等腰直角三角形解析

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新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==，得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=，所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°；如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°，故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =，又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ．答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ），故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ），则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

第14讲等腰三角形与直角三角形(解析)

第十四讲——等腰三角形与直角三角形考向一等腰三角形的性质1．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70°的内角为顶角和70°的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70°的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552°-°=°（2）当70°的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为70°，顶角为180707040°-°-°=°综上，另外两个内角的度数分别是55,55°°或70,40°°故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为（）A ．10-B ．5-CD ．20-【答案】A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE V 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF V ==，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴CD BC =4CD =，解得CD=2，同理BE=2-，∵CE=BC-BE=4-(，∴S △ABC=12DE AF ´´=()182´10-，故选：A.【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。

等腰三角形性质定理(基础)知识讲解

等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . （2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24a . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a ，h （如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC ＝a,BC 边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC 的垂直平分线l,交BC 与点D.3.在直线l 上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC 就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，。

第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。

具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

等腰直角三角形的定义和性质及例题解析

等腰直角三角形的定义和性质及
例题解析
一、等腰直角三角形的定义和性质
1、等腰直角三角形
有一个直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。

等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。

2、等腰直角三角形的性质
（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

(3)中线、角平分线和斜边上的垂线是一体的。

（4）等腰直角三角形三边比例为$1∶1∶sqrt{2}$。

（5）斜边上的高为外接圆的半径$R$。

(6)等腰直角三角形也具有一般三角形的性质。

3、等腰直角三角形的判定
(1)有一个直角的等腰三角形，或者两个边相等的直角三角形是等腰直角三角形。

（2）三边比例为$1∶1∶sqrt{2}$的三角形是等腰直角三角形。

（3）底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

（4）有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

（5）直角边和斜边的比例为$1∶sqrt{2}$的直角三角形是等腰直角三角形。

（6）有一个角是45°，并且这个角两边长度比为
$1∶sqrt{2}$的三角形是等腰直角三角形。

专题17 等腰三角形与直角三角形(解析版)

专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC，又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC，又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。

七年级(下)数学第14讲等腰三角形二 (解析版)

