标量衍射理论习题
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第二章标量衍射理论
2、 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。
第十七页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
P0点的单色点光源
P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方
涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
第十五页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
衍射理论所要解决的问题
光场中任一点Q的复振幅能 否用光场中其它各点的复振 幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面
上的场分布计算孔径后面任
一点Q处的复振幅？这是一个 入射光
Q
根据边界值求解波动方程的
问题。
第十六页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
射理论，完善了惠更斯-菲涅耳理论。
可定性、定量分析衍射现象。 h.索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫衍
射理论，成为瑞利-索末菲理论
第七页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
§2.2 从矢量理论到标量理论
光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一定条件下， 可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系，电磁波矢量方 程可以写为分量方程（标量方程），把光作为标量来处理， 只考虑电磁场一个分量的复振幅。
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多;
（2）观察点距离衍射孔足够的远。
第三页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
与脉冲响应 hx x0 , y
11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射
即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)
exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
第三章 标量衍射理论(二)
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
光波的标量衍射理论
～
E
P＝
A i
e
xpik
l
l
e
xpik
r
r
cosn,
r
2
cosn,
l
d
子波的复振幅与
K() cosn, r cosn,l
2 成正比，与波长成反比。
i 1 exp[i p]
i
2
表示子波的振动位相超前于入射波90。
6
当光线接近于正入射时 exp(ikl) exp(ikR)
l
R
cos(n, l) 1,
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
8z13
y1 2 ]2 ....
级数展开
r
z1
x
x1
2 y
2z1
y1 2
近似条件：
[x x1 2 y y1 2 ]2 p
z13
4
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
P
P0 E
11
r
z1
x
x1 2 y
2
光源S在波面ZZ '上
波阵面外任一点光振动应该是波面
上所有子波相干叠加的结果。
任意Q点产生的复振幅：
E~Q
A
exp ikR
R
Z
Q
R
Q点处d 大小的面元
r P
对P点的贡献为： S
dE~P
CK
E~Q
expik
r
r
d
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
chap2标量衍射的角谱理论
U ( x, y, z) U0 ( x0 , y0 ,0)e
(4)式：
jkz
x d f y dx0 dy0
e U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e jz
(5)式：
j
[( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] z dx
U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e
当： 1
2
j
2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] x 0 y 0 e df
x d f y dx0 dy0
f x2 2 f y2
df x df y
, A( f x , f y , z) A( cos
2012
cos
, z)
角谱的传播
• z=0平面上
U ( x, y,0) A( f x , f y ,0)e
j 2 ( xf x yf y )
df x df y
• z=z平面上
U ( x, y, z ) A( f x , f y , z )e
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] e z ]dx0 dy0
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] U 0 ( x0 , y0 ,0)e z dx0 dy0 2012
平面波角谱衍射理论
• 由平面波角谱衍射理论得到的精确表达式：
j 2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] e x 0 y 0 df
a0 jkr e r •平面波的复振幅表示 U (P) ae jk r
光学原理 第三章 标量衍射理论基础
+
ak 2
= a1 + ak (P点相长, 亮点) 22
当k为偶数时 :
Ak
=
a1 2
+ ⎜⎛ ⎝
a1 2
− a2
+
a3 2
⎟⎞ + ⎜⎛ ⎠⎝
a3 2
− a4
+
a5 2
⎟⎞ + L + ⎜⎛
⎠
⎝
ak −3 2
− ak−2
+
ak −1 2
⎟⎞ + ⎠
ak −1 2
−
ak
=
a1 2
+
