最新高中数学分章节训练试题：27概率与统计
高中数学概率与统计练习题目集
高中数学概率与统计练习题目集1. 概率基础题1.1 从数字1到10中随机选择一个数，求得奇数的概率。
1.2 一副扑克牌中，选择一张红心的概率是多少？1.3 一个掷骰子的概率事件，掷出1或者2的概率是多少？1.4 从字母A到H中随机选择一个字母，得到一个辅音字母的概率是多少？1.5 有一组学生中，60%是男生，40%是女生，如果随机选择一个学生，得到一个男生的概率是多少？2. 条件概率与互斥事件题目2.1 有三个白袋子，分别装有红、蓝、绿色的球。
一个袋子内含两个球，其中一个球是红色，另一个是蓝色。
一个球从袋子中随机取出，是红球的概率是多少？2.2 有两个袋子，第一个袋子有2个红球和3个蓝球，第二个袋子有3个红球和4个蓝球。
先从第一个袋子中随机取出一个球，然后再从第二个袋子中随机取出一个球，求得两个球都是红色的概率。
2.3 在一批电子设备中，20%的设备有缺陷。
在一个有缺陷的设备中，50%是由制造商A制造的，其他的由制造商B制造。
随机选择一个有缺陷的设备，设备是由制造商A制造的概率是多少？2.4 有两个骰子，A和B。
骰子A有4个面是1，两个面是2。
骰子B有2个面是1，两个面是2，两个面是3。
随机选择一个骰子掷一次，结果是1的概率是多少？2.5 一组学生中，60%是男生，40%是女生。
有80%的男生参加了篮球比赛，50%的女生参加了篮球比赛。
随机选择一个学生，学生参加了篮球比赛的概率是多少？3. 排列组合题目3.1 一副扑克牌中，随机选择2张牌，求得两张牌都是红心的概率。
3.2 有6个苹果和4个橙子，从中随机选择3个水果放入篮子中，求得篮子中有2个苹果和1个橙子的概率。
3.3 一个由26个字母组成的密码，密码是4个字母的组合。
求得密码中没有元音字母的概率。
3.4 有5个红球，3个蓝球和2个绿球，从中选择4个球。
求得选择的球中至少有两个红球的概率。
3.5 一组奖券中，有3个一等奖，5个二等奖和10个三等奖。
【高中数学】2021高考数学概率和统计题型训练(含答案)
【高中数学】2021高考数学概率和统计题型训练（含答案）1高考数学概率和统计题型训练真题及答案为了了解下属部门对员工的服务情况，某企业随机采访了50名员工。
根据部门50名员工的得分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组范围为：[40,50]，[50,60]，…，[80,90]，[90100](1)求频率分布直方图中a的值；（2）估计企业员工在该部门得分不低于80分的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．标准答案(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.2分（2）根据给出的频度分布直方图，50名被调查员工得分不低于80分的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，因此企业员工得分不低于80分的概率估计值为0.4.4(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为a1，a2，a3；5分在受访员工中，得分为[40,50]：50×零点零四×10=2（人），记为B1、B2 6分从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}.10分因为有一个结果，两个被选中的人的分数都是[40,50]，也就是{B1，B2}，11分故所求的概率为.12分一2021高考数学概率和统计题型训练技巧概率统计，算法，复数。
计算和复数通常出现在多项选择题中，难度较小。
概率统计问题关注学生的阅读能力和获取信息的能力，这与现实生活密切相关。
学生需要学习有效地提取和翻译信息。
完成后，问题就会解决。
概率统计题型解题流程第一步：利用频率分布直方图中每个小矩形的含义计算a的值；第二步：利用频率估计概率；第三步：找出相应时间间隔内的人数；第四步：求样本空间所包含的所有基本事件；第五步：找到请求事件中包含的基本事件；第六步：代入公式求解．概率统计问题满分(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对得分步骤一定要写全，如第(3)问中，只要求出[40，50)、[50，60)内的人数就各得1分；只要列出所有可能的结果就得4分．（2）指出评分要点：对于解决问题过程中的关键点，如果有，将给予评分，如果没有评分，则在回答问题时必须清楚地写下评分要点。
高三数学练习题：概率与统计专项训练
高三数学练习题：概率与统计专项训练问题1：某班级中有30名男生和20名女生，班级展示某项艺术作品的学生是随机选取的。
如果从班级中随机抽取一个学生，那么他/她是男生的概率是多少？问题2：一个小组中有5名男学生和6名女学生，从中随机选择两名学生参加一个活动。
计算以下概率：a) 两名所选学生都是男学生的概率；b) 两名所选学生都是女学生的概率；c) 两名所选学生中，一名是男学生，一名是女学生的概率。
问题3：一位学生参加一场4道选择题的考试。
每道题目有4个选项，其中只有一个是正确的。
如果这位学生是随机作答问题，计算以下概率：a) 回答所有题目都正确的概率；b) 回答至少一道题目正确的概率；c) 回答所有题目都错误的概率。
问题4：一位装有10个红球和20个蓝球的罐子中随机抽取5个球。
计算以下概率：a) 抽取的5个球中有3个红球和2个蓝球的概率；b) 抽取的5个球中至少有3个红球的概率；c) 抽取的5个球中没有红球的概率。
问题5：一款手机有4种颜色：黑色、白色、金色和红色。
某家电商销售这款手机，其中40%的手机是黑色的，30%是白色的，20%是金色的，余下的是红色的。
如果从中随机选择一部手机，计算以下概率：a) 手机是黑色或白色的概率；b) 手机不是红色的概率。
问题6：一组学生参加了一场数学竞赛，其中50%的学生是男生，50%是女生。
这些学生中有60%是九年级的学生，40%是十年级的学生。
如果从中随机选择一名学生，计算以下概率：a) 学生是男生且是九年级的概率；b) 学生是女生或是十年级的概率。
问题7：一组数据包含10个互不相等的整数。
如果从中随机选择两个整数，计算以下概率：a) 两个整数之和是偶数的概率；b) 两个整数之差是正数的概率；c) 两个整数之积是负数的概率。
这些练习题旨在巩固概率与统计的相关概念，并提供实际问题的应用。
通过解答这些问题，学生可以加深对概率与统计的理解，同时提高解决实际问题的能力。
2024年数学高三下册概率统计基础练习题(含答案)
2024年数学高三下册概率统计基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据的标准差是（）A. 3B. 9C. 3²D. 1/32. 下列哪个图形能够表示一个离散型随机变量X的概率分布（）A. 直方图B. 折线图C. 散点图D. 条形图3. 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面朝上的概率是（）A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/44. 已知随机变量X服从二项分布，且P(X=0)=0.16，P(X=1)=0.32，则P(X=2)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.48D. 0.645. 下列关于正态分布的说法，错误的是（）A. 正态分布是连续型概率分布B. 正态分布曲线呈钟形C. 正态分布的均数等于0，标准差等于1D. 正态分布曲线关于x轴对称6. 设随机变量X的分布列为：X=1的概率为0.2，X=2的概率为0.3，X=3的概率为0.5，则E(X)等于（）A. 1B. 2C. 2.5D. 37. 已知一组数据的平均数为50，标准差为5，那么这组数据的中位数（）A. 一定大于50B. 一定小于50C. 一定等于50D. 无法确定8. 在一组数据中，众数与众数的频率之和等于（）A. 1B. 0C. 数据总数D. 频率9. 下列关于概率的说法，正确的是（）A. 必然事件的概率为0B. 不可能事件的概率为1C. 随机事件的概率介于0和1之间D. 互斥事件的概率之和等于110. 在一个箱子中有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，取到红球或绿球的概率是（）A. 2/5B. 3/5C. 4/5D. 1/2二、判断题：1. 样本方差越大，说明数据的波动越大。
