福建省高等数学背景的高考试题分析

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福建省高等数学背景的高考试题分析

作者：沈源钦陈蒲汉
作者机构：华南师范大学数学科学学院,510631
出版物刊名：上海中学数学
页码： 25-28页
年卷期： 2013年第3期
主题词：高考试题分析高等数学福建省数学概念学生阅读高中数学课程内容信息迁移
摘要：所谓高等数学背景的高考试题是指通过特殊化、初等化、仿造大学高等数学概念、性质、运算等方式，沟通起高等数学与高中数学的联系，实现大学课程内容下放到高考中的试题．对于高中生而言，概念、性质都是全新的，因此这类试题能起到考查学生学生阅读、类比、信息迁移等能力的作用．。

试析高等数学背景下的高考试题

关键词
高等数学；背景；高考试题
３以琴生不等式为背景的试题
例３（同例２）。我们来看第（２）问左端的证明
明：当整数ｍ＞１时，方程ｆ（ｘ）＝０在［ｅ－ｍ－ｍ，ｅ２ｍ — ｍ］内有两个实根（２００４年高考广 ‘ 东卷２１题）本题中给出的定理，正是介值定理的特殊情形一零点定理。（１）略。（２）证明：当时ｍ＞ｌ时，ｆ（ｘ）在【ｅ — ｍ，１－ｍ］＊ｌ【１－ｍ，ｅ２ｍ＿ｍ］上都连续可导ｆ（ｅ。。 ” 一ｍ）＝ｅ一ｍ（一ｍ）：ｅ ” ＞Ｏ
出了新的研究课题。
ａ＋方
域内为递增函数又
Ｔ
，所以
ｇ（ｑ：）＞ｇ（ｑ１）Ｂ口ｇ（ｇ２）一ｇ（ｑＩ）＞０。同时ｂ－ａ＞Ｏ，所以
ｇ（口）＋ｇ（６）一２ｇ（ — ａ＋＝一ｂ）＞０
．
（）
一
，
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．
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．
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．
ｇ（ｍ）＝ｅ２ｍ＿３ｍ＞ｅ２－３＞０
ｘ，ｘ， …，ｘ为不全相等的正数，
ｘｌｘ２
・・・
ｆ（ｅ２ｍ－ｍ）＞０当ｘ∈ （１一ｍ，ｅ２Ｉｎ — ｍ）时，
１
・
．
・ｇ（）＝ｘｌｎｘ，． ’ （ｘ）＝ｌｎｘ＋ｌ，ｇ（，一ｘ

福建省高考数学立体几何试题(课标卷)分析

离嚣舅聪中。？擞’？高中版
万方数据
２０１４年１月
考卷解析
其中值得特别关注的是角度问题的考查：理科试题中各类角多次以已知条件出现在题干中，如２０１１年给出线面角大小，２０１２年直接给出二面角大小；文科试题则没有出现此类问题．解法方面，课改初期引入的向量方法饱受争议，其后逐步被接受，及至被宠爱，甚至过于强调向量法，到如今方能比较辨证地看待两种方法的运用．文科试题仍延续传统的综合几何法求解，但相对
向．
（２０１０年福建理科６）．如
Ａ
图５，若Ｑ是长方体ＡＢｃＤ４．曰。Ｃ。Ｄｌ
被平面Ｅ嬲Ｈ截去几何体Ｅ彤日Ｂ。Ｃ。
后得到的几何体，其中Ｅ为线黝。Ｂ。
上异于Ｂ。的点，Ｆ为线段船。上异于Ｂ。的点，且删∥Ａ，Ｄ．，则下列结论
中不正确的是（
）．
覃Ｂ傅一
图５
例８如图６，在四棱椎脚曰ＣＤ
中，只Ｄ上平面ＡＢｃＤ，ＡＢ∥ＤＧ，
点评：本题通过平面图形折叠构造几何体．主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．考查数形结合思想、化归与转化思想．解决本题的关键在于抓住“变中不变量”．
例７
（ＩＩ）设ＡＢ＿Ａ』４。，在圆柱ＤＯ内随机选取一点，记该点
取自于三棱枇Ｂｃ卅。曰。ｃ内的概率为Ｐ
的条件．
（２０１３年福建理科１９）在四棱柱ＡＢＧＤ—
ＡＩＢｌｃｌＤｌ中，倾４棱ＡＡｌ上Ｊ『芪面ＡＢｃＤ，ＡＢ∥Ｄｃ，ＡＡｌ＝１，ＡＢ＝
３｜｜｝，ＡＤ＝４后，ＢＣ＝５后．ＤＣ＝６后（．ｊ｝＞Ｏ）．
（Ｉ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）现将与四棱柱ＡＢＣＤ＿Ａ。Ｂ。Ｃ。Ｄ。形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新

