标量衍射理论角谱及其传播
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11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射
即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)
exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
标量衍射的角谱理论
6
按传播距离划分衍射区
1 9 0 6
7
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 角谱衍射理论导菲涅耳公式（
1 9 0 6
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z >> x0max + y0max
13
夫琅和费衍射举例（ 夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
函数的分布可知， 由 sin c 函数的分布可知 ， 每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 λz l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 大得多， 为 f 0 λz ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d = 1 f 0 小得多，那么三个函数（主瓣） 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 交叠，那么平方时不存在交叉项，
及
2 2 z >> xmax + ymax
因而 λ f x = cos α ≈
x x0 y y0 << 1, λ f y = cos β ≈ << 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项， 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2
jλr ∞
在傍轴近似下，并利用二项式近似 在傍轴近似下，并利用二项式近似
) K (θ ≈1
r = z +(x x0 ) +(y y0 )
按传播距离划分衍射区
1 9 0 6
7
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 角谱衍射理论导菲涅耳公式（
1 9 0 6
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z >> x0max + y0max
13
夫琅和费衍射举例（ 夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
函数的分布可知， 由 sin c 函数的分布可知 ， 每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 λz l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 大得多， 为 f 0 λz ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d = 1 f 0 小得多，那么三个函数（主瓣） 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 交叠，那么平方时不存在交叉项，
及
2 2 z >> xmax + ymax
因而 λ f x = cos α ≈
x x0 y y0 << 1, λ f y = cos β ≈ << 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项， 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2
jλr ∞
在傍轴近似下，并利用二项式近似 在傍轴近似下，并利用二项式近似
) K (θ ≈1
r = z +(x x0 ) +(y y0 )
10标量衍射的角谱理论
进而可以表示为
H
fx, fy
exp jkz
1 λfx 2 λf y2 0fFra bibliotek2 x
f
2 y
1 λ2
其他
因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限
的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递
函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响
对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息， 在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携 带信息的能力是有限的
角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量 之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加 了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U (x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
U (x, y, z)
可以分别记作
U (x, y,)
A(cos
, cos
,) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
U (x, y, z)
A(cos
, cos
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
exp{ j[ f x (x x ) f y ( y y )]}df x df y dxdy
上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按 照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做 个直观的说明
2.2 角谱传播2010
讨论： 讨论：
(1) 当 cos 2 α + cos 2 β < 1 时,
1 − cos 2 α − cos 2 β
是实数. 是实数
对于某一确定的(α β 该式表示沿空间某一确定方向传 对于某一确定的 α,β), 该式表示沿空间某一确定方向传 播的平面波. 取不同值时, 播的平面波 当(α,β)取不同值时 该式表示光场中各个角 α β 取不同值时 谱分量的传播情况. 谱分量的传播情况
§2.2
衍射的角谱理论
2.2.1 单色平面波与本征函数 平面上的复振幅分布为： 在 z=0 平面上的复振幅分布为： exp j 2π ( f x i x + f y i y ) = exp [ j 2π ( ux + vy ) ]
cos β cos α x+ y = exp j 2π λ λ
λ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z0 )
2.2.2 角谱的传播
x0 y0
U 0 ( x0 , y0 ;0)
xy
U z ( x , y; z )
Az ( cos α cos β , ; z)
平面波角谱的传播
A0 ( cos α cos β , ;0)
z
λ
λ
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) =
z=z
λ
λ
−∞ −∞
∫∫
∞ ∞
(
( 1 − (λ u) − (λ v ) )
2 2
)
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 和 分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为： 数的频谱，传递函数为：
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
信息光学Chap.2-衍射理论-角谱及其传播
U (x, y, z)
A(cos
,
, z) exp[ jp (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
代入亥姆霍兹方程 (2+k2)U(x,y,z)=0, 并交换积分和微分的顺序
(2
复振幅分布的角谱
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y):
第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0)
U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第二部分 衍射理论
一、衍射 二、角谱理论
一、衍射
衍射规律：是光波传播的基本规律； 基尔霍夫的衍射理论：是描述光波传播规律的 基本理论； 光波作为标量的条件:
一、衍射
1、衍射的概念：
1）索末菲的定义：“不能用反射或折射来解释的 光线对直线光路的任何偏离”，是对现象的描述；
2）惠更斯-菲涅尔原理：把光波在传播过程中波面 产生破缺的现象；是对圆孔、单缝等衍射现象解释 而提出；
球面 子波源
U (P)
c
U (P0 )K ( )
e jkr r
ds
源点
源点处的面元法线
所考虑的传播方向与面元法线的夹角 源点到场点的距离
场点
原波阵面 成功: 可计算简单孔径的衍射图样强度分布.
