【解析】浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
1．B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．点睛：本题考查三角函数的定义，属容易题，解题的关键是记准余弦函数的定义．2．B【解析】分析：根据条件求出等比数列的首项和公比，然后再求前4项和．详解：设等比数列的公比为，由题意得，∴，∴，∴数列的前4项和．故选B．点睛：本题考查等比数列基本量的运算，解题时要分清等比数列中各个量之间的关系，然后根据公式求解．又函数解析式为，∴．故选D．点睛：三角函数图象变换中应注意的问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．4．A【解析】分析：根据正弦定理求解，解题时要注意解的个数的讨论．详解：在中，由正弦定理得，∴．又，∴，∴或．故选A．点睛：在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以对解答此类问题时要进行分类讨论．将以上个式子两边分别相加可得，∴．又满足上式，∴．故选项A，B不正确．又，故选项C不正确，选项D正确．故选D．点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得后需要验证时是否满足通项公式．6．A【解析】sin(＋θ)＝sin[－(－θ)]＝cos(－θ)＝.选A.7．B【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值．∴．由，解得，又，∴，∴最大的值为98.故选B．点睛：用裂项法求和的注意点：（1）将数列裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项后一般的规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．8．C【解析】分析：按照公比和两种情况分别求出数列的前项和为，然后通过验证可得公比的取值情况．详解：①当时，．∵数列为等差数列，∴，即，上式成立，故符合题意．②当时，．∵数列为等差数列，∴，即，整理得，由于且，故上式不成立．综上可得只有当时，为等差数列．故选C．点睛：在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．9．C【解析】分析：由条件及正弦定理可得，再由余弦定理可得，可得，然后再利用同角三角函数的基本关系化简所要求的式子后可得结果．点睛：解答本题的关键是从所给的条件及所求的式子中找到解题的思路，合理的运用正弦定理、余弦定理和同角三角函数关系将问题逐步转化，以达到求解的目的．10．C【解析】分析：根据“和有界数列”的定义对给出的各个选项逐一分析可得结论．详解：对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时，，当时，，则不是“和有界数列”，故A不正确．对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，当时，，则不是“和有界数列”，故B不正确．对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，故，则是“和有界数列”，故C正确．对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确．故选C．点睛：本题属于新定义问题，解题时要通过阅读、理解所给的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主要考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力．如在本题中要根据给出的“和有界数列”得概念对所给选项逐一分析、排除，然后得到所求．点睛：本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，属容易题，解答的关键是正确记忆有关公式并能熟练地应用．12．.【解析】分析：先由根与系数的关系求得，再根据等比数列的性质求得和后可得结果．详解：∵是方程的两根，∴，∴．又数列为等比数列，∴，∴，∴．点睛：（1）在等比数列的运算中要注意下标和性质的灵活运用，即若，则，应用此结论可使得运算简化．（2）在等比数列中，下标为奇数的项的符号一致，下标为偶数的项的符号一致，解题时注意这一隐含条件，求等比数列的项时避免出现符号方面的错误．13． . 【解析】分析：先根据图象得到函数的周期，从而得到，然后再根据“五点法”及点P的坐标得到的取值．详解：由图象可得，∴，∴，∴．根据题意得，解得．点睛：（1）的确定：结合图象，先求出周期，然后由来求出的值；（2）的确定：方法①（五点法）：由函数最开始与x轴的交点(最靠近原点)作为“第一点”，然后确定出“第二点”、“第三点”等，再根据图象中给出的特殊点的坐标代入后与相应的点对应，求出的值即可．方法②（代点法）：将条件中给出的最（低）高点对应的坐标代入解析式，然后解三角方程可得的值．在中，由余弦定理得，∴，∴．点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的边、角后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．15．28. 【解析】分析：先根据数列是等积为8的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得．详解：由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，∴，即，∴．同理可得，……∴数列是周期为3的数列，∴．点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．16．. 【解析】分析：根据数列的递推关系推导出数列和的通项公式后进行求解即可．∴．∴，，∴．点睛：本题考查数列的递推关系的运用，解答此类问题时要掌握由递推公式求通项公式的基本方法，即先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想将问题进行转化，借此来解决递推数列的问题．17．.【解析】，因为，则，所以，所以，即的取值范围是。
2017-2018学年浙江省嘉兴市第一中学高一数学上期中考试试题(含答案)
嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试高一数学试题卷一、选择题：本题10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}4,3,2,1,0{=M ，}5,3,1{=N ，N M P =，则P 的子集共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个2.函数)1ln(x x y -=的定义域为（ ）A. )1,0(B. )1,0[C. ]1,0(D. ]1,0[ 3.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ）A. ||x x y =B. xe y = C. xy 1-= D. x y 2log = 4.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=020)(2x x x x x x f ，，，则满足1)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A. )21,1(--B. )21,1(+-C. )21,1[+-D. )21,1(+ 5.函数)4(log )(221-=x x f 的单调递增区间是（ ）A. ),0(+∞B. )0,(-∞C. )2,(--∞D. ),2(+∞ 6.已知31=+-xx ，2323-+=x x A ，则A 的值为（ ）A. 52±B. 5±C. 5D. 527.设π3log =a ，3log 2=b ，2log 3=c ，则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. c a b >>D. a c b >> 8.若)(x f 是偶函数，且当),0[+∞∈x 时，1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解集是（ ） A. )0,1(- B. )2,1()0,( -∞ C. )2,1( D. )2,0( 9.已知函数bx a x x f -+-=11)(，其中实数b a <，则下列关于)(x f 的性质说法不正确的是（ ）A. 若)(x f 为奇函数，则b a -=B. 方程0)]([=x f f 可能有两个相异实根C. 函数)(x f 有两个零点D. 在区间),(b a 上，)(x f 为减函数10.若直角坐标系内B A ,两点满足：①点B A ,都在)(x f 的图像上；②点B A ,关于原点对称，则对称点),(B A 是函数)(x f 的一个“姊妹对点”，),(B A 与),(A B 可看作一个“姊妹对点”.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=)0(2)0(2)(2x e x x x x f x，则)(x f 的“姊妹对点”有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、填空题：本大题共6小题，每空3分，共27分.11.已知幂函数)(x f y =的图像过点)2,2(，则=)9(f ________. 12.已知⎩⎨⎧≥<--=1lo g14)3()(x x x a x a x f a ，，是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是_________. 13.若153log <a，则a 的取值范围是_______. 14.对R b a ∈,，记⎩⎨⎧<≥=ba b ba ab a ，，},max{，函数)}(32,max{)(2R x x x x f ∈+=的最小值是_________；单调递减区间为_________. 15.已知不等式0)1(2<++-a x a x .（1）若不等式在)3,1(上有解，则实数a 的取值范围是__________； （2）若不等式在)3,1(上恒成立，则实数a 的取值范围是____________.16.（1）计算：=+-++--48373)27102(1.0)972(03225.0π__________； （2）计算：=-+-3log 333558log 932log 2log 2____________. 三、解答题：本大题共5小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分6分）已知集合}086|{2<+-=x x x A ，}0)3)((|{<--=a x a x x B . （1）若1=a ，求B A ；（2）若∅=B A ，求a 的取值范围.18.（本题满分8分）已知函数)1lg()(2++=x ax x f . （1）若0=a ，求不等式0)()21(>--x f x f 的解集； （2）若)(x f 的定义域为R ，求a 的范围.19.（本题满分8分）已知二次函数)(x f y =满足16)4()2(-==-f f ，且函数)(x f 的最大值为2.（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =在]1,[+t t 上的最大值.20.（本题满分8分）已知函数)(x f 满足)(1)(log 12---=x x a ax f a ，其中0>a 且1≠a . （1）对函数)(x f ，当)1,1(-∈x 时，0)1()1(2<-+-m f m f ，求实数m 的取值集合；（2）当)2,(-∞∈x 时，4)(-x f 的值恰为负数，求a 的取值范围.21.（本题满分13分）设函数2)|1(|)(a x x f --=. （1）当2=a 时，求函数)(x f 的零点；（2）当3-=a 时，写出函数)(x f 的单调区间（不要求证明）.嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试高一数学 试题卷（答案）一、选择题：本题10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共6小题，每空3分，共27分. 11. 3 12. )3,1( 13. 1>a 或530<<a 14. 1；)1,(--∞ 15. 1>a ；3≥a 16. 100；1-三、解答题：本大题共5小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】（1）}32|{<<=x x B A ；（2）),4[]32,(+∞-∞∈ a . 18.【答案】（1）}311|{<<-x x ；（2）),41(+∞.19.【答案】（1）x x x f 42)(2+-=；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∈-∞∈+-=),1[42)1,0(2]0,(22)(22maxt t t t t t x f ，，，. 20.【答案】（1）21<<m ；（2）)32,32(+-∈a . 21.【答案】（1）3，1-；（2）)1,(-∞∈x ，)(x f 单调递减；),1(+∞∈x ，)(x f 单调递增.。