福建省2022年高考[数学]考试真题与答案解析

福建省2022年高考·数学·考试真题与答案解析—————————————————————————————————————— 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合，则（）{4},{31}M xN x x =<=≥∣M N = A. B. {}02x x ≤<123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. D. {}316x x ≤<1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2. 若，则（）i(1)1z -=z z +=A. B. C. 1 D. 22-1-3. 在中，点D 在边AB 上，．记，则（）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB=A. B. C. D. 32m n - 23m n -+ 32m n + 23m n+ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积1485m ．21400km ．1575m ．为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上21800km ．1485m ．升到）（）1575m ． 2.65≈A. B. C. D. 931.010m ⨯931.210m ⨯931.410m ⨯931.610m ⨯5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.B.C.D. 161312236. 记函数的最小正周期为T ．若，且的图象关()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭23T ππ<<()y f x =于点中心对称，则（）3,22π⎛⎫⎪⎝⎭2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 1B.C.D. 332527. 设，则（）0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，A. B. C. D. a b c <<c b a <<c a b<<a c b<<8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且36π，则该正四棱锥体积的取值范围是（）3l ≤≤A . B. 8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D. 2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦[18,27]二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

高考数学试题的高等数学背景分析

行式列
Ｓ—的是Ｉｆ值ｎｌ６
— —
．
ｃｏｓ
试题，学生在短时间内要理解这抽象概念，有一定的难度，故作为填空最后一题，具有选拔性．同类
题型可见２００６年高考四川卷・１．理６初等数学的学习多是和具体的数字打交道，而
高考数学试题的高等数学背景分析
郑敏龚梅勇陈清华
１福建师范大学协和学院信息技术系（５１８３００）２福建省福州第一中学（５０１３００）３福建师范大学数学与计算机科学学院（５０７３００）高考数学命题强调“ 能力立意” 、追求“ 合理区分 ” 这就必然地要求高考数学命题重视 “ ，潜能考查 ” ，高等数学（别是分析学、代数学等）的一些知识特也就极为自然地成了高考数学命题设置以潜能考查
２
福建中学数学
２１第１期００年１
的，我们从高中数学新课程的选修模块的设置上，
已经可以看出这种联系是“ 泛而深刻” ．广的展望对 “ 系” 联，绝不能乐观．基于中国的国情，基于
真真正正地实验或实践起来．尽管课改专家在呼吁，
ｂ～ａ；
近世代数的内容多是用集合符号等表示抽象概念，这些概念其实是初等数学中许多同类知识的抽
象升华，若是能注意到这点，以所熟悉的初等数学知识为为例子，来学习近世代数，将会事半功倍．事实上，这种学习方式对高等数学许多其他方面知识的学习同样十分有效．高考试题中的此类题型不仅考查了学生的学习理解能力，更对学生未来学习高等数学有很好的启发作用．例２（００年高考山东卷・）定义平面向量２１理之间的一种运算“ 如下，对任意的ａ，，ｏ” ＝（）

