抛物线的简单几何性质导学案

抛物线的简单几何性质（教师版）
一、学习目标
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 2．能根据抛物线的几何性质求出抛物线的标准方程
3．在抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
二、学习过程 1、复习回顾 (1) 抛物线定义： 叫做抛物线； 叫
做抛物线的焦点； 叫做抛物线的准线。

（2）抛物线的标准方程
2、新课探究（类比椭圆、双曲线的几何性质）
现在我们结合抛物线)0(22>=p px y 的标准方程和图形,共同探究其几何性质: ①范围 ： ②对称性： ③顶点： ④离心率：
图形
x
y
O F
l
x
y
O F
l
方程 焦点 准线
x
y O F
l
x
y
O
F l
3、请同学们自主完成下表（思考1）
标准方程
()
022>=p px
y
()
022>=p py
x
图形
x
y
O F
l
范围 0,≥∈y R x
对称性 x 轴
y 轴
顶点
()0,0
焦点
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,2p
准线方程 2
p x -
=
2
p y -
= 离心率
1=e
4、归纳特点：(师生互动）
（1）__________________________________________________________ （2）___________________________________________________________ （3）___________________________________________________________ （4）___________________________________________________________ 5、例题讲解：
例1、已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程.
变式：（思考2）
顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M ），（222-的抛物线有几
条？求出它们的标准方程.
例2、斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点， 求线段AB 的长.
知识拓展（思考3）
倾斜角为α的直线经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点,与抛物线相交于
B A 、两点.(1)求线段AB 的长. (2)求|AB|的最小值.
发现新结论：（1）________________________（2）_______________________
6、课堂小结：
课后练习与提高
1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果
621=+x x ，那么||AB =（ ）
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4
2．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则
||||MF MP +的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、
QF 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+=（ ） （A ）a 2 （B ）
a 21 （C ）a 4 （D ）a
4 4．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是
A 2，
B 2，则∠A 2FB 2等于
抛物线的简单几何性质
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p
本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程：
一、复习引入： 1．抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛
物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与
图形
x
y
O F
l
x
y
O F
l
方
程 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x
焦点 )0,2
(p )0,2(p -
)2,0(p
)2,0(p -
准线
2
p x -=
2
p x =
2p y -=
2
p y =
x
y O F
l
x
y
O
F l
焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
4
1
，即2
42p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2
x
（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课：
抛物线的几何性质 1．范围
因为p ＞0，由方程()022
>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不
等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性
以－y 代y ，方程()022
>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线
的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022
>=p px y 中，当y=0时，x=0，
因此抛物线()022
>=p px y 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
标准方程
图形
顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
()
022>=p px
y
x
y
O F
l
()0,0
x 轴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p 2
p x -
= 1=e
()
022>-=p px
y
x
y
O F
l
()0,0
x 轴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,2p 2
p x =
1=e
()
022>=p py
x
()0,0
y 轴
⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0p 2
p y -
= 1=e
()
022>-=p py
x
()0,0
y 轴
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2,0p
2
p
y =
1=e
注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．
解：由题意，可设抛物线方程为px y 22
=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2
⋅=-p ，即 2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42
=．。