标量衍射理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
信息光学-第3章 标量衍射理论
rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
标量衍射理论
表示物函数 g( x, y ) 可以看做不同方向传播的单色平面 波分量的线性叠加。平面波分量的传播方向与空间频率 ( f x , f y ) 相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频谱 G( f x , f y ) 。
平面波的角谱
G( f x , f y ) 用方向余弦表示，有（傅里叶变换）
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y)exp j 2 ( x y) dxdy
• X-y平面上沿x方向和y方向的复振 幅分布都是周期变化的，其周期空 间X和Y分别为
X=
cos
Y
cos
• 相应的空间频率分别为
1 cos fx X
1 cos fy Y
任一传播方向的平面波
• 空间频率
( fx , f y )
表示x-y平面上的复振幅分布
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 由 cos cos cos 1
2 2 2
有
fx2 f y2 fz2
1
2
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x不再和单色平面波 , fy ) 述。但空间频率 exp j2 ( f x 也就不再对应沿某 f y) 有关， 一方向传播的平面波
其中
z1 0
，r 可以写为：
r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 =z1 1 2 z1
第二章 光的标量衍射理论
（2-1-15）
（2-1-15）式称为菲涅尔衍射积分公式 式称为菲涅尔衍射积分公式 满足菲涅耳近似条件的衍射称为菲涅耳衍射 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 满足菲涅耳近似条件的观察区域称为“菲涅尔衍射区” 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏， 在菲涅耳衍射区中放置一个二维观察屏，屏上显示的图 形即物体的菲涅耳衍射图形。 形即物体的菲涅耳衍射图形。 辐照度L(x,y) 为： 辐照度
• 2.1.1 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理 • 假设：波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰 假设： 动中心，它们能产生球面子波． 动中心，它们能产生球面子波．后一时刻的波前位置 是所有这些子波波前的包络面。 是所有这些子波波前的包络面。 波前”即是某一时刻光波的波面(等相面 等相面)， “波前”即是某一时刻光波的波面 等相面 ， 次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。 “次级扰动中心” 是一个点光源或称为子波源。
该近似称为夫琅和费近似 该近似下 基尔霍夫衍射积分公式化简为： 在该近似下，基尔霍夫衍射积分公式化简为：
x2 + y2 E ( x, y ) = exp j k d + jλ d 2d 1 ∞ k ∫ ∫ A(ξ ,η ) exp − j ( xξ + yη ) d ξ d η d −∞ （2-1-19） ）
（2-1-16） ）
L(x,y)等于菲涅耳衍射复振幅分布 等于菲涅耳衍射复振幅分布E(x,y)的模的平方 等于菲涅耳衍射复振幅分布 的模的平方
二、夫琅和费近似和天琅和费衍射
进一步增大观察平面∏到衍射孔径 的距离 进一步增大观察平面 到衍射孔径∑的距离 ，则衍射 到衍射孔径 的距离d， 图形将随之放大。 图形将随之放大。
第2章 标量衍射理论
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§2.1 光波的数学描述
球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
本章将从基尔霍夫衍射理论和角谱出发，讨论衍射问题。前者
与经典物理光学的陈述一致，但利用线性系统理论赋予了新的 解释。我们将把衍射这一物理现象看做线性不变系统，分别讨 论其脉冲响应和传递函数。重点放在角谱理论上。
第2章 标量衍射理论（Theory of Scalar Diffraction）
§2.1 光波的数学描述 2.1.1 单色光波场的复振幅表示
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P) 光强分布: I = UU*
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
§2-2 基尔霍夫衍射理论
2.2.1 从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一 时刻波阵面的方法。把波阵面上每一面元作为次级子波 的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面。
标量衍射理论
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
z
x0
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
10标量衍射的角谱理论
进而可以表示为
H
fx, fy
exp jkz
1 λfx 2 λf y2 0fFra bibliotek2 x
f
2 y
1 λ2
其他
因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限
的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递
函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响
对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息， 在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携 带信息的能力是有限的
角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量 之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加 了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分 布 U (x, y,0) 可通过傅里叶变换得到其角谱
U (x, y, z)
可以分别记作
U (x, y,)
A(cos
, cos
,) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
U (x, y, z)
A(cos
, cos
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
exp{ j[ f x (x x ) f y ( y y )]}df x df y dxdy
上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽 管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按 照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做 个直观的说明
标量的衍射理论
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子2.给出了常数C的具体形式
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。
基尔霍夫从ห้องสมุดไป่ตู้量波动方程剥离时间变量得到亥姆赫兹方程，利用格林定理和通过假定衍射屏的边界条件，求解了波动方程，导出了严格的衍射公式。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。
惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。
惠更斯－菲涅耳原理：光场中任一给定曲面上的诸面元可以看做是子波源，如果子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看作是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
设Σ是某光波的波阵面，在其上任一面元ds都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。
惠更斯—菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基尔霍夫根据惠更斯—菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式---基尔霍夫衍射公式。
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径平面上透射光场的复振幅 U
与脉冲响应 hx x0 , y y0
x0 , y0
的卷积
因此，衍射系统可以等效于一个线 性空不变系统，故可用线性系统理论 分析衍射现象，
这一结论是傅里叶变换与光学互相 结合的纽带之一。
2.3.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
1
r
z2
x x0 2
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
P0点的单色点光源 P为孔径平面上任一点，Q为孔径
后方的观察点。
r和r0分别是Q和P0到P的距离，二
n
者均比波长大得多。
n表示衍射屏面法线的正方向。
r0
在单色点光源照明下，平面孔 P0 径后方光场中任一点Q的复振幅为
