【数学】贵州省遵义市湄潭县乐乐中学2012-2013学年高二下学期期中考试(理)

时间：120分钟，分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是B. C.5D.82．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）A.sin 1=ρθB.sin =ρθC.cos 1=ρθD.cos =ρθ3．正弦函数是奇函数（大前提），)12sin()(+=x x f 是正弦函数（小前提），因此)12sin()(+=x x f 是奇函数（结论），以上推理（ ）A ．结论正确B ．大前提错误C ．小前提错误D ．以上都不对4．记I 为虚数集，设∈b a ,R ，I y x ∈,.则下列类比所得的结论正确的是 （ ） A ．由R b a ∈⋅，类比得I y x ∈⋅ B ．由02≥a ，类比得02≥xC ．由2222)(b ab a b a ++=+，类比得2222)(y xy x y x ++=+D ．由b a b a ->⇒>+0，类比得y x y x ->⇒>+0 5．设0<<b a ，则下列不等式中不．成立的是（ ） A ．ba 11> B ．ab a 11>-C ．b a ->||D ．b a ->-6．已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为)0(>=r r ρ，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )A ．1B ．22 C ．2 D ．27．方程3269100x x x -+-=的实根个数是A.0B.1C.2D.38．=+⎰dx x x)1(21（ ） A ．232ln +B ．252ln + C ．32ln + D ．232ln -9．已知0|2|>--x m 的解集为)5,1(-，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．由曲线21y x =+，直线3x y +=以及两坐标轴所围成的图形的面积S 的值为（ ）A ．2B ．83C ．103D ．11311．设102m <<，若1212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为 A ．2B ．4C ．6D ．812．已知函数()()021ln 2>+=a x x a x f ，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有()()22121>--x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是 A ．(]1,0 B ． ()+∞,1 C ．()1,0 D ．[)+∞,1 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数，πϕ20<≤），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是 ．14. 二维空间中圆的一维测度（周长）r l π2=，二维测度（面积）2r S π=，观察发现l S ='；三维空间中球的二维测度（表面积）24r S π=，三维测度（体积）V ＝34πr 3，观察发现V ′＝S 。

则四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W ＝ 。

15.若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .若21x -比1远离0，则x的取值范围是 .16.已知,z ω为复数，i 为虚数单位，(13)i z +⋅为纯虚数，2ziω=+，且||ω=数ω= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分） 已知z 为复数，i z 2+和iz-2都是实数，其中i 为虚数单位。

（1）求复数z ；（2）若复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

18.(本题满分12分) 请观察以下三个式子:①692131⨯⨯=⨯；②611324231⨯⨯=⨯+⨯； ③61343534231⨯⨯=⨯+⨯+⨯。

归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.19.(本题满分12分)设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈。

（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围。

20.(本题满分12分)已知1=x 是函数()()2xf x ax e =-的一个极值点．(a R ∈)（1）求a 的值；（2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤．21．（本小题满分12分）以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋,＝，（t 为参数，πα<<0）．曲线C 的极坐标方程为=ρ22cos sin θθ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值．22.(本题满分12分) 已知函数()()ln 0x af x ax a x-=-≠． （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1=a 时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()y f x =的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．答 案1-5：AACCB 6-10：CBACC 11-12：DD13.θρcos 2= 14.42r π 15.),2(2,+∞-∞- ）（ 16.)7(i -± 17. 已知z 为复数，i z 2+和iz-2都是实数，其中i 为虚数单位。

（1）求复数z ；（2）若复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。

解析：（1）因为iz-2为实数，所以设)(2R m m i z ∈=-， 则)(2R m mi m z ∈-=...............................................2分i m m i z )2(22-+=+，因为i z 2+为实数，所以02=-m ，即2=m 。

所以i z 24-=。

....................................................5分 （2）i a a i a ai z )2(8)2(16])2(4[)(222-+--=-+=+，...............6分 因为复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎨⎧>->--0)2(80)2(162a a ，.............................................8分所以62<<a 。

.....................................................10分 18.请观察以下三个式子:①692131⨯⨯=⨯；②611324231⨯⨯=⨯+⨯； ③61343534231⨯⨯=⨯+⨯+⨯。

归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之. 解析：(1)(27)132435(2)6n n n n n ++⨯+⨯+⨯+++=……………4分证明：①当1=n ，左边=3，右边=3，所以左边=右边。

②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时，命题成立，即6)72)(1()2(534231++=+++⨯+⨯+⨯k k k k k ，那么当1n k =+时，(1)(27)1324(2)(1)(3)(1)(3)6k k k k k k k k k ++⨯+⨯++++++=+++6)92)(2)(1()18132(61)18672(6122+++=+++=++++=k k k k k k k k k k ， 所以当1+=k n 时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立. ………………………12分 19.设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈。

（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围。

解析:（1）541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥．故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥． …………………………6分 （2）因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立） 所以min ()1f x a =-。

…………………………………………………………………9分 由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a 。

…………………12分 20. 已知1=x 是函数()()2xf x ax e =-的一个极值点．(a R ∈)（1）求a 的值；（2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤． 解析：（1）x e a ax x f )2()(-+='，因为)(x f 在1=x 处取得极值，所以0)1(='f ，所以1=a 。

………………………3分 经检验，1=a 满足)(x f 在1=x 处取得极值，所以1=a 。

…………………………………………………………………………5分 （2）证明：由（1）知，()(2)e xf x x =-，'()(1)e xf x x =-，令0)(='x f ，则1=x 。

……………………………………………………………7分)(x f 在1=x 处取得极小值，该极小值为)(x f 在]2,0[上的最小值，)(x f 在区间]2,0[上的最大值为0，最小值为e -。

……………………………10分对于[]12,0,2x x ∈，有≤-)()(max min x f x f 12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-． 所以e x f x f e ≤-≤-)()(21，即e x f x f ≤-)()(21。

……………………………12分 21.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋,＝，（t 为参数，πα<<0）．曲线C 的极 坐标方程为=ρ22cos sin θθ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值． 解析：（1）由θθρ2sin cos 2=得到θρθρcos 2)sin (2=， 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 22=。