（）2. 两个互斥事件的概率之和一定等于1。
（）3. 随机变量X的期望值E(X)一定等于它的众数。
（）4. 在二项分布中，如果n固定，p越大，概率分布越集中。
（）5. 正态分布曲线下，面积等于1的部分对应的横坐标范围是负无穷到正无穷。
核心素养练-高中数学分章节训练试题：27概率与统计
高三数学章节训练题27《概率与统计》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’）□良好（60’～69’）□合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1Q 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）A Q 3040B Q 1240C Q 1230D Q 以上都不对2Q 已知回归直线的斜率的估计值是1Q 23，样本点的中心为（4,5），则回归直线的方程是（）QA Q y=1Q 23x＋4B Q y=1Q 23x+5C Q y=1Q 23x+0Q 08D Q y=0Q 08x+1Q 23为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学70.5的学生有（B Q 8利用独立性检验来考虑两个分类变量通过查阅下表来确定断言如果500QQ Q Q Q Q Q5Q 一枚伍分硬币连掷3次，只有1次出现正面的概率为（）A Q 38B Q 23C Q 13D Q 146Q 在()()8311x x-+的展开式中，5x的系数是（）A Q 26B Q 27C Q 28D Q 29二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1Q 某学校现有高级教师10人，中级教师50人，二级教师75人，从中抽取一个容量为30的样本，可采用的抽样方法是Q2Q 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂有颜色的概率是Q3Q 在求两个变量x和y的线性回归方程过程中, 计算得51iix =∑=25, 51iiy =∑=250, 521iix =∑=145, 51i iix y =∑=1380, 则该回归方程是Q4Q 椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上，且{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6m n∈∈，则这样的椭圆的个数为Q率90合计三、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）1Q小朋友做投键子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中12AG HR DR GH ===，2CP DP AE CQ ===Q其游戏规则是：将键子投入阴影部分为胜，否则为输Q求某小朋友投键子获胜的概率Q2Q甲、乙两人做出拳游戏（剪子、石头、布），求： （1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率Q3Q某人居住在城镇的A 处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如右图(例如A C D →→算两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为13)Q请你为其选择一条由A 至B 的线路，使途中发生堵车的概率最小Q高三数学章节训练题27《概率与统计》参考答案一、选择题 1～6 BCBDAC 二、填空题 1Q分层抽样 2Q493Q6.517.5y x =+ 4Q15 三、解答题：1Q解：投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件（记为事件A ）的概率为1()2P A =Q2Q解：设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C ，则有事件A 含3个基本事件；事件B 含3个基本事件；事件C 含3个基本事件Q由古典概型的概率计算公式，可得 （1）31()93P A ==；（2）31()93P B ==；（3）31()93P C ==Q3Q由A 至B 的线路有三种选择：A C D B →→→、A C F B →→→、A E F B →→→Q按线路A C D B →→→来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件Q故途中发生堵车的概率为：111111*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理，按线路A C F B →→→来走，途中发生堵车的概率为：11171111104616⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 按线路A E F B →→→来走，途中发生堵车的概率为：111111112563⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q由于111732016>>，故选择A C F B →→→的线路，途中发生堵车的概率最小Q。
人教版高中数学概率与统计专项练习题(含答案)
人教版高中数学概率与统计专项练习题（含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共8题，每题5分，共40分)1．已知直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则k 的取值范围是 A.(√3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)2．已知函数f (x )=(2a -1)x -12cos 2x -a (sin x +cos x )在[0,π2]上单调递增,则实数a 的取值范围为A.(-∞,13] B.[13,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)3．已知{a n }是等比数列,数列{b n }满足b n =log 2a n ,n ∈N *,且b 2+b 4=4,则a 3的值为A.1B.2C.4D.164．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,虚轴的上端点为B ,点P ,Q 在双曲线上,且点M (-2,1)为线段PQ 的中点,PQ ∥BF ,双曲线的离心率为e ,则e 2=A.√2+12B.√3+12C.√2+22D.√5+125．双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2-2x +15=0相切,则双曲线C 的离心率为A.√52B.√2C.√5D.√1726．