P
Σ
r
Q
U(Q)
1
j
a0e jkr0 r0
衍射屏处光场
描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量——复振幅
透过率：
t(P) Ut (P) Ui (P)
Ui (P)：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的 光场的复振幅；
Ut (P) ：是衍射屏后表面的复振幅。 若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的
U0 (P)既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解 为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为Σ。
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
h(P, Q) 物理意义 U(Q) U0(P)h(P,Q)dS
• 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 U0 (P) • P点处的小面元dS对观察点Q的贡献
•
dU (Q) U0 (P)h(P,Q)ds
• h(P,Q) 表示在P点有一个单位脉冲即 U0 (P)dS 1 时， 在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点扩 散函数。
U0
( x0 ,
y0
)
exp
j
k 2z
x x0 2 y y0 2
dx0dy0
菲涅耳衍射
如果在菲涅耳衍射的基础上进一步限定 的线度远远小于传 播 与距z相离比z尽，管以很至小于(，x02 但y02还)2z未小小到到可可以以忽略略去不(x2计 y；2) 2而z 观的察程范度围，的线度
r
z2
x
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
则：
hx, y; x0 , y0
1 K e jkr
j
r
exp jk
z
2
x
x0
2
y
y0
2
2.1.6
jz
hx x0 , y y0
故有：U x, y U x0, y0 h x x0, y y0 dx0dy0
U (x, y) h(x, y)
即：观察平面上光场的复振幅分布，等于孔
衍射与障碍物
不论以什么方式改变光波波面 —— （1）限制波面范围 （2）振幅以一定分布衰 减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位延 迟，（4）相位与振幅两者兼而变化，都会引
起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有
开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏。
n , c 1
0
0 0
分量Ex , Ey , Ez , Hx , Hy, Hz 的标量波动方程
2 Ex
n2 c2
2 Ex t 2
0
用一个标量波动方程慨括 E 和H 的各分量的行为
2u(x,
y, z,t)
n2 c2
2u(x, y, z,t) t 2
0
u 与位置和时间有关
矢量理论到标量理论
前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性 且无色散 结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可 由单一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完 全准确的代替矢量理论
若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面 的传播，则 U0 (P) Ut (P) Ui (P) t(P)
2.3.2 基尔霍夫衍射与叠加积分
•
基尔霍夫衍射公式
U (Q)
1
j
U0
(P)K (
)
e jkr r
dS
•令
h(P, Q) 1 e jkr K ( ) j r
• 有 U (Q) U0(P)h(P,Q)dS
我们知道 exp j2 (x y) 的函数
表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅 分布。 空间频率分量 cos / , cos / 表示单色 平面波的传播方向。
2.2.2角谱的传播
x0
A0
(
cos
,
cos
,
0)
U0 (x0, y0, 0)
z
y0
x A(cos , cos , z) U(x, y, z)
y y0 z
2
菲涅耳近似或傍轴近似
脉冲响应可表示为：
h(x x0, y
y0 )
exp( jk
jz
z)
exp
j
k 2z
x x0 h x x0, y y0 dx0dy0
U (x, y) exp( jkz) jkz
z
y
衍射角谱分析方法
U0 (x0, y0,0) A0(,,0) exp[ j2 ( x0 y0)]dd
• 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上所 有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。
• 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函 数 U0(P) 变换成 U (Q) 的变换式。
• 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， h(P,Q) 代表了这个系统 的全部特性
2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一定 条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系， 电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程），把 光作为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振幅。
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
§2.1 历史引言
a.”衍射”现象
• 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波 前的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改 变，使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为 衍射。
衍射问题的解决方式：
1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格电 磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复杂， 但是在某些问题 （如研究高分辨率光栅时）必须要用 这个方法。
涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
衍射理论所要解决的问题
光场中任一点Q的复振幅 能否用光场中其它各点的复 振幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面
上的场分布计算孔径后面任
一点Q处的复振幅？这是一 入射光
Q
个根据边界值求解波动方程
的问题。
2、 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。
若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量 理论就会引入误差
§2.3 基尔霍夫标量衍射理论
2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
1、 惠更斯-菲涅耳原理
1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认
为波面上每一点都可以作为次级子波的波源，后一时刻的
波阵面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波
第二章 标量衍射理论
• 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。 当遇到障碍物时，光波会发生衍射。
何为衍射 • 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直
线光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是 光的波动性的表现。
• 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到 限制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射
因此， 基尔霍夫衍射公式中 U0( P可) 以理解为在 任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布．
基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内 U0 (P) ，0 则衍射公式的积分限可以扩展 到无穷，从而有：
U (Q) 1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
这里省略常数项c。
(x2
y2 )
exp
j
k z
x0 x
yy0
不再具有空间平移不变性。
2.4 衍射的角谱理论
2.4.1 单色平面波与本征函数
如果不考虑夫琅禾费近似，则相干光场在给定的 二平面间的传播过程就是通过一个二维线性空不
变系统。在1.6.4节中，形如 exp j2 (x y)
的函数应该是这种系统的本征函数，在1.7节中
的包络面
1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补
充，认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的