山东省威海市高二数学下学期期末考试 理(含解析)新人教A版

山东省威海市2013-2014学年高二数学下学期期末考试 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．复数1z i=-等于（ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()i ii i i i i i z +=+=+-+-=--=2224111313. 考点：复数的四则运算法则.2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则biib ++132的值为（ ）A ．2B ．5C ．5D ．15 【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()i b b i bi 1221++-=++，因为复数为纯虚数，02=-∴b ，即2=b 55521342134222==++=++i i .考点：复数的概念和复数的模. 3．已知函数1-=x y ，则它的导函数是（ ）A ．121/-=x y B ．)1(21/--=x x y C ．112/--=x x y D ．)1(21/---=x x y【答案】B 【解析】试题分析：1-=x u ，()()12112121--=-=='⋅'='x x x u u u y 考点：复合函数的导数. 4．=+⎰-dx e x x )(cos 0π（ ）A ．1e π--B ．1e π-+C ．e π--D ．1e ππ-- 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()πππππππ--------=-+-=+=+=+⎰⎰⎰e e ex dx e xdx dx e x x x x1100||sin cos cos 000考点：微积分基本定理的应用.5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 【答案】D 【解析】试题分析：由于BC AD //，AED ∆∴与EBG ∆相似；AFD ∆与CFG ∆相似；由于CD AB //，所以ABE ∆与EFD ∆相似，GFC ∆与GAB ∆相似，ABD ∆与CDB ∆相似，由相似三角形的传递性当AFD ∆与GAB ∆相似. 考点：相似三角形.6．曲线221x y -=经过伸缩变换T 得到曲线'2'21169x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为（ ）A ．''2360x y -+= B ．''4610x y -+= C ．''38120x y -+= D ．''3810x y -+= 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得直线012=+-y x 经过伸缩变换T 得到的直线方程为01324=+'-'y x ，整理得01283=+'-'y x考点：图象的伸缩变换.7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π-【答案】A【解析】试题分析：方程两边同时乘以ρ得θρθρρsin 35cos 52-=，即y x y x 35522-=+，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-235,25，因此5475425=+=ρ，325235tan -=-=θ，因此极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛32,5π，与之等价的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,5π考点：极坐标的应用.8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 【答案】A【解析】试题分析：由题意知θρρsin 42=，化简得y y x 422=+，()4222=-+∴y x ，其中一条切线方程为2=x ， 极坐标方程2cos =θρ考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化.9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ） A ．p 21 B ．p -1 C ．p 21- D ．p -21【答案】D【解析】试题分析：正态曲线关于直线0=x 对称，()()p P P =-<=>11ξξ，因此()()112101<<-=<<-ξξP P ()p p -=-=212121. 考点：正态分布下的概率.10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A ．24种 B ．96种 C ．120种 D ．144种 【答案】B 【解析】试题分析：先安排程序A ，从第一步或最后一步选一个，有12A 种，把C B ,看成一个整体和其余三个程序编排，最后C B ,换位置，共有96224412=⋅⋅A A A 种.考点：排列的应用 11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是（ ）A ．343.0B ．833.0C ．973.0D ．029.1 【答案】C 【解析】试题分析：这段时间内吊灯不能照明的概率()()()027.07.017.017.01=-⋅-⋅-，因此这段时间内吊灯能照明的概率973.0027.01=-=P 考点：独立事件的概率.12．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，对任意正数b a ,，若b a <，则必有（ ）A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x f x x h ⋅=，则()()()0≤+'='x f x f x x h ，因此函数()x h 在区间()+∞,0上是减函数，()()b bf a af ≤∴，已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf因此()0<'x f 所以()x f y =是减函数，()()b f a f ≥<0，()()()()a bf b bf a af b af ≤≤≤∴ 当()0=x f 等号成立.考点：函数的单调性与导数第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．函数y =的最大值是 ． 【答案】5 【解析】 试题分析：由于()()16522=-+-x x ，可设x x -=-=6c o s ,5s i nαα，则ααc o s 4s i n 3+=y()ϕα+=sin 5，因此最大值为5考点：辅助角公式的应用.14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 【答案】313【解析】试题分析：直线x y =与曲线2x y =的交点为()()1,1,0,0；直线x y 3=与曲线2x y =的交点()()3,3,0,0，因此面积为()()313|3123|33313210210312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-⎰⎰x x x dx x x dx x x考点：定积分的应用. 15．二项式10)211(x -的展开式中含51x的项的系数是 ． 【答案】863- 【解析】试题分析：由于krr x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+21101，因此51x 的系数为863215510-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C 考点：二项展开式的通项公式.16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ． 【答案】①③ 【解析】试题分析：由于函数过原点因此0=c ，由于()x f y =在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43， ()b ax x x f ++='232,()1231-=++='∴b a f ,()1231-=+-=-'b a f ,解得4,0-==b a所以()[]2,2,43-∈-=x x x x f ，()0432=-='x x f ，得332±=x ，极值点有2个，由于()[]2,2,43-∈-=x x x x f 是奇函数，因此最大值和最小值之和为零. 考点：函数的导数与切线方程.三、解答题（题型注释）17．设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -． （1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈∀，0)(>x f ，求a 的取值范围． 【答案】(1){}7,3|>-<x x x 或;(2)1<a 【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点的距离；(2)对x 分类讨论，分7,73,3≥<<--≤x x x 三部分进行讨论；(3)掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.