2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的概念素材 北师大版选修1-1
导数学生可能存在的问题 典型例题
导数学生可能存在的问题典型例题导数是微积分中的一个重要概念，它与几何、物理等多个领域密切相关。
虽然导数在高中阶段已经开始学习，但是许多学生在学习过程中经常会遇到一些常见的问题。
下面将列举一些导数学生可能存在的问题，并且给出一些解决这些问题的建议。
1.导数的概念理解：许多学生在初学导数时往往对导数的概念和意义理解不深，导致后续的学习困难。
导数可以理解为函数某一点的瞬时变化率，可以用来描述函数曲线在某一点的斜率。
一个典型的例题是给出一个函数，要求计算某一点的导数。
解决建议：在教学中，可以结合具体的实际问题来引入导数的概念。
同时，可以使用图形、几何等方式辅助学生理解导数的意义。
2.导数的计算方法：许多学生在计算导数时容易出错或迷失方向。
导数的计算方法有很多种，包括用定义法、使用公式和规则等。
在实际计算中，可能需要运用到多个方法，例如求导法则、链式法则等。
解决建议：在教学中，可以以简单的函数为例，逐步引导学生掌握不同计算方法。
同时，可以通过大量的练习来加强对计算方法的理解和应用能力。
3.导数应用问题：导数作为一个重要的数学工具，有很多应用领域，例如最值问题、曲线的切线和法线、图形的凸凹性判断等。
但是，许多学生在面对这些应用问题时，往往感到头疼和困惑。
解决建议：在教学中，可以通过引入实际问题的例子来让学生了解导数在不同领域的应用。
并且，可以提供一些辅助工具和方法，例如画图、曲线的性质分析等，帮助学生更好地理解和解决应用问题。
4.极限的理解和运用：导数的概念与极限密切相关，而极限又是许多高阶数学概念的基础。
因此，许多学生在学习导数时也容易困惑极限的理解和运用。
解决建议：在教学中，可以通过引入极限的概念和性质，帮助学生深入理解导数与极限之间的联系。
同时，可以通过大量的例题和练习来加强学生对极限的理解和运用能力。
总结起来，导数学习中的问题主要包括导数的概念理解、计算方法、应用问题和极限的理解和运用。
针对这些问题，教师可以通过选用合适教材和教学方法，引入实际问题和辅助工具，加强学生的练习和实践，帮助学生克服困惑，提高导数的学习效果。
2020年高考数学(文科)复习课件 第二单元 第13讲 变化率与导数、导数的运算
课堂考点探究
考向2 求切点坐标
例 3(1)[2018·衡水武邑中学月考] 已知直线 l:x-ty-2=0(t≠0)与函数 f(x)=e������������(x>0)的图像相切,则切 点的横坐标为 ( )
A.2± 2 B.2+ 2 C.2 D.1+ 2
(2)[2018·大连一模] 过曲线 y=ex 上一点 P(x0,y0)作曲
程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0.
课前双基巩固
4.[教材改编] 若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处
的切线平行于 x 轴,则 a=
.Hale Waihona Puke [答案]1 2[解析] ∵y=ax2-ln x, ∴y'=2ax-1������,∴y' x=1=2a-1=0,∴a=12.
课堂考点探究
考点一
则
e������ ������
=
������,
解得 m=2± 2,故
e������ (������-1) ������ 2
=
1 ������
,
选 A.
课堂考点探究
例 3(1)[2018·衡水武邑中学月考] 已知直线 l:x-ty-2=0(t≠0)与函数 f(x)=e������(x>0)的图像相切,则切
例 1 (1)[2018·咸阳模拟] 已知 f'(x)是函
数 f(x)的导函数,且对任意的实数 x 都有
f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e 是自然对数的底
数),f(0)=1,则 ( )
A.f(x)=ex(x+1) B.f(x)=ex(x-1) C.f(x)=ex(x+1)2 D.f(x)=ex(x-1)2
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
高中数学课件第二章第11节《变化率与导数、导数的计算》资料
答案：(1,0)
根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
1.求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2.求平均变化率 ＝
；
3.得导数f′(x0)＝
.