已知函数f (x )=-x 2+a2,g (x )=x 2e x -a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是A.[14,e] B.(1+1e ,e]C.(14+1e ,e] D.[1,e]7．已知函数f (x )=(x 2-2x )sin(x -1)+x +1在[-1,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =A.4B.2C.1D.08．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共6题，每题5分，共30分)9．(2x +x-1)5的展开式中常数项是 .10．已知函数f (x )=3sin(x -π3),若f (x 1)-f (x 2)=6,则f (x 1-x 2)的值为 .11．已知不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,当实数a ,b ,c 变化时,a+b+c b-a的最小值为 .12．已知数列{a n }的首项a 1=1,当n ≥2时,满足a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1,则通项a n = .13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 7=S 11,且a 1>0,则S n 最大时n 的值是 .14．(x 2+3x +2)5的展开式中含x 项的系数是 .三、解答题(共6题，共80分)15．设椭圆C :a 2+b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆的上顶点为点B ,点A 为椭圆C 上一点,且3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0.(1)求椭圆C 的离心率;(2)若b =1,过点F 2的直线交椭圆C 于M ,N 两点,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.16．设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).17．已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=4√3,A (√3,-√132)是椭圆上一点.(1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值;(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点,M ,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM 与y 轴交于点P ,直线TN 与x 轴交于点Q ,求证:|PN |·|QM |为定值.18．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X =2);(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率.19．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C上异于长轴端点的动点,∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M .当P 在x 轴上的射影为F 2时,M 恰为OF 2的中点.(1)求C 的方程;(2)过点F2引PF2的垂线交直线l:x=2于点Q,试判断除点P外,直线PQ与C是否有其他公共点?说明理由.20．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)证明: BC⊥PB;(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案1.C【解析】设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤12|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.因为|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4,所以|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1,因为直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤(√2)2<4,因为k >0,所以√2≤k <2√2,所以k 的取值范围是[√2,2√2).【备注】无2.D【解析】本题主要考查函数的单调性与导数、不等式恒成立问题、三角函数的值域,以函数的单调性为载体,借助导数及三角函数,考查化归与转化能力、运算求解能力.因为函数f (x )在[0,π2]上单调递增,所以f '(x )=2a -1+sin 2x -a cos x +a sin x ≥0在[0,π2]上恒成立,即a ≥1-sin2x 2+sinx-cosx在[0,π2]上恒成立.设g (x )=1-sin2x2+sinx-cosx,x ∈[0,π2],则g (x )=(sinx-cosx)22+sinx-cosx ,设sin x -cos x =t ,则y =t 22+t =(t+2)2-4(t+2)+4t+2=t +2+4t+2-4,因为t =√2sin(x -π4),x ∈[0,π2],所以-1≤t ≤1,1≤t +2≤3,所以0≤y ≤1,所以a ≥1,故选D.【备注】【画龙点睛】分离参数是避免分类讨论的主要方法,换元法是化繁为简的主要方法. 3.C【解析】∵{a n }为等比数列,∴{b n }为等差数列,∴b 3=2,log 2a 3=2,∴a 3=4.故选C. 【备注】无 4.A【解析】解法一 由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k PQ =k BF =-bc .设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).因为线段PQ 的中点为M (-2,1),所以x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,又k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=-b c ,所以-bc =-4b 22a 2,整理得a 2=2bc ,所以a 4=4b 2c 2=4c 2(c 2-a 2) ,即4e 4-4e 2-1=0,得e 2=√2+12,故选A.解法二 由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k BF =-bc .设直线PQ 的方程为y -1=k (x +2),即y =kx +2k +1,代入双曲线方程,得(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2k (2k +1)x -a 2(2k +1)2-a 2b 2=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4,所以2a 2k(2k+1)b 2-a 2k 2=-4.又k =k BF =-b c,所以2a 2·(-b c)[2·(-b c)+1]=-4b 2+4a 2(-b c )2,整理得a 2=2bc ,所以c 2-b 2-2bc =0,即(c b )2-2cb -1=0,得cb=√2+1,则e 2=c 2a 2=c 2c 2-b 2=(c b )2(cb)2-1=√2+1)2(√2+1)2-1=√2+12,故选A.