嘉兴市重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题含解析
嘉兴市重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂ ，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是（ ）A ．平行B ．异面C ．垂直D ．不相交【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线a 与直线b 没有公共点. 【详解】 由题平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂则直线a 与直线b 的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交. 故选D. 【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．2．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中1O A O B ''''==，32O C ''=,则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．33)4πD ．(433)π【答案】B 【解析】 【分析】先根据斜二测画法的性质求出原图形,再分析ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积即可. 【详解】根据斜二测画法的性质可知,原ABC 是以2AB =为底,高为23OC O C ''==的等腰三角形.又22132AC AB =+==.故ABC 为边长为2的正三角形.则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体可看做两个以底面半径为3OC =高为1OA =的圆锥组合而成.故表面积为23243ππ⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了斜二测画法还原几何图形与旋转体的侧面积求解.需要根据题意判断出旋转后的几何体形状再用公式求解.属于中档题. 3．若4sin()5πα-=，(,)2παπ∈，则cos α=( )A ．35 B ．35C ．45-D ．15【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到sin α的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】∵4sin()sin 5παα-==，又(,)2παπ∈，∴225c 4os 113sin )5(αα=---=--=. 故选：B. 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的平方关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意符号问题. 4．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据圆的弦长公式求解可得所求．【详解】 由题意得，圆的圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，∴．故选C ． 【点睛】求圆的弦长有两种方法：一是求出直线和圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求解；二是利用几何法求解，即求出圆心到直线的距离，在由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形中运用勾股定理求解，此时不要忘了求出的是半弦长．在具体的求解中一般利用几何法，以减少运算、增强解题的直观性． 5．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设MN AB AD λμ=+，则λμ-=（ ） A ．56B ．56-C ．16D ．16-【答案】B 【解析】 【分析】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =，在AB 上取点F ，使得23AF AB =，由图中几何关系可得到()11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【详解】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =，在AB 上取点F ，使得23AF AB =，则()11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB AD ⎛⎫===+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故13λ=-，12μ=，则56λμ-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题．6．已知直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，则a 的值是( )A ．1B ．±1CD ．【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相切的条件列方程求解. 【详解】因为直线20x ay +-=与圆221x y +=相切，所以1=，23a =，a = D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.7．在ABC △中，1a =，b =30A ∠=，则sin B 为（ ）A ．2B ．12C D 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B = 即：1sin sin 30sin 2B B =⇒=︒ 答案选D 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 8．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．以上都有可能【答案】D 【解析】试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断． 解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面． 故选D考点：空间中直线与直线之间的位置关系．9．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(13)+D ．4(12)+【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解. 【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形， 因为正方形O A B C ''''的边长为2cm ， 所以原图形2OA BC == cm ，242OB O B =''=()224226AB =+=，所以原平面图形的周长为()62216+⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题. 10．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3 B ．0C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】求得直线所过的定点Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于1-列方程，由此求得m 的值.【详解】直线120mx y m -+-=可化为()21y m x =-+，故直线过定点()2,1Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故2111,132PQ m k m m m -⋅=⋅=⋅=-=--，故选C. 【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.11．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1sin A ===cos 2A =,所以222122c c =+-，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.12．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ） A ．cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．cos 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），x 的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式． 【详解】函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到cos 2y x =，把图象向左平移4π个单位， 得到cos[2()]cos(2)42y x x ππ=+=+故选：D ． 【点睛】本题考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题13．313sin cos cos sin 412412ππππ+=__________. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可. 【详解】313sincos cos sin sin cos cos sin 412412412412ππππππππ+=- 1sin sin 41262πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为12【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.14．