(天津专用)2018版高考数学总复习专题06数列分项练习(含解析)文

专题06 数列一．基础题组1.【2005天津，文14】在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)nn n a a +-=+-*()n N ∈，则10S = ． 【答案】2600()()()210010011505021005050260022a a S a a ++=+=+=本题答案填写：26002.【2006天津，文2】设{}n a 是等差数列，13569,9.a a a a ++==则这个数列的前6项和等于( )（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48【答案】B 【解析】{}n a 是等差数列，13533639,3,9.a a a a a a ++==== ∴ 12,1d a ==-，则这个数列的前6项和等于166()242a a +=，选B.3.【2007天津，文8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8【答案】B【解析】解：因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项， 则a k 2=a 1a 2k ，9d+（k-1）d]2=9d•9d+（2k-1）d]， 又d≠0，则k 2-2k-8=0，k=4或k=-2（舍去）． 故选B ．4.【2008天津，文4】若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 【答案】B 【解析】1524545()5()722a a a a S a ++==⇒=，所以4272255132a a a a d a -=+=+⋅=，选B ．5.【2010天津，文15】设{a n }是等比数列，公比qS n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝2117n nn S S a +-，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝__________.【答案】4 【解析】解析：an ＋1，Snn ，2n n2n n17]．≥8，当且仅当n ＝4时等号成立， 又10，∴当n ＝4时，Tn 取最大值，故n0＝4.6.【2011天津，文11】已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 . 【答案】1107.【2014天津，文5】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .12- 【答案】D 【解析】试题分析：因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(4.2a a a a -==--6)，选D.考点：等比数列8. 【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式;（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;（II ）()2323nn S n =-+【解析】21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 二．能力题组1.【2005天津，文18】若公比为的等比数列{}n a 的首项11a =且满足13(3,4,)2n n n a a a n --+==． （I ）求的值；（II ）求数列{}n na 的前项和n S ．【答案】（I ）c ＝1或21-=c （II ）]223)1(4[911-+--=n n n n S 【解析】 (Ⅰ)解：由题设，当3n ≥时，2212,n n n n a c a a ca ---==，221212---+=+=n n n n a ca a a ，由题设条件可得20n a -≠，因此212cc +=，即2210c c --= 解得c ＝1或21-=c式两边同乘21-，得 n n n n n S )21()21)(1()21(2212112-+--++-+-=-- ②①式减去②式，得n nn n n n n S )21(211)21(1)21()21()21()21(1)211(12--+--=---++-+-+=+- 所以]223)1(4[911-+--=n n n n S (n ∈N*)2.【2007天津，文20】在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列 （Ⅱ）求数列{}n a 的前项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）41(1)32n n n n S -+=+；（Ⅲ）详见解析（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． 3.【2008天津，文20】已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20n q ≠≥，．（Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．【答案】（I ）详见解析，（II ）11111 1.n n q q a q n q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，（Ⅲ）详见解析 【解析】（Ⅰ）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），211a a -=， 32a a q -=，……21(2)n n n a a q n ---=≥．3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---．由①可得36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．所以对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．4.【2009天津，文20】已知等差数列{a n }的公差d 不为0,设S n ＝a 1+a 2q+…+a n q n －1,T n ＝a 1－a 2q+…+(－1)n －1a n qn －1,q≠0,n∈N *.(1)若q ＝1,a 1＝1,S 3＝15,求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1＝d 且S 1,S 2,S 3成等比数列,求q 的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S 2n －(1+q)T 2n 221)1(2qq dq n --=,n∈N *. 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.【答案】（Ⅰ）a n ＝4n －3；（Ⅱ）q ＝－2；（Ⅲ）详见解析S 2n ＝a 1+a 2q+a 3q 2+a 4q 3+…+a 2n q2n －1,①T 2n ＝a 1－a 2q+a 3q 2－a 4q 3+…－a 2n q 2n －1.②①式减去②式,得 S 2n －T 2n ＝2(a 2q+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1).①式加上②式,得S 2n +T 2n ＝2(a 1+a 3q 2+…+a 2n －1q 上标2n －2).③ ③式两边同乘q,得q(S 2n +T 2n )＝2(a 1q+a 3q 3+…+a 2n －1q2n －1).所以,(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ＝(S 2n －T 2n )－q(S 2n +T 2n ) ＝2d(q+q 3+…+q2n －1)221)1(2qq dq n --=,n∈N *.5.【2012天津，文18】已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)． 【答案】（Ⅰ）an ＝3n －1，bn ＝2n ；（Ⅱ）详见解析－Tn ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n －1)×2n＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n＋1－2＝－(3n －4)×2n＋1－8，即Tn －8＝(3n －4)×2n＋1，而当n ＞2时，an －1bn ＋1＝(3n －4)×2n＋1．所以，Tn －8＝an －1bn ＋1，n∈N*，n ＞2． 三．拔高题组1.