高考数学文(福建卷)WORD解析版

一．选择题1．复数z 1 2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【答案】 C【分析】此题考察的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．2．设点P( x, y)，则“x2且y 1 ”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】此题考察的知识点是逻辑中充要条件的判断．由于(2,1) 点代入直线方程，切合方x 2且 y 1 ”可推出“点P在直线 l : x y 1 0 上”；而点P在直线上，不必定程，即“就是 (2,1) 点，即“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”推不出“x 2且 y 1 ”．故“x 2且y1”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的充足而不用要条件．3．若会合A {1,2,3}, B {1,3,4} ，则A B的子集个数为（）A ． 2B ． 3 C． 4 D．16【答案】 C【分析】此题考察的是会合的交集和子集．由于 A B {1,3} ，有2个元素，因此子集个数为 22 4 个．4．双曲线x2 y2 1的极点到其渐近线的距离等于（）A ．1B．2C． 1 D ． 2 2 2【答案】 B【分析】此题考察的是双曲线的性质．由于双曲线的两个极点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个极点为(1,0) ，取一条渐近线为y x ，因此点 (1,0) 到直线 y x 的距离为2．25．函数 f ( x) ln( x21) 的图象大概是（）A ．B ．C．D．【答案】 A【分析】此题考察的是对数函数的图象．由函数分析式可知 f ( x) f ( x) ，即函数为偶函数，清除 C；由函数过(0,0) 点，清除 B,D ．x y 26．若变量x, y知足拘束条件x 1 ，则 z 2x y 的最大值和最小值分别为（）y 0A．4和 3 B．4和2 C．3和 2 D．2和0【答案】 B【分析】此题考察的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．y2O 1 2 x7．若2x 2 y 1，则 x y 的取值范围是（）A ．[0,2] B．[ 2,0] C．[ 2, ) D ．( , 2]【答案】 D【分析】此题考察的是均值不等式．由于 1 2 x 2y 2 2 x 2 y，即2x y 22，因此x y 2 ，当且仅当2x 2 y，即x y时取等号．8 ．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数n 后，输出的S (10,20) ，那么 n 的值为（）A．3B．4C． 5D． 6【答案】 B【分析】此题考察的是程序框图．循环前：S 1, k 2 ；第 1 次判断后循环：S 3,k 3 ；第 2 次判断后循环：S 7, k 4 ；第3次判断后循环：S 15,k 5 ．故 n 4 ．9．将函数f ( x) sin(2x )(2 2) 的图象向右平移( 0) 个单位长度后获得函数 g (x) 的图象，若 f ( x), g( x) 的图象都经过点 P(0, 3) ，则的值能够是（）25 5C．D．A ．B．3 6 2 6【答案】 B【分析】此题考察的三角函数的图像的平移．把P(0, 3) 代入2f ( x) sin( 2x )(2)，解得，所以 g( x) sin( 2x 2 ) ，把2 3 3P( 0, 3) 代入得，k 或k ，察看选项，应选 B 2 610．在四边形ABCD中，AC (1,2), BD ( 4,2) ，则该四边形的面积为（）A ． 5 B．2 5 C． 5 D． 10【答案】 C【分析】此题考察的是向量垂直的判断以及向量的模长．由于ACBD 1(4) 22 0，因此AC BC，因此四边形的面积为|AC| |BD| 12 22 ( 4)2 222 25，应选C11．已知x与y之间的几组数据以下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4? a假定依据上表数据所得线性回归直线方程为y bx? ?．若某同学依据上表中前两组数据(1,0) 和 ( 2,2) 求得的直线方程为y b x a ，则以下结论正确的选项是（）A ．?? B．?? C．? ? D ．??b b , a a b b ,a a b b , a a b b , a a【答案】 C【分析】此题考察的是线性回归方程．画出散点图，可大概的画出两条直线（以下列图），由?两条直线的相对地点关系可判断 b b , a? a ．应选 Cy4321O123456x12．设函数 f ( x) 的定义域为R ， x0 ( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论必定正确的选项是（）A ．x R, f (x) f (x0 ) B．x0是f ( x)的极小值点C．x0是 f ( x)的极小值点D．x0是 f ( x) 的极小值点【答案】 D【分析】此题考察的是函数的极值．函数的极值不是最值， A 错误；由于 f ( x) 和 f (x) 关于原点对称，故x0是 f ( x) 的极小值点，D正确．二．填空题2x3 , x 013．已知函数 f ( x)tan x,0，则 f ( f ( )) x 42【答案】 2【分析】此题考察的是分段函数求值． f ( f ( )) f ( tan ) f ( 1) 2( 1)3 2 ．4 414．利用计算机产生0 ~ 1之间的均匀随机数 a ，则事件“3a 10 ”发生的概率为【答案】131，因此 P11 ．【分析】此题考察的是几何概型求概率．3a 1 0 ，即 a331 3:x 2y 215．椭圆22 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，焦距为 2c ．若直线与ab椭圆的一个交点 M 知足 MF 1 F 2 2 MF 2F 1 ，则该椭圆的离心率等于【答案】3 1【分析】此题考察的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，MF 1F 2中，MF 1 2 MF 2 2 F 1 F 22(2c) 2MF 1 F 2 60 , MF 2 F 1 30 , F 1MF 290 ，因此有 MF 1 MF 2 2a，MF 23MF 1整理得 ec 3 1，故答案为3 1．a16．设 S,T 是 R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y f ( x) 知足；（ i ） T { f ( x) | x S} ；（ ii ）对随意 x , x2S ，当 xx 时，恒有 f (x )f (x ) ．11212那么称这两个会合 “保序同构 ”．