基于LQR的直线一级倒立摆最优控制系统研究_邢景虎
基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制研究
基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制研究一、内容概述本文旨在研究基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制策略。
倒立摆系统作为控制理论中的重要实验对象，具有非线性、不稳定性以及快速运动等特点，对于控制系统的设计与实现提出了较高要求。
PID控制作为一种经典的控制方法，在倒立摆系统中具有广泛的应用价值。
本文利用MATLAB软件平台，对直线一级倒立摆的PID控制进行深入研究和探讨。
文章对直线一级倒立摆系统的基本原理进行介绍，包括其物理模型、运动方程以及稳定性分析等方面。
在此基础上，详细阐述了PID 控制器的基本原理、参数整定方法及其在倒立摆系统中的应用。
通过对比不同PID参数下的控制效果，分析了PID控制器在倒立摆系统中的性能特点。
文章重点介绍了基于MATLAB的直线一级倒立摆PID控制系统的设计与实现过程。
利用MATLAB的Simulink仿真工具，搭建了直线一级倒立摆的仿真模型，并设计了PID控制器进行仿真实验。
通过不断调整PID控制器的参数，观察系统的动态响应和稳态性能，得到了较优的控制参数。
文章还讨论了在实际应用中可能遇到的挑战与问题，并提出了相应的解决方案。
针对倒立摆系统的非线性特性，可以采用模糊PID控制或神经网络PID控制等智能控制方法进行改进；针对干扰和噪声的影响，可以采用滤波技术或鲁棒控制策略来提高系统的抗干扰能力。
文章总结了基于MATLAB的直线一级倒立摆PID控制研究的主要成果和贡献，并展望了未来研究方向和应用前景。
通过本文的研究，不仅加深了对倒立摆系统和PID控制方法的理解，也为实际工程应用提供了有益的参考和借鉴。
1. 直线一级倒立摆系统的介绍直线一级倒立摆系统，作为一个复杂且典型的非线性不稳定系统，历来被视为控制理论教学及实验的理想平台。
它不仅能够有效地反映出控制中的多种问题，如非线性、鲁棒性、镇定等，还因其在多个领域中的实际应用价值而备受关注。
直线一级倒立摆系统主要由小车、摆杆等部件构成，它们之间通过自由连接形成一个整体。
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制（Simulink仿真）通过对倒立摆系统的力学及运动学分析，建立系统的非线性数学模型为可见，直线一级倒立摆为单输入双输出系统，利用Simulink可建立上式的框图模型，如图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统的非线性Simulink模型倒立摆的起摆问题，是控制理论中的一个经典实验，其实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态（垂直向下）在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态（垂直向上）。
在这个过程中，要求起摆快速，但又不能过于超调。
由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用。
基于非线性理论，目前常用的几种起摆方法为：Bang-Bang控制、能量控制、仿人智能控制等。
这里采用Bang-Bang控制作为起摆方法，LQR控制作为稳摆方法，Simulink框图如图2所示。
图2 倒立摆自动起摆控制Simulink框图（Bang-Bang + LQR）图2中，子系统“Inverted Pendulum”是直线一级倒立摆的非线性模型，如图1所示；S函数“ang_proc”模块用于摆杆角度的处理，即将任意角度信号转换为“ -π ~ π”之间的对应值；子系统“Bang-Bang Controller”为Bang-Bang控制器；子系统“LQR Controller”为LQR 控制器。
双击“Bang-Bang Controller”模块可打开Bang-Bang控制器框图如下：图3 Bang-Bang控制器框图图3中，bang_controller是为实现Bang-Bang控制算法而编写的S函数，信号Ang_s是Bang-Bang控制切换角，F_bang是Bang-Bang控制作用力。
双击“LQR Controller”子系统，打开LQR控制器框图如下：图4 LQR控制器框图运行图2中的仿真框图，则基于Bang-Bang控制和LQR控制算法的直线一级倒立摆自动起摆控制效果如图5所示。
一级倒立摆系统设计与LQR最优控制仿真
一级倒立摆系统设计与LQR最优控制仿真
刘凯
【期刊名称】《工业仪表与自动化装置》
【年(卷),期】2012(000)003
【摘要】应用Lagrange力学,对一级倒立摆系统进行数学建模,得出了状态空间方程；设计了一级可控倒立摆系统,并对系统进行了性能分析；设计了直线一级倒立摆的LQR控制器,通过仿真和实验证明,LQR实时控制效果好,保证了系统具有良好的稳定性和鲁棒性.
