高二数学第二章§33.2双曲线的简单性质应用创新演练北师大版选修11
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2双曲线的简单性质》
§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。
双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。
本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。
双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。
通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。
双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。
本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。
学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。
本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。
在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。
三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。
（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。
（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。
（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。
2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。
3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。
教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。
教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。
教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。
高二数学学案 3.2.2双曲线的方程和性质的应用
课前案问题引领一、与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝⎛⎭⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝ .(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为 ，到右焦点的最小距离为 .二、直线与双曲线的位置关系直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.目标导航1、熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率、通径、焦点三角形面积等）。
2、会求与双曲线有关的轨迹问题。
3、会判断简单的直线与双曲线的交点个数。
路径导学例1：过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．式练习：过点(0,2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．(2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．思维导图课后案A组1.双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F（﹣3，0），M（0，4），点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A．32BC．2D．32.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3F PF PF PF∠=︒=，则C的离心率为（）ABCD3.若曲线224x y-=与直线()23y k x=-+有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______．4.已知A，B两点的坐标分别是()60-，，()60，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是29，则点M的轨迹方程为________________________。
高中北师大版数学选修2-1学案：3.3.2 双曲线的简单性质 含答案
3.2 双曲线的简单性质知识点 双曲线的简单性质[填一填]设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其简单性质如下： (1)双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴的轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)都在两条平行直线x ＝－a 和x ＝a 的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线与它的对称轴的交点A 1(－a,0)，A 2(a,0)叫作双曲线的顶点．显然顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长度等于2a .设B 1(0，－b )，B 2(0，b )为y 轴上的两个点，我们把线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长度为2b .a 为实半轴长，b 为虚半轴长．(4)c a ＝e 叫作双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率，因为c >a >0，所以e ＝c a >1.b a 决定双曲线的开口大小，ba 越大，双曲线的开口就越大．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .[答一答]1．等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e ＝2，渐近线方程为y ＝±x .2．双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e ＝ca ，但因c >a ，所以e >1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小．1．关于双曲线的几何性质的几个方面：(1)双曲线的对称性与椭圆的对称性完全相同，并且含对称中心的区域称为双曲线的内部．(2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同．(3)利用双曲线的渐近线，可以帮助我们准确地画出双曲线的草图．具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．(4)根据关系式：c 2＝a 2＋b 2，b 2a 2＝e 2－1，e ＝ca ，可知在a ，b ，c ，e四个参数中，已知其中两个就可求得另外两个．(5)若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的倾斜角为α(0<α<π2)，则cos α＝a c ＝1e ，即e ＝1cos α.(6)抛物线和双曲线的一支的区别：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．2．两条特殊双曲线： (1)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1是一对共轭双曲线．共轭双曲线有公共的渐近线，且焦点在以中心为圆心，半焦距c 为半径的圆上．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的共轭双曲线方程 ，只需将方程中的“1”改为“－1”即可．(2)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，叫作等轴双曲线，方程记为x 2－y 2＝a 2.所有的等轴双曲线的渐近线方程均为y ＝±x ，并且离心率e ＝ 2.特别地xy ＝1是一条等轴双曲线．3．关于双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有以下几个结论： (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，则双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)；(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)；(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)． 利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度．类型一 由双曲线的性质求标准方程【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．【思路探究】 由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2， 解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝1.∴双曲线的标准方程为：x 23－y 2＝1.规律方法 根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝23，4a2－6b2＝1⇒⎩⎨⎧a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得⎩⎨⎧a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.类型二 双曲线的渐近线【例2】 求过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程．【思路探究】 由于双曲线x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．【解】 方法1：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，将(2，－2)代入方程，得b 2＝－2(舍)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，将(2，－2)代入方程，得a 2＝2，故所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.方法2：因为与双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入方程，得λ＝－2.所以双曲线的方程为x 22－y 2＝－2， 即y 22－x 24＝1.规律方法 求解双曲线的方程主要依据双曲线的焦点所在的坐标轴，设双曲线的方程．或者利用与已知双曲线有公共渐近线的双曲线系较为方便．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：当双曲线的焦点在x 轴上时，由⎩⎨⎧ b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1； 当双曲线的焦点在y 轴上时，由⎩⎨⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝18，a 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 218＝1.综上可知，所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1. 类型三 求双曲线的离心率【例3】 求符合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .【思路探究】 由题设条件直接求a ，c 的值或把ca 作为整体转化为e 的方程，解方程求之．【解】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132；若焦点在y 轴上，则a b ＝32， 即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133.综上，双曲线的离心率为132或133. (2)如图所示，∠AF 1B ＝90°，∴|F 1F 2|＝12|AB |. ∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2a 2， ∴2e ＝e 2－1.即e 2－2e －1＝0， ∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍)． ∴离心率为1＋ 2.(3)方法1：由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得 16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 即e ＝ca ，有e ＝1x .∴e ＝233或e ＝2.∵0<a <b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，∴离心率为2.方法2：依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c ，即ab ＝34c 2. ∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0. ∴3(b 2a 2)2－10b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3. 又0<a <b ，∴b 2a 2＝3. ∴e ＝1＋b 2a 2＝2.方法3：如图，设A (a,0)，B (0，b )，则|AB |＝c .令∠BAO＝α，则cosα＝a c＝1e，sinα＝34ca＝34e.又sin2α＋cos2α＝1，∴316e2＋1e2＝1，即3e4－16e2＋16＝0.∴e2＝43或e2＝4，即e＝233或e＝2.又0<a<b，∴ba>1，∴e＝1＋b2a2> 2.∴离心率e＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的第(3)小题中，要注意条件0<a<b对离心率的限制，保证题目结果的准确性．(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为(C)A. 2B. 3C．2 D.4(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率为(D)A. 6B. 5C.62 D.52解析：(1)因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中c＝2.又双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，所以a＝1.故该双曲线的离心率e＝ca＝2.(2)设过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－ba x ， ∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b .方法1：设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.方法2：e 2＝b 2a 2＋1＝14＋1＝54，故e ＝52.——多维探究——巧妙运用双曲线的标准方程及其性质通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．【例4】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【思路分析】 第1步：求出双曲线的焦点坐标； 第2步：根据双曲线的定义求a ，b .【解析】 方法1：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.方法2：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【答案】 y 24－x 25＝1规律方法 求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线方程，再根据另外一个条件求出这个系数．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则它的一条渐近线方程为( D )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3x －1C ．y ＝－3x ＋1D.y ＝3x解析：由x 2a 2－y 23＝1，可知虚半轴长b ＝3，而离心率e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，解得a ＝1.故渐近线方程为y ＝±3x .1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( A )A.53B.43C.54D.32解析：由已知得b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝53.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：由题意知，焦距为10，∴c ＝5， 又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5， 故双曲线方程x 220－y 25＝1.3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )A. 5 B ．4 2 C ．3D.5解析：由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5. 双曲线的一条渐近线为y ＝52x . ∴d ＝353＝ 5.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为2.解析：由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c2a 2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.经检验符合题意．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .求双曲线E 的离心率．解：∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， ∴ba ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.。
高中数学北师大版选修2-1 3.3.2双曲线的简单性质 课件(35张)
)
答案 :A 【做一做 3-2】 双曲线的离心率为 2,则双曲线的两条渐近线 的夹角是 . 解析 :由
������ ������
= 2,
2 2 2
������ + ������ = ������ , 故两条渐近线的夹角为 90° . 答案 :90°
得 a=b,则渐近线方程为 y=± x.
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【做一做 3-3】 求双曲线 16x2- 9y2=-144 的实半轴长和虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程. 解 :把方程 16x -9y =-144 化为标准方程
������2 ④与������2 ������2 − 2 =1 共渐近线的双曲线的方程可设为 2 ������ ������ ������2
−
������2 ������
2=λ(λ≠0).
-9-
������2 ������2 【做一做 3-1】 双曲线 − =1 的渐近线方程是( 9 16 3 4 A.y=± x B.y=± x 4 3 5 3 C.y=± x D.y=± x 3 5 ������ ������ 3 解析 :渐近线方程为 ± =0,即 y=± x. 3 4 4
������2 ������2 B. − =-1 16 25 ������2 ������2 D. − =-1 16 9
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北师大版高中数学(选修2-1)3.2《双曲线的简单性质》word教案
§3.2双曲线的简单性质设计人：赵军伟 审定：数学备课组【学习目标】1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念．【学习重点】理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念【学习难点】掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题【复习旧知识】1.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【学习过程】一、通过图像研究双曲线的简单性质： ①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >） 【应用举例】例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材第83页习题。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3 双曲线 3.2 双曲线的简单性质实用课件 北师大版选修11
求双曲线的离心率
[例 3] 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的 四边形中，有一个内角为 60°，求双曲线 C 的离心率．
利用双曲线的性质求双曲线方程 [例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为 16，离心率为54； (2)双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( 3，0)． [思路点拨] 由双曲线的几何性质，列出关于 a，b，c 的方程， 求出 a，b，c 的值．
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)．由题意知 2a＝16，ac＝54，c2＝a2＋b2，
3.2
第 §3
二
双 曲
双曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线的
章 线 简单
性质
理解教材新 知
把握热点考 向
应用创新演 练
考点一 考点二 考点三
§3
双曲线
3．2 双曲线的简单性质
如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心 (ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这个 双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心．它 的形状就像一条双曲线．
这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更好的为 生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．
A.12
B.
2 2
C．1
D. 2
解析：双曲线 x2－y2＝1 的渐近线为 x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，
故顶点到渐近线的距离为 22，故选 B.
答案：B
2．求双曲线 16x2－9y2＝－144 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、 离心率和渐近线方程．
解：把方程化为1y62 －x92＝1， ∴a＝4，b＝3，c＝5. ∴实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3， 焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率 e＝ac＝54， 渐近线方程为 y＝±43x.