若6是-2和k 的等比中项，则k =______. 【答案】-18 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，列出等式可求得结果. 【详解】由等比中项的性质可得，262=-k ，得18k =-. 故答案为：-18 【点睛】本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.15．已知数列{}n a 的通项公式为()11,22,2,2kn k k n a k N n +⎧=⎪=∈⎨∈⎪⎩，则该数列的前1025项的和1025S =___________.【答案】2039 【解析】 【分析】根据所给分段函数,依次列举出当[]0,10,k k Z ∈∈时n a 的值,即可求得1025S 的值. 【详解】当0k =时,1n =,11a =当1k =时, 21a =,32a =,共1个2.当2k =时, 41a =,5672a a a ===,共3个2. 当3k =时, 81a =,910152a a a ==⋅⋅⋅=,共7个2. 当4k =时, 161a =,1718312a a a ==⋅⋅⋅=,共15个2. 当5k =时, 321a =,3334632a a a ==⋅⋅⋅=,共31个2. 当6k =时, 641a =,65661272a a a ==⋅⋅⋅=,共63个2. 当7k =时, 1281a =,1291302552a a a ==⋅⋅⋅=,共127个2. 当8k时, 2561a =,2572585112a a a ==⋅⋅⋅=,共255个2.当9k =时, 5121a =,51351410232a a a ==⋅⋅⋅=,共511个2. 当10k =时, 10241a =,10252a =,共1个2.所以由以上可知()102511121371531631272555111S =⨯+⨯+++++++++11210142039=+⨯=故答案为:2039 【点睛】本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题. 16．已知直线2y x =+与圆2220x y y +-=相交于A ，B 两点，则AB =______.. 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,由点到直线距离公式求得弦心距,再结合垂径定理即可求得AB . 【详解】圆2220x y y +-=,变形可得()2211x y +-=所以圆心坐标为()0,1,半径1r = 直线2y x =+,变形可得20x y -+=由点到直线距离公式可得弦心距为2d ==由垂径定理可知AB ===故答案为【点睛】本题考查了直线与圆相交时的弦长求法,点到直线距离公式的应用及垂径定理的用法,属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案
嘉兴一中2017-2018学年高三数学检测班级________ 姓名____________ 学号_____一．选择题（共18小题，每题3分，共54分） 1.直线210x y -+=在y 轴上的截距为（ ）A.12B.1-C.2D.1 2.设集合2{|4},{1,2,3}A x x B =<=，则A B ⋂=（ ）A.{1,2,3}B.{1,2}C.{1}D.{2}3.函数()f x =） A. (,2)(2,)-∞⋃+∞ B. (2,)+∞ C. [2,)+∞ D.(,2)-∞ 4.等差数列{}n a 中，若536,2a a ==，则公差为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 5.以(2，0)为圆心，经过原点的圆方程为（ ）A.(x+2)2+y 2=4B. (x －2)2+y 2=4C. (x+2)2+y 2=2D. (x －2)2+y 2=26. 已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z ＝4x ＋y 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 2D. 07.设关于x 的不等式(ax －1)(x +1)<0(a ∈R )的解集为{x |－1<x <1}，则a 的值是（ ）A.－2B.－1C.0D.18.已知函数()sin()24x f x π=+，则()2f π=（ ） A.1-B.1C.2-D.2 9.设a R ∈，则“2a >”是“112a <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 已知两直线l ，m 和平面α，则( )A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αB ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ⊥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 11. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且211=a ，nn a a 111-=+，则=10S （ ） A ．4 B ．29C ．5D ．612. 已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a = ，2a b -= b = （ ）A.2 C. 13. 将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位，得到的函数的图像的一个对称中心为( )A ．（π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π2，0） 14. 函数cos tan y x x =（22x p p-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．15. 在△ABC 中,c b a ,,为角C B A ,,的对边,若CcB b A a sin cos cos ==,则ABC ∆是( ) A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 16. 已知函数()21f x x =-+，()g x kx =，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D. ()2,+∞17. 已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )A 2B 1C 1 D18.已知函数2()2(0)f x x x x =+>，11()(),()(()),*n n f x f x f x f f x n N +==∈，则5()f x 在上的最大值是（ ）A.1021- B.3221- C.1031- D.3231-二．填空题(共4小题，每空3分，共15分)19. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积 为 2cm ，体积为 3cm20. 已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，当实数______m =时，12l l ．21.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11(2)(2)a b++的最小值为_____________ 22.如图，已知棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -，M 是正方形''BB C C 的中心，P 是''A C D ∆内（包括边界）的动点，满足PM PD =，则点P 的轨迹长度为_________三．解答题（共3题，第23题10分，第24题10分，第15题11分） 23. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ∈N *．（1）求a 2，a 3，a 4的值 （2）求数列{a n }的通项公式.24．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值.25. 已知函数()b kx x x f +++=21，其中b k ,为实数且0≠k （Ⅰ）当0>k 时，根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增； （Ⅱ）求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.嘉兴市第一中学2016学年学考模拟考试高三数学 答题卷满分分 ，时间分钟 2016年10月一、选择题：每小题3分，共54分选择题请填涂在答题卡上●●●●●●●●●●●●●●●●●●二、填空题：每空3分，共15分19. ； ；20. ；21. ；22. ．三、解答题：本大题共3大题、共31分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 23.（本小题10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ∈N *．（1）求a 2，a 3，a 4的值 （2）求数列{a n }的通项公式.24.（本小题10分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值.25.（本小题11分）已知函数()b kx x x f +++=21，其中b k ,为实数且0≠k （1）当0>k 时，根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增； （2）求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.参考答案：一．选择题（每题3分，共54分）ACBA BBDB ADCD DCCB DD 二．填空题（每题3分，共15分）64+160,7,16,3- 三．解答题（共31分）23.（本题10分）解：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ∈N *，得a 2＝13S 1＝13a 1＝13，a 3＝13S 2＝13(a 1＋a 2)＝49， a 4＝13S 3＝13(a 1＋a 2＋a 3)＝1627，由a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)，得a n ＋1＝43a n (n ≥2)，又a 2＝13，所以a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2n ≥2.24.（本题10分）解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2 x 2＋x 1 a 2 y 2＋y 1 ＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2 9－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.25.（本题11分）解：（1）证明：当(,2)x ∈-∞-时，b kx x x f ++-=＋21)(．任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()(12121()(2)(2)x x k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦．由所设得021<-x x ，0)2)(2(121>++x x ，又0>k ，∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <． ∴()f x 在)2,(--∞单调递增． （2）函数)(x f 有三个不同零点，即方程021=+b kx x ＋＋有三个不同的实根． 方程化为：⎩⎨⎧=++++->0)12()2(22b x k b kx x 与⎩⎨⎧=-+++-<0)12()2( 22b x k b kx x ． 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-．○1当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上． 由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点． 为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<⇔． ○2当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下． 由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点，)(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b v k k b --<⇔22． 综合○1、○2可得{|2k M b b k =<-．。
