种有限制条件的排列． 2． 能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．
选修2-3 1.2.1 排列 (二)
例5 随 着 人 们 生 活 水 平 的 提高 ,某 城 市 家 庭 汽 车 拥 有 量 迅 速 增 长,汽 车 牌 照 号 码 需 要 扩 容.交 通 管 理 部 门 出 台 了 一种 汽 车 牌 照 组 成 办 法, 每 一 个 汽 车 牌 照 都 必 须有 3 个 不 重 复 的 英 文 字 母 和3 个 不 重 复 的 阿 拉 伯 数字, 并 且3个 字 母 必 须 合 成 一 组 出现,3个 数 字 也 必 须 合 成 一 组 出 现.那 么 这 种 办 法 共 能 给 多 少 辆 汽 车 上 牌 照?
1.2 .1 排 列
第二课时
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m(m n )个元素（m
个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( m n)个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
素的排列数 Anm
你能用排列的知识解决吗？
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五 位数，其中小于50000的偶数共有多少个？直接法
万位 千位 百位 十位 个位
A31
A33
A21
解法一：（正向思考法）个位上的数字排列数
有A21种（从2、4中选）；万位上的数字排列数有 A31种（5不能选），十位、百位、千位上的排列数 有A33种，故符合题意的偶数有A21 A31A33个。
例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有 重复数字的三位数？
解法一：对排列方法分步思考。
从位置出发
百位 十位 个位
A A A 1 1 1 998 648 998 0是“特殊元素”，
高二数学选修2-3排列知识点
高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念，在高二数学选修2-3中，我们将深入学习排列的相关概念和应用。
本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。
一、基本概念1. 排列的定义：排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。
2. 全排列：全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。
3. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列方式，即在排列的过程中，首尾相连形成一个环。
二、排列的计算方法1. 排列的计算公式：在计算排列的数量时，我们可以使用排列的计算公式，即n个不同元素的全排列数量为n!。
2. 有重复元素的排列：当排列中存在重复的元素时，计算排列的数量需要考虑重复元素的情况，我们可以使用排列计算公式的变形公式，即在n个元素中，有n1个元素相同，n2个元素相同，...，nk个元素相同，则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。
三、排列的应用1. 字母组合：排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。
例如，计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。
2. 座位安排：排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。
例如，如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。
3. 时间安排：排列还可以应用于时间安排问题。
例如，在参加一场比赛的选手中，如何安排他们的比赛顺序，使得每个选手都能与其他选手进行比赛。
4. 数字密码：排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。
例如，当设置数字密码时，我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。
综上所述，排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点，具有一定的理论基础和应用价值。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧，进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。
高中数学选修2-3--1.2-排列与组合---1.2.1--排列与排列数
【解】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问 题；
(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；
第十五页，共41页。
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员 是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
第十一页，共41页。
2．对于排列数公式注意以下三点： (1)这个公式在m，n∈N*，m≤n的情况下成立，m＞n时 不成立． (2)排列数公式的推导过程是不完全归纳法，不是严格 的证明，要严格证明排列数公式，可采用数学归纳法证 明．这个证明不作要求，今后直接应用公式即可． (3)要从以下几点加深对排列数公式的记忆和理解：① 排列规律，从大到小；②最后一个数为(n－m＋1)；③数字 个数m个；④公式的正、逆应用.
