【学案导学 备课精选】2015年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习(含解析)北师大版选修1-1
导数与函数单调性上课用学案教案.doc
导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。
1.1 导数与函数的单调性(一)学案(含答案)
1.1 导数与函数的单调性(一)学案（含答案）1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性一学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与导数思考1已知函数1y2x1，2y3x，3y2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系答案1y20，y2x1是增函数；2y30，y3x是减函数；3y2xln20，y2x是增函数思考2观察图中函数fx，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性00锐角上升增加的00钝角下降减少的梳理函数的单调性与导数符号的关系导数符号单调性在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是增加的在某个区间内，fx0在这个区间内，函数yfx是减少的1函数fx在定义域上都有fx0，则函数fx在定义域上是减少的2函数fx在某区间内是增加的，则一定有fx0.3函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大类型一函数与导数的图像间的关系例11fx是函数yfx的导函数，若yfx的图像如图所示，则函数yfx的图像可能是考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案D解析由导函数的图像可知，当x0时，fx0，即函数fx为增函数；当0x2时，fx0，即fx为减函数；当x2时，fx0，即函数fx为增函数观察选项易知D正确2设函数fx在定义域内可导，yfx的图像如图所示，则导函数yfx的图像可能为考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数的图像答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像反思与感悟函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像跟踪训练1在同一坐标系中作出三次函数fxax3bx2cxda0及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是ABCD考点题点答案C解析当fx0时，yfx是增加的；当fx0时，yfx是减少的故可得，中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误类型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间1yx2lnx；2yxb0考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解1函数yx2lnx的定义域为0，，又y.若y0，即解得x1；若y0，即解得0x1.故函数yx2lnx的单调增区间为1，；单调减区间为0,12函数fx的定义域为，00，，fx1，令fx0，则xx0，所以x或x.所以函数的单调增区间为，，，令fx0，则xx0，所以x且x0.所以函数的单调减区间为，0，0，反思与感悟求函数yfx的单调区间的步骤1确定函数yfx的定义域2求导数yfx3解不等式fx0，函数在解集所表示的定义域内为增函数4解不等式fx0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数fxx22xexxR的单调减区间为____________考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案2，2解析由fxx24x2ex0，即x24x20，解得2x2.所以fxx22xexxR的单调减区间为2，2例3讨论函数fxax2xa1lnxa0的单调性考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数fx的定义域为0，，fxax1.当a0时，fx，由fx0，得x1，由fx0，得0x1.fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数当a0时，fx，a0，0.由fx0，得x1，由fx0，得0x1.fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数综上所述，当a0时，fx在0,1内为减函数，在1，内为增函数反思与感悟1 讨论参数要全面，做到不重不漏2解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解跟踪训练3设函数fxexax2，求fx的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解fx的定义域为，，fxexa.若a0，则fx0，所以fx在，上是增加的若a0，则当x，lna时，fx0；当xlna，时，fx0.所以fx在，lna上是减少的，在lna，上是增加的综上所述，当a0时，函数fx在，上是增加的；当a0时，fx在，lna上是减少的，在lna，上是增加的.1函数yxlnx，x0,1A在区间0,1上是增加的B在区间0,1上是减少的C在上是减少的，在上是增加的D在上是增加的，在上是减少的考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案C解析ylnx1，当0x时，y0，函数yxlnx是减少的；当x1时，y0，函数yxlnx是增加的2若函数fx的图像如图所示，则导函数fx的图像可能为考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数图像答案C解析由fx的图像可知，函数fx的单调增区间为1,4，单调减区间为，1和4，，因此，当x1,4时，fx0，当x，1和x4，时，fx0，结合选项知选C.3函数fxx3ex的递增区间是A，2B0,3C1,4D2，考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案D解析fxx3exx3exx2ex，令fx0，解得x2，故选D.4若函数fxx3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b________，c________.考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案6解析fx3x22bxc，由题意知，fx0即3x22bxc0的两根为1和2.由得5试求函数fxkxlnx的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数fxkxlnx 的定义域为0，，fxk.当k0时，kx10，fx0，则fx在0，上是减少的当k0时，由fx0，即0，解得0x；由fx0，即0，解得x.当k0时，fx的单调减区间为，单调增区间为.综上所述，当k0时，fx的单调减区间为0，；当k0时，fx的单调减区间为，单调增区间为.1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数fx；3在函数fx的定义域内解不等式fx0和fx0；4根据3的结果确定函数fx的单调区间。
高二文科数学4.1.1导数与函数的单调性导学案设计
§ 4.1.1导数与函数的单调性学习目标1•正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2•掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、课前准备(预习教材，找出疑惑之处) 复习1:以前，我们用定义来判断函数的单调性。
对于任意的两个自变量 X 1, X 2^ I ,当X !< X 2时，都有f(Xj ：:： f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递增。
当X 1 < X 2时，都有f(Xj ・f(X 2)，那么函数f(X )在区间I 上单调递减。
复习 2： C ，=0 ; (x n )' = nx n ，； (sinx)'=cosx ； (cosx)'=_sinx ； (in x)' = 1 ;X 1X X X X(log a X)' ； (e )' =e ； (a )' =a in a ； xln a复习3:[f(x)_ g(x)]'二 f(x)_g(x)[ f (x)Lg (x)]' = f (x)_g( x)g (x) _f (x)[f (x)^ f (x) Lg(x) - g (x)_f (X)g(x)g (x)探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线y = f (x)在点x o 的切线的斜率就是函数 y = f (x)在该点的导数f (x o )。
从函数y =x 2「4x - 3的图像来观察其关系： 在区间(2,•::)内，切线的斜率为 k>0( y 大而 增大 ，即, 0时，函数y =f(x)在区间(2,•)内为 ___________ 函数;在区间(-：：，2)内，切线的斜率为 ________________ (y 、0)，函数y 二f(x)的值随着x 的增 大而 ________ ，即y ，：：0时，函数y =f(x)在区间(-：：，2)内为 _______________ 。
高中数学同步练习 导数与函数的单调性
第3章 §1 第1课时 导数与函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增． 又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]． 三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级 素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)． 故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)． 二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}． 三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级 能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。
高中数学导函数与函数单调性复习课导学案
导函数与函数单调性复习课导学案【学习目标】1、知识与能力：理解利用导数解决函数的单调性得三类题型.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3、情感态度与价值观：〔1〕 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
〔2〕通过导数研究单调性的根本步骤〔即算法〕的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性的方法转化。
【教学难点】含参函数的单调性复习引入：一、利用导数求函数单调区间的步骤二、题型分类(课前预习)题型一、不含参函数的单调区间的单调递减区间为则、若函数)(,1,31,)(13x f x x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=的单调递增区间为则变式、若)(,ln 23)(2x f x x x f -= 题型二、含参函数的单调性区间时求函数的单调区间。
当、已知函数1,ln )1(21)(22>++-=a x a x a x x f。
时，求函数的单调区间变式：当0>a。
时，求函数的单调区间思考：当R a ∈题型三、函数单调性求参数取值范围(当堂典例)[)的取值范围为则单调递增，，在、已知函数a x a x x x f ∞++-=1ln 2)(123()的取值范围为单调递减，则实数在区间练习：若函数a x ax x x f 1,06)(23+--=的取值范围。