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强．根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算．【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】经分析可知，等腰三角形有：ABC ABD ACE BCE BDC，，，，，BEF CDF BCF，，，共8个．【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用．等腰三角形二内容分析知识结构模块一：计算知识精讲例题解析ABCDEF2 / 22【例2】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，求∠A 的度数．【答案】45A ∠=︒．【解析】BE ED EBD EDB =∴∠=∠，2233180818022.5245AED EBD EDB AED EBD AD ED A AED EBD BD BC C CDB AB AC C ABC C CDB ABCCDB A EBD CDB EBDC ABC CDB EBD A ABC C EBD EBD A EBD ∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例3】如图，AC =BC ，DF =DB ，AE =AD ，求∠A 的度数．【答案】36A ∠=︒【解析】AC BC A B =∴∠=∠，2180518036DB DF F BA B F EDA B F EDA A AD AE ADE AEDA ADE AED A A =∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例4】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF =70°，求∠AFD 的度数．【答案】160AFD ∠=︒．【解析】AB AC B C =∴∠=∠， 90702018070707090160DE AB DF BC DEB FDC FDB FDE EDB B DEB EDB B C AFD C FDC AFD ⊥⊥∴∠=∠=∠=︒∠=︒∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒+︒=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．A BC DE FAB C DE FABCDE【例5】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，∠BAD =30°，在AC 上取点E ，使AE =AD ，求∠EDC 的度数．【答案】15EDC ∠=︒．【解析】AB AC B C AD AE ADE AED =∴∠=∠=∴∠=∠，，，23015ADC B BAD AED C EDCADC ADE EDC B BADC EDC EDC B BAD EDC BAD BAD EDC ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，注意观察角度间的关系．【例6】如图，△ABC 中，∠C =90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE =AC ，BD =12， DE +BC =1，求∠ABC 的度数．【答案】30ABC ∠=︒．【解析】解：延长BC 至点F ，使CF DE =，联结AF ()1190..111222909030DE BC BF BC CF BC DE BE AC DEB ACF DE CFBDE AFC S A S BD AF BD B FAC AF BF B BAC FAC BAC ABC +=∴=+=+==∠=∠=︒=∴≅=∴==∠=∠∴=∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定及性质，注意辅助线的添加．【例7】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC =BD +AB ，求∠B ：∠C 的值．【答案】:2:1B C ∠∠=．【解析】在AC 上取点E ，使AE AB =，联结DEAD 平分BAC ∠，()..ABD AED S A S ∴≅B AED BD DE ∴∠=∠=，，AC BD AB =+EC DE C EDC ∴=∴∠=∠，2:2:1AED C B B C ∴∠=∠=∠∴∠∠=，【总结】考查截长补短构造全等三角形及等腰三角形的性质及外角性质．AB CDEABC DEF EABCD4 / 22【例8】在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．【答案】454590︒︒︒，，或3636108︒︒︒，，或367272︒︒︒，，或180540540777，，．【解析】解：如图（1），当BD AD CD ==时， AB AC B C BD AD DC B BAD CAD C=∴∠=∠==∴∠=∠=∠=∠，，，41804590B B C BAC ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒，，；如图（2）当BD AD CD AC ==，时， AB AC B C =∴∠=∠，，BD AD CD AC B BAD CDA DAC ==∴∠=∠∠=∠，，， 23CDA B BAD CDA B BAC B ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠，， 180518036108B C BAC B B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒，，，如图（3）当AD BD BC ==时，同理可得：51803672A A ABC C ∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，，；如图（4）当AD BD BC CD ==，时同理可得180540718077A A ABC C ︒︒∠=︒∴∠=∠=∠=，，．【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用．1．添加平行线构造全等三角形； 2．截长补短构造全等三角形； 3．倍长中线构造全等三角形．【例9】如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，BE=CF ，EF 交BC 于点G ，求证：EG =FG ．【答案】详见解析【解析】证明：过点E 作//EM AF ，交BC 于点M 则GCF GME EMB ACB ∠=∠∠=∠，，AB AC ABC ACB =∴∠=∠，ABC EMB EM EB BE CF EM CF ∴∠=∠∴==∴=，，， ()..EMG FCG A A S EG FG ∴≅∴=，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用．