【总页数】4页(P10-13)
【作者】刘凯
【作者单位】渤海船舶职业学院,辽宁葫芦岛125005
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.环形一级倒立摆系统单神经元PID控制仿真 [J], 胡小兵;刘成忠;赵晓军
2.直线一级倒立摆系统控制仿真及实验研究 [J], 徐明;周滨;胡国良
3.二级倒立摆系统模型建立与LQR控制仿真 [J], 万力;李湘敏
4.基于最优控制LQR的单级倒立摆系统仿真研究 [J], 么洪飞;陆仲达;徐凤霞
5.基于LabVIEW的一级倒立摆LQR控制仿真设计 [J], 刘群铭; 兰育飞; 史颖刚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
直线一级倒立摆的PID和LQR控制及其仿真
KEY WORDS： Linear inverted pendulum, Control, PID, LQR, simulation
BY NB GONG
II
华北电力大学毕业设计（论文）
目
录
摘 要 ........................................................................................................................................... I ABSTRACT ..................................................................................................................................... II 第 1 章：绪论 .................................................................................................................................. 1 1.1 倒立摆简介......................................................................................................................... 1 1.1.1 倒立摆分类.............................................................................................................. 2 1.1.2 倒立摆的特性......................................................................................................... 2 1.1.3 倒立摆的控制目标................................................................................................. 3 1.1.4 倒立摆的控制方式................................................................................................. 3 1.2 倒立摆控制研究的发展及其现状.................................................................................... 4 1.3 本文的主要内容................................................................................................................ 7 第 2 章：直线一级倒立摆系统数学模型....................................................................................... 8 2.1 直线一级倒立摆系统的物理模型.................................................................................... 8 2.2 直线一级倒立摆系统的数学模型.................................................................................... 9 2.3 直线一级倒立摆系统的系统分析.................................................................................. 12 2.3.1 直线一级倒立摆系统的系统稳定性分析 ........................................................... 12 2.3.2 直线一级倒立摆系统的系统能控性、能观性分析 ........................................... 14 第 3 章：直线一级倒立摆系统的 PID 控制及仿真..................................................................... 16 3.1 PID 控制概述 .................................................................................................................... 16 3.2 PID 的控制规律、原理 .................................................................................................... 17 3.3 PID 参数整定 .................................................................................................................... 17 3.4 直线一级倒立摆双闭环 PID 控制算法 ........................................................................... 18 第 4 章：直线一级倒立摆系统的线性二次最优控制及仿真..................................................... 24 4.1 线性二次最优控制简介.................................................................................................. 24 4.2 直线一级倒立摆 LQR 控制算法及仿真 ......................................................................... 26 结 论 ........................................................................................................................................ 35 参考文献 .......................................................... 36 致 谢 ........................................................................................................................................ 38