上单调递增，求在区间思考：函数m ]12,12[2)(23+-+=m m x x x f三、课堂小结四、课后作业，则函数单减区间为、已知函数x x x f ln 2)(12-=的取值范围是上单调函数，则是、若函数m R mx x x x f 1)(223+++= 的取值范围为则存在单调递增区间，，在区间、已知函数a ax x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+++-=32,22131)(323()。
北师大版数学数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习北师大版选修1-1
学案导学 备课精选】2015年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin x B ．x e x C ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪ C ．题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章 导数应用 §1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少 作业设计 1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)． 由f ′(x)<0，得－1<x<11， ∴f(x)的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3. 9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间， ∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0.故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0. (2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0， 即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义介绍函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。
通过具体例子解释函数单调性的含义，让学生能够判断简单函数的单调性。
1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的性质，包括单调性的继承性和局部性。
通过示例说明函数单调性的一些基本性质，让学生能够运用这些性质解决问题。
第二章：函数单调性的判定方法2.1 导数法判定单调性介绍导数法判定函数单调性的基本思路，让学生理解导数与函数单调性的关系。
通过具体例子讲解如何利用导数判断函数的单调性，让学生能够运用导数法解决问题。
2.2 图像法判定单调性介绍图像法判定函数单调性的方法，让学生能够通过观察函数图像来判断单调性。
通过绘制不同函数的图像，让学生理解图像法判定单调性的原理。
第三章：函数单调性的应用3.1 函数单调性在函数值估计中的应用介绍如何利用函数单调性来估计函数值的大小，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来估计函数值，让学生能够运用这一方法解决问题。
3.2 函数单调性在最大值和最小值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决最大值和最小值问题，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来求解最大值和最小值问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
第四章：函数单调性的进一步研究4.1 函数的单调区间介绍如何确定函数的单调区间，让学生能够判断函数在不同区间的单调性。
通过具体例子讲解如何确定函数的单调区间，让学生能够运用这一方法解决问题。
4.2 函数的单调性变化介绍函数单调性的变化规律，包括单调递增变为单调递减和单调递减变为单调递增的情况。
通过具体例子讲解函数单调性的变化规律，让学生能够判断函数单调性的变化。
第五章：函数单调性的综合应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用介绍如何将函数单调性应用到实际问题中，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性解决实际问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数与函数的单调性
第四章 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪C ． 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f ′(x)>0 减少作业设计1．A2．A3．B4．A5．C6．C7．(－1,11)解析 ∵f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x)<0，得－1<x<11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎨⎧a<036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f ′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a<0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x)>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x)<0. 故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f ′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x)＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3. 当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0， 即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
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§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．导函数的符号和函数的单调性的关系：
如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；
如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．
2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．
一、选择题
1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A ．sin x
B ．x e x
C ．x 3－x
D ．ln x －x
4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．不确定
5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )
A ．f (0)＋f (2)>2f (1)
B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)
C ．f (0)＋f (2)<2f (1)
D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定
6．函数y ＝ax －ln x 在(12
，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪
C ． 题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．
8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．
9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．
三、解答题
10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．
11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．
(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
能力提升
12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，
只能在定义域内讨论导数的符号．
2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
知识梳理
1．f′(x)>0 减少
作业设计
1．A
2．A
3．B
4．A
5．C
6．C
7．(－1,11)
解析 ∵f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．
由f′(x)<0，得－1<x<11，
∴f(x)的单减区间为(－1,11)．
8．(－∞，－3]
解析 f′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
a<036＋12a≤0， ∴a≤－3.
9．
即b ＝－3
2，c ＝－6.
(2)∵f′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.
∴a 的取值范围为(－∞，0)．
12．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋
a ＋1
x .
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x ＝－a ＋1
2a ，
则当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0， －a ＋12a 时，f′(x)>0；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋1
2a ，＋∞时，f′(x)<0.
故f(x)在⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0， －a ＋12a 上单调递增，
在⎝ ⎛
⎭⎪⎫
－a ＋12a ，＋∞上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在⎝
⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x 2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x 2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a≤0.
又a ＝0时，f′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.
(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，
则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．
因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.
当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，
即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.
故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。