【例10】如图，已知AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE =EF ，试说明AC =BF 的理由．【答案】详见解析．【解析】延长AD 至点M ，使MD FD =，联结MC()..BD CD BDF CDM DF DM BDF CDM S A S MC BF M BFM EA EF EAF EFA AFE BFM M MAC AC MC BF AC=∠=∠=∴≅∴=∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴=，，，，，，，，，，，【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用．模块二：构造全等形知识精讲例题解析ABC E FGM AD FBCEM6 / 22【例11】如图，△ABC 中，∠B =60°，角平分线AD 、CE 交于点O ，试说明AE +CD =AC ．【答案】详见解析．【解析】证明：在AC 上取AF AE =，联结OF易证()..AEO AFO S A S AOE AOF ≅∴∠=∠，．AD CE 、分别平分BAC ACB ∠∠、，()1180602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒ 120AOC DOE ∴∠=∠=︒， 60AOE COD AOF ∴∠=∠=∠=︒则60COF COD COF ∠=︒∴∠=∠，，又FCO DCO CO CO ∠=∠=， ()..FOC DOC A S A DC FC ∴≅∴=，AC AF FC AC AE CD =+∴=+，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系．【例12】已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ．求OEF ∠的度数．【答案】30OEF ∠=︒．【解析】解：ABC 是等边三角形，60,A ABC AB BC ∴∠=∠=︒=，BD =AE易证()..ABE BCD S A S ≅，ABE DCB ∴∠=∠ADO ABC DCB ABE BOD ∠=∠+∠=∠+∠6060BOD ABC EOF ∴∠=∠=︒∴∠=︒， 30EF CD OEF ⊥∴∠=︒，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用．ADFB CEOABCD EOF【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =AB +CD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BE BA =，联结DEBD 平分ABC ∠，BE BA =，()..ABD EBD S A S ∴≅10818010872DEB A DEC ∴∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒， ()1180108362AB AC C B =∴∠=∠=︒-︒=︒，， 72EDC CE CD BE CE AB CD ∴∠=︒∴=∴+=+，，，BC AB CD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等．【例14】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =BD +AD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BF BA =，联结DF ，在BC 上截取BE BD =，联结DEBD 平分ABC ∠，BF BA =()..ABD FBD S A S ∴≅，100DFB A ∴∠=∠=︒，18010080DFC ∴∠=︒-︒=︒．()1180101040200AB AC C A ABC =∴∠=∠∠==︒-︒︒=︒，，， 20DBC ∴∠=︒20BE BD DBC =∠=︒，，80BED BDE ∴∠=∠=︒， DFE FED DF DE ∴∠=∠∴=，804040FED C EDC EDC C ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠，，， DE EC AD EC ∴=∴=，，BC AD BD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加．ABCDE ABCDF E8 / 22【例15】在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD =60°，1902ADB BDC ∠=︒-∠，试说明AB =BD +DC ．【答案】详见解析【解析】证明：以AD 为轴作ABD 的对称'AB D''1'60'902B D BD AB AB AC B ABD ADB ADB BDC∴===∠=∠=︒∠=∠=︒-∠，，， '180ADB ADB BDC ∴∠+∠+∠=︒， 'C D B ∴、、共线， 'ACB ∴是等边三角形， AB BD DC ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的正确添加．【例16】已知：如图，AB =AC =BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线，试说明CD =12CE ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ， ∵CD 为△ABC 中AB 边上的中线， ∴BD =AD ∵DF =CD ，ADC BDF ∠=∠，∴ADC BDF ≅∴BF AC BE ==，180ABF A ABC CBE ∠=∠=-∠=∠，∴180CBF ABF ABC ABC CBE ∠=∠+∠=-∠=∠，又∵BC BC =，∴CBF CBE ≅， ∴CE CF =，∵12CD CF =，∴CD =12CE ．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用．A BCDB ’ABCDEF【例17】如图，AM 为△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE =AB ，AF =AC ，MA 的延长线交EF 于点P ，试说明AP ⊥EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AM 至N ，使MN AM =，联结CNAM 是BC 边上的中线，()..ABM NCM S A S ∴≅AB NC BAM N ABM NCM ∴=∠=∠∠=∠，， //180CN AB NCA BAC ∴∴∠+∠=︒，180AE AB AF AC EAF BAC ⊥⊥∴∠+∠=︒，，，180NCA BAC ∴∠+∠=︒，EAF NCA ∴∠=∠AE AB AF AC EAF NCA EFA NAC ==∴≅∴∠=∠，，，9090AF AC PAF NAC EAF NAC PAF EFA ⊥∴∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，，， 90APF AP EF ∴∠=︒∴⊥，【总结】本题一方面考查中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的性质应用．