【备注】无 5.C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维,数学探索.不妨取双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =ba x ,即bx -ay =0,化圆x 2+y 2-2x +15=0的方程为标准方程,得(x -1)2+y 2=45,则圆心坐标为(1,0),半径为2√55.由题意可得√a 2+b2=2√55,(直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径)即b 2a 2+b2=45,即c 2-a 2c 2=45,所以c 2=5a 2,(关键点拨:求双曲线的离心率的关键是求出关于a ,c 的关系式)所以双曲线C 的离心率e =ca =√5,故选C.【备注】无 6.B【解析】本题考查函数的值域、单调性和图象等,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),可得函数f (x )在[-12,1]上的值域是g (x )在[-1,1]上的值域的某个子集的子集,g (x )值域的这个子集应具备这样的条件,即集合内的任何一个函数值,都对应函数g (x )在[-1,1]上唯一一个自变量的值,再数形结合,即可求解.当x ∈[-12,1]时,f (x )=-x 2+a2的值域是[a 2-1,a2],g'(x )=2x e x +x 2e x =x (x +2)e x ,则g (x )在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,g (-1)=1e −a2,g (0)=-a 2,g (1)=e-a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则{a 2-1>1e -a2,a 2≤e −a 2,所以1+1e <a ≤e,故选B.【备注】【解题关键】由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,正确得到函数f (x )和g (x )值域之间的关系是解决本题的关键. 【易错警示】理解存在唯一的x 2∈[-1,1]和存在x 2∈[-1,1]的不同. 7.A【解析】本题主要考查函数的性质.注意到f (x )=[(x -1)2-1]sin(x -1)+x +1,可令t =x -1,g (t )=(t 2-1)sin t +t ,则y =f (x )=g (t )+2,t ∈[-2,2].显然M =g (t )max +2,m =g (t )min +2.又g (t )为奇函数,则g (t )max +g (t )min =0,所以M +m =4,故选A.【备注】无 8.C【解析】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题,考查考生的阅读理解能力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.【备注】无 9.-161【解析】(2x +1x -1)5表示五个(2x +1x -1)相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,2x ,1x ,1x ,-1,则此时的常数项为C 52·C 32·22·(-1)=-120;第二种情况是从五个(2x +1x-1)中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1;第三种情况是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,1x ,-1,-1,-1,则此时的常数项为C 51·C 41·21·(-1)3=-40,故展开式的常数项为-120-1-40=-161. 【备注】无 10.3√32【解析】本题主要考查诱导公式、三角函数的性质,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.利用已知得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后解得x 1,x 2,最后利用诱导公式即可求得f (x 1-x 2)的值.由f (x 1)-f (x 2)=6并结合f (x )的解析式得f (x 1)=3,f (x 2)=-3,所以sin(x 1-π3)=1,sin(x 2-π3)=−1,则x 1-π3=2k 1π+π2,k 1∈Z ,x 2-π3=2k 2π-π2,k 2∈Z ,所以x 1-x 2=2(k 1-k 2)π+π,k 1,k 2∈Z .所以f (x 1-x 2)=3sin[2(k 1-k 2)π+π-π3]=3sin π3=3√32.【备注】【素养落地】求解时需将函数的解析式和f (x 1)-f (x 2)=6联系起来,利用三角函数的图象和性质找到解题的突破口,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.【解后反思】解决本题的关键是根据f (x 1)-f (x 2)=6并结合三角函数的解析式及图象和性质得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后利用诱导公式进行化简求解即可. 11.3【解析】因为不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,所以0<a <b ,对于方程ax 2+bx +c =0,Δ=b 2-4ac ≤0,所以c ≥b 24a ,所以a+b+c b-a≥a+b+b 24ab-a=1+b a +14×(b a )2b a-1.令y =1+b a +14×(b a )2b a-1,t =ba ,则有14×t 2+(1-y )×t +1+y =0 ①,关于t 的方程①的判别式Δ'=(1-y )2-(1+y )≥0,解得y ≥3或y ≤0,由0<a <b ,可得ba >1,所以y >0,所以y ≥3,所以a+b+c b-a的最小值为3.【备注】无12.a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【解析】由题设a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1 (n ≥2),① 可得a n+1=a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1+1n a n ,② 且a 2=a 1=1.②-①得a n+1-a n =1n a n (n ≥2),即a n+1=n+1na n (n ≥2),即a n+1a n=n+1n(n ≥2),所以当n ≥3时,a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an a n-1=1×11×32×43×…×nn-1=n2,当n =2时,a 2=1=22,满足上式,当n =1时,a 1=1≠12,不满足上式,故所求a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【备注】上述解析中当n ≥3时,等式a n a n-1=nn-1才成立,使用累乘法求得数列通项公式a n 后,不仅需要检验a 1是否满足通项公式,还得检验a 2是否满足通项公式,这一点极易出错.本题也可利用构造法转化为等差数列求通项,把a n+1=n+1na n (n ≥2)化为a n+1n+1-ann =0(n ≥2),得到数列{a nn }是从第2项起公差为0的等差数列,注意首项不满足.13.9【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和公式、性质.