2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第7讲函数的图象教学案理北师大版

第7讲 函数的图像一、知识梳理1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．常用结论1．函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称． (3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．二、教材衍化1．函数f (x )＝x ＋1x的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C.函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.2．已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)解析：选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.3.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．解析：在同一直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．答案：(－1，1]一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( )(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见|Ｋ(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；误区(2)不注意函数的定义域出错．1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．答案：－log2(x－1)2.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2，8]．答案：(2，8]作函数的图像(师生共研)作出下列函数的图像． (1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1. (3)y ＝|log 2(x ＋1)|. 【解】(1)先化简，再作图，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，图像如图所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图 所示．(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．[提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．函数图像的识别(多维探究)角度一知式选图(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图像大致为( )(2)(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－e x－1的图象可能是( )【解析】(1)因为f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－sin x＋xcos x＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；因为f (π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2>0，所以排除C ；因为f (1)＝sin 1＋1cos 1＋1，且sin 1>cos 1，所以f (1)>1，所以排除B.故选D. (2)当x →＋∞时，f (x )→－∞， 故排除D ；易知f (x )在R 上连续，故排除B ；且f (0)＝ln 2－e －1＞0，故排除C ，故选A. 【答案】 (1)D (2)A 角度二 知图选式(1)已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝exxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x(2)(2020·洛阳第一次统考)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(a ＞b )的大致图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的大致图像是( )【解析】 (1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(2)由函数f (x )的大致图象可知3＜a ＜4，－1＜b ＜0，所以g (x )的图象是由y ＝a x(3＜a ＜4)的图象向下平移－b (0＜－b ＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A 中的图像，故选A.【答案】 (1)A (2)A角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图像为 ( )【解析】 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，因为|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，所以y ＝f (x )的图象是曲线，且递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →与OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P |2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cosα＝5－4cos x2，函数y ＝f (x )的图象是曲线，且递减．【答案】 A识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．[提醒] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．1．(2020·湖北七市(州)模拟)函数f (x )＝3x－3－xx4的大致图象为( )解析：选B.易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f (－x )＝3－x－3xx4＝－3x －3－xx 4＝－f (x )，则f (x )是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ，f (1)＝3－13＝83>0，排除D ，当x →＋∞时，3x→＋∞，则f (x )→＋∞，排除C ，故选B.2.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln |x | B ．f (x )＝x 2－ln |x | C ．f (x )＝|x |－2ln |x | D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B.由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2，1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．故选B. 3．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．函数图像的应用(多维探究) 角度一 研究函数的性质(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是 ( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．【解析】(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32. 【答案】 (1)C (2)32一般根据图像观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图像是否关于原点或y 轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图像上升与下降的情况，确定单调性．角度二 解不等式若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，2]B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)【解析】 要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．【答案】 A当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．角度三 求参数的值或取值范围设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选D.因为f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x ＜0可化为f （x ）x＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1，0)∪(0，1)．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c的取值范围是( )A ．(16，32)B ．(18，34)C ．(17，35)D ．(6，7)解析：选B.画出函数f (x )的图象如图所示．不妨令a <b <c ，则1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2. 结合图象可得4<c <5，故16<2c<32， 所以18<2a＋2b＋2c<34.故选B.数形结合思想在函数问题中的应用已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0【解析】函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.【答案】 D数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f (x 1)－f (x 2)＜0.函数y ＝ln|x －1|的图像与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．3B ．6C ．4D ．2解析：选B.由图象变换的法则可知，y ＝ln x 的图象关于y 轴对称后和原来的一起构成y ＝ln|x |的图象，向右平移1个单位得到y ＝ln|x －1|的图象；y ＝－2cos πx 的周期T ＝2.如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x ＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.[基础题组练]1．(2020·山西吕梁4月模拟)函数f (x )＝|x |sin x 的图象大致是( )解析：选A.函数f (x )＝|x |sin x 为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B ，C ；又f (π)＝|π|sin π＝0，故排除D.故选A.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.3．(2020·湖南娄底二模)函数f (x )＝（e x－e －x）cos xx2的部分图象大致是( )解析：选A.f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除C 和D ，因为f (π)<0，所以排除B.故选A.4.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( ) A ．a ＝1，b ＝2 B ．a ＝1，b ＝－2 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B.令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a＞1，又当x ＞－b a时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.5.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )解析：选A.当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A ，故选A.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于________．解析：由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－17．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，且在(0，＋∞)上是减少的，则xf (x )＞0的解集为________．解析：因为函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减少的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，且在区间(－∞，0)上是减少的， 因为当x ＜0，若－12＜x ＜0时，f (x )＜0，此时xf (x )＞0，当x ＞0，若0＜x ＜12时，f (x )＞0，此时xf (x )＞0，综上xf (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4，5)．答案：(4，5)9．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求当x ＜0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间； (3)求f (x )在[－2，5]上的最小值，最大值．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0， 因为x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .所以f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x . 因为y ＝f (x )是R 上的偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x .(2)函数f (x )的图象如图所示：由图可得：函数f (x )的增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；减区间为(－∞，－1)和(0，1)．(3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上， 当x ＝±1时，取最小值－1， 当x ＝5时，取最大值15.10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象； (3)根据图象指出f (x )的减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的减区间是[2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．[综合题组练]1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x )>0得x ∈∅. 当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．2．(2020·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：选C.作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．(2020·昆明检测)若平面直角坐标系内A 、B 两点满足：(1)点A 、B 都在f (x )图象上；(2)点A 、B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2ex （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x(x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．选B.4．直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________．解析：因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A ，B 关于点(－3，5)对称，所以x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4. 答案：45．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )(x ≠0)，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数， 所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3， 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 6．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于ax －1<34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。