【例18】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．【答案】详见解析．【解析】证明：过A 作AG 平分BAC ∠交BD 于G190452BAC GAB CAG A ∠=︒∴∠=∠=∠=︒，()1180452AB AC C B C A =∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒，，，C BAG ∴∠=∠ 9090AE BD ABE BAE CAF BAE ABE CAF ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，， ()..ABG CAF A S A AG CF ∴≅∴=，，D 为AC 中点，AD CD ∴=又45C DAG ∠=∠=，()..AGD CFD S A S ADB CDF ∴≅∴∠=∠，．【总结】考查等腰直角三角形的性质应用，注意辅助线的添加．ABCMEFPNA BCD E FG10 / 22【例19】如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =∠ACD =60°．试说明CD =AB -BD ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长BD 到E ，使BE BA =，连接AE CE 、60ABD ∠=︒，ABE ∴为等边三角形6060AE AB AC BE ACE AEC AEB ACD AEB ACD DEC DCE DC DEBD DC BD DE BE AB DC AB BD∴===∠=∠∠=︒∠=︒∴∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∴=-，，，，，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质的综合应用．利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形【例20】如图，△ABC 中，∠ABC 、∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E ，求证：DE =BD +AE ．【答案】详见解析．【解析】证明：BP AP 、平分ABC CAB ∠∠、//CBP ABP CAP BAP DE AB DPB PBA EPA PABCBP DPB CAP EPA BD PD PE AE DE DP PE DE BD AE∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴===+∴=+，，，，，，，，，【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用．模块三：构造等腰三角形知识精讲例题解析ABCD EPABCDE【例21】如图，△DEF 中，∠EDF =2∠E ，F A ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系? 【答案】DF AD AE +=【解析】证明：在AE 上取一点B ，使AB AD =，连接BF2,FA DE FD FB FBD D E FBD E BFE E BFE BE BF BE DF AE AB BE AD DF⊥∴=∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=∴=+=+，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例22】如图，△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 是BC 边上的高，延长AB 到点E ，使BE =BD ，试说明AF =FC ．【答案】详见解析【解析】证明：BE BD E BDE =∴∠=∠，22ABC E BDE BDE ABC C C BDE BDE CDF C CDF DF FC∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，，，AD 为BC 边上的高9090CDF ADF ADC C CAD CAD ADF DF AF AF FC∴∠+∠=∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴=∴=，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例23】如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 两条高交于点H ，且AE =BE ．试说明AH =2BD ．【答案】详见解析．【解析】AD BE 、为高，90AEH BEC BDH ∴∠=∠=∠=︒BHD AHE EAH EBC ∠=∠∴∠=∠，，AE =BE ，()..AEH BEC A S A AH BC ∴≅∴=， 2AB AC AD BC BC BD =⊥∴=，，，2AH BD ∴=．【总结】考查等腰三角形的性质的应用．ABCDEFABCDE HAEFDB12 / 22【例24】如图，已知∠ABC =3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，试说明AC -AB =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 交AC 于点M90BE AE AEB AEM ⊥∴∠=∠=︒，，12ABE AME ∠=∠∴∠=∠，，2AB AM BE AE BM BE AC AB AC AM CM ∴=⊥∴=∴-=-=，，，，3322AMB C MBC ABC C ABC ABM MBC AMB MBC C AMB MBC MBC C MBC C CM BM AC AB BM BE∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴-==，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形．【例25】如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE =BD ．试说明EC =ED ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BD 至F ，使DF AB =，连接EFABC 是等边三角形，60AB BC AC B ∴==∠=︒，．AE BD DF AB AE AB BD DF BE BF ==∴+=+=，，，即 60B ∠=︒，BEF ∴为等边三角形，60B F BE FE DF AB BC DF ∴∠=∠=︒==∴=，，， ()..BCE FDE S A S EC ED ∴≅∴=，【总结】考查等腰三角形的判定及性质的综合应用．【例26】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =AB ，∠ABD =30°，试说明AD =DC ．