通解是根据S 7=S 11得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,再结合二次函数的知识判断出前9项和最大;优解是根据S 7=S 11得a 8+a 9+a 10+a 11=0,即可知前9项和最大. 通解 设等差数列{a n }的公差为d ,由S 7=S 11可得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,得到d =-217a 1,所以S n =na 1+n(n-1)2d =na 1+n(n-1)2×(-217a 1)=-a117(n-9)2+8117a 1,由a 1>0可知-a117<0.故当n =9时,S n 最大.优解 根据S 7=S 11可得a 8+a 9+a 10+a 11=0.由等差数列的性质可得a 9+a 10=0,由a 1>0可知a 9>0,a 10<0.当所有正数项相加时,S n 取得最大值,所以前9项和S 9最大.【备注】无14.240【解析】∵(x 2+3x +2)5=(x +1)5(x +2)5,∴展开式中含x 的项是C 54xC 5525+C 55C 54x 24=240x ,∴展开式中含x 项的系数是240. 【备注】无15.解:(1)设A (x 0,y 0),由题意知B (0,b ),F 1(-c ,0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得{3x 0+4c =03y 0+b =0⇒{x 0=-4c3y 0=-b 3,即A (-43c ,-b3), 又A (x 0,y 0)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1上, ∴(-43c)2a 2+(-13b)2b 2=1,得ca =√22,即椭圆C 的离心率为e =√22.(2)由(1)知,e =√22.又b =1,a 2=b 2+c 2,∴a 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.当线段MN 在x 轴上时,MN 的中点为坐标原点(0,0).当线段MN 不在x 轴上时,设直线MN 的方程为x =my +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 将直线MN 的方程代入椭圆方程x 22+y 2=1中,得(m 2+2)y 2+2my -1=0. ∵点F 2在椭圆内部,∴Δ>0,y 1+y 2=-2mm 2+2,则x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2,∴点P 的坐标(x ,y )满足x =2m 2+2,y =-mm 2+2, 消去m 得,x 2+2y 2-x =0(x ≠0).综上所述,点P 的轨迹方程为x 2+2y 2-x =0.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.(1)设A (x 0,y 0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得A (-43c ,-b3),代入椭圆方程,即可得出结果;(2)由题设及(1)得出椭圆方程为x 22+y 2=1,分别讨论线段MN 在x 轴上,线段MN 不在x 轴上的情况,计算即可得出结果.【备注】【方法归纳】 求椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率的方法:(1)直接求出a ,c ,求解e ,已知标准方程或a ,c 易求时,可利用离心率公式e =ca 求解;(2)变用公式,整体求e ,如利用e =√c 2a2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;(3)利用公式的变形e =c a=2c 2a=|F 1F 2||MF 1|+|MF 2|(点M 在椭圆上,F 1,F 2为两焦点)求解;(4)建立a ,b ,c 的齐次关系式,将b 用a ,c 表示,两边同除以a 或a 2化为e 的关系式,进而求解.16.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)] =∑i=12na i +∑i=1n a 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【解题思路】(1)先分别设出数列{a n }的公差与数列{b n }的公比,然后利用已知条件建立方程组,求出公差与公比,最后利用公式求解即可.(2)(i)将(1)中所求结论代入,即可求出相应的通项公式;(ii)分组求和,即可得出结果.【备注】【命题分析】数列在高考命题中较为灵活,可以以较为基础的形式呈现,也可以融入较多的创新问题,但最终都离不开数列通项公式的求解、数列的求和等.从最近几年的高考来看,数列问题最终通常可以转化为我们熟悉的等差数列或等比数列问题进行求解.17.(1)解法一 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,F 1(-2√3,0),F 2(2√3,0). 由椭圆的定义可得2a =√3√3)√132+√3-2√3)√132=√1214+√254=112+52=8,解得a =4,∴e =2√34=√32,b 2=16-12=4, ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.解法二 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,椭圆C 的左焦点为F 1(-2√3,0),故a 2-b 2=12, 又点 A (√3,-√132)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,则3b 2+12+134b 2=1,化简得4b 4+23b 2-156=0,得b 2=4,故a 2=16,∴e =2√34=√32,椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.(2)由(1)知M (4,0),N (0,2),设椭圆上任一点T (x 0,y 0)(x 0≠±4且x 0≠0),则x 0216+y 024=1.直线TM :y =y 0x-4(x -4),令x =0,得y P =-4y 0x0-4,∴|PN |=|2+4y 0x0-4|.直线TN :y =y 0-2x 0x +2,令y =0,得x Q =-2xy 0-2,∴|QM |=|4+2x 0y 0-2|.|PN |·|QM |=|2+4y 0x 0-4|·|4+2x 0y 0-2|=|2x 0+4y 0-8x 0-4|·|2x 0+4y 0-8y 0-2|=4|x 02+4y 02+4x 0y 0-8x 0-16y 0+16x 0y 0-2x 0-4y 0+8|,由x 0216+y 024=1可得x 02+4y 02=16,代入上式得|PN |·|QM |=16, 故|PN |·|QM |为定值.【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等基础知识,考查定值问题,考查推理论证能力、运算求解能力.(1)考虑两种方法解决;(2)分别先得到|PN |与|QM |的表达式,再结合条件证明即可【备注】【规律总结】在直线与椭圆相交背景下求面积的最值,定值、定点问题是高考的热点问题,将直线方程与椭圆方程联立后利用根与系数的关系以及点到直线的距离公式建立目标函数,将面积问题转化为求函数的最值问题是常规解法,应当熟练掌握,同时,需提高整体代换的意识,通过换元等方法优化和提高运算的能力18.