现给出以下 3 对会合： ① A N , BN * ；② A { x | 1 x 3}, B { x | 8 x 10} ；③ A { x | 0x1}, BR ．此中， “保序同构 ”的会合对的序号是（写出全部 “保序同构 ”的会合对的序号）【答案】①②③【分析】此题考察的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 yf ( x) 为单一递加函数．对于会合对①，可取函数 f (x) 2x( x N ) ，是 “保序同构 ”；对于会合对②，可取函数y 9 x 7 ( 1 x 3) ，是 “保序同构 ”；对于会合对2 2 ③，可取函数 ytan( x)(0 x 1) ，是 “保序同构 ”．故答案为①②③．2三．解答题17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 { a n } 的公差 d 1 ，前 n 项和为 S n ．（1）若1, a1, a3成等比数列，求a1；（2）若S5a1a9，求a1的取值范围．本小题主要考察等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想、化归与转变思想．满分12 分．解：（ 1）由于数列{ a n}的公差d 1，且1,a1, a3成等比数列，因此 a12 1 (a1 2) ，即 a 2 a 2 0 ，解得 11或a1 2．1 1 a（ 2）由于数列{ a n} 的公差 d 1，且S5 a1a9，因此5a1 10 a12 8a1；即 a12 3a1 10 0 ，解得 5 a1 218．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 面ABCD ，AB / /DC，AB AD，BC 5， DC 3，AD 4 ，PAD 60o．uuurABCD 的正视图.（要求标出（1）当正视图方向与向量AD的方向同样时，画出四棱锥P尺寸，并画出演算过程）；（2）若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC；（3）求三棱锥D PBC 的体积．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的地点关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考察空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考察数形联合能力、化归与转变思想，满分 12 分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点 C 作 CE AB ，垂足为由已知得，四边形ADCE 为矩形， AE CD 3E ，在 Rt BEC 中，由 BC 5， CE 4 ,依勾股定理得：BE 3，进而 AB 6又由 PD平面ABCD得，PD AD进而在 Rt PDA 中，由 AD 4 ，PAD 60 ,得PD 4 3正视图如右图所示：（Ⅱ）取 PB 中点 N ，连接 MN ， CN在 PAB中， M 是 PA中点，∴ MN PAB，MN 1 AB3 ，又CD PAB , CD 3 2∴ MN PCD，MN CD∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴又 DM平面PBC，CN平面DM PCN PBC∴DM P平面 PBC（Ⅲ）V D PBC VP1DBC S DBC PD3又 s PBC 6 ， PD 4 3 ，因此 V D PBC 8 3解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取 AB 的中点 E ，连接 ME , DE在梯形 ABCD 中， BE PCD ，且 BE CD∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE PBC ，又 DE 平面 PBC ， BC 平面 PBC∴ DE P平面 PBC ，又在 PAB中， ME PPBME 平面 PBC , PB 平面 PBC∴ ME P平面 PBC .又DE I ME E ,∴平面 DME P平面 PBC ，又 DM 平面 DME∴平面PBCDM P（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分 12 分）某工厂有25 周岁以上（含25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪相关．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25周岁以上（含25 周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100) 分别加以统计，获得如图所示的频次散布直方图．（1）从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的频次．（2）规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成 2 2 的列联表，并判断能否有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”？附表：本小题主要考察古典概型、抽样方法、独立性查验等基础知识，考察运算求解能力、应意图识，考察必定和或然思想、化归与转变思想等，满分12 分．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人40 名因此，样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有60 0.05 3（人），记为 A1， A2 ， A3；25周岁以下组工人有40 0.05 2 （人），记为B1 ， B2从中随机抽取 2 名工人，全部可能的结果共有10 种，他们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)， (A1,B2 )， ( A2, B1)， (A2,B2 ) ， (A3 ,B1) ， ( A3 ,B2) ， (B1,B2)此中，起码闻名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：(A1, B1) ， (A1, B2 ) ，7( A2, B1) ， (A2, B2 ) ， (A3, B1) ， (A3, B2) ， (B1,B2) .故所求的概率：P10（Ⅱ）由频次散布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“周岁以上组”中的生产好手2560 0.25 15（人），“25 周岁以下组”中的生产好手 40 0.375 15（人），据此可得 2 2 列联表以下：生产好手非生产好手共计25 周岁以上组15 45 6025 周岁以下组15 25 40共计30 70 100因此得： K 2 n(ad bc)2 100 (15 25 15 45)2 25 1.79(a b)(c d )( a c)(b d ) 60 40 30 70 14由于 1.79 2.706 ，因此没有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”20（．