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判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞 机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜；
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(3)选2个小组分别去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． 【分析】 解决本题的关键是要明确排列的定义，看 选出的元素在安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关， 则是排列问题，否则就不是排列问题．
所以①正确；
第三十九页，共41页。
nAmn－－11＝[n－n×1－n－m1－！1]！＝n－n！m！＝Amn ，所以②正 确；
Amn－－11＝[n－1n－－1m！－1！]＝nn－－m1！！(分母为(n－m)！， 而不是(m－n)！)，所以④不正确．
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例 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的 1 2 3 三位数？ 2 1 3
1 2 1
1 3
1 4
1 2 4 1 3 2 1 3 4 1 4 2 2
2 1 2 3 2 4
2 1 4 2 3 1 2 3 4 2 4 1
1 4 3
3 1 2 3 1 4 3 2 1 3 2 4 3 4 1 3 4 2 4
1.2.1.1 排列的概 念及排列数公式
问题1 北京、上海、广州三个民航站之间的直 达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
起点站
北京 上海
终点站 上海
广州 北京 广州 北京 上海
飞机票 北京 上海 北京 上海 上海 广州 广州 北京 广州 北京
广州
广州
上海
我们把上面问题中被取的对象 叫做元素。于是，所提出的问题就 是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列， 求一共有多少种不同的排列方法。
5 8 6 9 4 8 5 9
( 4) A
3 2n
A
n 1 6
?
例6 某信号兵用红、黄、蓝三面 旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示 信号，每次可以任挂一面、二面或 三面，并且不同的顺序表示不同的 信号，一共可以表示多少种不同的 信号？
例7 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？
A
第1位
第2位
A
n n-1
第1位 第2位 第3位
2
n ( n 1 ) n
第m位
······
n n-1 n-2
n-m+1
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
n
n ( n 1 ) ( n 2 ) • ···•3 •2 •1 An
解法一：对排列方法分步思考。
百位
1 1
十位
1
个位
9 9 8 648 A9 A9 A8
9 9 8 648 A9 A9
1 2
解法二：对排列方法分类思考。 符合条件的三位数可分为两类：
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
0
A
3 9
A
3
2 9
A
2
2 9
根据加法原理
648 A9 2 A9
解法三：间接法. 从0到9这十个数字中任取三个 3 数字的排列数为 10 ，
A
其中以0为排头的排列数为 ∴ 所求的三位数的个数是
A
. 9
2
A A
3 10
10 9 8 9 8 648 . 9
2
4 8 2 8 7 5 An An (3)已知 89，求n。 5 An 5 6 2 A7 A6 (4) ? 6!5! 3 2 2 (5)3 Ax 2 Ax 6 A 1 x ，求x。
例5 求证下列各式： m m 1 (1) An n An 1
( 2) A A A
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加 法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除 法，其结果有多少种不同的可能？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐 标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点 最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少 种？
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
b
c a
d
a
c b
d
a
b c
d
a
b d
c
所有的排列为：
abc
abd acb
bac
bad bca
cab
cad cba
dab
dac dba
acd
adb
bcd
bda
cbd
cda
dbc
dca
adc
bdc
cdb
dcb
排列数公式 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 m 元素的排列数，用符号 n 表示。
2 4 3
4 1 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 4 3 1 4 3 2
3 1
3 3 2 3 4
4 1 4 2 4 3
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出的元素各不相同的 情况），按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
12 11 132 ( 种 ) A12
有5名男生，4名女生排队。
例3
（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？
（2）全部排成一排，有有多少种排法？
（3）排成两排，前排4人，后排5人，有多少 种排法？
例4 应用公式解以下各题：
2 (1) An 56，求n。
(2) A 2 A ?
（从中归纳这几类问题的区别）
*排列的定义中包含两个基本内容：一个是“取 出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一 定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问 题是不是排列问题的重要标志。
*根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个 排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也 相同。
例 写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所 有排列。
n An ！
n
例1 计算：
(1) A ; A ( 2) ; A (3) A .
16 8 12 7 12 6 6
3
161514 3360
121110 9 8 7 6 5 5 121110 9 8 7 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
例2 某段铁路上有12个车站，共需要准备多 少种普通客票？ 2
m n k n
mk nk
(k m n)
(n 1)! n! (n k 1) n! (3) k! (k 1)! k!
练习：
求解下列各式的值或解方程。
(1) A
4 2 n 1 4 8 8 8
140 A
5 8
3 n
4A 2A ( 2) ? 5 A A9 A A (3) ? A A