【答案】详见解析．A BC2 E1 MABCDEFABCD E【解析】在BC 上截取BE AD =，连接DE9045AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，， 3075BD AB ABD BAD BDA =∠=︒∴∠=∠=︒，，1515DAC BAC BAD DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒∠=∠-∠=︒， ()..1545154515DAC DBC BDE ACD S A S BDE ACD DE DC DCE DECDEC EBD BDE ACD DCE ACB ACD ACD ACD ACD ACD ∴∠=∠∴≅∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠=︒+∠∠=∠-∠=︒-∠∴︒+∠=︒-∠∴∠=︒，，，，，，，ACD DAC AD DC ∴∠=∠∴=，．【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形判定的综合应用．【例27】如图，四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD =180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H ，试说明EH ⊥FH ．【答案】详见解析【解析】连接EF ，则180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒180180BAD BCD FCE BCDBAD FCE ∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，E F ∠∠、的平分线交于点H11221809018090CFH CFA HEC BEDA CFA CFE CEF BED CFH BEH CEF FCE CFH BEH CEF FCE H H EH FH∴∠=∠∠=∠∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥，，【总结】考查角平分线的性质及三角形内角和定理的综合应用，综合性较强，注意认真分析角度间的关系．【例28】已知：如图，在∆ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，CD ⊥AB ，垂足是D ，CE 平分∠ACD ，BF ⊥CE ，垂足是G ，交AC 于F ，交CD 于H ，试说明DH =12AF ．【答案】详见解析．ABC D EFM H14 / 22ACBEF【解析】证明：延长CD 到M ，使CM CB =，连接BM ，则M CBM ∠=∠90ACB AB BC ∠=︒=，，ABC ∴是等腰直角三角形． 4567.5CD AB BCM ACD M ⊥∴∠=∠=︒∴∠=︒，，， CE 平分ACD ∠，122.52GCH ACD ∴∠=∠=︒，67.5CE BF GHC ⊥∴∠=︒，， MHB GHC BM BH ∴∠=∠∴=，． ()90..2BD HM DH DMFCG HCG CGF CGH CG CG CGF CGH A S A CF CH AC BC CM AC CF CM CH AF HM AF DH⊥∴=∠=∠∠=∠=︒=∴≅∴===∴-=-∴=∴=，，，，，，即12DH AF =．【总结】考查等腰三角形的性质应用，综合性较强，注意添加相应的辅助线，将问题进行转化．【习题1】如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定【答案】B【解析】90,90ACB A B ∠=︒∴∠+∠=︒29045AC AE ACE AEC BC BF BCF BFC AEC B ECB BFC A FCAFCA ECF ECB B ECF ECB FCA A ECF A B ECF =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，故选B ．【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系．随堂检测AF GBH DEC M【习题2】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点AD =BD ，AB =AC =CD ，求∠BAC 的度数．【答案】108BAC ∠=︒．【解析】AD BD B BAD =∴∠=∠，，AB AC DC B C CDA CAD ==∴∠=∠∠=∠，，22180518036108CDA B BAD CDA B CAD B B C BAC B B BAC ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质．【习题3】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，试说明AF =EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AD 至G ，使DG AD =，联结BGAD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=()..ADC GDB S A S G CAD AC BG BE AC BG BE G BED BED AEF AEF G CAD AF EF∴≅∴∠=∠==∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠∴=，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质，注意倍长中线辅助线的添加．【习题4】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，试说明BD 是∠ABC 的角平分线．【答案】详见解析【解析】证明：延长AE BC 、交于点F9090ACB DBC BDC ∠=︒∴∠+∠=︒，，同理：90FAD EDA ∠+∠=︒ ()..1122EDA BDC FAD DBC AC BC AFC BDC A S A AF BD AE BD AE AF∠=∠∴∠=∠=∴≅∴==∴=，，，，，， ()..AE FE BAE BFE S A S ABE FBE ∴=∴≅∴∠=∠，，BD ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结．【习题5】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =100o ，D 、E 在AC 上，且AB =AD ，CB =CE ．求∠EBD 的度数．【答案】40EBD ∠=︒ABCDACDEEABDCF GAE BC DF16 / 22【解析】10080ABC A C ∠=︒∴∠+∠=︒，28040AB AD ABD ADB BC EC CBE CEB ADB C DBC CEB A ABEABE EBD DBC C EBD DBC ABE A EBD A B EBD =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．．