(1)X =2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P (X =2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X =4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率,意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.(1)由题意知P (X =2)包括甲获胜的概率与乙获胜的概率,则利用互斥事件的概率公式求解即可;(2)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.【备注】【方法技巧】求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事件转化成互斥事件的和,或者求其对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.19.(1)解法一 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1,不妨设P 在x 轴上方(如图).当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,1a),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),所以直线PF 1的方程为x -2acy +c =0.因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=|MF 2|=c2,所以点M 的坐标为(c2,0). 则点M 到直线PF 1的距离为d =|c 2+c|√1+4a 2c 2=2√1+4a 2c 2.因为PM 平分∠F 1PF 2,PF 2⊥F 1F 2,所以d =|MF 2|,即2√1+4a 2c2=c2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2.所以C 的方程为x 22+y 2=1. 解法二 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=c 2,所以|MF 1|=32c ,|MF 2|=12c . 在△PMF 1中,|MF 1|sin∠MPF 1=|PF 1|sin∠PMF 1,在△PMF 2中,|MF 2|sin∠MPF 2=|PF 2|sin∠PMF 2,因为∠PMF 1=180°-∠PMF 2,所以sin∠PMF 1=sin∠PMF 2,又∠MPF 1=∠MPF 2,所以|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|,故|PF 1|=3|PF 2|. 因为|PF 1|+|PF 2|=2a , 所以|PF 1|=32a ,|PF 2|=12a .由|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,得(32a )2=(12a )2+(2c )2,化简得2c 2=a 2,所以2(a 2-1)=a 2,解得a 2=2, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法三 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当点P 在x 轴上的射影为F 2时,如图,P (c ,±1a ).所以|PF 2|=1a.因为PF 2⊥F 1F 2,所以tan∠F 1PF 2=|F 1F 2||PF 2|=2ac .因为|OF 2|=2|OM |,所以|MF 2|=c 2,tan∠MPF 2=|MF 2||PF 2|=ac 2. 因为PM 平分∠F 1PF 2,所以tan∠F 1PF 2=2tan∠MPF 21-tan 2∠MPF 2,即2ac =2×ac 21-(ac 2)2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法四 设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,±1a),所以|PF 2|=1a.因为|OF 2|=2|OM |,所以|F 1M |=3|MF 2|,所以S △PF 1M =3S △PMF 2, 即12|PF 1|·|PM |sin∠F 1PM =32|PF 2|·|PM |sin∠F 2PM ,因为∠F 1PM =∠F 2PM ,所以|PF 1|=3|PF 2|. 又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=a2, 所以a 2=1a ,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点. 理由如下:如图,设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则x 022+y 02=1,即y 02=1-x 022.设Q (2,y Q ),则Q ⃗ =(-1,-y Q ),P ⃗ =(1-x 0,-y 0),由QF 2⊥PF 2,得Q ⃗ ·P ⃗ =0, 所以x 0-1+y 0y Q =0,即y Q =1-x 0y 0.所以k PQ =1-x 0y 0-y 02-x 0=y 02+x 0-1(x0-2)y 0=(1-x 022)+(x 0-1)(x 0-2)y 0=-x02y 0,所以直线PQ 的方程为y -y 0=-x 02y 0(x -x 0),即2y 0y -2y 02=-x 0x +x 02,即x 0x +2y 0y -2=0. 由{x 0x +2y 0y-2=0x 2+2y 2=2,得(x 02+2y 02)y 2-4y 0y +(2-x 02)=0, 即y 2-2y 0y +y 02=0.因为Δ=(2y 0)2-4y 02=0,所以除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 【备注】无20.(1)如图,取AD 的中点E ,连接PE ,BE ,BD ,∵PA =PD , ∴PE ⊥AD.∵底面ABCD 为菱形,且∠BAD =60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴BE ⊥AD.∵PE ∩BE =E , PE ,BE ⊂平面PBE , ∴AD ⊥平面PEB ,∴AD ⊥PB. ∵AD ∥BC ,∴BC ⊥PB. (2)设AB =2,则AB =PB =AD =2,BE =√3, ∵PA ⊥PD ,E 为AD 的中点, ∴PA =√2,PE =1,∴PE 2+BE 2=PB 2,∴PE ⊥BE.以E 为坐标原点,分别以EA ,EB ,EP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0) ,P (0,0,1),C (-2,√3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). 设平面PAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),∵{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-x 1+√3y 1=0,-x 1+z 1=0,令x 1=1得z 1=1,y 1=√33,∴n 1=(1,√33,1).设平面BPC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-√3y 2+z 2=0,-2x 2=0, 令y 2=-1,得x 2=0,z 2=-√3,即n 2=(0,-1,-√3).∴n 1·n2|n 1|·|n 2|=-2√77. 设二面角A -PB -C 的平面角为θ,由图可知,θ为钝角, 则cos θ=-2√77.【解析】无【备注】【易错警示】 求二面角的值的易错点是:(1)求平面的法向量出错;(2)公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意,二面角的取值范围为[0,π].。