(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)
沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。
前言.。
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1 倒立摆的背景及简介...。
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.10.2 MATLAB简介及应用....。
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一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。
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1 一级倒立摆模型基本理论。
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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。
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72. 方案设计。
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软件编程。
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直线小车一级倒立摆控制策略研究毕业设计[管理资料]
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Key_words:inverted pendulum,PID control,optimal control,pole assignment
直线一级倒立摆系统的PID控制算法设计
摘要直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。
设计直线一级倒立摆前,首先要应清楚直线一级倒立摆的定义及它的特性,其次用数学建模的方法建立直线一级倒立摆模型。
再次PID控制器的结构与参数设计，将直线一级倒立摆当作简单的单输入单输出系统（忽略了小车位移的控制），采用了 PID控制器设计方法进行了控制器结构设计和参数设计。
确定PID控制器主要参数KP、KI、KD,通过改变这三个参数的值,使直线一级倒立摆由开环不稳定系统变为闭环稳定系统。
直线一级倒立摆系统在PID控制器下用MATLAB进行仿真,通过改变控制器PID主要参数,使得仿真曲线更接近理论曲线。
这些便是直线一级倒立摆系统的PID控制算法设计的主要内容。
关键词：直线一级倒立摆；Matlab仿真；PID控制ABSTRACTInverted pendulum linear 1-stage stands upside down suspends is composed by the translation module and the level pendulum mass module, is most common stands upside down suspends one Front the design straight line level stands upside down suspends, first must be supposed the clear straight line level to stand upside down the definition and its characteristic which suspends, next stands upside down with mathematics modelling method establishment straight line level suspends the model. Once more the PID controller structure and the parameter design, stood upside down Inverted pendulum linear 1-stage suspends the regard simple single input list output system (to neglect car displacement control), used the PID controller design method to carry on the controller structural design and the parameter design. Determined PID controller main parameter KP, KI, KD, through change these three parameters the value, causes the straight line level to stand upside down suspends becomes the closed loop stable system by the split-ring unstable system. Inverted pendulum linear 1-stage stands upside down suspends the system to carry on the simulation under the PID controller with MATLAB, through the change controller PID main parameter, causes the simulation curve closer theoretical curve.These then are the straight line level stands upside down suspends the system the PID control algorithm design primary coverage.Keywords:Inverted pendulum linear；Matlab