ak −1 2
−
ak
4.若λ/a趋于零Æ衍射现象消失—几何光学是λ/a趋于零 的极限情况
• 格里马耳迪(F.M.Grimaldi)1665 年首先报道 和描述了衍射现象。他当时用来观察光衍射的 装置由光源发出的光照射到一个不透明的屏所 开的孔径上，在孔径后方用一个平面屏来观察 经孔径透射的光在它上面分布的情况。
• 按照几何光学的观点，在观察平面上影子与亮 区的交界处应该是轮廓分明的，然而实际的观 察表明有一部分光线进入了几何阴影的暗区， 同时在亮区中却出现了暗纹。索未菲将这种 “不能用反射或折射来解释的光线对直线光路 的任何偏离”的现象定义为衍射。
r0
+
3⋅
λ
2
L
Bk
P
=
r0
+
k
⋅
λ
2
B0
r0
C‘ 极点
P
对称轴， S的法线
相邻波面到观察点距离 均相差λ/2的环形带波 面称为半波带。
二、半波带性质
标量衍射理论-2
U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
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1 a ≤ x12 + y12 ≤ 1,0 < a < 1 其他 0
今采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分 布。 一衍射屏的透过率函数为： t ( x1 , y1 ) =
[2-13]
1 (1 + m cos 2πf 0 x1 ) 2
今用单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏，求观察平面上的菲涅耳衍射光场复振幅分 布； 并讨论观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时， 屏上光振动的相位不随空间位置而 变，即在空间是纯调幅的。又当观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时，才是近似空间 调相的。
图 X2-3
方形环带
[2-8] 如图 X2-4 所示， 边长为 2a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模， 其中 心落在 (ξ ,η ) 点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为 z 的观察平面上夫 琅和费衍射图样的光强度分布。
图 X2-4பைடு நூலகம்
[2-8]题图示
[2-9]
波长为 λ 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上， 在孔径平面上有一足够大的模
布的光能流等于 I i (r0 ) ，它占总光能流的百分比为 F (r0 ) .试求出 F (r0 ) 的表达式，并与教材 中表 2-5-1 进行比较。 [2-4] [2-5] [2-6] 试证明关系式（2-5-15） 。 试证明关系式（2-5-28） 。 设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-2 所示的双矩孔，求其夫琅和费衍射图
将它们按条纹方向垂直地密着叠放在一起（见图 X2-5） 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时，求其夫琅和费衍射斑的方向角。
图 X2-5
两正弦光栅正交密着叠放
[2-11]
两个正弦光栅 G1 和 G2 的透射率函数分别为：
′ cos(2πf1 x ) G1 ： t1 ( x ) = t10 + t10 ′ cos(2πf 2 x ) G2 ： t2 ( x ) = t20 + t20
板，其透过率函数为： t ( x )1 =
1 2π x1 ，求透射场的角谱。 1 + cos 2 3λ
[2-10]
两个正弦振幅光栅 G1 和 G2 的透过率函数分别为：
′ cos(2πf x x ) G1 ： t1 ( x ) = t10 + t10 ′ cos(2πf y y ) G2 ： t2 ( y ) = t20 + t20
第二章 标量衍射理论
习题
[2-1] 在基尔霍夫衍射公式（2-2-16）或（2-2-20）中，同时对光场及其法向导数施加了边 界条件，从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性，索末菲选择了换用格林 函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面 S1 上为 0,这时就不必同时对光场及其法 向导数施加边界条件。例如，可以选择 G 同时由观察点 P0 及其对衍射屏的镜对称点 P0 各
~
eikr01 eikr01 ~ 自出发的同相位的单位振幅的球面波给定（图 X2-1）,即 G+ = r01 是 P0 + ~ 式中， ~ r01 r01 点与 P 1 点间的距离。 (1) 试求： G+ (P ) 在衍射屏上的法向导数； (2) 欲将观察点的复振幅用衍射孔 Σ 上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？ (3) 利用(2)的结果，求出孔径被从 P2 点发出的单色球面波照明时， U (P0 ) 的表达式。
~
图 X2-1
习题[2-1]图示
~
e ikr01 eikr01 [2-2] 如果选择格林函数为： G− = − ~ r01 r01 ~ 其中“－”号表示由 P0 点和 P0 点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成上题中
的(1)、(2)和(3)。 [2-3] 在圆孔的夫琅和费衍射花样中， 设观察平面上的总光能流为 I,半径为 r0 的圆面内所分
样的强度分布，并画出衍射强度沿 x 轴和 y 轴的截面图。设
∆ 3 −1 = m ，z 是观察距离， λ 是照明光波长。 λz 2
X Y = 10m −1 ， = 1m −1 ， λz λz
图 X2-2
双矩孔
[2-7] 若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-3 所示的方形环带，试导出该方形环 带的夫琅和费衍射的表达式。
将它们按条纹方向平行地密着叠放在一起（见图 X2-6） 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。
图 X2-6
两正弦光栅平行密着叠放
[2-12]
若衍射孔径的透射率函数分别为
2 2 （1） t ( x1 , y1 ) = circ x1 + y1
（2） t ( x1 , y1 ) =