24.4.3解直角三角形(三)
解直角三角形 整体备课稿
24.4 解直角三角形 集体备课稿主备人：张丽华第三课时教学目标1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
教学过程一、情境导入读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i ,即i =l h .坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有 i ＝l h =tan a显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.二、课前热身分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。
三、合作探究例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）解 作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．由题意可知DE ＝CF ＝4.2（米），CD ＝EF ＝12.51（米）．在Rt △ADE 中，因为︒===32tan 2.4AEAE DE i 所以 )(72.632tan 2.4米≈︒=AE 在Rt △BCF 中，同理可得)(90.728tan 2.4米≈︒=BF 因此 AB ＝AE ＋EF ＋BF图5图6≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答： 路基下底的宽约为27.13米．三、课堂练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB 的坡度i 1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i 2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0.1米）（2）斜坡CD 的坡角α.（精确到1°）四、学习小结内容总结坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第24章 解直角三角形 第3课时 利用坡度、坡角解直角三角
5．(2020·自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD， DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 __6__2______米(结果保留根号).
6．(2020·十堰)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯 子，当梯子底端离墙面2 m时，此时人是否能够安全使用这架梯子(参考 数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°＝0.26)?
7．(2020·湘潭)为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路 段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝ 1∶ 3 ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，求斜坡AF的 长度．(结果精确到0.01 m，参考数据： 3 ≈1.732， 17 ≈4.122)
8．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的 俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的 坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( A) A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
解：作DF⊥AE于点F，DG⊥AB于点G，CH⊥AB于H，如图所示：则 DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，
由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝12 DE＝12 ×4＝2，DF＝ 3 EF＝2 3 ， ∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE－EF＝5－2＝3，∵斜面BC的坡度为1∶4， ∴CBHH ＝14 ，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG＋GH＋BH＝2 3 ＋2＋12＝ 2 3 ＋14≈17.5(m)，答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5 m
24.4(3)相似三角形的判定3
24.4（3）三角形一边的判定一、教学目标1.掌握相似三角形的判定定理2. 培养学生在复杂图形中抓住基本图形、熟悉基本图形的能力.二、教学重、难点重点：相似三角形的判定定理及应用难点：定理的应用三、课前预习1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似，简述为 ，两三角形相似。
2.已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点 求证：△DEF ∽△ABC四、新授.已知：在△ABC 与111C B A ∆中，如果111111C A AC C B BC B A AB =，求证：△ABC ∽111C B A ∆。
教师板演证明过程得相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似.第2题图B符号表达式:新课探索四思考根据下列条件,请说一说分别根据哪条判定定理可说明两个三角形相似.(1)如图(1),若∠ADE=∠ACB,则△ADE∽△ACB.(2)如图(2),若OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,则△AOD∽△BOC.(3)如图(3),D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC,CA,AB 的中点,则△DEF ∽△ABC.例题2 如图，已知BCDE AC AE AB AD ==,求证：△ABD ∽△ACE四、课内练习五、本课小结1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似.符号表达式:B2.边的转化，得到的相似三角形也不同。
坡比、坡度问题
（2）自学“例4”，认真思考下列问题： ①.四边形ABCD是梯形，例中是如何做辅助线把四边
形进行分割的？
②.例题中通过辅助线把四边形分割成 形和 形。 ③.这样，就把实际问题转化为直角三角形的问题。
解疑合探
1、坡角
坡面
i= h : l
h
α 水平面
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
l
2、坡度（或坡比）
别忽略我哦！
Ａ
bＣ
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
水库大坝的横断面是梯形， 坝顶宽6m，坝高23m，斜坡 AB的坡度i=1∶3，斜坡CD 的 坡度i=1∶2.5，
则斜坡CD的 坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB 的长应设计为多少？
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
学习目标
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
1、斜坡的坡度是 1 : 3，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是45°，则坡比是 __1：__1___。
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 3 23 69m
在Rt△DCF中，同理可得
i CF
1
FD
2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m
AD AE EF FD
利用方位角、坡角解直角三角形课件
解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 利用方位角、坡角解直角三角形
知识点❶：坡角在解直角三角形中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50 m，则迎水坡面 AB 的长度是( A ) A．100 m C．150 m D．200 m 2．如图，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间 的水平距离为 5 米，那么两树的坡面距离 AB＝( B ) A．5cosα 米 C．5sinα 米 5 B. 米 cosα D. 5 米 sinα B．100 3 m
解：(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝ 402＋（8 3）2＝16 7(km)， 4 ∴轮船航行的速度为：16 7÷ ＝12 7(km/h) 3 (2)能，理由如下：作 BD
⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F，则 AD＝AB·cos∠ BAD＝40×cos60°＝20(km)， BD＝AB· sin∠BAD＝40×sin60°＝20 3 (km)，CE＝AC·sin∠CAE＝8 3×sin30°＝4 3(km)，AE＝AC·cos ∠CAE＝8 3×cos30°＝12(km)．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF＝∠CEF EF＋32 DF BD ＝90°.又∵∠BFD＝∠CFE， ∴△BDF∽△CEF， ∴ ＝ ， ∴ EF CE EF ＝ 20 3 ，∴EF＝8 km.∴AF＝AE＋EF＝12＋8＝20(km)．∵AM＜AF＜ 4 3
知识点❷：方位角在解直角三角形中的应用 3．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，测得 有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60°的 500 m 处，那么水塔所在 的位置到公路的距离 AB 是( A ) A．250 m B．250 3 m C. 500 3 m D．250 2 m 3
坡度和坡角