Simulation; PID control目录第1章绪论 (1)第2章倒立摆系统 (2)2.1 系统的组成 (3)2.1.1 倒立摆本体 (3)2.1.2 电控箱 (4)2.1.3 电机 (4)2.1.4 编码器 (4)2.1.5 控制卡 (5)2.2 系统使用说明 (5)2.2.1 直线一级摆硬件操作系统 (5)2.2.2 一级摆软件操作说明 (5)第3章自动控制及MATLAB软件介绍 (7)3.1自动控制概念 (7)3.2 自动控制系统的类型 (8)3.2.1 随机系统与自动调整系统 (8)3.2.2 线性系统和非线性系统 (9)3.2.3 连续系统和离散系统 (9)3.2.4 单输入单输出系统和多输入多输出系统 (9)3.2.5 确定系统与不确定系统 (9)3.2.6 集中参数系统和分布参数系统 (9)3.3 自动控制理论概要 (10)3.3.1 自动控制系统所要分析的问题 (10)3.3.2 自动控制系统的设计问题 (10)3.4 MATLAB实验软件 (10)3.5.1 MATLAB的基本介绍 (11)3.5.2 MATLAB程序设计基础 (12)第4章 PID控制 (13)4.1 PID控制原理 (13)4.2 数字PID控制 (14)4.2.1 位置式PID控制算法 (14)4.2.2 增量式PID控制算法 (15)4.3 常见的PID控制系统 (15)4.3.1 串级PID控制 (15)4.3.2 纯滞后系统的大林控制算法 (16)4.3.3 纯滞后系统的smith控制算法 (17)第5章直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 (19)5.1 微分方程的推导 (19)5.2 传递函数 (21)5.3 状态方程 (21)5.4 实际系统模型 (23)5.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (24)第6章直线一级倒立摆控制器设计及仿真 (27)6.1 PID参数的调整 (28)6.2 PID控制回路运行 (28)6.3直线一级倒立摆PID控制器设计 (29)6.4直线一级倒立摆PID控制器设计MATLAB仿真 (32)结论 (37)参考文献 (38)致谢 (39)附录 (40)第1章绪论计算机的诞生和发展给自动控制增添了先进的工具，现代控制理论的发展，又给自动控制提供了新的理论支柱。
基于最优控制LQR的单级倒立摆系统仿真研究_么洪飞
− P(t ) A − AT P(t ) + P(t ) BR −1 B T P(t ) − Q = 0
对于最优反馈系数矩阵 K = R −1 B T P(t ) 。 Matlab 仿真软件控制系统工具箱中提供了解决线性二次型最优控制问题的函数，可使用 lqr ( A, B, Q, R) 命令来求取 K 。由于输入变量 u 为一维向量，所以 R 为 1 × 1 维矩阵，可取 R = 1 ；这里关键是选择加权矩阵
(t ) = − θ 6 6 g (m + M ) θ (t ) F (t ) + l (m + 4M ) l (m + 4M )
= Ax + Bu ，x，x )T ，u = F (t ) ，则系统状态空间表达式为 x 即系统的状态变量为 X = (θ，θ ，代入仿真数据 y = Cx
第 27 卷第 4 期 2011 年 7 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Journal of Qiqihar University
Vol.27,No.4 July,2011
基于最优控制 LQR 的单级倒立摆系统仿真研究
么洪飞，陆仲达，徐凤霞
（齐齐哈尔大学 计算机与控制工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006） 摘要：单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定系统控制问题。在倒立摆系 统数学模型的基础上，对系统进行了性能分析。应用现代控制理论最优控制LQR方法对单级倒立摆系统进行仿真 控制研究，仿真结果说明反馈控制理论对倒立摆系统的控制是有效的，无论是系统的输出还是各个状态变量都具 有较好稳定性和一定的鲁棒性。 关键词：单级倒立摆；LQR；系统建模与仿真 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2011)04-0034-04
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收稿日期:2007-04-25基金项目:安徽省国际科技合作项目资助(05088025)。作者简介:邢景虎(1980-),男,硕士研究生,研究方向为电力电子技术及现代电力传动控制。
基于LQR的直线一级倒立摆最优控制系统研究邢景虎,陈其工,江 明(安徽工程科技学院电气传动与控制安徽省高校重点实验室,安徽芜湖241000) 摘要:从理论和实践上对直线一级倒立摆作了深入的研究。用牛顿—欧拉方法建立了倒立摆的数学模型,在此基础上采用线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。通过固高公司GLIP2003倒立摆系统验证了设计结果,并达到较好的控制效果。关键词:倒立摆;建模;LQR控制器中图分类号:TP273 文献标识码:A 文章编号:1000-0682(2007)06-0003-03
ResearchonanoptimallinearinvertedpendulumcontrolsystembasedonLQRXINGJing-hu,CHENQi-gong,JIANGMing(AnhuiUniversityTechnologyandScience,AnhuiProvincialKeyLaboratoryofElectricandControl,AnhuiWuhu241000,China) Abstract:Thispapermakesadeepstudyoflinearinvertedpendulum.TheNewton-Eulermethodisusedtosetupamathematicalmodelfortheinvertedpendulum,andthenapendulumcontrollerisde-signedbyusinganoptimalcontrolmethodinalinearquadraticform.ThedesignistestedbytheGLIP2003invertedpendulumsystemoftheGoogolTechnologyCO.Ltd.Itsperformanceissatisfying.Keywords:invertedpendulum;mathematicalmodel;LQRcontroller
图1 直线一级倒立摆系统