浙江省嘉兴市2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试卷Word版含解析
浙江省嘉兴市2017-2018学年下学期期中统一考试高一数学试卷一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合下列角中，终边在y轴非正半轴上的是（）A．B．C．πD．2．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣3．若点P（﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（）A．B．C．D．4．若cosθ﹣3sinθ=0，则tan（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣2 C．D．25．已知，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．6．已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．7．y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．y=1+sin（2x+）D．y=cos2x8．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=sin（2x﹣）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．011．设函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．3π12．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=45°，C=120°，b=2，则c=（）A．1 B．C．2 D．13．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°14．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根15．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．16．已知函数y=2cosx（0≤x≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（）A．4 B．8 C．2πD．4π17．在△ABC，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形18．函数y=e|x|•sinx的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．角度制与弧度制的互化：210°=；﹣．20．化简f（α）== ．21．将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x），g（x）的单调递减区间是．22．若锐角△ABC的面积为10，且AB=8，AC=5，则BC等于．三．解答题：（本大题共3小题，共31分）23．已知角α的终边过点（3，4）．（Ⅰ）求sinα，cosα的值；（Ⅱ）求的值．24．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．25．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．浙江省嘉兴市2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合下列角中，终边在y轴非正半轴上的是（）A．B．C．πD．【考点】G1：任意角的概念．【分析】直接写出终边落在y轴非正半轴上的角的集合得答案．【解答】解：终边落在y轴非正半轴上的角的集合为A={α|α=+2kπ}，取k=0，得α=．故选：D．2．化简sin690°的值是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．D．﹣【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式计算即可．【解答】解：sin690°=sin=﹣sin30°=﹣0.5，故选：B．3．若点P（﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得cosα即可．【解答】解：∵角α的终边上一点P（﹣3，4），∴|OP|==5，∴cosα==﹣，故选：A．4．若cosθ﹣3sinθ=0，则tan（θ﹣）=（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵cosθ﹣3sinθ=0，可得：tanθ=，∴tan（θ﹣）===﹣．故选：A．5．已知，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知的等式，求出tanα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，根据α∈（，），得到α的具体范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=﹣＜0，且α∈（，），∴cosα=﹣=﹣，α∈（，π），∴sinα==，则sinα+cosα=﹣=﹣．故选：C．6．已知sin（α）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．7．y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．y=1+sin（2x+） D．y=cos2x【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos2x 的图象；再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：A．8．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．9．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】由关于x轴的对称性可知，函数的增区间为函数的减区间，根据余弦函数的单调递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到所求函数的递增区间．【解答】解：由题意可知，的单调递减区间为（k∈Z），即2kπ≤﹣≤2kπ+π，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+π，则函数的单调递增区间是．故选D10．函数f（x）=sin（2x﹣）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【考点】HW：三角函数的最值．【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．【解答】解：由题意x∈，得2x∈，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选B．11．设函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．3π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】先由两角和的正弦函数公式求出函数解析式，即可由三角函数的周期性及其求法求值．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴T==2π，故选：C．12．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=45°，C=120°，b=2，则c=（）A．1 B．C．2 D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理直接求出边c即可．【解答】解：由题意得，B=45°，C=120°，b=2，则由正弦定理得，所以c==，故选：D．13．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【考点】HP：正弦定理．【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．14．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点．故选C15．已知sinα•cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜，时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α﹣sin α＜0， 设cos α﹣sin α=t （t ＜0），则t 2=1﹣2sin αcos α=1﹣=，∴t=﹣，即cos α﹣sin α=﹣．故选：D ．16．已知函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ） A ．4B ．8C ．2πD ．4π【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，作出y=﹣2的图象，容易求出封闭图形的面积．【解答】解：画出函数y=2cosx （0≤x ≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形如图：显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积的一半， =4π．故选D ．17．在△ABC ，已知acosA=bcosB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB 的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B ，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．