交错级数收敛性判别法
交错级数
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定理12.1ห้องสมุดไป่ตู้(莱布尼茨判别法) (莱布尼茨判别法) 定理 如果交错级数 ∑(-1) ⑵
n-1
un (un > 0) 满足条件
单调递减； ⑴ 数列 { un } 单调递减；
lim un = 0
n→ ∞
则交错级数收敛． 则交错级数收敛． 并且余项满足
| Rn |≤ un+1 .
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证 设交错级数
n
| 收敛，则称级数 收敛，
∞
∑u
n =1 n
∞
n
绝对收敛． 绝对收敛．
定理12.12 绝对收敛级数一定收敛． 定理12.12 绝对收敛级数一定收敛． 若级数
∑| u
n =1
n
| 发散，而级数 发散，
∑u
n =1
收敛，则称 收敛，
∑u
n =1
∞
n
条件收敛． 条件收敛．
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例
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
n
证 由 （ 1） 知
ε1 − ε2 ,ε2 − ε3 ,L,εn−1 − εn
k =1
都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得 同号的，于是由分部求和公式及条件（
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| ∑εkvk |=|(ε1 −ε2 )σ1 + (ε2 −ε3 )σ2 +L+ (εn−1 −εn )σn−1 +εnσn |
§3 一般项级数
交错级数 绝对收敛级数及性质 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
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一、交错级数及其判别法 负项相间的级数称为交错级数． 定义 正、负项相间的级数称为交错级数． 例如级数
交错级数收敛性的几个结果及其应用
对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
关于交错级数收敛性的判别主要采用莱布尼兹判别法 . 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 要 求数列{ un } 满足单调递减且lim un = 0 . 有大量的交错级数虽然不满足莱布尼兹判别法的条件 , 但
n →∞
却是收敛的 . 下面以定理的形式介绍几个新的判别交错级数收敛性的方法 , 最后通过例子说明这些方法在 判别级数敛散性方面的可行性 . 定理 1 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , 且lim un = + ∞, lim
n →∞
vn vn = 0 , 则当级数 2 收敛时 , 级 n →∞ u n n=1 un
2
lim
n →∞
vn n 2 2 u n v n + ( - 1) u n v n un v n 1 = lim 2 = 1, n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1 ) u n v n n →∞ vn n vn ( ) 1 + 1 2 un un
2 2
2
∞
因此 , 级数
∞
∞
∑
∑
3 收稿日期 :2008 - 04 - 25 ,修改日期 :2009 - 03 - 26.
30
高等数学研究 2009 年 5 月
vn vn 1 , n 2 < n 2 = n u n + un v n + ( - 1) v n u n v n + ( - 1) v n un + ( - 1) v n
交错级数知识点总结
交错级数知识点总结1. 交错级数的定义首先，我们来看交错级数的定义。
交错级数是指一个级数的各项（正项和负项的交替相加）相互交替出现的级数。
一般来说，交错级数可以表示为\[ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其中，\( a_n \)是级数的第n个项，\( (-1)^{n-1} \)为交错项的符号。
2. 交错级数的性质接下来我们来讨论交错级数的性质。
交错级数有一些特殊的性质，其中最重要的性质就是其部分和序列的单调性。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其部分和序列\( \{ S_n \} \)具有单调性，即对于所有的正整数n，有\[ S_1 \geq S_3 \geq S_5 \geq \cdots \geq S_2 \geq S_4 \geq S_6 \geq \cdots \]这个性质是研究交错级数收敛性的重要前提。
此外，交错级数还具有便于估计收敛和误差的特点。
在实际计算中，通过对交错级数的部分和序列进行估计，往往可以得到该级数的收敛性和误差范围，因此交错级数在数学和工程领域有着广泛的应用价值。
3. 交错级数的收敛性交错级数的收敛性是研究交错级数最为关键的问题之一。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其收敛性由莱布尼茨判别法给出。
莱布尼茨判别法指出，如果交错级数的正项\( a_n \)严格单调递减趋于零（即\( a_{n+1} \leq a_n \)且 \( \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \)），那么交错级数收敛。
此外，交错级数的收敛性还可以通过比较判别法、绝对收敛和条件收敛等方法进行判断。
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
莱布尼茨收敛发散的判断方法