【2006天津，文21】已知数列{}n x 满足121x x ==并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零参数，2,3,4,...).n = （I ）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（II ）设01λ<<，常数*k N ∈且3,k ≥证明*1212...().1kk k n k kn x x x n N x x x λλ++++++<∈- 【答案】（I ） 1.λ=±（II ）详见解析1112....n k n k n k n n n k n k nx x x xx x x x +++-++-+-=231(3)2.....n k n k n k k kn λλλλ+-+---+=因此，对任意*,n N ∈1212...k k n k n x x xx x x ++++++ (3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++(3)22(3)2(...)(1).1k k k k nk k k k nk kλλλλλλλλ--=+++-=-当3k ≥且01λ<<时，(3)201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以*1212...().1k k k n k k n x x x n N x x x λλ++++++<∈-2.【2010天津，文22】在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k .(1)证明a 4，a 5，a 6成等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)记T n ＝222323a a +＋ (2)n a ，证明32＜2n －T n ≤2(n ≥2)．【答案】(1) 详见解析，(2) an ＝22n ＋114n --（），(3) 详见解析由a1＝0，得a2k ＋1＝2k(k ＋1)，从而a2k ＝a2k ＋1－2k ＝2k2.所以数列{an}的通项公式为an ＝22122n n n n ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，奇，，偶，为数为数或写为an ＝22n ＋114n--（），n∈N*.(3)证明：由(2)可知a2k ＋1＝2k(k ＋1)，a2k ＝2k2. 以下分两种情况进行讨论：①当n 为偶数时，设n ＝2m(m∈N*)．若m ＝1，则2n －22nk kk a =∑＝2.若m≥2，则22nk kk a =∑＝22111221(2)(21)mm k k k k k k a a -==-++∑∑＝221211444122(1)mm k k k k k k k k -==++++∑∑＝2m ＋211441[]2(1)2(1)m k k k k k k k -=++++∑ ＝2m ＋11111[2()]2(1)m k k k -=+-+∑ ＝2m ＋2(m －1)＋12 (1－1m)＝2n －32－1n . 所以2n －22nk kk a =∑＝32＋1n ，从而32＜2n －22nk kk a =∑＜2，n ＝4,6,8，….有32＜2n －Tn≤2. 3.【2011天津，文20】已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈. 【答案】(1) 233,8,2a a =-=（2）详见解析，（3）详见解析 【解析】（Ⅰ）由1*3(1),2n n b n N-+-=∈，可得2,1n n b n ⎧=⎨⎩是奇数，是偶数 ，11(2)1n n n n n b a b a +++=-+，当1n =时，1221a a +=-，由12a =得232a =-； 当2n =时，2325a a +=可得38a =.由①得212122221k k k a --+=-+，所以21*212,2k k a k N -=-∈ ， 因此21234212()().. (2)k kk kS a a a a a a-=++++++=，于是212122122k k k k k S S a ---=-=+ ， 故21212212221212121212211222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=-----， 所以*21212122121......()3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈ 【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论思想方法. 4.【2013天津，文19】已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)． 【答案】（Ⅰ）11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析11112112nn n n S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n n n n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S +≤+. 当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S +≤+. 故对于n∈N*，有1136n n S S +≤. 5.【2017天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-，2nn b =；（Ⅱ）2(34)216n n +-+．【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，等比数列的公比为，建立方程（组）即可求解；（Ⅱ）先求2{}n a 的通项公式，可得2{}n n a b 的通项公式，再根据错位相减法即可求其前n 项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①；由11411S b =，可得1516a d +=②，122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前项和为2(34)216n n +-+． 【考点】等差数列、等比数列、错位相减法、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 6.【2014天津，文20】已知和均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，(1)当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.【答案】(1) {}0,1,2,3,4,5,6,7A =， (2) 详见解析. 【解析】试题分析：(1)本题实质是具体理解新定义，当3,2==n q 时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x x M i ==++∈=，再分别对123(,,)x x x 取(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1), 得到{}0,1,2,3,4,5,6,7A = (2)证明大小不等式，一般利用作差法. 21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q -----=-+-++-+-,根据新定义：1,1,(1,2,,1)i i n n a b q a b i n -≤--≤-=-，所以1211(1)(1)(1)(1)(1)101n n n n q q s t q q q q qqq q-------≤-+-++--=-=-<-，即t s <.考点：新定义，作差证明不等式，等比数列求和 7.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）22n . 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由2111211q a q a a =-，解得1,2-==q q ，分别代入616(1)631a q S q-==-，得1-≠q ，11=a ；（Ⅱ）先根据等差中项得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，再利用分组求和法求和：2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-.设数列})1{(2n n b -的前项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为,,n n nb n ac n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．。