18．函数y=e|x|•sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后通过函数的特殊点判断即可．【解答】解：函数y=e|x|•sinx，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、C，当x∈（0，π），函数y=e|x|•sinx＞0，函数的图象在第一象限，排除D，故选：A．二．填空题：（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．角度制与弧度制的互化：210°=；﹣﹣450°．【考点】G5：弧度与角度的互化．【分析】直接由180°=π换算得答案．【解答】解：∵180°=π，∴1，，则210°=210×=；．故答案为：；﹣450°．20．化简f（α）== ﹣cosα．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简f（α）的解析式，可得结果．【解答】解：f（α）===﹣cosα，故答案为：﹣cosα．21．将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x）=sin（2x+），g（x）的单调递减区间是（kπ+，kπ+），k∈Z ．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再利用平移变换可得g（x）的函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为g（x）=sin=sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得g（x）的单调递减区间是：（kπ+，kπ+），k∈Z．故答案为：=sin（2x+），（kπ+，kπ+），k∈Z．22．若锐角△ABC的面积为10，且AB=8，AC=5，则BC等于7 ．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用三角形面积计算公式与余弦定理即可得出．【解答】解：∵ bcsinA=sinA=10，解得sinA=，A为锐角．∴．∴a2=52+82﹣2×5×8cosA=49，解得a=7．故答案为：7．三．解答题：（本大题共3小题，共31分）23．已知角α的终边过点（3，4）．（Ⅰ）求sinα，cosα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由于角α的终边过点（3，4），可得 x=3，y=4，r=5，即可求出sinα，cosα的值；（Ⅱ）先化简，再代入计算求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的终边过点（3，4），∴x=3，y=4，r=5，∴sinα=，∵cosα=；（Ⅱ）==．24．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由图形可确定A，周期T，从而可得ω的值，再由f（）=2，得2×+φ=+2kπ（k∈Z），进一步结合条件可得φ的值，即可解得f（x）的解析式，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的图象和性质，由2x+=2kπ﹣（k∈Z），即可解得函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象可得A=2，最小正周期T=2（）=π，得ω=2，可得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+φ），又f（）=2，所以sin（+φ）=1，由于|φ|＜，可得φ=，所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由于2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为：（k∈Z），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）的最小值为﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣函数f（x）取最小值﹣2时，有2x+=2kπ﹣（k∈Z），可得：x=kπ﹣（k∈Z），所以函数f（x）取最小值﹣2时相应的x的值是：x=kπ﹣（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣25．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．。
浙江省嘉兴市第一中学高一下学期3月月考数学试题(含答案)
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C ．θcos ± D. 以上都不对 4．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝45-，则m 的值为（ A ） A ．12B.12±C. 12- D.以上都不对 5．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( A ) A ．－23 B ．－12 C.23 D .126．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ D ）A ．1 B.2πC. π2D. π 7．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( D ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数 8．对任意(0,)2a π∈,都有 （ D ）A.sin(sin )cos cos(cos )a a a <<B.sin(sin )cos cos(cos )a a a >>C.sin(cos )cos cos(sin )a a a >>D.sin(cos )cos cos(sin )a a a <<9.将函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 图象向左平移2π个单位，所得函数的图象与函数)(x f y =的图象关于x 轴对称，则ω的值不可能是 （ B ）A. 2B. 4C. 6D. 1010.函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 与x 轴正方向的第一个交点为)0,(0x ，若230ππ<<x ，则ω的取值范围为 （ B ） A. 21<<ω B.234<<ω C. 341<<ω D. 231<<ω 11.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( C )．A ．16B ．72C ．86D ．100 12.若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是 （ D ）A. βα>B. 0>+βαC. βα<D. 22βα>二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）13．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________()2sin(2)23f x x π=--14．已知cos sin 2cos sin αααα+=+，则ααα2cos 2cos sin 31-⋅+=_______________11015.函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如右图所示，则.________)3(=πf 116.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和1cos 2)(2-=x x g 的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为________.2 17.设)2(61)(,21sin )(-==x x g x x f π，则方程)()(x g x f =的所有解的和为_________.1018.若函数sin()3y A x πω=-(A>0,0ω>)在区间[]0,1上恰好出现50次最大值和50次最小值,则ω的取值范围是_______________599605,66ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 19．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα ②存在实数α，使23cos sin =+αα ③函数)23sin(x y +=π是偶函数 ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程 ⑤若βα、都是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >其中正确命题的序号是________________________________③④ 三、解答题（本大题共5小题,共43分）20．（本小题8分）(1)已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 (2) 已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：（1）34-（2）-4 21. （本小题8分）已知sin θ－cos θ＝12，求下列各式的值：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：（1）38 （2）1116 （3）233222. （本小题8分）如图，点)2,0(AP 是函数O-226π1211πyx yP)92sin(ϕπ+=x A y （其中))2,0[,0(πϕ∈>A 的图象与y 轴的交点，点Q 是它与x 轴的一个交点，点R 是它的一个最低点.(1)求ϕ的值；(2)若PR PQ ⊥,求A 的值.解：（1）56πϕ= （2）15A =23. （本小题9分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，x x f sin )(-=(1)作出)(x f y =的图象； (2)求)(x f y =的解析式；(3)若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为a M ，求a M 的所有可能的值及相应的a 的取值范围.解：（2）3sin ,42()cos ,4x x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩（3）当21-12a a =-≤或<时，2a M π= 当2a =34a M π= 当22a <--1<时，a M π=（1）O 1-12π23π2π-ππ-yx24. （本小题10分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠） （1）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围. 解：（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 换sin t x = 则2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下：①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π=故 (1,5)a ∈或12a =（2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8- 当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0k >时，2()g x 值域为1[,]2k k -②当0k <时，2()g x 值域为1[,]2k k -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩∴10k ≥或20k ≤-。
浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高一10月月考数学试卷 Word版含解析
嘉兴市第一中学2017-2018学年第一学期10月高一数学 阶段性试题一．选择题（共10个小题，每小题3分）1.已知2)(2++=px x x f 且,0)1(=f 则=-)1(f ( ) (A) 5 (B) -5 (C) 6 (D) -62.设函数b x a y +-=)12(是R 上的减函数,则 ( ) (A) 21≥a (B) 21≤a (C) a 21-> (D) 21<a 3.若)(x f 在[]5,5-上是奇函数,且)1()3(f f <,则必有 ( ) (A))1()0(f f > (B))3()1(-<-f f (C))1()1(f f <- (D))5()3(->-f f 4.已知集合P=,331|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x Q=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-312|x x .则集合P ⋃Q= ( ) (A) [)3,2- (B)(]3,2- (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡-3,31 (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 5.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走,余下的路程在下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合学生走法的是 ( )6.2:x x f −→−是集合A 到集合B 的映射,如果B={}2,1,那么B A ⋂只可能是 ( )(A){}2,1 (B){}1或φ (C){}2,2,1 (D){}17.已知{}{}01|,2,1=+=-=mx x B A ,若A B A =⋃,则实数m 的取值所成的集合是( )(A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1 (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,21 (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,0,1 (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,0,218．已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，则=)2(f ( ) (A) –26 (B) –18 (C) –10 (D) 10 9.设函数2()2()g x x x R =-∈，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则()f x 的值域是( ) (A)9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ (B)[0,)+∞ (C)9[,)4-+∞(D)9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦10.设f ()x 是定义在R 上的奇函数，且当2x 0f ()x x ≥=时，，若对任意的x [,2]t t ∈+， 不等式f (+t)2()x f x ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ( )(A))+∞ (B)[2,)+∞ (C)(02]，(D)[1][02]-，二．填空题（共7个小题，每小题4分）11 如下四个结论:①φφ⊆ ②φ∈0 ③{}0≠⊃φ ④{}φ=0，其中正确结论的序号为_________12 若函数[]b a x x a x y ,,3)2(2∈+-+=的图象关于直线1=x 对称,则________=b13 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(0)0()0(1)(2x x x x x f π,则()()()__________2016=-f f f14函数()x x y -=1的单调递增区间为_________________15.已知)(x f 是偶函数,当0<x 时,)1()(+=x x x f .则当0>x 时,)(x f = 16．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是___ -__．17. 已知定义在0+∞（，）上的函数f ()x 为单调函数，且2f ()(())2x f f x x+=，则f (1)_________.=嘉兴一中2016学年第一学期10月 高一数学 阶段性练习答题卷一．选择题(共10个小题，每小题3分)二．填空题(共7个小题，每小题4分)11 12 1314___________________ 15 1617三解答题(第18题6分、第19、20题8分，第21题10分，第22题10分) 18 .已知集合222{x |320},{|+2a 1)50}A x x B x x x a =-+==++-=（ (1)若A B={2},求实数a 的值； (2)若A B=A,求实数a 的取值范围；班级＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿ 考号＿＿＿＿＿＿＿ 密 封 线 内 不 准 答 题19已知函数)(1)(,21)(x g x x f x x x g +=++=（1）写出函数)(x f 的定义域 （2）求证.函数)(x f 在区间()+∞,0上是增函数20已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=1,21)(21,0)()(21x x f x x f x f ,其中1)21(2)(21+--=x x f 22)(2+-=x x f⑴在右边直角坐标系中画出)(x f y =的图象⑵写出)(x f y =的单调增区间⑶若.)(),(,21,001010x x f x f x x ==⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈求0x 的值21.已知函数22()1,0f (),.()1,0,x a x x a b R x b x ⎧--≥=∈⎨--+<⎩其中 (1)0()()a f x f x <当时，且为奇函数，求的表达式；当时，且在（）上单调递减，求的值.>-a f x a(2)0()-1,1b22.已知函数|21|21)(2a x x x f -++=，其中a 是实数. （1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为221a ，求a 的值.答案详解部分1【答案】C【解答过程】本题考查二次函数求值问题.解答本题时要注意根据的值确定参数，然后再求的值.因为，所以，所以，所以.故选C.2【答案】D【解答过程】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意利用一次函数的单调性，确定一次性系数的正负，得到参数取值范围.由题可得，,解得.故选D.3【答案】B【解答过程】本题考查函数的奇偶性.解答本题时要注意利用函数的奇偶性判断大小.因为函数是奇函数，所以满足，即.因为，所以，即.故选B.4【答案】B【解答过程】本题考查集合的并集运算.解答本题时要注意根据集合的并集运算求值计算.由题可得，PQ=.故选B.5【答案】D【解答过程】本题考查函数的概念与表达式.解答本题时要注意根据条件确定时间变换，确定图形.由题可得，因为他是先跑再走，所以后期花费时间较多，同时距离随着时间的变换而减小.故选D.【答案】B【解答过程】本题考查集合的交集运算.解答本题时要注意利用映射问题确定集合A，然后求交集.由题可得，结合映射可知，都有可能为集合A的元素.所以只可能是或.故选B.7【答案】D【解答过程】本题考查集合间的基本关系、并集运算.解答本题时要注意根据，确定集合，然后判断m的值.因为，所以，所以.所以有，解得.所以.故选D.8【答案】A【解答过程】本题考查函数的奇偶性.解答本题时要注意利用函数奇偶性，求值计算.因为是奇函数，所以，即.所以.故选A.9【答案】D【解答过程】本题考查函数的值域.解答本题时要注意，根据的大小关系，确定函数的【解答过程】式，并根据【解答过程】式求得函数的值域.由，解得，所以当，，所以此时的函数的值域为；当时，，所以此时函数的值域为.综上可知，函数的值域为.故选D.【答案】A【解答过程】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意利用函数是奇函数及函数的单调性，结合不等式恒成立问题建立关系，求解参数的取值范围.由题可得，时，显然不成立；当时，不等式可转化为.因为，所以.故选A.11【答案】①③【解答过程】本题考查集合间的基本关系.解答本题时要注意空集与集合之间的关系进行确认结论的准确性.由空集时任何集合的子集可知①正确，④错误，由空集不含任何元素可知②错误，由空集时任何非空集合的真子集可知③正确.所以正确结论的序号为①③.12【答案】2【解答过程】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据二次函数的对称性，确定的值.因为函数是二次函数，且图象关于直线对称，所以,解得a=0.因为，所以有，解得.13【答案】【解答过程】本题考查分段函数求值计算.解答本题时要注意结合复合函数的特点，由内而外分布计算.由题可得，,所以，所以.14【答案】【解答过程】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意将函数表示成分段函数的形式，然后利用二次函数的单调性确定函数的单调递增区间.因为，所以当时，，所以此时的单调递增区间为.当时，,所以此时无单调递增区间.综上可知，该函数的单调递增区间为.15【答案】【解答过程】本题考查函数的奇偶性.解答本题时要注意结合函数是偶函数的性质，求解函数的【解答过程】式.因为函数是偶函数，所以有.设，则，所以.所以当时,=.16【答案】【解答过程】本题考查一元二次不等式恒成立问题.解答本题时要注意结合不等式的特点及相应图象与x轴的交点情况进行处理求解.当时，不等式为恒成立，所以.当时，要使得不等式对一切恒成立，则该不等式相应的二次函数开口向下，且与x轴无交点.所以有且，解得.综上可知，.17【答案】【解答过程】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意利用函数的单调性，通过函数值关系建立关系，求值计算.设，则有，所以.又，即，即.因为函数是单调函数，所以.即，解得.18【解答过程】由解得，所以. (1)因为，所以，所以有，解得.(2)因为，所以，所以或或或.若，解得不存在；若，解得；若，解得不存在；若，则由，解得.综上可知，.【备注】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意(1)先确定集合A，然后利用交集确定，得到，由此确定实数；(2)利用，得到.