D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第24章 解直角三角形24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题学习目标：1.理解坡度、坡角的概念（重点）.2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=l h.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究一、探究过程探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.第1题图 第2题图2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m二、课堂小结坡度、坡比问题图解坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.当堂检测1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米B ．3米C ．6米D ．12米第1题图 第2题图2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.第4题图第5题图5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是米．6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？能力提升7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？参考答案自主学习 一、新知预习坡度 坡角 大 陡 合作探究一、探究过程 【典例精析】例 解：如图，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.∵斜坡AB 的坡度i ＝1：3，∴tanA ＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE ＝69m.∴AB ＝≈72.7（m ）.∵斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，∴tan ∠D ＝＝.∴＝.∴DF ＝57.5m.∴AD ＝AE +EF +DF ＝69+6+57.5＝132.5（m ）．故斜坡AB 的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD 的长是132.5m ，斜坡AB 的长是72.7m ．【针对训练】1.（1）1∶3（2）21.8 （3）9 4∶3 （4）4∶3 52.A 二、课堂小结 h ∶l 当堂检测1. A2.B3.54.905.6. 解：作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠CBA ＝45°，BC ＝4千米，∴CD ＝ BD ＝4千米．∵坡面AC 的坡度i ＝1：，∴31＝.∴AD ＝CD ＝4.∴AC ＝＝8千米.∵AB ＝AD +BD ，∴AB ＝（4+4）千米.又∵AC +CB ＝（8+4）千米，∴AC +CB ﹣AB ＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73千米．7. 解：（1）设AE ＝5x ，∵斜坡AB 的坡比为i ＝12∶5，∴BE ＝12x ，由勾股定理，得AE 2+ BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得x ＝2，∴BE ＝12x ＝24米.（2）如图，作FH⊥AD于H，连接F A.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠F AH＝＝≈1.14，则∠F AH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．。
24.4.3 解直角三角形的应用—仰角、俯角(课件)九年级数学上册(华东师大版)
即该建筑物 CD 的高度约为 42 m.
第24章 解直角三角形
知识回顾
仰角、俯角问题： 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形来处理.
3.实际问题转化为几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形与三角形来 解决.
DC
tan54o 40 1.3840 55.2m，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
仰角、俯角问题
| 24.4 解直角三角形 第3课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
解：如题图，延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG＝x m．
在 Rt△ECG 中，∠CEG＝45°，则 EG＝CG＝x m．
在 Rt△ACG 中，
∵∠CAG＝30°，tan∠CAG＝CAGG，
∴AG＝ tan
C∠GCAG＝
3x m．
∵AG－EG＝AE，∴ 3x－x＝30，
解得 x＝15( 3＋1)．故 CD＝15( 3＋1)＋1.5≈42(m)．
2
部分的面积为 2 cm2（根号保留）．
图3
图4
第24章 解直角三角形
5.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰 角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m， ∴AC tan ADC DC. 在 Rt△ACD 中 tan ADC AC ，
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图28-2-3-6
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2. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
h i= l =tana
h
a
l
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化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用 相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所 示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l
D
E
B
C
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读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度。 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
h 叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i= l
i=h:l
坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
B
D
F 30°
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
10.4 > 8没有触礁危险
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
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数学是知识的工具，亦是其它知
l
h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段 山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得 到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今 后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
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例4：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为
12.51米，路基的坡面与地面的夹角分别是32 °和28 °，求路 基下底的宽（精确到0.1米）
D 解：作DE ⊥ AB，CF ⊥ AB，垂足分别 为点E、F，由题意可知： A DE=CF=4.2 C
识工具的泉源。
——笛卡儿
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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去 解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
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1.如图28-2-3-6，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m， 上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2, 求路基下底宽.
l
α
l
h
α
h
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？
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我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小 段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这 段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1.
义务教育教科书（华师版）九年级数学上册
24.4.——助您成功
1.测量高度时,仰角与俯角有何区别?
2.解答下面的问题 如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长 为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶 端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、 乙两建筑物之间的水平距离BC。 A
E
F
B
EF=CD=12.51
在RT △ABC中，
在RT △ABC中，同理可得
DE 4.2 tan 32 ° AE AE 4.2 BF ≈6.72 tan 28 °
4.2 BF ≈7.90 ° tan 28
∴AB=AE+EF+BF ≈6.72+12.51+7.90 ≈27.1
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