【习题6】已知：如图在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，EF ⊥AD ，垂足是G ，且交BC 的延长线于点F ．试说明∠CAF =∠B ．【答案】详见解析【解析】证明：//DE AC CAD EDA ∴∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，BAD CAD ∴∠=∠， ()..EAD EDA EA EDEF AD AFG DFG S A S AF DF ADF DAF B BAD CAF CAD BAD CAD CAF B∴∠=∠∴=⊥∴≅∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用．【习题7】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，试说明AB +BD =CD ．【答案】详见解析【解析】证明：在CD 上取一点E 使DE BD =，联结AE()..22AD BC ABD AED S A S AB AE B AEB B C AEB C AEB C EAC C EAC AE EC CD DE EC AB BD⊥∴≅∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=+=+，，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定．ACDFB HGEBACDE【习题8】如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）等腰三角形．【解析】（1）在等腰Rt ABC 中，9045ACB CBA CAB ∠=︒∴∠=∠=︒， ()9045//9045..9090DE AB DEB BDE BF AC CBF BFD BDEBF DB CD DB BF CD CBF ACD S A S BCF CAD BCF GCA CAD GCA AD CF⊥∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒=∠∴==∴=∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴⊥，，，，，，，，，（2）联结AF ，CF AD =，DBF 是等腰直角三角形，∵BE 是DBF ∠的平分线，BE ∴垂直平分DFAF AD CF AD CF AF ∴==∴=，，，∴ACF 为等腰三角形．【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．【习题9】在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA延长线于E ，交AC 于F ，试说明BE =CF =12(AB +AC )．【答案】详见解析【解析】证明：过点B 作//BN AC 交EM 延长线于点N()////12BN AC BM CM CFM BNM CF BNAD ME AD BAC CFM DAC E E N BEN BE BN CFEFA CFM E EFA AE AF AB AC AB AF FC AB AE FC BE FC BE CF AB AC =∴≅∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∴∴==∠=∠∴∠=∠∴=∴+=++=++=+∴==+，，，，平分，，是等腰三角形，，，【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．GFED C BAABDMCF E N18 / 22BDCA【习题10】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．【答案】70BAO ∠=︒．【解析】作BAC ∠的角平分线与CO 的延长线交于点D ，联结BD()..805020202040BAD DAC AB AC AD ADABD ACD S A S BD CD ABD ACD DBC DCB BAC ABC ACB OCA ABD ACD OBD ABC ABD OBC ABD DOB OBC OCB BAD OBD ABD DOB DAB BD BD ABD ∠=∠==∴≅∴=∠=∠∴∠=∠∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=∠-∠-∠=︒=∠∠=∠+∠=︒=∠∠=∠∠=∠=∴≅，，，，，，，，，，，()()()()..1111801801804070222OBD A A S AB OB BAO AOB BAO ABO ABC OBC ∴=∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦，，【总结】考查等腰三角形的性质与全等相结合的综合应用，综合性较强，注意辅助线的添加．【作业1】如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AC ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数．【答案】67CAD ∠=︒．【解析】DC AC CAD CDA =∴∠=∠，CDA B DAB ∠=∠+∠，又4621ABC DAB ∠=︒∠=︒， 67CDA ∴∠=︒，67CAD ∴∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础．课后作业OABCD【作业2】如图所示，12AB AD BC DE ==∠=∠，，，试说明：(1)(2)2AC AE CAE =∠=∠；．【答案】详见解析．【解析】（1）2112ADC ADE B ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠，又ADE B AB AD BC DE ∴∠=∠==，， ()..ABC ADE S A S AC AE ∴≅∴=，；（2）ABC ADE BAC DAE ≅∴∠=∠，，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠1122CAE CAE ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠，，【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础．【作业3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．若∠BAD ＝40呢?【答案】15CDE ∠=︒，20CDE ∠=︒．【解析】AD AE AC AB ADE AED B C ==∴∠=∠=∠，，，23023015ADE CDE B BAD AED C CDE C CDE CDE B BAD CDE BAD BAD CDE CDE ∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，同理：当40BAD ∠=︒时，20CDE ∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换．