高中数学概率与统计综合练习题(最终)
概率与统计操练题1．某省重点中学从高二年级学生中随机地抽取120 名学生，测得身高情况如下表所示. 〔1〕请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图;〔２〕现从18 0cm～190cm 这些同学中随机地抽取两名，求身高为的同学被抽到的概率.185cm以上( 包罗185cm)2．某校为了更好地落实新课改，增加研究性学习的有效性，用分层抽样的方法从此中A、B、C 三个学习小组中，抽取假设干人进行调研，有关数据见下表〔单元：人〕〔1〕求表中x, y 的值〔2〕假设从B、C 学习小组抽取的人中选2 人作感想发言，求这 2 人都来自 C 学习小组的概率.3．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学鼎新，教育部分主办了全国中学生航模竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的步队按照抽签方式决定出场挨次．通过预赛，选拔出甲、乙、丙和丁四支步队参加决赛．〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支步队恰好排在前两位的概率；〔II 〕求决赛中甲、乙两支步队出场挨次相邻的概率．4．学校保举学生参加某著名高校的自主招生测验，初步确定了文科生中有资格的学生40 人，此中男生10 名，女生30 名，决定按照分层抽样的方法选出一个 4 人小组进行培训。
〔1〕求40 人中某同学被选到培训小组的概率, 并求出培训小组中男, 女同学的人数；〔2〕颠末一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试，方法是先从小组里选出一名同学面试，该同学面试后，再从小组里剩下的同学中选一名同学面试，求选出的同学中恰有一名男同学的概率；〔3〕面试时，每个同学答复难度相当的 5 个问题并评分，第一个同学得到的面试分数别离为：68,70,71,72,74 ，第二个同学得到的分数别离为绩更不变？并说明理由.69,70 ，70,72,74 ，请问那位同学的成5．黄种人群中各种血型的人所占的比方下表所示：A B AB O 血型该血型的人所占比 /%2829835 同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB 型血的人 ,其他不同血型的人不克不及互相输血个人, 其血可以输给小明的概率是多少？.小明是 B 型血,假设小明因病需要输血 ,问：(1) 任找一 (2) 任找一个人 , 其血不克不及输给小明的概率是多少？6．某培训班共有 n 名学生 ,现将一次某学科测验成就〔单元 图所示 .此中落在 [80,90) 内的频数为 36. :分〕绘制成频率分布直方图 ,如(1)请按照 图中所给数据，求出 a 及n 的值；40 名学生的成就作 (从左到右 )中别离抽取了 (2)从如图 5 组中按分层抽样的方法拔取 为一个样本，求在第一组、第五组 几名学生的成就 ?(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中 的成就 ,求所取两名学生的平均分不低于,随机抽取两名学生 70 分的概率 .7．某日用品按行业质量尺度分成五个等级，等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计阐发，得到频率分布表如下： X 1 a2 3 4 b5 c频率0．20． 4〔I 〕假设所抽取的 20 件日用品中， 等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a ，b ，c 的值；，x ，x ，等级系数为 5 4 的 3 件日用品记为 x 1〔Ⅱ〕在〔 I 〕的条件下，将等级系数为2 3的 2 件日用品记为 y ，y ，现从 x ，x ，x ，y ，y 这 5 件日用品中任取两件〔假定每 1 2 1 2 3 1 2 件日用品被取出的可能性不异〕 ，写出所有可能的成果，并求这两件日用品的等级系数 恰好相等的概率．8．“五·一〞放假期间，某旅行社共组织 1000 名游客，分三批到北京、香港两地旅游，为 了做好游客的行程安排，旅行社对参加两地旅游的游客人数进行了统计，列表如下：第一批 第二批 第三批北京 香港200 150xyz160在参加北京、香港两地旅游的 1000 名游客中，第二批参加北京游的频率是0．21．〔I 〕现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50 名游客，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少名游客？ 〔II 〕 y 136, z 133，求第三批参加旅游的游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率．9．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司筹办了两种不同的饮料共 5 杯，其颜色完全不异，而且此中 3 杯为 A 饮料，别的 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品 尝后，从 5 杯饮猜中选出 3 杯 A 饮料．假设该员工 3 杯都选对，那么评为优秀；假设3 杯选对 2杯，那么评为良好；否那么评为及格．假设此人对〔1〕求此人被评为优秀的概率；A 和B 两种饮料没有辨别能力． 〔2〕求此人被评为良好及以上的概率．10．盒内有大小不异的 3 个小球，上面别离标有数字 1，2，4；现从盒中摸出一个球，得到 球上的数字作为点 的横坐标，然后将球放回；再从盒中摸出一个球，得到球上的数字作 P 2y 2 16 所暗示的平面区域为P M.为点 的纵坐标。
高中数学概率与统计综合练习题
高中数学概率与统计综合练习题1.某省重点中学随机抽取了120名高二学生，并记录了他们的身高情况。
现在需要完成以下两个问题：（1）根据数据填写频率分布表和频率分布直方图；（2）从身高在180cm到190cm之间的学生中随机抽取两名学生，求身高至少为185cm 的概率。
2.为了更好地落实新课改和增加研究性研究的有效性，某校采用分层抽样的方法从三个研究小组（A、B、C）中抽取了若干名学生进行调研。
下表给出了调研结果（单位：人）。
现在需要完成以下两个问题：（1）求出表中x和y的值；（2）从B、C两个研究小组中随机抽取两名学生，求他们都来自C研究小组的概率。
3.教育部门主办了全国中学生航模竞赛，分为预赛和决赛两个阶段。
决赛中，甲、乙、丙和丁四支队伍按照抽签方式决定出场顺序。
现在需要完成以下两个问题：（1）求出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）求出甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率。
4.学校推荐了40名文科生参加某著名高校的自主招生考试，其中男生10名，女生30名。
为了进行培训，采用了分层抽样的方法，从中选出了一个4人小组。
现在需要完成以下三个问题：（1）求40名学生中某个同学被选入培训小组的概率，并求出培训小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试。