本小题满分12 分）如图，在抛物线E : y2 4x 的焦点为 F ，准线l与 x 轴的交点为 A ．点C 在抛物线 E 上，以C为圆心OC为半径作圆，设圆C与准线l的交于不一样的两点M,N．（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若AF 2AM AN ，求圆C的半径．本小题主要考察抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的地点关系等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线y 24x 的准线l的方程为x1，由点 C 的纵坐标为2，得点 C 的坐标为(1,2)因此点 C 到准线 l 的距离 d 2，又|CO| 5 ．因此 |MN | 2 |CO |2 d 2 2542.（Ⅱ）设y 2C 的方程为( xy2 2( y y0 ) 2y 4 2，C( 0 , y0 ) ，则圆0 ) 0 y04 4 16即 x2 y02 x y2 2y0 y 0 .2由 x 1，得y2 2y0 y 1 y02 02设 M ( 1, y1 ) ， N ( 1, y2 ) ，则：4 y02 4(1 y02 ) 2y02 4 02y02y1 y2 12由|AF |2 | AM | | AN | ，得 | y1 y2 | 4y021 4 ，解得 y0 6 ，此时0因此2因此圆心 C 的坐标为( 3 , 6)或( 3 , 6)2 2进而 |CO |2 33 ，|CO| 33 ，即圆 C 的半径为334 2 221 12分）如图，在等腰直角三角形OPQ 中，OPQ 90o， OP 2 2 ，（本小题满分点M 在线段 PQ上．（1）若OM 3 ，求PM的长；（ 2）若点N在线段MQ上，且MON 30o，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出头积的最小值．本小题主要考察解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考察推理论证能力、抽象归纳能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分 12 分．解：（Ⅰ）在OMP 中， OPM 45 ， OM 5 ，OP 2 2 ，由余弦定理得， OM 2 OP2 MP 2 2 OP MP cos45 ，得 MP2 4MP 3 0 ，解得 MP 1或 MP 3 ．（Ⅱ）设POM ， 0 60 ，在 OMP 中，由正弦定理，得OM OP ，sin OPM sin OMP因此同理OM OP sin 45 ，sin 45ONOP sin45sin 75故S OMN 1 OM ON sin MON21 OP2 sin 2 454 sin 45 sin 751sin 45sin 45301sin 453sin 451cos 45221 3sin2451sin 45cos 452213 1 cos 90 21sin 9024413 3sin 21cos2444131sin 2 3042由于 060 ，30 2 30 150 ，因此当30 时，sin 2 30的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值．即2POM30 时， OMN 的面积的最小值为 8 4 3 ．22（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x1 aR ， e 为自然对数的底数）．e x （ a（1）若曲线 yf (x) 在点 (1, f (1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（2）求函数 f (x) 的极值；（3）当 a1 的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f ( x) 没有公共点，求 k 的最大值．本小题主要考察函数与导数，函数的单一性、极值、零点等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、分类与整合思想、化归与转变思想．满分14分．解：（Ⅰ）由 f x x 1a ，得 f x 1a ．exex又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线平行于 x 轴，得 f 1 0 ，即 1 a0 ，解得 a e．e（Ⅱ） f x 1 a，e x①当 a 0 时， f x 0 ， f x 为, 上的增函数，因此函数 f x 无极值．②当 a 0 时，令 f x 0 ，得e x a ，x ln a ．x ,ln a ，f x 0； x ln a, ， f x 0 ．因此 f x 在,ln a 上单一递减，在ln a, 上单一递加，故 f x 在 x ln a 处获得极小值，且极小值为 f ln a ln a ，无极大值．综上，当 a 0 时，函数 f x 无极小值；当 a 0 ， f x 在 x ln a 处获得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x1 1e x令g x f x kx 1 1 k x 1 ，e x则直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于方程 g x0 在R上没有实数解．假定 k 1，此时 g 0 1 0 ，g111，k 1 1e k 1又函数 g x 的图象连续不停，由零点存在定理，可知g x 0 在R上起码有一解，与“方程 g x 0 在R上没有实数解”矛盾，故 k 1 ．又 k 1时，g x 10 ，知方程g x 0 在R上没有实数解．x因此 k 的最大值为e 1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x 1 1．xe直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于对于 x 的方程kx 1 x 1 1 在 R 上没有实数解，即对于x 的方程：e xk11 x在 R 上没有实数解． ex①当 k1 时，方程（ * ）可化为 1，在 R 上没有实数解．e x②当 k1 时，方程（ * ）化为1 xe x．k 1令 g x xe x ，则有 g x 1 x e x ．令 gx0 ，得 x1 ，当 x 变化时， g x的变化状况以下表：x, 11g xg x]1e（ * ）1,Z当 x1时，g x min1时， gx 趋于，同时当 x 趋于，e进而 gx 的取值范围为1,．e因此当1 ,1时，方程（ * ）无实数解，k 1e解得 k 的取值范围是1 e,1 ．综上，得 k 的最大值为 1．。