局限:难以确定K( ).无法引入-p /2的相移
2)基尔霍夫衍射公式
在单色点光源照明平面孔径的情况下: 惠-菲原理
A(cos , cos , z)
2 标量衍射理论
第二章 标量衍射理论 （Scalar diffraction theory）
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
r = z x- x y - y
x- x y- y 忽略倾斜因子的变化后，就可以 z z z \把光波过一个线性不变系统。
U ( x, y ) = U ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )dx0 dy0
近似条件 当
j =
2p x - x0 y - y 0 8z 3
2
2 2
x - x0 2 y - y0 2
即
取最大值时，Δj<<2pz3来自1 8x - x
0
2
y - y0
2 2 max
充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现
2 f 2
其
1 λ2 他
等价于低通滤波器，截止频率1/
基尔霍夫理论 空域 角谱理论 频域 平面波 球面子波 系统的脉冲响应：球面子波在观 察平面上的复振幅分布
系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换
三、孔径对角谱的影响
入射到孔径平面的光场
U i ( x0 , y0 )
衍射屏的复振幅透过率 t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场
衍射
l Sommerfeld定义
标量衍射理论（ scalar diffraction theory）的适用范围
电场的偏振性可以忽略，（ 傍轴近似paraxial aproximation）.
以Kirchhoff衍射公式讨论衍射问题，并 利用线性系统理论赋予新的解释。
r = z x- x y - y
x- x y- y 忽略倾斜因子的变化后，就可以 z z z \把光波过一个线性不变系统。
U ( x, y ) = U ( x0 , y0 )h( x - x0 , y - y0 )dx0 dy0
近似条件 当
j =
2p x - x0 y - y 0 8z 3
2
2 2
x - x0 2 y - y0 2
即
取最大值时，Δj<<2pz3来自1 8x - x
0
2
y - y0
2 2 max
充分但非必要条件 在一般问题中，菲涅尔衍射很容易实现
2 f 2
其
1 λ2 他
等价于低通滤波器，截止频率1/
基尔霍夫理论 空域 角谱理论 频域 平面波 球面子波 系统的脉冲响应：球面子波在观 察平面上的复振幅分布
系统的传递函数：脉冲响应的傅 立叶变换
三、孔径对角谱的影响
入射到孔径平面的光场
U i ( x0 , y0 )
衍射屏的复振幅透过率 t ( x0 , y0 ) 衍射屏后表面光场
chap2标量衍射的角谱理论
U ( x, y, z) U0 ( x0 , y0 ,0)e
(4)式：
jkz
x d f y dx0 dy0
e U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e jz
(5)式：
j
[( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] z dx
U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e
当： 1
2
j
2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] x 0 y 0 e df
x d f y dx0 dy0
f x2 2 f y2
df x df y
, A( f x , f y , z) A( cos
2012
cos
, z)
角谱的传播
• z=0平面上
U ( x, y,0) A( f x , f y ,0)e
j 2 ( xf x yf y )
df x df y
• z=z平面上
U ( x, y, z ) A( f x , f y , z )e
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] e z ]dx0 dy0
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] U 0 ( x0 , y0 ,0)e z dx0 dy0 2012
平面波角谱衍射理论
• 由平面波角谱衍射理论得到的精确表达式：
j 2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] e x 0 y 0 df
a0 jkr e r •平面波的复振幅表示 U (P) ae jk r
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（续）
平面波的复振幅（三维空间）：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
常量振幅 线性位相因子
平面波的复振幅 (在与原点相距为 z 的平面上):
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
U ( x, y, z )
A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分 布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱 练习: P47, 2.2
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j
单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0) cos cos f ; f 第五步: 利用 x 将 A(fx, fy, 0)改写成角谱 y l l
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向(,)的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cos =l fx , cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期 分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
Hale Waihona Puke fx cos ;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
作业： P47: 2.1, 2.3
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
2、平面波角谱的传播 Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
平面波的复振幅（三维空间）：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
常量振幅 线性位相因子
平面波的复振幅 (在与原点相距为 z 的平面上):
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
U ( x, y, z )
A( f
x
, f y , z ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
即: 把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数exp[j2(fxx+fyy)] 之和, 各分量的叠加权重是A(fx, fy,z). 物理上, exp[j2(fxx+fyy)] 代表传播方向余弦为cos=lfx, cos=lfy 的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分 布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
cos cos A cos cos A( , ) f0 f 0 l l 2 l l
复振幅分布的角谱 练习: P47, 2.2
第一步: 写出屏的透过率函数 t(x,y): 第二步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y ,0)
fz ( 1 l fx l f y ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )]exp( j z l f x l f y )
U ( x, y,) exp( j
单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y,0)=1 第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0) U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0) cos cos f ; f 第五步: 利用 x 将 A(fx, fy, 0)改写成角谱 y l l
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向(,)的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间是有形的, 比时间更具体,更直观. 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cos =l fx , cos =lfy 二维F.T.在光学上的意义: 在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期 分布,即复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
2
U ( x, y) A cos(2f 0 x)
A U ( x, y ) U ( x) [exp( j 2f 0 x) exp( j 2f 0 x)] 2
U(x,y)的空间频谱函数:
A A( f x , f y ) { A cos( 2f 0 x)} [ ( f x f 0 ) ( f x f 0 )] 2 U(x,y)的空间角谱函数: cos cos A( , ) A( f x , f y ) cos cos fx , fy l l l l
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
l l 可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
Hale Waihona Puke fx cos ;
fy
cos
cos cos cos cos A( , , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
作业： P47: 2.1, 2.3
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
2、平面波角谱的传播 Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
光场分布 U0(x,y,0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z) 光场分布 U (x,y,z)
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：