高中数学北师大选修1-1课件：第2章 §3 3.2 第1课时 双曲线的简单性质
得以理解．(以双曲线
∵
e
∴e越大，渐近线
= c (a>0,b>0)为例) 斜率a 的绝对值越大，即
越大，
这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．
由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
x2 a2
-
y2 b2
=
1
b=
c2 - a2 =
e2 - 1(e＞1),
a
a
y= ? bx
b
a
a
3.等轴双曲线
x2 + y2 = 1 16 9
5. 4 x2 y2 - =1 16 4
y = ? 3 x. 2
(3 2，2).
【解题探究】1.离心率在求双曲线标准方程中的作用是什
么？
2.给定双曲线的渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？
探究提示：
1.已知离心率 的值，可根据
求得a,b的关
系，再根据题目条件求得a,b,c中任一量的值即可写出标准
x2 - y2 = 1.
64 36
y2 x2
- = 1.
64 36
x2 - y2 = 1
y2 x2 - = 1.
64 36
64 36
(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 (a＞0,b＞0)，
由x2题－意y，2 得= 1 解得 所当(aa＞2以焦0焦点,bb点在2＞在y0轴)x,轴上ìïïïíïïïî上时2ba的，a==双设236曲所，, 线求的双标曲准线a方的程标3,为准b 方 92程.为
y = ? 2 x. 3
类型二 利用几何性质求标准方程
【典型例题】
1.已知双曲线 (a>0,b>0)和椭圆
北师大版高中数学选修第二章§双曲线的简单性质应用创新演练
【三维设计】高中数学 第二章 §3 3.2 双曲线的简单性质应用创新演练 北师大版选修1-11．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.答案：C2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A3．(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.答案： C4．中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1,3)，离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 22＝1D.y 28－x 28＝1 解析：由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，∴a ＝b .设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， ∴12－32＝λ，即λ＝－8， 故双曲线方程为y 28－x 28＝1.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c ＝4. 又e ＝ca＝2，∴a ＝2. ∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴b ＝2 3. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 答案：(－4,0)和(4,0)，y ＝±3x6．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．解析：由题意k <0，且a ＝2，c ＝4－k ， ∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)7．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a2＝2即a 2＝b 2.① 又过点P (3，－5)有：9a2－5b2＝1，②由①②得：a 2＝b 2＝4， 双曲线方程为x 24－y 24＝1，若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2， ① 5a2－9b2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2， 半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴1MF ·2MF ＝0. 法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )，∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。
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【三维设计】高中数学 第二章 §3 3.2 双曲线的简单性质应用
创新演练 北师大版选修1-1
1．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为
( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.
答案：C
2．双曲线mx 2
＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14
B ．－4
C ．4
D.14
解析：双曲线标准方程为：y 2
－x 2
－
1m
＝1，
∴a 2＝1，b 2
＝－1m
.
由题意b 2＝4a 2
，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.
答案：A
3．(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于
( )
A.314
14
B.32
4
C.3
2
D.43
解析：由题意知c ＝3，故a 2
＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32
.
答案： C
4．中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1,3)，离心率为2的双曲线的标准方程为
( )
A.x 24－y 24＝1
B.y 24－x 24＝1
C.x 28－y 2
2
＝1
D.y 28－x 2
8
＝1 解析：由离心率为2，∴e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a
2＝2，∴a ＝b .
设其方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)， ∴12
－32
＝λ，即λ＝－8， 故双曲线方程为y 28－x 2
8＝1.
答案：D
5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点相同，那么双曲线
的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c ＝4. 又e ＝c
a
＝2，∴a ＝2. ∴b 2
＝c 2
－a 2
＝12，∴b ＝2 3. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 答案：(－4,0)和(4,0)，y ＝±3x
6．双曲线x 24＋y 2
k
＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．
解析：由题意k <0，且a ＝2，c ＝4－k ， ∴1<
4－k
2
<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P (3，－5)，离心率为2；
(2)与椭圆x 29＋y 2
4＝1有公共焦点，且离心率e ＝5
2.
解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
∵e ＝2，∴c 2a
2＝2即a 2＝b 2
.
① 又过点P (3，－5)有：9a
2－5
b
2＝1，
②
由①②得：a 2＝b 2
＝4， 双曲线方程为x 24－y 2
4＝1，
若双曲线的焦点在y 轴上，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
同理有：a 2
＝b 2
， ① 5
a
2
－9
b
2＝1，
②
由①②得a 2
＝b 2
＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 2
4＝1
(2)由椭圆方程x 29＋y 2
4＝1，
知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2， 半焦距c 1＝a 2
1－b 2
1＝5，
所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝5，c 2
＝a 2
＋b 2
，c a ＝52
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
即双曲线方程为x 2
4
－y 2
＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2
－y 2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝
m 3＋23，k MF 2＝m
3－23
，
k MF 1·k MF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
.
∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，m 2
＝3，
故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴1MF ·2MF ＝0. 法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，
2MF ＝(23－3，－m )，
∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2
＝－3＋m 2
.
∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2
－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，
△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。