方法是先从小组中选出一名同学进行面试，然后从剩下的同学中再选一名进行面试。
求选出的同学中恰好有一名男同学的概率；（3）每个同学回答了难度相当的5个问题并得到了相应的评分。
第一个同学的分数为68、70、71、72、74，第二个同学的分数为69、70、70、72、74.请问哪个同学的成绩更稳定？说明理由。
5.下表给出了黄种人群中各种血型的人所占比例。
35.已知同种血型的人可以输血。
O型血可以输给任何血型的人，任何血型的人都可以输给AB型血。
其他不同血型的人不能互相输血。
小明是B型血，如果小明因病需要输血，问：(1)任意找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任意找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？6.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图，如图所示。
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高三数学章节训练题27《概率与统计》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：
个人目标：□优秀（70’~80’）□良好（60’～69’）□合格（50’～59’）
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1. 在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长
度超过30mm的纤维的概率是（）
A.30
40B.12
40
C.12
30
D.以上都不对
2. 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线的方程是（）.
A.$y=1.23x＋4
B. $y=1.23x+5
C. $y=1.23x+0.08
D. $y=0.08x+1.23
3. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行
了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞
赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成
绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 则分数在
60.570.5
:的学生有（）名.
A.4
B.8
C.9
D.16
4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关
系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信
度. 如果k>5.024,那么就有把握认为“X和Y有关系”
的百分比为（）.
P(2K≥k) 0.500.40 0.25 0.150.10 0.050.02
5 0.01
0.00
5
0.00
1
k0.45
5 0.70
8
1.32
3
2.07
2
2.70
6
3.84 5.02
4
6.63
5
7.87
9
10.8
3
A. 25％
B. 75％
C. 2.5％
D.97.5％
5.一枚伍分硬币连掷3次，只有1次出现正面的概率为（）
A.3
8B.2
3
C.1
3
D.1
4
6.在()()8
3
11
x x
-+的展开式中，5x的系数是（）
A.26
B.27
C.28
D.29
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
1. 某学校现有高级教师10人，中级教师50人，二级教师75人，从中抽取一个容量为30的样本，可采用的抽样方法是 .
2. 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂有颜色的概率是 .
3.在求两个变量x和y的线性回归方程过程中, 计算得5
1i
i
x =
∑=25, 5
1i
i
y =
∑=250, 5
2
1i
i
x =
∑=145, 5
1i i
i
x y =
∑=1380, 则该回归方程是 .
4.椭圆
22
1
x y
m n
+=的焦点在y轴上，且{}{}
1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6
m n
∈∈，则这样的椭圆的
个数为 .
分组频数频率50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 0.16 70.5~80.5 10
80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5
合计50
三、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）
1. 小朋友做投键子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中
1
2
AG HR DR GH ===，2CP DP AE CQ ===. 其游戏规则是：将键子投入阴影部
分为胜，否则为输. 求某小朋友投键子获胜的概率.
2. 甲、乙两人做出拳游戏（剪子、石头、布），求： （1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.
3.某人居住在城镇的A 处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如右图(例如
A C D →→算两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为1
10
，路段CD 发生堵车事件的概
率为1
3). 请你为其选择一条由A 至B 的线路，使途中发生堵车的概率最小.
高三数学章节训练题27《概率与统计》参考答案
一、选择题 1～6 BCBDAC 二、填空题 1. 分层抽样 2. 4
9
3. $ 6.517.5y x =+
4.15 三、解答题：
1. 解：投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件（记为事件A ）的概率为1()2
P A =
. 2. 解：设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C ，则有事件A 含3个基本事件；事件B 含3个基本事件；事件C 含3个基本事件. 由古典概型的概率计算公式，可得
（1）31()93P A =
=；（2）31
()93
P B ==；（3）31()93P C ==.
3.由A 至B 的线路有三种选择：A C D B →→→、A C F B →→→、A E F B →→→.
按线路A C D B →→→来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件. 故途中发
生堵车的概率为：111111*********⎛
⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
同理，按线路A C F B →→→来走，途中发生堵车的概率为：
11171111104616
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 按线路A E F B →→→来走，途中发生堵车的概率为：
111111112563
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于111732016
>>，故选择A C F B →→→的线路，途中发生堵车的概率最小.。