福建高考数学试卷分析

福建高考数学试卷分析16、创新题，主要考等比中项公式，属于难题。

三、综合题17.已知等差数列的其中两项（第一、三项）。

（1）.考查数列的通项公式；属于数列一（定义和性质）中的两个等号型。

直接利用数列通项公式解答。

（2）.考查数列前n项和公式，以及一元二次方程的求解，注意舍去增根。

18.将圆锥曲线与导数的几何意义结合考查（1）.考查导数的计算及导数几何意义。

（2）.考查抛物线的准线及圆的标准方程。

19.考查频率的计算及列举法求概率。

20.考查线面关系中垂直关系的证明，以及求四棱锥的体积。

21.考查三角函数的图像和性质，并以线性规划为载体考查三角函数最值。

22.（1）考查对数的计算；（2）考查含参函数的单调区间；（3）考查函数图象交点问题，利用最值问题解答。

高考数学理科一、选择题1、考察集合与复数，主要是复数的计算，属于容易题。

2、考察简易逻辑，充要条件中的主旨小范围推大范围，属于容易题。

3、考察三角函数，二倍角公式，属于容易题。

4、考察概率，几何概型中的面积比，属于容易题。

5、考察积分，基本的积分运算，属于容易题。

6、考察二项式定理，第项的公式，属于容易题。

7、考察圆锥曲线，离心率，根本上考的是椭圆和双曲线的定义，属于易偏中题。

8、考察线性规划和数量积公式，属于中等题。

9、考察函数奇偶性，属于中偏难题。

10、考察导函数的运用，属于难题。

二、填空11、考察程序语句，属于容易题。

12、考察立体几何，求体积，属于容易题。

13、考察概率，属于中等题。

14、解三角形题目，属中等题。

15、创新题，主要考新定义题型，属于难题。

三、综合题16.考查等比数列的通项公式，前n项和公式，以及求三角函数解析式。

17.考查直线与圆的位置关系，点到点的距离公式，点到直线的距离公式，及圆的标准方程；考查直线的对称问题，以及分类讨论的思想，具有探究性含义。

18.考查应用性问题，利用导数求利润最大化问题。

19.考查数学期望与分布列，概率统计的实际应用。

例析高考题中的高等数学背景

・
２０・
中学
生
理
科
应
试
２１．，０１５６
例析高考题中的高等数学背景
福建省石狮石光华侨联合中学
１以“ 限”的定义为背景．极
（６７０３２０）
林建森
马雪波
例１（００年福建高考题）于具有相同定义２１对
极限是高等数学中微积分的基础概念，它包括
ｇ）０（一；
对于集合Ｓ：｛，然满足素有条件，Ｓ是０｝显但
对）ｇ）于③ 一（ ÷一设Ａ）志，（：
＜１选Ａ．
，
种办法靠直觉思维， “ 并非信手拈来”直觉是建立在积．
累之上所养成的习惯，积淀既深便是一种“ 自然行为 ” ．
六、用极限采
例７一个正四棱台上、下底面边长分别为ａ，ｂ高为ｈ，，且侧面积等于两底面积之和，下列关系则中正确的是（）．
Ｄ，使得当 ∈ Ｄ且＞ ‰ 时，总有
ｆ＜厂０（）一ｈ）＜ｍ（
设｛为一个数列，为一确定的常数，ａ｝ａ若对任意ｓ＞０存在正整数Ｎ，ｎ＞Ｎ时，Ｉａ＜，当有 Ⅱ 一Ｉ
，
ｔ＜（０）一ｇ）＜ｍ（
极限思想方法是变量数学的基本思想方法，运
用极限观点、思想、方法分析问题，问题，解决不但能
激发学习数学的兴趣，而且解决某些问题十分简单．