【作业4】如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD =ED =EA ，求∠A 的度数．【答案】1807A ︒∠=．【解析】AE ED ADE A =∴∠=∠，，2DEB ADE A A ∴∠=∠+∠=∠．233318018071807BD ED ABD DEB A BDC ABD A ABD BC C BDC A AB AC ABC C A ABC C A A A =∴∠=∠=∠∴∠=∠+∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∠︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=，，，，，，，【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化．ABCDE21ABCDEABCDE20 / 22【作业5】已知∆ABC 中，BD =CE ，DF =EF ．试说明AB =AC ．【答案】详见解析【解析】证明：过点D 作//DG AC 交BC 于G()//..DG AC DGB ACB DGF ECF DF EF DFG EFC DFG EFC A A S CE DG BD CE BD DG B DGB B ACB AB AC∴∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==∴=∴∠=∠∴∠=∠∴=，，，，，，，，，【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用．【作业6】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（）A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2ABC ．AC ≤2ABD ．AC ＜2AB【答案】D【解析】解：延长CB 到D ，使DB AB =，联结AD222AB BD BAD D ABC D BAD ABC DABC C C D AD AC AB BD AD AB BD AC AB AC=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=+>∴+>∴>，，，，，，，故选D ．【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系．【作业7】如图，已知：AC ∥BD ，EA 、EB 平分∠BAC 、∠DBA ，交CD 于点E ，试说明：AB =AC +BD ．【答案】详见解析【解析】证明：在AB 上取一点F ，使AF AC =，联结EF ．EA EB 、平分BAC DBA ∠∠、，CAE FAE EBF EBD ∴∠=∠∠=∠，()..ACE AFE S A S ∴≅，C AFE ∴∠=∠，//180AC BD C D ∴∠+∠=︒，，180AFE EFB ∠+∠=︒，EFB D ∴∠=∠，()..BEF BED A A S BF BD ∴≅∴=，． AB AF BF AB AC BD =+∴=+，．【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．BDCEAFGABCDA BCDEF【作业8】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 的度数．【答案】150BMC ∠=︒．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，交CM 延长线于O ，联结OA4492BAC BCA AB BC ABC ∠=∠=︒∴=∠=︒，，BD AC ⊥， ABO CBO ∴∠=∠，ABO CBO ∴≅30OA OC OAC MCA ∴=∴∠=∠=︒，443014301614906012012030BAO BAC OAC OAM OAC MAC BAO MAO AOD OAD COD AOM AOB AO AO ABO AMO OB OM BOM OMB OBM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒∴∠=∠∠=︒-∠=︒=∠∴∠=︒=∠=∴≅∴=∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，， 180150BMC OMB ∴∠=︒-∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质、及全等三角形判定、三角形外角、内角和性质等．【作业9】如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，试说明：BQ +AQ =AB +BP ．【答案】详见解析．【解析】延长AB 到D ，使BD BP =，联结PD ，则D BPD ∠=∠．AP BQ 、分别是BAC ABC ∠∠、的角平分线，且6040BAC ACB ∠=︒∠=︒，()3080408040..BAP CAP ABC ABQ QBC C QB QC ABC D BPD D BPD APD APC A A S AD ACAB BD AQ QC AB BP BQ AQ∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒=∠∴=∠=∠+∠=︒∴∠=∠=︒∴≅∴=∴+=+∴+=+，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强，注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线．B CMADOABPQCD22 / 22【作业10】如图，已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC =2∠C ，M 为BC的中点，ME ⊥AF ，交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于F ，试说明：BD =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 到G ，使EG BE =，联结CG GD 、，延长AF 交GC 于H ．//BE EG BM MCEM CG ME AF AH CG==∴⊥∴⊥，，，AH 平分BAC ∠，AG AC ∴=，GAD CAD ∠=∠()..AGD ACD S A S DGA ACD ∴≅∴∠=∠，22CBA ACB CBA DGA BDG BDG DGB BD BG BE EG BD BE∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴==∴=，，，【总结】本题综合性较强，难度较大，考查三角形的相关性质及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质的综合运用，也可以用其它方法进行求解，建议教师选择性讲解．ABCDEF MGH。