（4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立.试题解析：解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->， 可得其解集为{|3,7}.x x x <->或 4分（2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立． ∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a < 8分 考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）恒成立的问题.18．设()n n n f n-⎪⎭⎫⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1）()()()27173,212,11-===f f f ；（2）3≥n 【解析】试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值0n 是多少；（3)由k n =时等式成立，推出1+=k n 时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写. 试题解析：解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f 3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n4分 证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k11)111(+<++=++<k k k k k k 8分 ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 10分 考点：数学归纳法及其应用.19．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点．（1）写出直线l 的参数方程，并求当6πα=时弦BC 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当8=BC 时，求直线BC 的方程； （4）当α变化时，求弦BC 的中点的轨迹方程． 【答案】(1)33633721+=BC ;(2)01524=++y x ;(3)3=x 或01543=++y x （4）1645432322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x【解析】试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∇：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． 1分曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得0455)sin cos 2(32=-+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=∆αα恒成立， 3分 ∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，45521-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当6πα=时，33633721+=BC ． 5分 （2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ， ∴2tan -=α，故直线BC 的方程为01524=++y x ． 7分 （3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或43tan -=α 故直线BC 的方程为3=x 或01543=++y x 9分（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=)sin cos 2(23αα+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=ααααααsin )sin cos 2(2323cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23(22=+++y x ；轨迹是以)43,23(--为圆心，453为半径的圆． 10分 考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.20．设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ． （1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．【答案】（1）y x ,的可能取值为1,2,3；ξ的最大值3；（2）92=P ；（3）()914=ξE ，()98=ξD 【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值3． 3分（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=⨯=n ， ∴92)3(==ξP 4分 （3）ξ的所有取值为0，1，2，3，当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴91)0(==ξP ； 当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ，共4种情况，∴94)1(==ξP ； 当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴92)2(==ξP ； 当3=ξ时，92)3(==ξP ； 7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：∴ 数学期望914923942921910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD 9分 考点：求离散型随机变量的分布列、数学期望、方差. 21．如图，已知⊙1O 与⊙2O 外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，AB 与21O O 的延长线相交于点C ，延长AP 交⊙2O 于 点D ，点E 在AD 延长线上．（1）求证：ABP ∆是直角三角形；（2）若AE AP AC AB ⋅=⋅，试判断AC 与EC 能否一定垂直？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若4=AP ，49=PD ，求AC EC 的值．【答案】(1)证明略；（2）EC AC ⊥；（3）43=AC EC 【解析】试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得 NB NA NP ==，∴PAB ∆为直角三角形 3分（2）EC AC ⊥证明：∵AE AP AC AB ⋅=⋅，∴ACAE AP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆ ∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． 6分（3）由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==∴43=AC EC ． 9分 考点：（1）切线长定理；（2）相似三角形的应用；（3）切割线定理的应用. 22．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．【答案】(1)3,12-==b a(2)()x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞（3）23≥c 或1-≤c 【解析】试题分析：(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数()x f y =在区间[]b a ,内使()0='x f 的点，再计算函数()x f y =在区间内所有使()0='x f 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)恒成立的问题关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最值问题.(4)若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 5分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当10<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减；当1>x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ 9分由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c 10分 考点：（1）函数的导数与极值；（2）函数的导数与单调性；（3）函数恒成立的问题.。