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８３２６４－＋８＋３＋２＋６＋４ —２３，去掉２ ×９后一５；７４１５ —７＋４＋１＋５ —１７，去掉１ × ９后一８；５＋８ —１３，去掉１ ×９后一４．另一方面９０６７９－＊－９＋０＋６＋７＋９ — ３１，去掉３ ×９后一４．４ — ４了．
得关注．
２２００６ —２０１２年福建高数背景的高考试题分类
分析
笔者将２００６ —２０１２年福建高考中的高等数学背景试题，按照数学分析、泛函分析、高等代数、抽象代数、拓扑学等高等数学学科进行分类和分析．
Ｍ＋Ｍ２三ｒｌ＋ｒ２（ｍｏｄ９）．这也就是说数Ｍ１ “ 去９ ” 以后的数加上数Ｍ２ “ 去９ ” 以后的数，这样得到的数（如果有必要再“ 去９ ” ），应等于和Ｍ＋ “ 去９ ” 以后的数．如８３２６４＋７４１５— ９０６７９，对８３２６４，有
版社，施普林格出版社，１９９８．
对于减法，乘法和除法也有类似的表述．当然这
种验证法仅是运算正确性的必要条件．应用二费马数
［２］ＴｈｏｍａｓＷ．Ｈｕｎｇｅｒｆｏｒｄ．Ａｌｇｅｂｒｅ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，
ＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，２００３．
型如Ｆ一２＋１的质数称为费马（１６０１— １６６５）数．对一０，１，２，３，４分别有质数Ｆｏ一３，Ｆ一
５，Ｆ一１７，Ｆ。一２５７，Ｆ一６５５３７．这与以这些数字为
ａ一ｌ … ａ０三口一ｌ … ａｏ（ｍｏｄｍ）（１４），
应用三
费马小定理
这也就是说：Ｍ —ａａ２ …ａ２ａ１ａ。可被２（或
给定任意正整数ａ以及与它互质的质数Ｐ．构
５），１ ≤走 ≤ 一１整除，当且仅当ａ一 …ａ。能被２
（ｍｏｄ６４１）．于是有５ × ２三１（ｍｏｄ６４１）和５ ×２三一２（ｍｏｄ６４１）．由此可推出２。＋１三０（ｍｏｄ６４１），
即Ｆ三Ｏ（ｍｏｄ６４１）．
Ｔｅａｍ［Ｍ］．Ｂｉｒｋｈａａｓｅｒ，２０００．［６］徐诚浩．古典数学难题与伽罗瓦理论［Ｍ］．复旦大学出
１９７４．
Ｉ－３］ＲａｖｉＶａｋｉｌ，ＡＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｓａｉｃ，ＰａｔｔｅｒｎｓａｎｄＰｒｏｂ — ｌｅｍｓＳｏｌｖｉｎｇ［Ｍ］．ＢｒｅｎｄａｎＫｅｌｌｙＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＩｎｃ，１９９６．［４］ＡｌｆｒｅｄＳ．Ｐｏｓａｍｅｎｔｉｅｒ．ＭａｔｈｗｏｎｄｅｒｓｔｏＩｎｓｐｉｒｅＴｅａｃｈ — ｅｒｓａｎｄＳｔｕｄｅｎｔｓ［Ｍ］．ＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎｆｏｒＳｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎａｎｄ
上海中学数学・２０１３年第３期
２５
福建省高等数学背景的高考试题分析
５１０６３１华南师范大学数学科学学院沈源钦陈蒲汉
所谓高等数学背景的高考试题是指通过特殊
化、初等化、仿造大学高等数学概念、性质、运算等方
