高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性素材 新人教A版选修41

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高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质习题课课件 新人教A版选修4-1

高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质习题课课件 新人教A版选修4-1

可得 DM∶FC=1∶2,DM∶AF=ED∶AE,
∴AF∶FC=12·EADE.
栏 目

即当 E 为 AD 上任意一点时,上述结论仍成立.

点评:证“比例线段问题”,通常先作平行线构造基本图形,再由 定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形 三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式,有时要利用中间 比来建立要求证的比例式之间的联系.
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(1) 证明:如图,过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M.
∵AD 是△ABC 的中线, ∴DM∶FC=BD∶BC=1∶2, ∴DM=12FC. 又∵DM∶AF=ED∶AE=1, ∴AF∶FC=1∶2,即AFFC=12.
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栏 目 链 接
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(2)解析:如图,过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M,
目 链 接
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
点评:相似三角形的几个判定定理可能要同时用到,先证
两个三角形相似,以此作铺垫,再证另两个三角形相似.
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5.如图所示,CD平分∠ACB,EF是CD的中垂线 交AB的延长线于点E.求证:ED2=EB·EA.
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证明:连接 EC,∵EF 为 CD 的中垂线, ∴EC=ED,且∠EDC=∠ECD. 又∵∠EDC=∠A+∠ACD,且∠ECD=∠DCB+∠ECB, CD 为∠ACB 的平分线,则∠ACD=∠DCB, ∴∠A=∠ECB.又∠CEA 为公共角, ∴△ECB∽△EAC.∴EEBC=EECA. ∴EC2=EA·EB.又∵EC=ED, ∴ED2=EA·EB.
栏 目 链 接

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

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3.利用相似三角形证明线段相等 [例3] 如图,AD、CF是△ABC的两条 高线,在AB上取一点P,使AP=AD,再从
P点引BC的平行线与AC交于点Q,试说明
PQ=CF.
返回
[解]
∵AD、CF 是△ABC 的两条高,
∴∠ADB=∠BFC. 又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ = .又∵PQ∥BC, CF CB ∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠C, ∴△APQ∽△ABC, PQ AP AP AB AD AP ∴ = ,∴ = ,∴ = . BC AB PQ BC CF PQ 又∵AP=AD,∴CF=PQ.
返回
(1)利用射影定理时,要注意射影定理的适用条 件. (2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用. 返回
[例 6]
如图,四边形 ABCD 是正方
1 形,E 为 AD 上一点,且 AE= AD,N 4 是 AB 的中点,NF⊥CE 于 F.求证:FN2 =EF· FC.
返回
[解]
(1)证明:过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点,
AE AF ∴ = . ED FG BD 1 2 又 = ,∴DC=2BD= BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ = = , BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG= BF,∴ = = . 3 ED (2)当 = 时,有关等式: = · . DC n ED n FB 证明:过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. AE AF ∴ = . ED FG BD m BC m+n 又∵ = ,∴ = . DC n DC n BF BC m+n ∵DG∥FC,∴ = = , FG DC n n ∴FG= BF, m+n m+n AF AE AF ∴ = = · . ED n n BF BF m+n

高中数学新人教A版选修4-1课件:第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合

高中数学新人教A版选修4-1课件:第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合

提示:将 AM

=DM·EM 化为

=

, 只需证明△AMD∽△EMA

即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.
又∵∠BAM+∠MAC=90°,
∴∠E=∠BAM.
∵∠EMA=∠AMD,
∴△AMD∽△EMA.


=
专题三
证明:∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,


∴△CPQ∽△CEA.∴ = .
同理可得




=
.

=

,

而由题意知,AE=DE,
∴PQ=PB.
专题归纳
高考体验
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
∴PE= 6.
答案: 6
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
高考体验
5
5(课标全国高考)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交
△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
5
证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点,
故△BCD∽△GBD.
高考体验
EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则
△的面积
=
△的面积
.

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������������������22.
12
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
������������2 ������������
=
92.
答案:
9 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】 如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.