莱布尼茨收敛发散的判断方法莱布尼茨收敛发散的判断方法是用来确定一个交错级数的收敛性或发散性的方法。
在本文中，我们将详细介绍莱布尼茨收敛发散的判断方法，并提供一个全面的步骤来进行判断。
一、莱布尼茨收敛发散的基本原理莱布尼茨收敛发散的判断方法是基于莱布尼茨定理，该定理指出如果一个交错级数满足以下两个条件，则该级数是收敛的：1. 交错级数的通项具有单调递减趋势；2. 交错级数的通项趋于零。
二、莱布尼茨收敛发散判断方法的步骤下面将详细介绍如何使用莱布尼茨收敛发散判断方法来确定一个交错级数的收敛性或发散性：1. 确定交错级数的通项形式：首先要明确交错级数中每一项的表达式，例如(-1)^n/an或(-1)^(n+1)/n等。
2. 判断通项是否具有单调递减趋势：对于给定的通项表达式，需要检查其是否具有单调递减趋势。
可以通过计算相邻两项的差值来确定通项的单调性。
如果差值大于零且递减，则通项具有单调递减趋势。
3. 判断通项是否趋于零：对于给定的通项表达式，需要确定其是否趋于零。
可以通过求极限来判断通项是否趋于零。
如果极限等于零，则通项趋于零。
4. 综合判断：根据上述步骤的结果，综合判断交错级数的收敛性或发散性。
如果通项具有单调递减趋势且趋于零，则交错级数收敛；如果通项不满足其中任一条件，则交错级数发散。
三、莱布尼茨收敛发散判断方法的例子下面以一个具体的例子来说明莱布尼茨收敛发散判断方法的应用：考虑交错级数∑((-1)^n)/(n+1)，我们将按照上述步骤进行判断：1. 该交错级数的通项为((-1)^n)/(n+1)。
2. 对于该交错级数的通项，我们计算相邻两项之间的差值：a(n) - a(n+1) = ((-1)^n)/(n+1) - ((-1)^(n+1))/(n+2)= ((-1)^n * (n+2) - (-1)^(n+1) * (n+1))/(n+1)(n+2)= ((-1)^n * n + 2*(-1)^n - (-1)^(n+1) * n - (-1)^(n+2))/(n+1)(n+2)= (2*(-1)^n + (-1)^(n+2))/(n+1)(n+2)我们可以观察到，当(-1)^n为正数时，该差值大于零；当(-1)^n为负数时，该差值小于零。
交错级数收敛的判别方法
交错级数收敛的判别方法
一、交错级数的收敛性
1、定义：
交错级数是一类特殊的级数，其和的模量是无穷小的，也就是说，它可以收敛到零。
一般有两种定义，一种是定义了四个参数，另一种是定义了三个参数。
在一般情况下，它的定义如下：（1）对于三参数的定义，即
a a a a
= Σ∞ n=1 an
其中an是定义在自然数空间上的递推序列，当所有的an定义在实数域上时，此级数称为实交错级数；当所有的an定义在复数域上时，此级数称为复交错级数。
（2）对于四参数的定义，即
a a a a
= Σ∞ n=1bnan
其中b(n)为定义在自然数空间上的序列，并且a(n)为定义在自然数空间上的序列，当所有的a(n)、b(n)定义在实数域上时，此级数称为实交错级数；当所有的a(n)、b(n)定义在复数域上时，此级数称为复交错级数。
二、交错级数收敛的判别方法
1、收敛性判别法
（1）定理：对实交错级数，当an是非负数时，如果
lim Σ∞ n=0 an = M
则级数 a a a a = Σ∞ n=0 an 收敛，其极限和M相等；
（2）定理：对实交错级数，当an是非负数时，如果
lim Σ∞ n=0 an = +∞
则级数a a a a = Σ∞ n=0 an 不收敛。
2、逐项判别法
（1）定理：对实交错级数，当an是非负数时，如果
lim n → ∞ | an | ≤ M ,
则级数a a a a = Σ∞ n=0 an 收敛，其极限和M相等
（2）定理：对实交错级数，当an是非负数时，如果
lim n → ∞ | an | > M ,
则级数a a a a = Σ∞ n=0 an 不收敛。
几何级数、积分判别法则、交错级数
几何级数、积分判别法则、交错级数1. 几何级数几何级数是指以一个常比r乘以前一项得到的无穷级数，即：S= a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = Σ ar^n其中，a是第一项，r是公比，n为项数。
对于几何级数，有以下判别法则：(1) 当公比r在-1到1之间时，几何级数是收敛的。
收敛和为：S = a / (1 - r)(3) 当公比r等于1时，几何级数是发散的，除非a=0，此时S=0。
应用举例：求以下几何级数的和：解：首先确定公比r为2，根据上面的公式，求得：可见该几何级数是发散的。
(2) S2 = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...2. 积分判别法则积分判别法则是指通过将级数中的项转化为函数，然后对其进行积分来判断级数的敛散性。
对于正项级数∑an，如果存在一个单调递减且非负的函数f(x)，使得当n≥1时，an=f(n)，那么该级数敛散性与函数∫f(x)dx的敛散性相同，即：当∫f(x)dx收敛时，级数∑an也收敛；当∫f(x)dx发散时，级数∑an也发散。
判断以下级数的敛散性：(1) ∑1/n^2解：将级数中的n^2转化为函数f(x)=1/x^2，函数f(x)单调递减且非负，于是有：∑1/n^2 敛散性与∫f(x)dx的敛散性相同∫f(x)dx = ∫1/x^2 dx = -1/x+C由于当x趋近于∞时，-1/x趋近于0，故该积分收敛。
因此，级数∑1/n^2也收敛。
因为以1为底的对数函数ln|x|在x=0处不存在，故该积分发散。
因此，级数∑1/n也发散。
3. 交错级数交错级数是指在一个级数中，每一项的符号与前一项的符号不同。
即：其中，a1，a2，a3...都是正数或负数。
(1) 对于交错级数的部分和序列Sn，如果序列Sn单调递减且趋于0，即对于所有n≥1，Sn≥Sn+1，且lim Sn=0，那么该级数收敛。
解：显然，该交错级数是符号交替的。
将其部分和序列表示出来：S1 = 1...不难看出，此级数的部分和序列单调递减，而且趋于0，因此该级数收敛。
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.