第二章随机变量及其分布 第3节 随机变量的分布函数

−2 x
1 随 变 X 例 设 机 量 的分 布律 为 X −1 2 3 1 1 1 pk 4 2 4 1 求 的分 函 ,并 PX ≤ , X 布 数 求 2 5 3 P ≺ X ≤ , P{2 ≤ X ≤ 3}. 2 2
F(x)的 是 ≤ x的 值 X 累积 概率 ,它 值 是小 x 的概 pk之 , 有 于 或等 x的 于 那些 k处 率 和 x < −1 0 P{X = −1 }, −1≤ x < 2 F(x) = P{X = −1 + P{X = 2}, 2 ≤ x < 3 } 1, x ≥3
, 若0 ≤ x ≤ 2,由题意 P{0 ≤ X ≤ x} = kx ,
2
k是某一常数为了确定 的值 取x = 2, , k , 有P{0 ≤ X ≤ 2} = 2 k, 但已知
2
P{0 ≤ X ≤ 2} = 1,故得 = 1 4,即 k x P{0 ≤ X ≤ x} = 4 于是 F( x) = P{X ≤ x}
一般 设离散型随机变量 的分布 X , 律为 P{X = xk } = pk , k = 1,2,⋯ X 由概率的可列可加性得 的分布函 数为 F( x) = P{X ≤ x} = 即 F( x) =
xk ≤ x
∑P{X = x }
k
xk ≤ x
∑p
k
(3.2)
说明：由随机变量的分布函
数也能确定它的分布率
2
x = P{X ≺ 0} + P{0 ≤ X ≤ x} = 4
2
{ , 若x ≥ 2,由题意 X ≤ x}是必然事件 F( x) = P{X ≤ x} = 1 于是 , X 综合上述即得 的分布函数为 x<0 0, x2 F( x) = , 0 ≤ x < 2 4 x≥2 1, . 图形是一连续曲线
F(x)
1
12
o
1
2
图2-6
3
x
F x 本例中的分布函数 ( x), 对于任意 可写成形式 F( x) = ∫ f (t )dt
−∞ x
其中
t , 0< t < 2 f (t ) = 2 0, 其它
练习 P69 习题
x→∞ x→−∞
0
X
x
3 F( x + 0) = F( x),即F( x)是右连续的 .
0
例： a − be , x > 0 F( x) = x≤0 0, 函数， 为某个随机变量的分布 函数，试确 a 定常数 与b。 F 进一步的性质： 分布函数 ( x)进一步的性质： c 对任意常数 , 都有 P{X = c} = F( x) − F( x − 0)
§3 随机变量的分布函数
定 : 设 是 个 机 量 x是 意 数 义 X 一 随 变 , 任 实 , 函 数 F(x) = P{X ≤ x} 对 任 实 x1, x2 ( x1 < x2 ), 有 于 意 数 (3.1) 称 X的 布 数 为 分 函 .
性质
P{x1 < X ≤ x2} = P{X ≤ x2}− P{X ≤ x1} = F(x2 ) − F(x1)
分 布 函 数 的 特 征 性 质
1 F( x)是一个不减函数 .即对于任
0
x 意实数 1 , x2 ( x1 < x2 ), 有 F( x2 ) − F( x1 ) ≥ 0
0
2 0 ≤ F( x) ≤ 1, 且 F(− ∞) = lim F( x) = 0 F(∞) = lim F( x) = 1
x < −1 0, 1 , −1 ≤ x < 2 4 即 F( x) = 3 , 2≤ x < 3 4 1, x≥3 Fra bibliotekF(x)
1
−1
o
1
2
图2-5
3
x
1 1 1 PX ≤ = F = , 2 2 4 5 3 5 3 P < X ≤ = F − F 2 2 2 2 3 1 1 = − = , 4 4 2 P{2 ≤ X ≤ 3} = F(3) − F(2) + P{X = 2} 3 1 3 = 1− + = 4 2 4
练习 P55 习题 12，15，17② ， ， ，
思考 18， ，
2 2 , 例 一个靶子是半径为米的圆盘 盘上的点的 设击中靶上任一同心圆 正比 概率与该圆盘的面积成 , 并设射 击都能中靶以X表示弹着点与圆心 , . X . 的距离试求随机变量 的分布函数
{ , 解: 若x < 0,则 X ≤ x}是不可能事件 于是 F( x) = P{X ≤ x} = 0