２６
上海中学数学・２０１３年第３期
选考部分的高等数学背景的高考试题情况，将其按
高等数学学科进行分类分析．
１２００６ —２０１２年福建高等数学背景的高考试题
统计
题，可见福建高考对此类试题的独爱和重视；（２）高
等数学背景试题题量稳定在１道左右，且题型稳定，均以选择题或填空题的形式出现，理科数学倾向于压轴选择题，文科数学较偏向于填空题；（３）试题分
值基本稳定在４或５分，只有２０１２年理科数学达到最高的１０分，虽所占试卷分值不高，但试题基本处于压轴题的位置，这应该引起关注；（４）高等数学学科中的数学分析、泛函分析、高等代数、抽象代数、拓扑学每一门都有相关的概念、性质成为此类试题的
２．１数学分析背景的高考试题分析例１（２０１２年理１０）函数厂（）在［口，６］上有定
义，若对任意，Ｔ１，。 ∈［口，６］，有厂（
） ≤ ［＿厂
（）－Ｆｆ（ｘ）］，则称ｆＣｒ）在［ｎ，６］上具有性质Ｐ．设
也即ａ＿。．（ｐ一１）！三（一１）！（ｍｏｄｐ）．因为Ｐ是
质数，所以Ｐ与Ｐ一１互质，于是由同余的消去律就有ａ三ｌ（ｍｏｄｐ）．这就是著名的费马小定理．参考文献
［１］余扬政，冯承天．物理学中的几何方法［Ｍ］．高等教育出
２， …，（Ｐ一１））．这样，根据同余的乘法律就有ａＸ２ａ
×… ×（一１）ａ三１ × ２× ３× … × （Ｐ一１）（ｍｏｄｐ）．
对于正整数Ｍ１，，由加法得出的结果Ｍ＋
，
从Ｍｉ三ｒ（ｍｏｄｍ），０ ≤ｒ ≤８，ｉ一１，２，必须有
－厂（ｚ）在［１，３］上具有性质Ｐ，现给出如下命题： ①－厂（）在［１，３］上的图像是连续不断的；
②ｆ（ｘ。）在［１， √ ３］上具有性质Ｐ； ③若厂（）在一２处取得最大值１，则厂（）一
分析：例１中的性质和命题来源于文［１］中的凸函数和詹森不等式，如詹森不等式：若厂为［口，６］
边数的正多边形可以用圆规直尺作圆的这一事实有关．＿６］欧拉（１７０７ —１７９３）在１７３２年证明了Ｆ有因
［５］Ｔ．Ａｎｄｒｅｅｓｃｕ，Ｄ．Ａｎｄｒｉｃａ，ａｎｄＺｕｍｉｎｇＦｅｎｇ．１０４Ｎｕｍｂｅｒ
念、性质都是全新的，因此这类试题能起到考查学生学生阅读、类比、信息迁移等能力的作用．
等地，都有高等数学背景的高考试题，可见其备受青睐的程度．特别是福建高考，从２００６年至今，几乎每年的数学高考非选考部分都有１至２道高等数学背景的试题．本文将介绍从２００６年到２０１２年福建非
新定义、新性质、新函数．
笔者通过查阅福建２００６年至２０１２年的数学高
考资料，对其中的高等数学背景高考试题从其所新
定义、分值大小、试卷位置、题目类型、高等数学背景
等方面进行统计（详见表１）．
１， ∈Ｅ１，３３； ④ 对任意，ｚ２，。， ∈ ［１，３］，有

厂（
ｆ（ｘ）］．
） ≤ ÷ ［＿厂（『，）＋厂（）＋厂（。）＋
）
其中真命题的序号是（
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④
表１福建２００６年一加１２年高等数学背景的高考试题统计表
因此，可以初步地推断，高等数学背景的高考试
题已经成为福建数学高考的稳定试题，未来高考仍可能处于压轴选择题或压轴填空题的重要位置，值
（或５）整除．
１２．一些应用
造有一１个元素的集合Ｓ一｛ａ，２ａ， …，（Ｐ一１）ａ｝．考虑到任意正整数７／＂除以Ｐ，得到的余数只能是０，