然后根据条件，确定实数.19【解答过程】(1),∴定义域为,(2)任取,且,则,, ,.在区间上是增函数.【备注】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意(1)根据函数的【解答过程】式，确定函数的定义域；(2)利用函数的单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性.20【解答过程】解:(1)图(2)单调增区间(3)若,则.此时,【备注】本题考查函数的图象与性质及函数求值问题.解答本题时要注意(1)根据函数的【解答过程】式画出函数的图象；(2)结合函数的图象确定函数的单调递增区间；(2)通过代入法建立方程，求值计算.21【解答过程】(1)因为为减函数,所以,又因为,所以又时,则当所以所以的表达式为(2)因为在上单调递减,则有即,所以【备注】本题考查函数的奇偶性与单调性.解答本题时要注意(1)利用函数是奇函数的特性，确定参数的值，得到函数的【解答过程】式；(2)利用函数的单调性，解得参数的值，并计算结果.22【解答过程】(1)①当时,,有,所以为偶函数；②当时,,所以不是奇函数；又因为,而,即,所以不是偶函数；综上,当时,既不是奇函数也不是偶函数.(2)①若,即,当时,,故在上递增,所以,得.②若,即,当时,,故在上递减,所以,得或.③若,即,故在上递减,在上递增；所以,得.综上,或或或.【备注】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意(1)通过a的值，结合函数的奇偶性的判断方式确定函数的奇偶性.(2)利用分类讨论，结合a的取值范围，确定函数的【解答过程】式，利用函数的单调性，确定最小值，建立方程，求解常数a的值.嘉兴市第一中学2016学年度第一学期10月月考高一数学参考答案及评分标准一．选择题(共10个小题，每小题3分)二．填空题(共7个小题，每小题4分)11 ① ③ 12 2 13 12+π14____⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0_______________ 15 x x -216 (22]-，17 1三解答题(第18题7分，第19、20题8分，第21题9分，第22题10分) 18．（1）a 1a 3=-=-或 （2）a 3≤19已知函数)(1)(,21)(x g x x f x x x g +=++=⑴写出函数)(x f 的定义域 ⑵求证.函数)(x f 在区间()+∞,0上是增函数解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≠++≠+02102x x x ⎩⎨⎧-≠-≠⇒12x x ∴定义域为()()()+∞-⋃--⋃-∞-,11,22, 4分(2)11121)(1)(+++=+++=+=x x x x x x g x x f 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x < 则)1)(1()()111()111()()(21212121221121++++-=+++-+++=-x x x x x x x x x x x x x f x f ()0,0,2121<-∴+∞∈x x x x ,0)2)(1(212121>++++x x x x x x)()(21x f x f <∴. )(x f ∴在区间()+∞,0上是增函数. 8分20已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=1,21)(21,0)()(21x x f x x f x f ,其中1)21(2)(21+--=x x f 22)(2+-=x x f⑴在右边直角坐标系中画出)(x f y =的图象⑵写出)(x f y =的单调增区间⑶若.)(),(,21,001010x x f x f x x ==⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈求0x 的值解:(1)图 3分 (2)单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 5分(3)若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,00x ,则1)21(2)(2001+--==x x f x .此时1211<≤x0202011)21(421)21(2222)(x x x x x f =-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=+-=∴01x 4=0154020=+-∴x x 0)14)(1(00=--∴x x ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,00x ,410=∴x 9分22.解（Ⅰ）①当21=a 时，||21)(2x x x f +=，有)()(-x f x f =，所以)(x f 为偶函数； ②当21≠a 时，0|21|)0(≠-=a f ，所以)(x f 不是奇函数； 又因为2)12(21)1-2(-=a a f ，而|21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=， 即)12()2-(1-≠a f a f ，所以)(x f 不是偶函数；综上，当21≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数. ………… 6分 （Ⅱ）①若112-≤-a ，即0≤a ，当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=， 故)(x f 在]1,1[-上递增，所以=-=-=a f x f 221)1()(min 221a ，得52--=a .②若112≥-a ，即1≥a ，当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=，故)(x f 在]1,1[-上递减，所以=+-==a f x f 223)1()(min 221a ， 得1=a 或3=a .③若1121<-<-a ，即10<<a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a a x a x a x x f故)(x f 在]12,1[--a 上递减，在]1,1[2-a 上递增； 所以22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=，得31=a . 综上，52--=a 或31=a 或1=a 或3=a . …………………。
【高中数学】平凡恒等式
平凡恒等式在含绝对值的问题中，有一类恒等式，被称为平凡恒等式。
什么是平凡恒等式呢？平凡恒等式：a,a b a b a b max{a,b}b,a b 2≥++-⎧==⎨<⎩a,a b a b a b min{a,b}b,a b 2≤+--⎧==⎨>⎩几何意义：a b a b 2++-为数轴上表示a ，b 的两点中右边的点，就较大者a b a b2+--为数轴上表示a ，b 的两点中右边的点，就较大者平凡恒等式加强版：a b a bmax{a ,b}2++-=证明：a b a ba b a b a b 0,=max{a,b}=max{a ,b}22++-++-+≥=若则a b a ba b a b a b 0,=max{a,b}=max{a ,b}22++---+-+≤=--若则例1.设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x ++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-【详解】法①221148x x ax x x x++-+- 恒成立，即为22118(4)x x a x x x++-+- 恒成立，当0x >时，可得221184a x x x x x -++-+ 的最小值，由2222118118828++-+++-+=+=x x x x x x x x x x x x ，当且仅当2x =取得最小值8，即有48a - ，则4a - ；当0x <时，可得221184[a x x x x x --++-- 的最大值，由22118828x x x x x x x -++----- ，当且仅当2x =-取得最大值8-，即有48a -- ，则12a ，综上可得412a - ．故选D ．法②：即22114422x x a x x x ++--≥-即214max{x ,}42a x x -≥-然后用图像易得4a 442--≤≤故412a - ．故选D ．注：很明显，方法②比方法①简单的多得多，平凡恒等式的优势体现出来了。
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嘉兴市第一中学2017学年第二学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．点睛：本题考查三角函数的定义，属容易题，解题的关键是记准余弦函数的定义．2. 等比数列中，，则的前4项和为（）A. 48B. 60C. 81D. 124【答案】B【解析】分析：根据条件求出等比数列的首项和公比，然后再求前4项和．详解：设等比数列的公比为，由题意得，∴，∴，∴数列的前4项和．故选B．点睛：本题考查等比数列基本量的运算，解题时要分清等比数列中各个量之间的关系，然后根据公式求解．3. 将函数的图像向右平移个单位，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据图象变换得到变换后的解析式，与对照可得的值．详解：将函数的图像向右平移个单位，所得图象对应的解析式为；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的解析式为．又函数解析式为，∴．故选D．点睛：三角函数图象变换中应注意的问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝A sin x到y＝A sin(x＋φ)的变换量是个单位，而函数y＝A sinωx到y＝A sin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．4. 已知中，分别是角的对边，，则等于（）A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】分析：根据正弦定理求解，解题时要注意解的个数的讨论．详解：在中，由正弦定理得，∴．又，∴，∴或．故选A．点睛：在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以对解答此类问题时要进行分类讨论．5. 已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据累加法求得数列通项的表达式，然后逐一验证可得结果．详解：∵，∴，∴，，……，，，将以上个式子两边分别相加可得，∴．又满足上式，∴．故选项A，B不正确．又，故选项C不正确，选项D正确．故选D．点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得后需要验证时是否满足通项公式．6. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】A..............................7. 已知等差数列中，，，则使成立的最大的值为（）A. 97B. 98C. 99D. 100【答案】B【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值．