0 引言 倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途。如机器人行走过程中的平衡控制,火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题,对倒立摆系统的研究在理论和方法论上均有着深远意义[1]。1 直线一级倒立摆系统数学建模1.1 应用牛顿-欧拉方法建立系统的动力学方程 在忽略了空气阻力、各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示。其中M为小车质量,m为摆杆质量,b为小车摩擦系数,l为摆杆转动轴心到杆质心的长度,I为摆杆惯量,F为加在小车上的力,X为小车位置,Υ为摆杆与垂直向上方向的夹角,θ为摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。 应用牛顿—欧拉方法[2],可得到系统状态空间方程为:
x·x¨φ·φ¨=01000-(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml2000010-mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20xx·
φφ·
+
0(I+ml2)I(M+m)+Mml2
0mlI(M+m)+Mml2
u
y=xφ=10000010xx·φφ·+00u(1)式(1)中:x为小车的位移;x·为小车的速度;φ为摆
·3·2007年第6期 工业仪表与自动化装置杆的角度;φ·为摆杆的角速度;u为输入(采用小车加速度作为系统中的输入);y为输出。1.2 系统能控性分析[3]系统的能控性是控制器设计的前提,故在设计前进行能控性分析。由能控性矩阵M=[BABA2BA3B],在MATLAB中利用可控性矩阵的ctrb命令来计算,可以得出Rank(M)=4,可知系统可控,因此可以对系统进行控制器的设计,使系统稳定。2 直线一级倒立摆LQR控制器设计及仿真2.1 LQR控制器原理[4]令系统的状态方程为:X=AX+BUY=CX+DU(2)和二次型性能指标函数:J=12∞0[XTQX+UTRU]dt(3)其中:加权矩阵Q和R是用来平衡状态变量和输入向量的权重,Q是半正定矩阵,R是正定矩阵。X是n维状态变量,U是r维输入变量,Y为m维输出向量,A,B,C,D分别是n×n,n×r,m×n,m×r维常数矩阵。如果该系统受到外界干扰而偏离零状态,应施加怎样的控制U＊,才能使得系统回到零状态附近并同时满足J达到最小,那么这时的U＊就称之为最优控制。由最优控制理论可知,使式(3)取得最小值的最优控制律为:U＊=R-1BTPX=-KX(4)式中,P就是Riccati方程的解,K是线性最优反馈增益矩阵。这时求解Riccati代数方程:PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0(5)就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值。K=R-1BTP(6)2.2 LQR控制器设计 对于倒立摆这样典型的MISO系统,需要设计一个对倒立摆本体和小车位移同时进行控制的控制器。根据式(1),系统的开环极点可以用MATLAB程序求出[5]。开环极点为0,-0.1428,5.5651,-5.6041,可以看出,有一个极点5.5651位于右半S平面,这说明开环系统不稳定。假设全状态反馈可以实现(4个状态量都可测),找出确定反馈控制规律的向量K。用MAT-LAB[3]中的lqr函数,可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q,这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。假设R=1,Q=CT×C=diag(1,0,1,0)(7)其中,Q1,1代表小车位置的权重,而Q3,3是摆杆角度的权重,输入的权重R是1。
图2 随机加权阶跃响应曲线 由MATLAB语句为K=lqr(A,B,Q,R),求得K=[-1.0000-1.656718.68543.4594]。LQR控制的阶跃响应如图2所示。从图中可以看出,响应的超调量很小,但稳定时间和上升时间偏大,小车的位置没有跟踪输入,而是向相反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间,可以发现:在Q矩阵中,增加Q1,1使稳定时间和上升时间变短,并且使摆杆的角度变化减小。这里取Q1,1=5000,Q3,3=100,则K=[-70.7107-37.8345105.529820.9238],此时系统的响应曲线如图3所示。
图3 优化加权阶跃响应曲线 前面的设计方法,是把输出信号反馈回来乘以一个系数矩阵K,然后与输入量相减得到控制信号。但在这里由于输入与反馈的量纲不一致,因此,为了使输入与反馈的量纲互相匹配,为了消除稳态误差,给输入乘以增益Nbar,其中,用函数rscale来计算Nbar:Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)=-70.7107可以看出实际上Nbar和K向量中与小车位置x对应的那一项相等。此时系统的响应曲线如图4所示。 综上所述,通过增大Q矩阵中的Q1,1和Q3,3,系
统的稳定时间与上升时间变短,超调量和摆杆的角度变化也同时减小。给系统输入乘以增益Nbar以
·4·工业仪表与自动化装置 2007年第6期图4 最佳加权阶跃响应曲线达到消除稳态误差。如果再增大Q1,1和Q3,3,系统
的响应还会改善。但在保证Q1,1和Q3,3足够小的情况下,系统响应己经满足要求了。
3 直线一级倒立摆LQR实时控制 利用固高倒立摆系统MATLAB实时控制软件建立的系统模型如图5所示。利用LQR设计的控制器对倒立摆进行在线控制,可以使倒立摆达到稳定,在倒立摆系统稳定的情况下,对系统施加干扰(可用手轻触摆杆使摆杆偏离竖直位置一个小角度),小车能迅速调整,使整个系统在很短的时间内恢复平衡,并得到小车位置和摆杆角度响应曲线如图6所示。
图5 直线一级LQR倒立摆系统仿真框图
图6 干扰时小车位置和摆杆角度响应曲线 图中上半部分为小车的位置曲线,下半部分为摆杆角度的变化曲线,从图中可以看出,在给定外界干扰后,小车可以在1.5s内回到平衡位置。达到了较好的控制效果。实验证明,设计的LQR控制器能够对直线一级倒立摆系统进行有效的实时控制。
4 结论 该文应用牛顿—欧拉方法建立了直线一级倒立摆的数学模型,并设计了LQR控制器。用MATLAB语言实现了控制系统的仿真,得到了直线一级倒立摆各状态变量及控制量的响应曲线,通过仿真,说明所设计控制器的有效性;利用固高倒立摆系统和计算机实现了直线一级倒立摆的实物系统的控制,给出了直线一级倒立摆稳定时和受干扰时各状态变量的响应曲线和控制量曲线,在系统受到干扰时,小车能迅速调整,使整个系统在很短的时间内恢复平衡,表明设计的LQR控制器能够对直线一级倒立摆系统进行有效的实时控制。参考文献:[1] 世界首例倒立摆实物控制系统在我校试验成功[J].北京师范大学学报(自然科学版),2002,(10):5-8.[2] 固高公司.GLIP2003倒立摆用户使用手册[Z].2003.[3] KatsuhikoOgata著,卢伯英,于海勋译.现代控制工程[M].北京:电子工业出版社,2003.[4] 王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究[J].工业仪表与自动化装置,2005,(4):6-8.[5] 宋兆基,徐流美.MATLAB6.5在科学计算中的应用[M].北京:清华大学出版社,2005.
·5·2007年第6期 工业仪表与自动化装置