上述过程可简化为：一差、二比、三极限.
利用导数的定义求函数y＝ 的导数.
[思路点拨] 按照一差、二比、三极限.
[课堂笔记] ∵Δy＝
＝
∴
∴
即y′＝
.
， ，
，
若将“y＝ 解：Δy＝
”改为“y＝ ”呢？ ，
1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤：
(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果. 2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函
，即f′(x0)＝
(3)导函数 当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′＝
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲 线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的 斜率 ，过点P 的切线方程为：y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式 原函数
答案：B
4.设f(x)＝
＋ ，则f′(x)＝
.
解析：f′(x)＝(
＝
＝
＋ )′＝(
)′＋( )′＝ ( )′
答案：
5.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行
于直线3x－y＝0，则点P的坐标为
.
解析：由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率 等于3， 即f′(x0)＝ －1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1， 0).
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
高中数学函数求导公式的推导及应用实例
高中数学函数求导公式的推导及应用实例一、导数的基本概念在高中数学中，我们学习了函数的概念，函数的导数是函数在某一点处的变化率。
导数的概念是数学中非常重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他学科中有着重要的地位。
二、导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$表示自变量x的增量。
三、导数的计算为了更方便地计算导数，我们需要推导出一些常用的函数求导公式。
下面，我们将介绍一些常见的函数求导公式及其推导过程。
1. 常数函数对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0。
2. 幂函数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为：$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$这个公式可以通过导数的定义进行推导。
3. 指数函数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$这个公式可以通过对数函数的导数公式进行推导。
4. 对数函数对数函数f(x) = \log_a x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$$这个公式可以通过指数函数的导数公式进行推导。
5. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：$$\sin' x = \cos x$$$$\cos' x = -\sin x$$$$\tan' x = \sec^2 x$$这些公式可以通过三角函数的定义和导数的定义进行推导。
四、导数的应用实例导数在数学中有着广泛的应用，下面我们将通过一些实例来说明导数的应用。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
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【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
导数学生可能存在的问题 典型例题
导数学生可能存在的问题典型例题在学习导数的过程中，学生可能会遇到一些问题和困难。
以下是一些常见的问题和典型例题，帮助学生更好地理解和掌握导数的概念和应用。
1.导数的定义和概念理解模糊导数表示函数在某一点变化率的极限，可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
但是，学生可能会对导数的定义和概念有些困惑，特别是对极限的理解可能不够深入。
为了帮助学生理解导数的概念，下面举一个例子：问题：求函数f(x) = x^2的导数。
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)。
代入函数f(x) = x^2，我们有：f'(x) = lim(x->a) [(x^2) - (a^2)] / (x-a)。
利用极限的性质，我们可以将此式分解为两个部分：f'(x) = lim(x->a) [(x+a) * (x-a)] / (x-a) = lim(x->a)(x+a)。
观察到这个极限与a无关，因此我们可以得到：f'(x) = 2a。
这个例子充分说明了导数的概念和计算方法。
通过类似的例子和解析，学生可以更好地理解和掌握导数的定义和计算。
2.导数计算规则不清楚在计算导数时，有许多常见的规则可以应用。
但是，学生可能会混淆或忘记这些规则。
以下是一些典型例子：问题：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解析：对于多项式函数，我们可以根据导数的性质直接应用规则。
对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以分别对各项求导数：f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x) + d/dx (1)。
根据多项式的求导规则，我们可以得到：f'(x) = 6x - 2。
这个例子说明了多项式函数求导的基本规则。
学生需要理解这些规则，并正确应用于具体的函数求导过程中。
3.运用导数解决实际问题导数不仅仅是一种数学概念，还有着实际的应用价值。