详解：设等差数列的公差为，则，∴，∴，∴，∴．由，解得，又，∴，∴最大的值为98.故选B．点睛：用裂项法求和的注意点：（1）将数列裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项后一般的规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．8. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，则等比数列的公比（）A. 可以取无数个值B. 只可以取两个值C. 只可以取一个值D. 不存在【答案】C【解析】分析：按照公比和两种情况分别求出数列的前项和为，然后通过验证可得公比的取值情况．详解：①当时，．∵数列为等差数列，∴，即，上式成立，故符合题意．②当时，．∵数列为等差数列，∴，即，整理得，由于且，故上式不成立．综上可得只有当时，为等差数列．故选C．点睛：在运用等比数列的前项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．9. 在中，分别是角的对边，若，则的值为（）A. 1008B. 1009C. 2017D. 2018【答案】C【解析】分析：由条件及正弦定理可得，再由余弦定理可得，可得，然后再利用同角三角函数的基本关系化简所要求的式子后可得结果．详解：由及正弦定理得．由余弦定理得，∴．∴．故选C．点睛：解答本题的关键是从所给的条件及所求的式子中找到解题的思路，合理的运用正弦定理、余弦定理和同角三角函数关系将问题逐步转化，以达到求解的目的．10. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )A. 若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”B. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比【答案】C【解析】分析：根据“和有界数列”的定义对给出的各个选项逐一分析可得结论．详解：对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时，，当时，，则不是“和有界数列”，故A不正确．对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，当时，，则不是“和有界数列”，故B不正确．对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，故，则是“和有界数列”，故C正确．对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确．故选C．点睛：本题属于新定义问题，解题时要通过阅读、理解所给的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主要考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力．如在本题中要根据给出的“和有界数列”得概念对所给选项逐一分析、排除，然后得到所求．二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。
11. 已知，则_________.【答案】.【解析】分析：将所给条件根据诱导公式化简后再根据同角三角函数关系求解．详解：∵，∴，即，∴．点睛：本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，属容易题，解答的关键是正确记忆有关公式并能熟练地应用．12. 等比数列中，是方程的两根，则______.【答案】.【解析】分析：先由根与系数的关系求得，再根据等比数列的性质求得和后可得结果．详解：∵是方程的两根，∴，∴．又数列为等比数列，∴，∴，∴．点睛：（1）在等比数列的运算中要注意下标和性质的灵活运用，即若，则，应用此结论可使得运算简化．（2）在等比数列中，下标为奇数的项的符号一致，下标为偶数的项的符号一致，解题时注意这一隐含条件，求等比数列的项时避免出现符号方面的错误．13. 如图是函数的部分图象，已知函数图象经过两点，则__________．【答案】 .【解析】分析：先根据图象得到函数的周期，从而得到，然后再根据“五点法”及点P的坐标得到的取值．详解：由图象可得，∴，∴，∴．根据题意得，解得．点睛：（1）的确定：结合图象，先求出周期，然后由来求出的值；（2）的确定：方法①（五点法）：由函数最开始与x轴的交点(最靠近原点)作为“第一点”，然后确定出“第二点”、“第三点”等，再根据图象中给出的特殊点的坐标代入后与相应的点对应，求出的值即可．方法②（代点法）：将条件中给出的最（低）高点对应的坐标代入解析式，然后解三角方程可得的值．14. 在中，分别是内角所对的边，若，则____. 【答案】.【解析】分析：先根据三角形的面积求出，再根据余弦定理求．详解：由题意得，，∴，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴．点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的边、角后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．【答案】28.【解析】分析：先根据数列是等积为8的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得．详解：由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，∴，即，∴．同理可得，……∴数列是周期为3的数列，∴．点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．16. 数列满足，则_____.【答案】.【解析】分析：根据数列的递推关系推导出数列和的通项公式后进行求解即可．详解：由条件得，又，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，∴．又由条件得，且，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．∴，，∴．点睛：本题考查数列的递推关系的运用，解答此类问题时要掌握由递推公式求通项公式的基本方法，即先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想将问题进行转化，借此来解决递推数列的问题．17. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若对数列，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】.【解析】，因为，则，所以，所以，即的取值范围是。
点睛：本题考查数列的单调性。
数列的单调性主要体现在其函数形式的单调性，但差别是数列为其中的点集，所以要注意差异性。
本题首先考查数列的化简，为函数，结合点集的特点，通过图象得到答案。
三、解答题：本大题共5小题，共49分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 已知函数，（1）求；（2）求的最大值与最小值.【答案】(1)1.(2) 有最大值；有最小值.【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角的三角函数求解即可；（2）利用两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，由，求得，结合正弦函数的图象，利用正弦函数的单调性可得的最大值与最小值.试题解析：（1），所以（2）.因为，所以.又因为在区间上是递增，在区间上递减.所以，当，即时，有最大值；当，即时，有最小值.19. 单调递增的等差数列的前项和为，，且依次成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】（1）.(2) .【解析】分析：（1）根据条件求得等差数列的公差，进而可得数列的通项公式．（2）由（1）可得到，所以可利用错位相减求数列的前项和为．详解：（1）设等差数列的公差为．由题意可知，∴，解得或，∵数列单调递增，∴，∴.（2）由（1）可得．∴，①∴，②①②得，∴ .点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．20. 如图,正三角形的边长为，分别在三边上，且为的中点，.（1）若，求的面积；（2）求的面积的最小值，及使得取得最小值时的值.【答案】(1) .(2) 当时，.【解析】分析：（1）当时，为直角三角形，可得；为等边三角形，故，由此可得直角的面积．（2）在和中，分别由正弦定理得到，，然后根据直角三角形的面积公式可得，结合的范围可得所求．详解：（1）当时，∵，∴，∴为直角三角形，∴．又由条件可得为等边三角形，∴．∴的面积．（2）在中，由正弦定理得,∴．同理在中，由正弦定理得．∴的面积，∴时，的面积有最小值，且．点睛：（1）三角形的面积经常与正弦定理、余弦定理结合在一起考查，首先求出三角形的边或角，然后再根据面积公式求解．（2）求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得其最值或范围．21. 设数列的前项和为，它满足条件，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是一个单调递增数列，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) 或.【解析】分析：（1）根据与的关系消去可得，从而得到数列是等比数列，进而可求得数列的通项公式．（2）由条件得，又数列单调递增，故，即对恒成立．然后分和两种情况考虑，分别求出实数的取值即可得到所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴，即，又，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2）由条件得，∵数列是单调递增数列，∴恒成立，即对恒成立．①当时，，∴对恒成立，∴对恒成立，∵，且，∴．②当，∴对一切恒成立，∴对恒成立，令，则单调递增，∴，∴又，∴．由①②可知或．∴实数的取值范围是．点睛：（1）根据与的关系求数列的通项公式时，利用是解题的关键，运用此结论时要注意使用的条件为．（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质．22. 已知数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）当是奇数时，证明：；（3）证明：.【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.【解析】分析：（1）由可得，由此可得数列为等比数列．（2）结合（1）中所得的数列的通项公式，利用放缩法证明即可．（3）根据（2）中的结论分为偶数和为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立．详解：（1）∵∴，又，∴数列是首项为，公比为2的等比数列．(2)由（1）可知故．当是奇数时，．(3)由（2）可知，当为偶数时，，∴．当为奇数时，，且，∴．综上可得．点睛：（1）证明数列为等比数列时，除了证明或为常数外，还要说明数列的首项不为零，这一点要特别注意．（2）对于数列的通项公式中含有或的情形，往往要分为为偶数和为奇数两种情况分别求解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式．（3）解题时注意数列中放缩的技巧．。