高中数学1.3.1相似三角形的判定及性质课件新人教A版选修4-1

高中数学1.3.1相似三角形的判定及性质课件新人教A版选修4-1

所以∠BAC=∠EAD,∠ BAC-∠ DAC=∠ EAD-∠DAC,即∠DAB=∠ EAC. 又
������������ ������������
=
������������ ������������ ,即 ������������ ������������
=
������������ ,所以△ABD ∽△ACE. ������������
2.相似三角形的判定
定理 预 备 定 理 判定 定理 1 判定 定理 2 内容 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两 边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那 么这两个三角形相似 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且 夹角相等,那么这两个三角形相似 两角对应相等,两 个三角形相似 两边对应成比例 且夹角相等,两个 三角形相似 简述 作用 判定 两个 三 角形 相似 判定 两个 三角 形 相似
=
������������ ,求证 :△ABD∽△ACE. ������������
思路分析:证明三角形相似,关键在于找到符合定理的条件.由题目所给 条件,应需再找出角的相等关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:因为
������������ ������������
=
������������ ������������ = ,所以△ABC∽△ADE. ������������ ������������
探究一
探 判定三角形相似
判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪些角对 应相等,根据三角形相似的判定定理,寻找推导出结论的条件.

「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1

「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1
������������
=
������������ ������������
=
������������ ������������
=
23.
又 DF=1,∴AF=2,AD=3.
又������������
������������
=
������������ ������������
=
23,故
AB=92.
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
求线段的长度及其比值
【例3】 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.若BC=3,DE=2, DF=1,求AB的长度.
分析:先根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结
合已知线段长度求出AB的长度.
解:∵DE∥BC,EF∥CD,BC=3,DE=2,
∴������������
=
������������ ������������
B.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
C.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
D.BD∥CE⇒������������������������
=
52,即������������������������
=
52.
答案:52
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
1.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则B1C1的长为 ()
A.6 cm

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.
又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所
得的对应线段成比例.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,
2
与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则
比例中项.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例3如图所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC
上,点E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC.
证明
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
则DE∥AH∥GF.
知识网络
专题一
专题二
专题三



=
,
= .


1

= 4 , = .

1
所以 16 = 4,即 BM=4.取 BC 的中点 P,
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)
2 2 2
∴NE2+NC2=EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形. 又∵NF⊥EC, ∴FN2=EF· FC.
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[例 7]
如图,设 CD 是 Rt△ABC 的斜边
AB 上的高,求证: AC2 AD (1) 2= ; CB DB (2)CA· CD=CB· AD.
返回
[证明]
(1)由射影定理得,
返回
[解]
(1)证明:过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点,
AE AF ∴ = . ED FG BD 1 2 又 = ,∴DC=2BD= BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ = = , BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG= BF,∴ = = . 3 ED 2 2BF BF 3
返回
点击下图进入“阶段质量检测”
返回
返回
BD m AE m+n AF (2)当 = 时,有关等式: = · . DC n ED n FB 证明:过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. AE AF ∴ = . ED FG BD m BC m+n 又∵ = ,∴ = . DC n DC n BF BC m+n ∵DG∥FC,∴ = = , FG DC n n ∴FG= BF, m+n m+n AF AE AF ∴ = = · . ED n n BF BF m+n
返回
[例 5]
已知:在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点
C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点 F、E.
BD 1 AE 3AF (1)如图(1),当 = 时,求证: = ; DC 2 ED 2FB BD m AE AF (2)如图(2),当 = 时,猜想: 与 之间是否存 DC n ED FB 在着一定的数量关系?若存在,请写出它们之间的关系 式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由.
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第一讲相似三角形的判定及有关性质
本讲综述
在本讲中主要学习平行线分线段成比例定理及其推论,相似三角形、相似比等概念,相似三角形的判定定理和性质定理,直角三角形中的射影定理等,通过这些定理的学习,把握数学中的转化思想,提高逻辑思维能力.
本讲的重点是相似三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形中的射影定理,难点是证明相似三角形时如何寻求相似的条件,利用射影定理探讨线段之间的关系.
在本讲的探究证明中,掌握从特殊到一般和化归的思想方法,学会解决问题的程序模式.通过具体问题的解决,训练自己的逻辑推理技能,提高逻辑思维能力,进一步形成对数学的浓厚兴趣,发展对数学的深层认识.
学习本讲内容之前,需要回顾平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质,通过类比,理解平行线分线段成比例定理及其推论,理解相似三角形的判定定理和性质定理,事实上,全等是相似比为1的相似.
学习好本讲的关键是在三角形中寻找相似的条件,通常先找两个角对应相等,再找一个角对应相等,夹这个角的两边对应成比例;或找三边对应成比例.
学习本讲可以采用类比的方法,将相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质对比,这将有助于知识的理解与记忆.从特殊到一般的思考方法及化归的思想方法是本讲研究数学问题的重要方法,学习中要注意体会.
学习本讲时应注意特别强调证明,从问题的特殊性发现一般性结论后,必须对结论进行严格的证明,在证明过程中形成逻辑推理技能,提高逻辑思维能力;在发现和证明问题的过程中提高解决问题的能力.。

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