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是（写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ．（1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由；（2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒，又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠；故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

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⑴如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点，以点D 为顶
点作等腰Rt △GDE ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG ． ⑴试猜想线段BG 和AE 的数量关系是； ⑵将等腰Rt △GDE 绕点D 逆时针方向旋转(0360)αα︒<≤︒，试判断⑴中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
（2014燕山中考节选）
【分析】考点：等腰直角三角形底边中点，所以必连AD ，得到新的等腰直角三角形ADB 和ADC 。

然后即kiss 模型（手拉手模型）得到旋转全等：△DBG ≌△DAE （旋转90°的全等） ∴BG=AE ，且BG ⊥AE
（证明过程不在给，不会的课上单独问）
⑵如图，等腰Rt ABC △中，90AC BC ACB =∠=，
°，P 为ABC △内部一点，满足PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．
【分析】考点：轴对称全等
先看此题：如右图，在正方形ABCD 中，△CDE 为等边三角形，连接EA ，EB ；
求证：∠EBA=15°。

此题非常简单，根据正方形和等边三角形的性质，
∠ECB=30°，且△ECB 为等腰三角形。

∴∠CBE=75°，∴∠EBA=15°。

观察原图和此图的区别，发现原图是此图的一半，所以我们只需添加辅助线构造出此图即可。

在原图中，作BD ⊥BC ，且使BD=BC ，连接AD ，DP ；
图2
图1
A
B
C
D E
G
G
E D C
B
A
P
C
B
A
E
D
C
B
A
∴四边形ACBD 即为正方形，只需证明△ADP 为等边三角形即可（证明△DBP ≌△ACP 即可）
⑶已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，
⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）
⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持
AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持
AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．
【分析】考点和第（1）题考点一样：等腰直角三角形底边中点，所以连接OA ，得到新的等腰直角三角形AOB 和AOC ；
之后仍然有kiss 模型（手拉手模型），得到旋转全等（过程不再给出，不会的单独问我）
⑷已知，在正方形ABCD 中，E 在BD 上，DG ⊥CE 于G ，DG 交AC 于F .求证：OE =OF
【分析】条件：等腰直角三角形（△OCD ）；
结论：证明等腰直角三角形（△OEF ，因为OE ⊥OF ，又证明OE=OF ，所以
△OEF 即为等腰直角三角形）
所以从图形看，即两个等腰直角三角形构成的kiss 模型（手拉手模型） ∴只要证明△OEC ≌△OFD 即可（过程不再给出，不会的单独问）
G
O F
E D
C B
A
A
B
C
O
M
N
⑸如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，M 为AC 中点，连结BM ，作AD ⊥BM 交BC
于点D ，连结DM ，求证:∠AMB =∠CMD ．
【分析】考点：等腰直角三角形构成的三垂直模型；辅助线：作CH ⊥AC 与AD 延长线交于H ，得到△BAM ≌ACH 之后再证明：△CDM ≌△CDH （轴对称全等），即能得到结论（过程不再给出，不会的单独问）
⑹在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，
⑴如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H ．求证，EF ⊥CD ；
⑵如图2，AD =AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP 、FP 、AF 之间的数量关系，并说明理由．
（2014丰台一模）
【解析】考点和第（5）题一样，辅助线一样，自己思考（较难）
⑺在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，且AD=BE=CF ，连接AE 、BF 、CD ，交于G 、H 、I 三点；
探究：△GHI 的形状；
【解析】课上已讲（等边三角形）
A
B
C
E
D
F
G
H
C
H
F G
E P
B D
A
F
A
B
E
M
D C B A
I
H
G
F
E
D
C
B
A。